资源简介

2．4　点到直线的距离
最新课程标准
(1)掌握两点间的距离公式及点到直线的距离公式．
(2)会求两条平行直线间的距离．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　两点间的距离
已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.
要点二　点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝____________________．
要点三　两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，
B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝.
批注 　公式可简记为“纵差方，横差方，加起来，开平方”．
批注 　给出的直线方程必须是一般式，不是一般式的，则应先化为一般式再利用公式求距离．
批注 　利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
基 础 自 测　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．(　　)
(2)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.(　　)
(3)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是 .(　　)
(4)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　)
2．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为(　　)
A．5　　　 B． C．3　　　 D．
3．点(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．已知两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知点A(2，－1)到直线l：y＝2x＋t的距离为，则t＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　两点间距离公式的应用
例1　(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为________；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状．
方法归纳
1．利用两点间的距离公式求参数的值的方法
常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，再利用方程的思想求解参数．
2．利用两点间的距离公式判断三角形的方法
要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
巩固训练1　(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，求x的值．
题型2　点到直线的距离公式的应用
例2　(1)[2022·湖南长沙一中测试]已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A．B．2－
C．－1 D．＋1
(2)[2022·湖南师大附中测试]已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
①求顶点C的坐标；
②求△ABC的面积．
方法归纳
点到直线距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|－b |.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
巩固训练2　(1)已知点A(1，－2)，B(5，6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________；
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程是________．
题型3　两条平行线间的距离问题
例3　(1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为____________．
方法归纳
解决两条平行直线间的距离问题的2种常用方法
巩固训练3　(1)[2022·湖南长郡中学测试]两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　)
A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝
(2)若斜率为2的直线m被直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0所截得的线段为AB，则线段AB的长为________．
题型4　对称问题(数学探究)
例4　已知点P，Q在直线l：3x－y－1＝0上．
(1)若点P到点A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大，求点P的坐标；
(2)若点Q到点A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小，求点Q的坐标．
方法归纳
利用对称性解决问题
(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小．
①当两定点不在直线的同一侧时，两点连线与直线的交点即为所求；
②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．
(2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大．
①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求；
②当两定点不在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．
巩固训练4　若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值．
易错辨析　选用直线方程的形式不当引发错误
例5　过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
【易错警示】
出错原因 纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错． 一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．
2．4　点到直线的距离
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
(A，B不全为0)
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由两点间的距离公式得|AB|＝＝.
答案：B
3．解析：(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝.
答案：B
4．解析：因为两直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0平行，且l1：2x＋4y－8＝0，它们之间的距离即为l1：2x＋4y－8＝0与l2：2x＋4y＋7＝0之间的距离为：d＝＝.
答案：A
5．解析：因为点A(2，－1)到直线l：2x－y＋t＝0的距离为，所以d＝＝，可得|5＋t|＝5，解得t＝－10或t＝0.
答案：－10或0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设点M(x，0)(x>0)，由题意可知，＝，解得x＝.所以点M的坐标为(，0)．
(2)方法一　∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二　∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
答案：(1)(，0)　(2)见解析
巩固训练1　解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝ ＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0)．
|PA|＝ ＝.
(2)由|MN|＝7，
得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
例2　解析：(1)由题意得＝1.解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
(2)①设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且C点在直线2x－y－5＝0上，
所以，解得，故C(4，3)．
②设B(a，b)由题知：M()，
所以，解得，即B(－1，－3)．
kBC＝＝，直线BC：y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
|BC|＝＝，
点A到直线BC的距离d＝＝，
所以S△ABC＝＝8.
答案：(1)C　(2)见解析
巩固训练2　解析：(1)∵A(1，－2)，B(5，6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，
∴＝，
解得a＝－2或a＝－1.
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
答案：(1)－2或－1　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
例3　解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1)C　(2)2x－y＋1＝0
巩固训练3　解析：(1)∵两直线平行，∴2＝，解得a＝6，
将2x－y＋3＝0化为6x－3y＋9＝0，
∴d＝＝.
