资源简介

专题7 等差数列
【题型01 等差数列的概念】
【题型02 等差中项】
【题型03 数列的前n项和】
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（3）通项公式的推广：．
（4）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
（5）等差中项的推广：在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（6）等差数列的前项和公式
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．其前项和．
【题型01 等差数列的概念】
【典例1】已知等差数列的通项公式，则等差数列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，分别求得，即可得到公差.
【详解】因为等差数列的通项公式，则，
则公差.
故选：A
【典例2】数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，数列是公差为的等差数列，即可求得的值.
【详解】因为数列满足，，
所以，数列是公差为的等差数列，故.
故选：C.
【题型02 等差中项】
【典例1】在等差数列中，，则的值为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【分析】由等差数列的性质计算即可得.
【详解】在等差数列中，，则，因此．
故选：A．
【典例2】在等差数列中，，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】直接利用等差数列的性质求解即可.
【详解】由是等差数列，则是和的等差中项，
所以，
则，.
故选：A
【题型03 等差数列的 前n项和】
【典例1】设数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用公式进行求解即可.
【详解】由于数列的前项和，
所以，，
所以.
故选：A
【典例2】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
【答案】B
【分析】根据等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.
【详解】根据等差数列求和公式及等差数列性质可得，
，又，
.
故选：B.
练 习
一、单选题
1．已知等差数列中，，，则公差等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】等差数列中，，，于是，所以.
故选：D
2．数列中，，，则（ ）
A．230 B．210 C．190 D．170
【答案】D
【分析】借助等差数列的定义及相关公式计算即可.
【详解】由题知数列是公差为的等差数列，.
故选:D.
3．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到，，求出公差，得到答案.
【详解】由题意得，解得，
，解得，
故等差数列的公差为，
故.
故选：C
4．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式列出方程组求解即可.
【详解】因为，
所以，.
故选：B.
5．在等差数列中，，则（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由题意知，解得，所以，所以.
故选：C.
6．在等差数列中，，公差，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用等差数列的通项公式求解.
【详解】，
故选：D．
7．是等差数列的（ ）
A．第项 B．第项
C．第项 D．第项
【答案】D
【分析】应用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】因为此等差数列的公差，，即，
.
故选：D
8．在等差数列中，前n项和为，已知，则（ ）
A．5 B．11 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据等差数列的定义求得公差，结合即可求解.
【详解】因为，所以，等差数列的公差，
所以，
所以.
故选：D
9．已知等差数列中，，，则公差（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据等差数列通项公式列式运算可得解.
【详解】设公差为，则，即，解得.
故选：A.
10．等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，且，解得，所以，
则．故选D．
11．13．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．-10 B．-8 C．10 D．8
【答案】D
【分析】根据等差数列等差中项与前n项和性质求解即可.
【详解】由，可知，
因为，所以，
.
故选：D
12．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列前项和公式和通项公式即可求解.
【详解】由题意得，解得，
，
故选：C.
13．已知，，则、的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中项的定义可求得结果.
【详解】、的等差中项为.
故选：B.
14．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．， B．，2 C．，2 D．，
【答案】D
【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可.
【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；
根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.
故选：D.
15．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，由等差中项的性质可得.
故选：B.
16．等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式结合等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】因为等差数列的前项和为，且，则，
因此，.
故选：B.
17．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-6
【答案】B
【分析】由于数列是等差数列，根据其性质可知，即可求得.
【详解】数列是等差数列
又
故选：B.
18．若、、成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】因为、、成等差数列，则.
故选：A.
19．已知等差数列中，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
【分析】利用等差数列通项的性质，可求.
【详解】等差数列中，，
则.
故选：C.
20．在等差数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据给定条件，利用等差数列下标和性质计算即得.
【分析】在等差数列中，，而，因此，
所以.
故选：B
21．在等差数列中，，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质可求得结果.
【详解】因为数列为等差数列，且，
由等差数列的性质可知：，即，
所以．
故选：A.
22．已知等差数列中，，，求数列的前9项和（ ）
A．64 B． C．63 D．28
【答案】C
【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列中，，，
所以数列的前9项和.
故选：C
23．在等差数列中，已知，则（ ）
A．230 B．420
C．450 D．540
【答案】B
【分析】等差数列的基本量法求和即可.
【详解】
故选：B
24．已知等差数列中，为的前n项和，，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用等差数列求和公式结合已知即可求得，然后可解.
【详解】记等差数列的公差为d，
则，整理得，
又，所以，
所以.
故选：B
25．已知数列的前n项和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】A
【分析】由数列的前n项和公式分别求得，即可得到和.
【详解】由，所以，，
所以，
故选：A.
26．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】当时，，当时，利用，结合题干条件，即可求得答案.
【详解】当时，，
当时，，
所以，即，
故选：A
27．已知数列的前项和为，则（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】A
【分析】利用即可得答案.
【详解】，
故选：
【点睛】本题主要考查了求数列某项的值，属于基础题.
28．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a3＋a4的值为（ ）
A．26 B．56 C．63 D．152
【答案】B
【解析】根据之间的关系，，计算即可.
【详解】由题可知：Sn＝n3
所以a3＋a4＝S4－S2＝43－23＝56.
故选：B
【点睛】本题考查之间的关系，属基础题.
29．设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，解得.
