资源简介

3．2.1　离散型随机变量及其分布
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　随机变量与离散型随机变量
1．随机变量：如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量 .随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示．
批注 　按照随机变量的特性，通常可把随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量．
2．离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以________出来，则称X为离散型随机变量 .
批注 　离散型随机变量可能取的值为有限个或至多可数个．
要点二　离散型随机变量的分布列
1．分布列的概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的的概率为p1，p2，…，pn，记P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，把上式或下表称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列 )．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
批注 　离散型随机变量的分布列有表格、图形和解析式三种不同的表示形式．
2.离散型分布列的性质
①pi≥________，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝________．
批注 　利用分布列的性质可以验证某个分布列是否为离散型随机变量的分布列．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　)
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　)
(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　)
2．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是(　　)
A.出现7点的次数
B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数
D.出现的点数大于2小于6的次数
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为(　　)
A.2　　　 B．4 C．6　　　 D．8
4．设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P p
则p的值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　离散型随机变量的判定
例1　(多选)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的是(　　)
A．某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量
B．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量
C．某网站未来1小时内的点击量
D．一天内的温度η
方法归纳
判断离散型随机变量的步骤
巩固训练1　下列随机变量中是离散型随机变量的为(　　)
A．某人早晨在车站等出租车的时间X
B．以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数X
D．沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置X
　用随机变量表示随机试验的结果
例2　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在含有10件次品的100件产品中任意抽取4件，所含次品的件数X；
(2)设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．
方法归纳
在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能漏掉某些试验结果．
巩固训练2　已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果．
　求离散型随机变量的分布列
例3　一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列．
方法归纳
求离散型随机变量分布列的一般步骤
巩固训练3　某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
　离散型随机变量分布列的性质及应用
例4　已知离散型随机变量X的分布列P(X＝) ＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P(方法归纳
离散型随机变量分布列的性质的三个应用
巩固训练4　
(1)设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________．
3．2.1　离散型随机变量及其分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
2．逐个列举
要点二
2．0　1
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，
∴出现7点的次数不能作为随机变量.
答案：A
3．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，
相应得分为300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答
这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个.
答案：B
4．解析：由离散型随机变量分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，所以p＝1－＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：A是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；B不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；C是，1小时内网站的访问次数可一一列出；D不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．
答案：AC
巩固训练1　解析：连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数，可能是1，2，3，…，是随机的，可以一一列出，是离散型随机变量．选项A，B，D中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
答案：C
例2　解析：(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
X＝i表示“取出的4件产品中有i件次品”，其中i＝0，1，2，3，4.
(2)ξ可能的取值为0，1，2，3，4，5，ξ＝k(k＝0，1，2，3，4)表示“在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下”；ξ＝5表示“在途中没有停下，直达目的地”．
巩固训练2　解析：X的取值范围是{6，11，15，21，25，30}．
其中，X＝6表示“抽到的是1元和5元”；
X＝11表示“抽到的是1元和10元”；
X＝15表示“抽到的是5元和10元”；
X＝21表示“抽到的是1元和20元”；
X＝25表示“抽到的是5元和20元”；
X＝30表示“抽到的是10元和20元”．
例3　解析：依题意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11.
则有P(η＝5)＝＝，
P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，
P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，
P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.
所以η的分布列为：
η 5 6 7 8 9 10 11
P
巩固训练3　解析：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，
则X的可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
例4　解析：(1)由题意得随机变量X的分布列如下表所示．
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＝.
(3)∵∴P＝P＋P＝＝.
巩固训练4　解析：(1)由条件知P(ξ＝k)＝，k＝5，6，…，16，P(ξ(2)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，
∴＝1，
即＝1，解得c＝，
∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝＝.
答案：(1)(5，6]　(2)第1课时　两点分布与二项分布
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　两点分布
如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝________，p∈(0，1)，则称随机变量X服从两点分布 ，记作X～B(1，p)．两点分布又称0 1分布．
批注 　两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.
要点二　二项分布
1．独立重复试验：一般地，在相同条件下进行n次重复 试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与，并且P(A)保持不变，各次试验的结果________，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验．
批注 　“重复”意味着各次试验成功的概率相同．
2．二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布：P(X＝k)＝pkqn－k， k＝0，1，…，n，其中q＝1－p.注意到pkqn－k正好是二项式(p＋q)n的展开式中的第(k＋1)项，故称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其中n，p为参数，p为事件发生的概率．
批注 　如果把p看成b，1－p看成a，则pk(1－q)n－k就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式的通项，由此才称为二项分布．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　)
(2)伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　)
(3)两点分布就是二项分布．(　　)
2．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2，则成功概率P(X＝1)＝(　　)
A．0.2　　　 B．0.4
C．0.6　　　 D．0.8
3．某试验每次成功的概率为p(0p3(1－p)7
p7(1－p)3
p4(1－p)6
p6(1－p)4
4．已知随机变量X～B(5，)，则P(X＝2)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　两点分布
例1　袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
方法归纳
1．两点分布的特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.