(2)直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0的斜率为－，
直线m的斜率为2，
故直线m与直线l1，l2垂直，
由两条平行直线的距离公式可得|AB|＝＝.
答案：(1)D　(2)
例4　解析：
(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，
∵kl·kBB′＝－1，即3×＝－1，
∴a＋3b－12＝0.　①
又线段BB′的中点坐标为()，且中点在直线l上，
∴3×－1＝0，即3a－b－6＝0.　②
由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．
于是直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
由解得
∴l与直线AB′的交点坐标为(2，5)，
∴当点P到点A，B的距离之差最大时，点P的坐标为(2，5)．
(2)如图所示，设点C关于l的对称点为C′，同样可以计算求得C′的坐标为()，
∴AC′所在直线的方程为＝，
即19x＋17y－93＝0，
由解得
∴直线AC′和l的交点坐标为()，
∴当点Q到点A，C的距离之和最小时，点Q坐标为()．
巩固训练4　解析：点A(－3，2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)．
因为点P(m，0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
因为kA′B＝＝2，
所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)，
所以所求实数m的值为－2.2．5.1　圆的标准方程
最新课程标准
(1)从具体情境中抽象出圆，掌握圆的定义．
(2)会求圆的标准方程．
(3)能判断点与圆的位置关系．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．确定圆的要素是________和________，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为________________．
要点二　点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 |MA|＜r 点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外 |MA|＞r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
批注 　方程中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(a，b，r∈R)表示一个圆．(　　)
(2)弦的垂直平分线必过圆心．(　　)
(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(　　)
(4)圆心与切点的连线长是半径长．(　　)
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C.(－2，3)， D．(2，－3)，
3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)
A.x2＋y2＝2
B.x2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－2)2＝8
D.x2＋y2＝
4．点()与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)
A.点在圆上 B．点在圆内
C.点在圆外 D．不能确定
5．已知A(－1，0)，B(1，0)，则以AB为直径的圆的方程为____________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　直接法求圆的方程
例1　求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心为点(－2，1)，半径为；
(2)圆心为点(3，4)，且过坐标原点．
方法归纳
根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径，代入标准方程即可．
巩固训练1　圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
题型2　待定系数法求圆的方程
例2　已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，求圆C的标准方程．
方法归纳
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
2．本题还可以利用圆的几何性质求圆的方程：圆心必在线段AB的垂直平分线上．
巩固训练2　已知△ABC的三个顶点A(－2，0)，B(2，0)，C(6，4)，求其外接圆H的标准方程．
题型3　点与圆的位置关系
例3　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
方法归纳
根据条件求出圆的标准方程，利用点到圆心的距离与半径比较大小得出点与圆的位置关系．
巩固训练3　已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
易错辨析　对圆心位置考虑不全致误
例4　已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴截得的线段AB的长为8，则圆的标准方程为(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝25 B．x2＋(y±3)2＝25
C．(x±3)2＋y2＝5 D．(x±3)2＋y2＝25
解析：方法一　由题意知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，故|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝ ＝ ＝3.
如图所示，有两种情况．
故圆心C的坐标为(－3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
方法二　∵圆心在x轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆在y轴上截得的线段长为8，
∴a2＋＝25，解得a＝±3，
∴所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
答案：D
【易错警示】
出错原因 纠错心得
方法一中在求出|OC|＝3后，易错误地得出C(3，0)，漏掉圆心在x轴负半轴上的情况． 在解析几何中，涉及距离问题时，一定要加绝对值，否则容易漏解．
2．5　圆的方程
2．5.1　圆的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．定点　定长
2．圆心　半径
3．x2＋y2＝r2
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.故选D.
答案：D
3．解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.故选B.
答案：B
4．解析：因为＝1>，所以点在圆外．
答案：C
5．解析：以AB为直径的圆的圆心为AB中点O(0，0)，半径r＝|OA|＝1，∴所求圆的方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意可得圆的标准方程：
(x＋2)2＋(y－1)2＝3.
