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专题8 等比数列
【题型01 等比数列的概念】
【题型02 等比中项】
【题型03 数列的前n项和】
1．等比数列的定义
（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项所得的比都等于同一非零常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用表示.
（2）如果数列满足，，则为等比数列.
等比数列的通项公式
2．等比中项
（1）如果三个数成等比数列，则叫作的等比中项
（2）如果为的等比中项，则
3．等比数列的通项公式
若为等比数列，公比为.
（1）的通项公式为，推广形式：
（2）为递增数列的充要条件为或；
为递减数列的充要条件为或；
为常数列的充要条件为.
4. 等比数列的前n项和
【题型01 等比数列的概念】
【典例1】下面四个选项中，正确的有（ ）
A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列
B．常数列b，b，…，b一定为等比数列
C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等
D．等比数列中，各项与公比都不能为零
【答案】CD
【分析】对于ABD，结合等比数列的定义中进行分析判断即可； 对于C，结合等比数列的定义可判断.
【详解】当乘以的常数为0时，不是等比数列，故A错误；
时不是等比数列，故B错误；
由等比数列的定义，若，则，即，故C正确；
由等比数列的定义可得各项与公比均不能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确.
故选：CD.
【典例2】在等比数列中，，则16是中的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式结合条件即可得出．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，因为，
∴，解得．
则该数列的通项，由，可得，
即16是中的第7项.
故选：B．
【题型02 等比中项】
【典例1】与的等比中项为 .
【答案】
【分析】根据等比中项定义直接求解.
【详解】与的等比中项为.
故答案为：.
【典例2】在等比数列中，，则与的等比中项为 .
【答案】
【分析】运用等比中项公式直接进行求解即可.
【详解】因为，
所以与的等比中项为.
故答案为：
【题型03 等比数列的 前n项和】
【典例1】若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ．
【答案】381
【分析】根据等比数列的前项和公式计算求解即可.
【详解】根据等比数列的前项和公式得，
所以.
故答案为：381.
【典例2】在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，列出方程求解即得.
【详解】等比数列中，，前三项和，则，于是，
解得或，
所以公比q的值为或1.
故选：AB
练 习
一、单选题
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质计算即可.
【详解】设公比为，
则，
因为，，
所以，所以.
故选：C.
2．在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列性质直接求解即可.
【详解】因为，所以（负值舍去），
所以.
故选：A
3．在等比数列中，已知，，那么等于（ ）
A．8 B．10 C．18 D．36
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式，求得公比，即可求出．
【详解】在等比数列中，由，，解得，
．
故选：C．
4．在等比数列中，，，则（ ）
A． B．4 C． D．无法确定
【答案】C
【分析】借助等比数列性质计算即可得.
【详解】在等比数列中，，所以，又，，同号，所以.
故选：C．
5．已知在等比数列中，，则的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．16
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质计算出答案,
【详解】由题意得，解得.
故选：C
6．两个数4和9的等比中项是（ ）
A．6 B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用等比中项的定义即可得出．
【详解】设4和9的等比中项为，则，所以.
故选：B.
7．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
【答案】A
【分析】由等比数列前n项和公式可得答案.
【详解】
故选：A
8．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：A
9．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：D
10．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：B
11．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
【答案】C
【分析】根据等比数列的知识列方程，从而求得.
【详解】由于成等比数列，所以，
解得或.
故选：C
12．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式求解．
【详解】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴，
故选：C．
13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ）
A．228里 B．192里 C．126里 D．63里
【答案】B
【分析】应用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，
则有，解得，
故选：B.
14．在等比数列中，，，则首项等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.
【详解】，，，.
故选：C
15．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质得到，求出公比.
【详解】由题意得：，因为，所以，
所以，解得或．
故选：D
16．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比数列通项公式可直接求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：C.
17．如果、、、、成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据等比中项的定义求解.
【详解】由、、、、成等比数列，
得，
解得或，
又，，
所以，.
故选：B.
18．已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列方程组来求得.
【详解】设等比数列的公比为，
则，，，
两式相除得，解得（负根舍去），
所以.
故选：C
二、填空题
1．设是等比数列，，，则 .
【答案】16
【分析】结合等比数列通项公式计算即可得.
【详解】设，则，故.
故答案为：16.
2．647和895的等差中项是 ；4和16的等比中项是 .
【答案】
【分析】根据等差中项和等比中项的定义求得正确答案.
【详解】设是647与895的等差中项，则.
设是4与16的等比中项，则.
故答案为：；
3．在等比数列中，，，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列的通项公式得与之间的关系，代入计算即可.
【详解】.
故答案为：.
4．在等比数列中，若，，则 ．
【答案】8
【分析】根据等比数列的性质直接得出答案即可.
【详解】在等比数列中，，，也成等比数列，
因为，，
所以，
故答案为：
5．若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则 .