2．两点分布的适用范围
(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律．
(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．
如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究．巩固训练1　若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列．
　独立重复试验
例2　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率．
方法归纳
求n次独立重复试验概率的步骤
巩固训练2　某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球．
(1)求恰有4次命中的概率；
(2)求至多有4次命中的概率．
　二项分布
例3　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获奖的次数为X，求X的分布列．
方法归纳
二项分布中需要注意的问题
(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
巩固训练3　从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列．
第1课时　两点分布与二项分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1－p
要点二
1．相互独立
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：随机变量X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2，
根据两点分布概率性质可知：，
解得P(X＝1)＝0.6.
答案：C
3．解析：由题意可知，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功，所以所求概率为p3(1－p)7.
答案：A
4．解析：由题意知：P(X＝2)＝)2()3＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：由题设知X服从两点分布，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
所以X的分布列为
X 0 1
P
巩固训练1　解析：由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，
所以P(ξ＝1)＝，故P(ξ＝0)＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1
P
例2　解析：(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5重伯努利试验．
2次准确的概率P1＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05.
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率P2＝×0.8×0.24＝0.006 72.
所求概率为1－P2＝1－0.006 72≈0.99.
巩固训练2　解析：(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7，则未命中的概率为1－0.7＝0.3，
现投了6次球，恰有4次投中的概率为：P＝×(0.7)4×(1－0.7)2＝0.324 135.
(2)至多有4次投中的概率为：
P＝×0.74×0.32＝0.579 825.
例3　解析：(1)记事件A＝{甲、乙两箱中摸出球都是红球}，则P(A)＝＝.
即顾客抽奖1次能获奖的概率为；
(2)由题可知X～B，
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
巩固训练3　解析：由已知，有X～B，
可得P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P第2课时　超几何分布
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　超几何分布
一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，l，其中l＝min{M，n}，且M≤N，n≤N－M，n，M，N∈N＋，称分布列
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作________．
批注 　一定要注意公式中字母的范围及其意义，N—总体中的个体总数，M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)，n—样本容量，k—样本中的特殊个体数(如次品数)．求分布列时，可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)超几何分布的模型是有放回的抽样．(　　)
(2)二项分布与超几何分布是同一种分布．(　　)
(3)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.(　　)
2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A.N＝10，M＝4，n＝6 B．N＝10，M＝6，n＝4
C.N＝14，M＝10，n＝4 D．N＝14，M＝4，n＝10
3．盒中有4个白球、5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是(　　)
A.　　　B．　　　C．　　　D．
4．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语．现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　超几何分布的概念辨析
例1　盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．
(1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝9，M＝4，n＝4
B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4
D．N＝14，M＝5，n＝5
(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________；
(3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________．
方法归纳
超几何分布的三点说明
(1)超几何分布的模型是不放回抽样．
(2)超几何分布中的参数是M，N，n.
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
巩固训练1　
(1)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X
C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
(2)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X表示任选4个球中不是红球的个数，则X服从超几何分布，其参数N＝________，M＝________，n＝________．
　超几何分布的分布列
例2　共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列．
方法归纳
超几何分布的求解步骤
巩固训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
　超几何分布与二项分布的区别
例3　一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个．
(1)若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X的分布列；
(2)若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数Y的分布列．
方法归纳
超几何分布与二项分布的区别
超几何分布 二项分布
试验 不放回抽样 有放回抽样
总体个数 有限个 无限个
随机变量取值的概率 利用组合计算 利用相互独立事件计算
巩固训练3　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的分布列；
(2)放回抽样时，抽取次品数η的分布列．
第2课时　超几何分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
X～H(N，M，n)
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6.
答案：A
3．解析：p＝＝.
答案：C
4．解析：设选出的4人中，会说日语的人数为X，则X服从N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布．所以有两人会说日语的概率为P(X＝2)＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.
(2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3.
(3)P(Z＝2)＝＝.
答案：(1)A　(2)0，1，2，3　(3)
巩固训练1　解析：(1)由超几何分布的定义可知B正确．
(2)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.