(2)由题意可得圆的半径为：
＝5，
所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
巩固训练1　解析：因为圆心在y轴上，半径长为1，
所以可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，
因为圆过点A(1，2)，
所以1＋(2－b)2＝1，
解得b＝2，
所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
例2　解析：方法一　设圆心为O(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得方程组，
解得a＝－1，b＝－2，r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二　因为A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB的中点为(0，－4)，
kAB＝＝，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－2x－4，
由，得，
所以圆C的圆心坐标为(－1，－2)，
所以圆的半径为r＝＝，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
巩固训练2　解析：方法一　设△ABC外接圆H的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解得a＝0，b＝6，r＝2，
故△ABC的外接圆的标准方程为x2＋(y－6)2＝40.
方法二　由题意得，AB中点为(0，0)，
BC中点为(4，2)，kBC＝＝1，
∴线段AB中垂线方程为x＝0；
线段BC中垂线方程为y－2＝－(x－4)，即x＋y－6＝0；
由得，即△ABC外接圆圆心H(0，6)，
∴外接圆半径r＝|AH|＝＝2，
∴△ABC外接圆H的标准方程为x2＋(y－6)2＝40.
例3　解析：解方程组得
∴圆心M的坐标为(0，1)．半径r＝|MP|＝＝5.
∴圆M的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝＝∴点A在圆内，
∵|BM|＝＝＝r，
∴点B在圆上．
∵|CM|＝＝>r，
∴点C在圆外．
综上，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
巩固训练3　解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．
因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.2．5.2　圆的一般方程
最新课程标准
(1)正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由圆的一般方程求圆心和半径．
(2)会在不同条件下求圆的方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念：
当____________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程 .
2．圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为________，半径长为________．
批注 　圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　)
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　)
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
2．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心坐标及半径分别为(　　)
A．(－1，0)与 B．(1，0)与
C．(1，0)与2 D．(－1，0)与2
3．下列方程表示圆的是(　　)
A．x2＋y2＋xy－1＝0
B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0
C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0
D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0
4．若直线ax＋y＋1＝0经过圆x2＋y2＋x＋y－2＝0的圆心，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　圆的一般方程的概念
例1　若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－4，4)
B．(－3，3)
C．(－∞，－4)
D．(－∞，－3)
方法归纳
判定二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆的两种方法
巩固训练1　方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为________．
题型2　根据圆的一般方程求圆心和半径
例2　求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)2x2＋2y2＋4ax－2＝0；
(3)x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0.
方法归纳
根据圆的一般方程求圆的圆心和半径的两种方法
巩固训练2　求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－4x＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0.
题型3　求圆的一般方程
例3　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
方法归纳
待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
巩固训练3　已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)，则△ABC的外接圆的一般方程为(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0
C．x2＋y2－2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＋1＝0
题型4　与圆有关的最值问题(数学探究)
例4　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值和最大值；
(3)x2＋y2的最小值和最大值．
方法归纳
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如z＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
易错辨析　忽视圆的条件致错
例5　已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．
解析：由题意知
解得即2＜a＜.
答案：(2，)
【易错警示】
出错原因 纠错心得
忽视了二元二次方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，从而得到错误答案：a＞2. 对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2＋E2－4F＞0.
2．5.2　圆的一般方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．D2＋E2－4F>0
2．(－，－)　
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，半径r＝2.
答案：C
3．解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；
对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆；
对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×4<0，该方程不表示圆；
对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，
因为22＋－4×>0，该方程表示圆．
答案：D
4．解析：由已知圆心坐标为(－，－)，
所以－a－＋1＝0，解得a＝1.
答案：A
5．解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为(－，－)＝(3，4) a＝－6，b＝－8，所以圆的半径为＝5.
答案：5
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，
则m2＋4－20>0，解得m>4或m<－4.
答案：C
巩固训练1　解析：由x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0得x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2＋a2－a＝0，
即(x－a)2＋(y－2a)2＝a－a2，
因为方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圆心在第一象限的圆，
所以，解得0答案：0例2　解析：(1)方程x2＋y2－6x＝0 (x－3)2＋y2＝9，
所以圆心为(3，0)，半径为3.