【答案】13
【分析】根据等比数列前项和公式即可.
【详解】由题意得，公比，
则数列前项和，所以，
故答案为：13.
6．等比数列中，已知，，则 .
【答案】2
【分析】由等比数列的性质可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：2.
7．已知首项为，公比为的等比数列，设等比数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】等比数列的首项为，公比为，
．
故答案为：．
8．已知数列满足，且，则 .
【答案】
【分析】直接由等比数列的定义判断并直接写出通项公式即可.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
故答案为：.
9．在公比为的等比数列中，已知，，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
10．在等比数列中，若，则 .
【答案】16
【分析】根据给定条件，结合等比数列通项列式计算作答.
【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，
所以.
故答案为：16
11．已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 .
【答案】-2
【分析】由等比数列的定义及性质计算即可.
【详解】设的公比为，由题意可知，则由得.
故答案为：-2
三、解答题
1．在下表的等比数列中，由已知的三个数，求未知的两个数．
题号
（1） 3 2 6
（2） 8
（3） 5 2 35
（4） 2 4 54
（5） 1 4 7
（6） 5
（7） 4 65
（8） 2 96 189
【答案】见解析
【分析】根据等比数列的基本公式，，等求解即可.
【详解】（1），；
（2）因为，解得，；
（3），解得，；
（4），解得，；
（5）由，解得，，解得；
（6），解得，；
（7），解得，；
（8），解得，，解得.
综上有：
题号
（1） 3 2 6 96 189
（2） 8 7
（3） 5 2 3 20 35
（4） 2 3 4 54 80
（5） 1 2 3 4 7
（6） 2 5
（7） 27 4 8 65
（8） 3 2 6 96 189
2．已知等比数列的通项公式为，求首项和公比．
【答案】，
【分析】由等比数列首项、公比的定义即可求解.
【详解】由题意，其首项为，其公比为．
3．求出下列等比数列中的未知项：
(1)2，a，8；
(2)，b，c，．
【答案】(1)或
(2)，．
【分析】（1）根据等比数列的定义列式求解；
（2）根据等比数列的定义列方程组求解．
【详解】（1）根据题意，得，所以或．
（2）根据题意，得，解得，
所以，．
1专题8 等比数列
【题型01 等比数列的概念】
【题型02 等比中项】
【题型03 数列的前n项和】
1．等比数列的定义
（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项所得的比都等于同一非零常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用表示.
（2）如果数列满足，，则为等比数列.
等比数列的通项公式
2．等比中项
（1）如果三个数成等比数列，则叫作的等比中项
（2）如果为的等比中项，则
3．等比数列的通项公式
若为等比数列，公比为.
（1）的通项公式为，推广形式：
（2）为递增数列的充要条件为或；
为递减数列的充要条件为或；
为常数列的充要条件为.
4. 等比数列的前n项和
【题型01 等比数列的概念】
【典例1】下面四个选项中，正确的有（ ）
A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列
B．常数列b，b，…，b一定为等比数列
C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等
D．等比数列中，各项与公比都不能为零
【典例2】在等比数列中，，则16是中的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【题型02 等比中项】
【典例1】与的等比中项为 .
【典例2】在等比数列中，，则与的等比中项为 .
【题型03 等比数列的 前n项和】
【典例1】若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ．
【典例2】在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ）
A．1 B．
C． D．
练 习
一、单选题
1．已知等比数列中，，，则（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
2．在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
3．在等比数列中，已知，，那么等于（ ）
A．8 B．10 C．18 D．36
4．在等比数列中，，，则（ ）
A． B．4 C． D．无法确定
5．已知在等比数列中，，则的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．16
6．两个数4和9的等比中项是（ ）
A．6 B．
C． D．
7．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
8．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
9．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
11．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
12．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ）
A． B． C． D．
13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ）
A．228里 B．192里 C．126里 D．63里
14．在等比数列中，，，则首项等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
15．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
16．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．如果、、、、成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．设是等比数列，，，则 .
2．647和895的等差中项是 ；4和16的等比中项是 .
3．在等比数列中，，，则 .
4．在等比数列中，若，，则 ．
5．若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则 .
6．等比数列中，已知，，则 .
7．已知首项为，公比为的等比数列，设等比数列的前项和为，则 .
8．已知数列满足，且，则 .
9．在公比为的等比数列中，已知，，则 .
10．在等比数列中，若，则 .
11．已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 .
三、解答题
1．在下表的等比数列中，由已知的三个数，求未知的两个数．
题号
（1） 3 2 6
（2） 8
（3） 5 2 35
（4） 2 4 54
（5） 1 4 7
（6） 5
（7） 4 65
（8） 2 96 189
2．已知等比数列的通项公式为，求首项和公比．
3．求出下列等比数列中的未知项：
(1)2，a，8；
(2)，b，c，．
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