故选：C
二、解答题
1．已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
【答案】(1)；
(2)时取得最大值为.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
2．已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出公差和首项，从而得到通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式求出答案.
【详解】（1）设公差为，则，解得，
且，
故；
（2）.
3．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列是否为等差数列？
【答案】(1)
(2)数列不是等差数列
【分析】（1）根据直接求通项公式即可；
（2）根据等差数列相关概念进行判断即可.
【详解】（1）当时，；
当时，.
又因为当时，不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为
（2）由（1）知，当时，，
但，
所以数列不是等差数列
4．四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数.
【答案】
【分析】方法一：设这四个数为（公差为2d），列出方程，求出公差和，得到答案；
方法二：设这四个数为（公差为d），列出方程，求出公差和，得到答案.
【详解】方法一：设这四个数为（公差为2d），
依题意，，且，
解得，
又四个数成递增等差数列，所以，
∴，故所求的四个数为.
方法二：若设这四个数为（公差为d），
依题意，，且，
把代入，
得，解得或.
又四个数成递增等差数列，所以，
所以，.
故所求的四个数为.
5．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
6．已知数列前n项和为．
(1)试写出数列的前5项；
(2)数列是等差数列吗？
(3)你能写出数列的通项公式吗？
【答案】(1)；
(2)不是等差数列；
(3).
【分析】（1）利用分别求解即可；
（2）由（1）即可做出判断；
（3）利用进行求解即可
【详解】（1）由得，，，
，，
所以.
（2）由（1）知，所以数列不是等差数列.
（3）当时，；
当时，；
综上.
7．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析
【分析】（1）求出公差，进而得到第20项；
（2）求出公差，得到通项公式，得到方程，求出，得到答案.
【详解】（1）可以得到公差，故第20项为
（2）可以得到公差，故通项公式为，
令，解得，
故是等差数列，，，…的第100项.
8．已知的三个内角的度数成等差数列，求中间的角的度数．
【答案】
【分析】利用等差中项列式计算得解.
【详解】的三个内角的度数成等差数列，设成等差数列的三内角依次为，
于是，而，则，解得，
所以中间的角的度数.
9．求下列各题中两个数的等差中项．
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据等差中项的性质计算可得.
【详解】（1）设与的等差中项为，则，解得；
（2）设与的等差中项为，则，解得.
10．求下列等差数列的第项：
(1)，，，…
(2)13，9，5，…
(3)，，，…
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由题意得到首项与公差，即可写出通项公式.
【详解】（1）因为，，，所以公差，
则.
（2）因为，，，所以公差，
则.
（3）因为，，，所以公差，
所以.
11．已知等差数列的通项公式为，求首项和公差d．
【答案】
【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解.
【详解】因为，则，，
所以．
12．求出下列等差数列中的未知项：
(1)3，a，5；
(2)3，b，c，－9．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列的定义列式求解；
（2）根据数列的定义列方程组求解．
【详解】（1）根据题意，得，解得．
（2）根据题意，得，解得．
1专题7 等差数列
【题型01 等差数列的概念】
【题型02 等差中项】
【题型03 数列的前n项和】
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（3）通项公式的推广：．
（4）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
（5）等差中项的推广：在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（6）等差数列的前项和公式
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．其前项和．
【题型01 等差数列的概念】
【典例1】已知等差数列的通项公式，则等差数列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
【典例2】数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型02 等差中项】
【典例1】在等差数列中，，则的值为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【典例2】在等差数列中，，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【题型03 等差数列的 前n项和】
【典例1】设数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
练 习
一、单选题
1．已知等差数列中，，，则公差等于（ ）
A． B． C．2 D．3
2．数列中，，，则（ ）
A．230 B．210 C．190 D．170
3．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
5．在等差数列中，，则（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
6．在等差数列中，，公差，则（ ）
A． B． C． D．
7．是等差数列的（ ）
A．第项 B．第项
C．第项 D．第项
8．在等差数列中，前n项和为，已知，则（ ）
A．5 B．11 C．8 D．9
9．已知等差数列中，，，则公差（ ）
A． B．2 C．3 D．
10．等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
11．13．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．-10 B．-8 C．10 D．8
12．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，则、的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
14．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．， B．，2 C．，2 D．，
15．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
16．等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-6
18．若、、成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知等差数列中，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
20．在等差数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
21．在等差数列中，，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
22．已知等差数列中，，，求数列的前9项和（ ）
A．64 B． C．63 D．28
23．在等差数列中，已知，则（ ）
A．230 B．420
C．450 D．540
24．已知等差数列中，为的前n项和，，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
25．已知数列的前n项和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
26．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
27．已知数列的前项和为，则（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
28．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a3＋a4的值为（ ）
A．26 B．56 C．63 D．152
29．设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
二、解答题
1．已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
2．已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
3．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列是否为等差数列？
4．四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数.
5．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
6．已知数列前n项和为．
(1)试写出数列的前5项；
(2)数列是等差数列吗？
(3)你能写出数列的通项公式吗？
7．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
8．已知的三个内角的度数成等差数列，求中间的角的度数．
9．求下列各题中两个数的等差中项．
(1)与；
(2)与．
10．求下列等差数列的第项：
(1)，，，…
(2)13，9，5，…
(3)，，，…
11．已知等差数列的通项公式为，求首项和公差d．
12．求出下列等差数列中的未知项：
(1)3，a，5；
(2)3，b，c，－9．
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