(2)将2x2＋2y2＋4ax－2＝0两边同除以2，得x2＋y2＋2ax－1＝0，
配方，得(x＋a)2＋y2＝1＋a2.
故圆心坐标为(－a，0)，半径为.
(3)方程x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0 (x－a)2＋(y－a)2＝a2，
所以圆心为(a，a)，半径为|a|.
巩固训练2　解析：(1)方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2，0)，半径r＝2.
(2)由圆的一般方程可知a≠0，原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
方程表示以(－a，0)为圆心，|a|为半径的圆．
例3　解析：方法一　设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
方法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
巩固训练3　解析：设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意可得：，解得，
即△ABC的外接圆的方程为：x2＋y2－2x－4y＝0.
答案：C
例4　解析：
(1)如图所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°.)
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－，(y－x)max＝－2＋.
解析：
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图中的点M和N)．
又因为圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.2．6　直线与圆、圆与圆的位置关系
2．6.1　直线与圆的位置关系
最新课程标准
(1)掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
(3)会用直线与圆的位置关系来解决一些实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d____r d____r d____r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
批注 　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点．(　　)
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　)
(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.(　　)
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.(　　)
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．1　　　 B． C．　　　D．2
4．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．2
5．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　直线与圆的位置关系
例1　[2022·湖南长沙测试]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)与x轴、y轴分別相切于A、B两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx－2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；
(3)试讨论直线l：y＝kx－2与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置关系．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的3种方法
巩固训练1　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切　　B．相交　　C．相离　　D．不确定
(2)若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________．
题型2　直线与圆相切问题
例2　(1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程为(　　)
A．x＝－2或2x－y＋8＝0
B．x＝－2或x＋2y－6＝0
C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0
D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0
(2)过直线y＝2x－3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(　　)
A． B． C．2 D．
(3)过点M(2，－3)作圆C：x2＋y2＝13的切线，则切线的方程为________．
方法归纳
圆的切线的求解策略
巩固训练2　(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
(2)已知直线l平行于直线x－y＋2＝0，且与圆x2＋y2＝2相切，则直线l的方程是____________．
题型3　直线与圆相交问题
例3　(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________；
(2)[2022·湖南衡阳田家炳实验中学测试]已知直线l：(a＋1)x－y＋3＝0(a>0)．若直线l被圆x2－2x＋y2－5＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．
方法归纳
求圆的弦长的2种常用方法
巩固训练3　[2022·湖南攸县三中测试]已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)求m的取值范围；
(2)当圆C过A(1，1)时，求直线l：x＋2y－4＝0被圆C所截得的弦MN的长．
易错辨析　忽略了圆的一个隐含条件
例4　已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．
解析：圆的标准方程为
(x＋)2＋(y＋1)2＝，
圆心C坐标为(－，－1)，
半径r＝＝，
则4－3a2>0，解得－又过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>.
化简得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，
故a的取值范围是(－)
答案：(－)
【易错警示】
出错原因 纠错心得
忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一个隐含条件，即D2＋E2－4F>0 同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错．
2．6　直线与圆、圆与圆的位置关系
2．6.1　直线与圆的位置关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
2　1　0　<　＝　>　>　＝　<
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.
答案：B
3．解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2，故选D.
答案：D
4．解析：圆x2＋y2＝m(m>0)的圆心为(0，0)，半径为，因为直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圆心到直线x＋y＝2的距离等于半径，列出方程得：＝，解得：m＝2.
答案：D
5．解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由已知可得圆C的圆心为C(a，b)，
由于圆C与x轴、y轴分別相切于A、B两点，圆心C到x轴、y轴的距离分别为b、a，
则a＝b＝2，
因此，圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)如下图所示：
由图可知，圆C与x轴相切于点A(2，0)，与y轴相切于点(0，2)，
当直线l过点A(2，0)时，则有2k－2＝0，解得k＝1，
由图可知，当k≥1时，直线l与线段AB有公共点，
因此，当k<1时，直线l与线段AB没有公共点，
所以，实数k的取值范围为(－∞，1)．
(3)圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝，圆C的半径为r＝2.