答案：(1)B　(2)9　5　4
例2　解析：(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆．
记A为“从中任取3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色”，则P(A)＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以分布列为
X 0 1 2 3
P
巩固训练2　解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝；
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
例3　解析：(1)由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；P(X＝3)＝＝；
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
(2)由题意知：Y所有可能的取值为0，1，2，3，且Y～B(3，)，
∴P(Y＝0)＝(1－)3＝；P(Y＝1)＝＝；
P(Y＝2)＝×()2×(1－)＝；P(Y＝3)＝()3＝；
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
巩固训练3　解析：(1)由题意知随机变量ξ服从超几何分布，
∴P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2)，
∴P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)由题意，知每次取到次品的概率为＝，
∴η～B(3，)，
∴P(η＝0)＝)3＝，
P(η＝1)＝··＝，
P(η＝2)＝×()2·＝，
P(η＝3)＝×()3·＝，
∴随机变量η的分布列为
η 0 1 2 3
P3．2.3　离散型随机变量的数学期望
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　离散型随机变量的数学期望(均值)
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝______________为X的数学期望或均值 .
批注 　
(1)离散型随机变量的数学期望(均值)刻画了离散型随机变量的平均水平．
(2)数学期望(均值)是一个常数，在大量实验下，它总是稳定的，不具有随机性．
要点二　几类特殊分布的均值
类别 数学期望(均值)
两点分布X～B(1，p) E(X)＝________
二项分布X～B(n，p) E(X)＝________
超几何分布X～H(N，M，n) E(X)＝________
要点三　离散型随机变量的数学期望的性质
对于离散型随机变量X，若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(Y)＝aE(X)＋b .
批注 　当a＝0时，E(b)＝b，也就是说常数的数学期望是这个常数的本身；当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b；当b＝0时，E(aX)＝aE(X)．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　)
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(　　)
(3)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同.(　　)
2．若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
p
则E(X)＝(　　)
A.0 B．－1C.－ D．－
3．若随机变量X～B(6，)，则数学期望E(X)＝(　　)
A.6 B．3C. D．
4．已知随机变量ξ的期望为15，则E(3ξ＋5)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　离散型随机变量的期望
例1　甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望．
方法归纳
求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤
巩固训练1　为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6.乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的，(小李上下班各计一次单程)．
(1)求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；
(2)求X的分布和数学期望E(X)．
　几个常用分布的数学期望
例2　某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望．
方法归纳
求二项分布与超几何分布的数学期望的方法
巩固训练2　一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为ξ，则随机变量ξ的期望为________．
　离散型随机变量数学期望的性质
例3　某城市出租车的起步价为10元，即行驶路程不超出4 km时，费用为10元；若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km，某司机经常驾车在民航机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1 km路程计费，不足5 min的部分不计费)，这个司机在一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量，设他所收费用η.
(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；
(2)若随机变量ξ的分布列为
ξ 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
求所收费用η的数学期望．
方法归纳
利用离散型随机变量的性质求数学期望的策略
1．若题目给出随机变量Y与X的关系Y＝aX＋b，a，b为常数，直接利用E(Y)＝aE(X)＋b求解
2．若题目未给出随机变量Y与X的关系，可根据题意列出Y与X的关系Y＝aX＋b，再利用E(Y)＝aE(X)＋b求解
巩固训练3　已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P
若Y＝2X－3，求E(Y)．
3.2.3　离散型随机变量的数学期望
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
要点二
p　np　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
答案：C
3．解析：随机变量X～B(6，)，则数学期望E(X)＝6×＝3.
答案：B
4．解析：因为随机变量ξ的期望为15，
所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.
答案：50
题型探究·课堂解透
例1　解析：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝；
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
巩固训练1　解析：(1)在一个工作日内上下班出行费用为4元，即乘坐公共交通和骑共享单车各一次，
故其概率为P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48.
(2)依题意，X可能的取值是2，4，6，
P(X＝2)＝0.6×0.6＝0.36；
P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48；
P(X＝6)＝0.4×0.4＝0.16.
因此X的分布列为
X 2 4 6
P 0.36 0.48 0.16
由此可知，X的数学期望为E(X)＝2×0.36＋4×0.48＋6×0.16＝3.6.
例2　解析：设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是{0，1，2，3}．
P(η＝0)＝×()3＝，
P(η＝1)＝×()1×()2＝，
P(η＝2)＝×()2×()＝，
P(η＝3)＝×()3＝.