①当d>r时，即k<时，直线l与圆C相离；
②当d＝r时，即k＝时，直线l与圆C相切；
③当d时，直线l与圆C相交．
综上所述，当k<时，直线l与圆C相离；
当k＝时，直线l与圆C相切；
当k>时，直线l与圆C相交．
巩固训练1　解析：(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交．
(2)把圆的方程化为标准方程得(x＋)2＋(y＋1)2＝16－，所以16－>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，则实数k的取值范围是(－，－3))．
答案：(1)B　(2)(－，－3))
例2　解析：(1)由题意可知，P(－2，4)在圆C的外部，故点P不是切点；
圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，
当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，
圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝|－1－(－2)|＝1≠，此时直线和圆不相切；
作圆C的切线，斜率存在，设为k，
则切线方程为l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.
圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝＝，
化简可得2k2－3k－2＝0，
解得k＝－或k＝2，
∴切线方程为l：y＝－(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4，
化简可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.
(2)直线y＝2x－3上任取一点P(x，y)作圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，设切点为A.
圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圆心为C(2，－3)，半径为r＝1.
切线长为＝.
|PC|min＝＝.
所以切线长的最小值为 ＝.
(3)由圆C：x2＋y2＝13得到圆心C的坐标为(0，0)，圆的半径r＝，
而|CM|＝＝＝r，
所以点M在圆C上，则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直，又M(2，－3)，
得到CM所在直线的斜率为－，
所以切线的斜率为，
则切线方程为：y＝(x－2)－3.
即2x－3y－13＝0.
答案：(1)C　(2)A　(3)2x－3y－13＝0
巩固训练2　解析：(1)方法一　由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，
代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，
Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
方法二　由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0 (x－1)2＋(y－1)2＝1，
可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，
直线和圆相切，则＝1，解得b＝2或12.
(2)设所求直线l为x－y＋b＝0(b≠2)，
因为直线与圆相切，
则＝，解得b＝－2，
则所求直线为x－y－2＝0.
答案：(1)D　(2)x－y－2＝0
例3　解析：(1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴半弦长＝＝＝，∴最短弦的长为2.
(2)圆方程可化为(x－1)2＋y2＝6，圆心坐标为(1，0)，半径为，
则d＝，
因为直线l被圆x2－2x＋y2－5＝0截得的弦长为2，即2＝2，
d＝.
整理可得，4a2＋7a－11＝0，解得，a＝1或a＝－，
因为a>0，故a＝1，
所以，直线l的方程为2x－y＋3＝0.
答案：(1)2　(2)见解析
巩固训练3　解析：(1)圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
令5－m>0得m<5.
(2)∵圆C过A(1，1)代入得m＝4，圆C方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心C(1，2)，半径r＝1，
圆心C(1，2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝，
∴MN＝2 ＝.2．6.2　圆与圆的位置关系
最新课程标准
(1)掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能利用上述方法判断两圆的位置关系．
(2)能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系有：________、________、________、________、________.
2．圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、 r2的关系 ________ ________ ________ ________ ________
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元，一元二次方程
批注 　代数法计算量偏大，一般不用此种方法；几何法较简洁，只需比较圆心距d与|r1－r2|、r1＋r2的大小即可得出位置关系．
批注 　有四条公切线．
批注 　有三条公切线．
批注 　两条外公切线．
批注 　一条外公切线．
批注 　无公切线．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)
(4)如果两圆相外切，则有公切线3条．(　　)
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．内含 B．内切
C．外切 D．相交
3．已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16，则圆O1与圆O2的位置关系为(　　)
A．外切 B．内切
C．相交 D．外离
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为____________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　圆与圆的位置关系的判断
例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2
(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
方法归纳
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
巩固训练1　(1)圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1与圆(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是(　　)
A．相切 B．内含
C．相交 D．外离
(2)已知圆C1：x2＋(y－a)2＝a2，(a>0)的圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．外离
题型2　两圆相切问题
例2　(1)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________；
(3)[2022·河北石家庄二中测试]已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，若圆C与曲线x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝________．
方法归纳
处理两圆相切问题的策略
巩固训练2　(1)[2022·湖南邵东一中测试]若圆x2＋y2＝4与圆(x－a)2＋y2＝1(a>0)相内切，则a＝________；
(2)与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程是________________．
题型3　两圆相交的问题
例3　已知圆C1过点(，1)、(1，－1)，且圆心在直线y＝1，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1)求圆C1的标准方程；
(2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
方法归纳
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
巩固训练3　(1)[2022·湖南长沙一中测试]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________；
(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
易错辨析　忘记求相交两圆的公共弦方程的前提
致错例4　过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为(　　)
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0
C．x＋y＋11＝0 D．不存在
解析：由题意得C1(1，1)，r1＝1，C2(2，0)，r2＝5，
∴|C1C2|＝＜r2－r1，∴两圆内含．
∴过两圆交点的直线不存在．故选D.
答案：D
【易错警示】
出错原因 纠错心得
忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A. 只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定．
2．6.2　圆与圆的位置关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．外离　外切　相交　内切　内含
2．(1)d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　d＝|r1－r2|　d＜|r1－r2|　(2)相交　内切或外切　外离或内含
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由题意可知
圆O1的圆心O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(0，2)，半径r1＝2，
所以|O1O2|＝，又r2－r1<|O1O2|所以圆O1和圆O2的位置关系是相交．
答案：D
3．解析：圆O1的圆心为(0，0)，半径等于1，
圆O2的圆心为(3，－4)，半径等于4，
所以两圆圆心距为＝5，
恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切．
答案：A
4．解析：两圆的圆心分别是(－1，－1)，(2，1)，半径分别是2，1；
两圆圆心距离：＝>2＋1，说明两圆相离，
因而公切线有四条．
答案：D
5．解析：两圆方程作差可得：6x＋2y＋2＝0，即3x＋y＋1＝0，
∴直线AB的方程为3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1　解析：对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆相离．
(4)当|C1C2|<3即0巩固训练1　解析：(1)因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，
所以两圆内含．
(2)已知圆C1的圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝2，即＝2，
解得a＝2或a＝－6，因为a>0，所以a＝2，
∴圆C1：x2＋(y－2)2＝4的圆心C1的坐标为(0，2)，半径r1＝2，
将圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圆心C2的坐标为(1，2)，半径r2＝1，
圆心距|C1C2|＝＝1＝r1－r2，
∴两圆内切．
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
(3)根据题意曲线x2＋y2－2x＋8y＋a＝0表示圆且与圆 C外切，
上述方程化简为(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a，又圆 C方程为(x＋2)2＋y2＝4，
根据两圆外切可得＝2＋，解得 a＝8.
答案：(1)D　(2)2或－5　(3)8
巩固训练2　解析：(1)圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2；
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a，0)，半径为1.
所以两圆圆心间的距离为d＝|a|，
由两圆相内切得d＝|a|＝2－1＝1，解得：a＝±1.
由于a>0，所以a＝1.
(2)已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得
解得，或，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
答案：(1)1　(2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
例3　解析：(1)由题意可设圆心C1(a，1)，
则＝，
解得a＝0，
此时圆的半径为r1＝＝，
所以圆C1的标准方程为：x2＋(y－1)2＝5.
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，
化简得x－y－1＝0，
所以圆C1的圆心C1(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，
则＝－d2＝5－2＝3，
解得|AB|＝2，
所以所求公共弦长为2.
所以圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为x－y－1＝0，公共弦长为2.
巩固训练3　解析：(1)由圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，
圆x2＋y2－4＝0的圆心O(0，0)，半径r＝2，
则圆心O(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以公共弦长为2＝2.
(2)如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.