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
η 0 1 2 3
P
方法一　∴E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
方法二　∵η～B(3，)
∴E(η)＝3×＝2
巩固训练2　解析：方法一　由题知，ξ的所有取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
方法二　由题意知ξ～H(6，2，3)，所以E(ξ)＝＝1.
答案：1
例3　解析：(1)由题意，得η＝10＋2(ξ－4)，
即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.
(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.
因为η＝2ξ＋2，
所以E(η)＝2E(ξ)＋2＝2×16.4＋2＝34.8.
故所收费用η的数学期望为34.8元．
巩固训练3　解析：E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－.3.2.4　离散型随机变量的方差
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　方差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
由数学期望的公式可知D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝______________．
则称D(X)为随机变量X的方差，并称 为X的标准差 .通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差.
批注 　随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散；反之，越小，X的取值越集中在E(X)附近．
要点二　几个特殊分布的期望与方差
分布 数学期望(均值) 方差
两点分布X～B(1，p) E(X)＝p D(X)＝________
二项分布X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝________
要点三　几个常用公式
若Y＝aX＋b，a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝________，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(X＋b)＝D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)
批注 　离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变；若离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．(　　)
(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)
(3)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．(　　)
2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则D(ξ)＝(　　)
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 0.5
A.0.95 B．3.2C.0.7 D．3.56
3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(　　)
A.0.25；0.5 B．0.5；0.75
C.0.5；0.25 D．1；0.75
4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差σ(X)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　方差、标准差的概念及性质
例1　已知X的分布列如表：
X －1 0 1
P a
(1)计算X的方差及标准差；
(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
方法归纳
对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
巩固训练1　已知η的分布列为：
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
　几类特殊的分布
例2　已知某运动员投篮命中率P＝0.6.
(1)求一次投篮中命中次数X的期望与方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的期望与方差．
方法归纳
求几类特殊分布的方差的步骤
巩固训练2　甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25.设随机变量X表示译出密码的人数，求期望，方差和标准差．
　方差的实际应用问题
例3　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
方法归纳
利用期望与方差的意义分析解决实际问题的策略
巩固训练3　有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙：
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
试分析两名学生的成绩水平．
3．2.4　离散型随机变量的方差
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(x1－E(x))2p1＋(x2－E(x))2p2＋…＋(xn－E(x))2pn
要点二
p(1－p)　 np(1－p)
要点三
(1)0
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由题意，得E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.
答案：D
3．解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.
答案：C
4．解析：ξ的标准差σ(X)＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：由分布列的性质，知＋a＝1，故a＝.
所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
(1)X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，
＝.
(2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
巩固训练1　解析：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))
＝22D(η)＝4×384＝1 536.
例2　解析：(1)方法一　投篮一次命中次数X的分布列为
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
方法二　X服从两点分布，
∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.24.
(2)由题意可知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故由二项分布期望与方差的计算公式有
E(Y)＝5×0.6＝3，D(Y)＝5×0.6×0.4＝1.2.
巩固训练2　解析：依题意X～B(3，)，
所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3×＝，
标准差为＝.
例3　解析：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
因为E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又因为D(ξ)所以甲的射击技术好，故应选甲．
巩固训练3　解析：因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，
即E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定．3．3　正态分布
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　正态曲线与正态分布
函数p(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0，μ∈R)为参数，p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 .此时我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～________．
批注 　概率密度曲线能反映随机变量X的取值规律以及它取值在某个区间的概率，它所起到的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的．
要点二　正态分布密度曲线的特点
1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
2．曲线是单峰的，它关于直线________对称；
3．p(x)在________处达到最大值；
4．当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
5．σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；
6．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于________．
要点三　正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2) ，则E(X)＝________， D(X)＝________．
批注 　特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布为标准正态分布．
要点四　正态变量在三个特殊区间内取值的概率
1．P(μ－σ2．P(μ－2σ3．P(μ－3σ批注 　在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为原则．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　)
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　)
(3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　)
2．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X<4)等于(　　)
A． B．C． D．
3．如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为(　　)
A．①②③ B．③②①
C．②③① D．①③②
4．已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，则μ＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　正态曲线的应用
例1　已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式；
(2)求出总体随机变量的期望与方差．
方法归纳
正态密度函数解析式的求法
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．
巩固训练1　(多选)某市高二期末质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是(　　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数相同
　正态分布的概率计算
例2　设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
方法归纳
正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
巩固训练2　在某次测验中，测验结果ξ服从正态分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，则P(70<ξ<90)＝________．
　正态分布在实际生活中的应用
例3　某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)：
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ与σ；
(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X，求E(4X＋3)；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99.