答案：(1)2　(2)42．7　用坐标方法解决几何问题
最新课程标准
(1)能用坐标法解决几何问题．
(2)会用“数形结合”的数学思想解决问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　坐标法
平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法．
要点二　用代数方法解决几何问题的基本过程
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建．(　　)
(2)圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.(　　)
(3)已知点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则PQ与x轴垂直．(　　)
2．方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示的轨迹为(　　)
A．圆心为(1，2)的圆
B．圆心为(2，1)的圆
C．圆心为(－1，－2)的圆
D．不表示任何图形
3．到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝2
D．(x－4)2＋(y－4)2＝16
4．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
5．已知两定点A(－2，1)，B(2，－1)，如果动点P满足|PA|＝|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　用坐标法证明平面几何问题
例1　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法归纳
用坐标法证明平面几何问题的一般步骤
巩固训练1　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
题型2　直接法求动点的轨迹方程
例2　已知圆C过点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线2x＋y－1＝0与直线x＋2y＋1＝0的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
方法归纳
用直接法求轨迹方程的一般步骤
巩固训练2　已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程．
题型3　代入法(相关点法)求动点的轨迹方程
例3　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．
(1)求△ABC外接圆的方程；
(2)动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标为(7，4)，求DE中点M的轨迹．
方法归纳
用代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
巩固训练3　已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2，0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．
易错辨析　因忽视验证造成增解而致错
例4　求以A(－2，0)，B(2，0)为直径端点的圆的内接三角形的顶点C的轨迹方程．
解析：设C的坐标为(x，y)．
∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，∴⊥，即·＝0.
又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.
又当x＝±2时，C与A或B重合，不构成三角形，
∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)．
【易错警示】
出错原因 纠错心得
(1)若采用斜率解题，易在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况． (2)没有验证x＝±2是否满足题意． 求得点的轨迹方程后一定要检查题意中有没有限制条件，如本题构成三角形的条件．
2．7　用坐标方法解决几何问题
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
几何　代数
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于(x－1)2＋(y－2)2＝－1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形．
答案：D
3．解析：由题意可知到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是圆的方程，圆心是坐标原点，半径为4，故所求轨迹方程为x2＋y2＝16.
答案：B
4．解析：方程两边平方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
5．解析：设P(x，y)，由题设得：(x＋2)2＋(y－1)2＝2[(x－2)2＋(y＋1)2]，∴(x－6)2＋(y＋3)2＝40，故P的轨迹是半径为的圆，∴图形的面积等于40π.
答案：40π
题型探究·课堂解透
例1　
证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
巩固训练1　证明：
如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
例2　解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
把点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)代入得
解得
所以圆的方程为：x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)联立，解得，
所以P(1，－1)．
设弦AB的中点M的坐标为(x，y)，
由垂径定理得CM⊥AB，即CM⊥PM，则kCM ·kPM＝－1，
由第一问知，圆心坐标为C(1，－2)
所以·＝－1，整理得：x2＋y2－2x＋3y＋3＝0，
故中点M的轨迹方程为x2＋y2－2x＋3y＋3＝0.
巩固训练2　解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝2，
化简得(x－5)2＋y2＝16，
故此曲线的方程为(x－5)2＋y2＝16.
例3　解析：(1)因为A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)，所以kAB＝＝0，AB的中点为(2，5)，则
AB的垂直平分线的方程为x＝2；
kBC＝＝－7，BC的中点为()，则BC的垂直平分线的方程为
y－＝(x－)，即x－7y＋5＝0；
联立，解得，所以圆心坐标为(2，1)，半径为＝5，
所以△ABC外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
(2)设M(x，y)，D(x0，y0)，由中点公式得，则，代入(x－2)2＋(y－1)2＝25得DE中点M的轨迹方程为(2x－7－2)2＋(2y－4－1)2＝25，即(x－)2＋(y－)2＝，
所以DE中点M的轨迹是以点()为圆心，以为半径的圆．
巩固训练3　解析：设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，
∴A为线段MB的中点，
由中点坐标公式得
∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得(＋1)2＋＝2，
化简得(x＋4)2＋y2＝8，
∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8.章末复习课
知识网络·形成体系
　考点聚焦·分类突破
考点一　直线方程的求法及应用
(1)求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
(2)通过对直线方程的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．
例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)．
(1)若点C的坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．
考点二　两条直线的位置关系
(1)解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
(2)通过对两直线平行与垂直的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例2　(1)已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：x＋(2a－3)y＋5＝0垂直，则a＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
(2)(多选)若直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与直线 l2：x＋ay＋1＝0平行，则a＝(　　)
A．2或－1 B．－2或1
C．2 D．－1
考点三　距离问题
(1)解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
类型 已知条件 公式
两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝
点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) d＝ A2＋B2
两平行直线的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2) d＝
(2)通过对距离问题的学习，提升学生的数学运算素养．
例3　(1)直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程．
考点四　有关圆的问题
角度1　求圆的方程
(1)求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题．
(2)通过对圆的方程的求解，提升学生的数学运算素养．
例4　[2022·湖南怀化测试]已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆C的标准方程为________________．
角度2　直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边解题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
(2)通过对直线与圆、圆与圆的位置关系的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．
例5　(1)[2022·湖南师大附中测试]圆C：(x－2)2＋y2＝4, 直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为________；
(2)[2022湖南·长郡中学测试](多选)已知曲线C的方程为＝|x＋2y|，圆M：(x－5)2＋y2＝r2(r>0)，则(　　)
A．C表示一条直线
B．当r＝4时，C与圆M有3个公共点
C．当r＝2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4，＋∞)
角度3　与圆有关的最值问题
(1)与圆有关的最值问题包括：
①求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
②求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；
③已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解．
(2)通过对圆中最值问题的掌握，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
例6　(1)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，则的最大值________；最小值为________；
(2)[2022·湖南益阳模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，A(3，3)，点P在直线l：x－y＝2上运动，则|PA|＋|PO|的最小值为________．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝＝，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在的直线方程为y－0＝－3(x－1)，化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，
∴C(2，1)，∴kBC＝＝1，
∴边BC所在的直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
例2　解析：(1)由题意，得a＋2a－3＝0，所以a＝1.故选C.
(2)因为直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，
所以，
解得a＝－1.
答案：(1)C　(2)D
例3　解析：(1)当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.
解得k＝±－6，
∴y＝(±－6)x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
综上，所求直线方程为y＝(±－6)x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
解析：(2)当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，设所求直线的方程为＝1，即x－y－a＝0.
由题意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去)．
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
例4　解析：圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，令C(2m＋3，m)，半径为r，
∴圆C的方程为(x－2m－3)2＋(y－m)2＝r2，
又A(2，－3)，B(－2，－5)两点在圆C上，有
解得，有C(－1，－2)，所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
例5　解析：(1)圆心(2，0)到直线l1：y＝x的距离d＝＝，
则圆被直线l1截得的弦长＝2＝2＝2，
由题意可知圆被直线l2截得的弦长是4，
而圆的直径就是4，所以直线l2过圆心，
即2k－1＝0，解得：k＝.
解析：(2)由＝|x＋2y|，得x2＋y2＝|x＋2y|2＝x2＋4xy＋4y2，即y(4x＋3y)＝0，
则C表示两条直线，其方程分别为y＝0与4x＋3y＝0，所以A错误；
因为M(5，0)到直线4x＋3y＝0的距离d＝＝4，所以当r＝4时，直线4x＋3y＝0与圆M相切，易知直线y＝0与圆M相交，C与圆M有3个公共点，所以B正确；
当r＝2时，存在圆N，使得圆M内切于圆N，且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点，C与圆M的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；
当r＝5时，圆M与直线y＝0、 4x＋3y＝0交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误．
答案：(1)　(2)BC
例6　解析：(1)方法一　设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，
即|2－3k|≤，
平方得到8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为.
方法二　可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率．
令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，
此时＝1，解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
解析：(2)由于点A与点O在直线l：x－y＝2的同侧，
设点O关于直线l：x－y＝2的对称点为O′(x′，y′)，
∵kOO′＝－1，∴OO′所在直线方程为y＝－x，
联立，解得，即OO′的中点为(1，－1)，
∴O′(2，－2)，
则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝＝.
答案：(1)　(2)

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