方法归纳
正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
巩固训练3　在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．
(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？
附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.
3．3　正态分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
N(μ，σ2)
要点二
2．x＝μ
3．x＝μ
6．1
要点三
μ　σ2
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：因为X～N(4，σ2)，所以直线X＝4为正态分布的对称轴，所以P(X<4)＝.
答案：D
3．解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，
因为当σ较小时，峰值高，正态曲线尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为①，②，③.
答案：A
4．解析：因为P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝8 000对称，最大值为，
所以μ＝8 000，
由＝，解得σ＝500，
所以概率密度函数的解析式为P(x)＝＝，x∈(－∞，＋∞)，
(2)则总体随机变量的均值为8 000，方差为250 000.
巩固训练1　解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
答案：AD
例2　解析：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)
＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
巩固训练2　解析：因为ξ服从正态分布N(80，σ2)，所以P(ξ<80)＝0.5，
所以P(70<ξ<90)＝2[P(ξ<90)－P(ξ<80)]
＝2[1－P(ξ>90)－P(ξ<80)]
＝2(1－0.2－0.5)
＝0.6.
答案：0.6
例3　解析：(1)μ＝(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6.
(2)①∵Z服从正态分布N(105，36)，
∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－＝0.001 35，则X～B(5，0.001 35)，
∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.001 35＋3＝3.027.
②∵Z服从正态分布N(105，36)，
∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，
∴5个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率为×(1－0.997 3)＝0.013 355，
∵86 [87，123]，∴试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，
出现的频率是0.013 355的15倍左右，根据3σ原则，需要进一步调试．
巩固训练3　解析：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则
P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(5016÷0.022 5≈711(人)．
因此，此次参赛学生的总数约为711.
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60得711×0.158 5≈113(人)．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人．章末复习课
知识网络·形成体系
考点聚焦·分类突破　
考点一　条件概率
1．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.
2．通过对条件概率的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．
例1　(1)某高中二年一班有50名学生，其中男生30人，通过问卷调查得知，30%的男生和10%的女生曾经玩过王者荣耀手机游戏，现随机选取一名学生，此学生恰好玩过王者荣耀，则该学生是男生的概率为(　　)
A． B．C． D．
(2)一个袋子里面装有白球4个，黑球3个，所有的球除颜色外完全相同，每次从袋子中随机摸出1个球不再放回，在前两次都摸出白球的条件下，第三次摸出黑球的概率是________．
考点二　相互独立事件的概率
1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
2．通过对相互独立事件概率公式应用的考查，提升学生的数学抽象、逻辑推理核心素养．
例2　某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目．据预测，三个项目成功的概率分别为，且三个项目是否成功相互独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
考点三　全概率公式
1．解决全概率公式的问题，首先把所求概率的事件分解为若干个互斥事件的和，然后利用全概率公式计算．
2．通过对全概率公式应用的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．
例3　“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1 000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”．
(1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率．
考点四　常用分布
1．二项分布与超几何分布是高中阶段主要学习的两种分布，由于这两种分布在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查较灵活，常与期望、方差融合在一起．
2．通过对二项分布与超几何分布的考查，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养．
例4　某高中设计了一个生物实验考查方案：考生从5道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过，已知5道备选题中考生甲有3道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望．
考点五　离散型随机变量的数学期望和方差在决策中的作用
1.方差是建立在数学期望这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．
2．通过对离散型随机变量的数学期望和方差在决策中的作用的考查，提升学生的数学运算、逻辑推理、数据分析核心素养．
例5　某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．根据过去50周的资料显示，该基地周光照量X(h)都在30 h以上，其中不足50 h的有5周，不低于50 h且不超过70 h的有35周，超过70 h的有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
周光照量X/h 3070
光照控制仪运行台数 3 2 1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．以频率作为概率，商家欲使周总利润的期望达到最大，应安装光照控制仪多少台？
考点六　正态分布
1．正态分布在实际生产生活中有广泛的应用，在解题中注意求准正态分布中的参数μ，σ，熟练掌握随机变量在三个区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率．
2．通过对正态分布的考查，提升学生的数学运算、直观想象、数据分析核心素养．
例6　某市2022年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率)．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，并已求得σ＝11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
(1)该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
(2)已知每瓶消毒液的等级与售价X(单位：元/瓶)的关系如下表所示：
等级 A B C
售价X 30 25 10
假定该厂一年消毒液的生产量为1 000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)由题可知曾经玩过王者荣耀手机游戏的男生有9人，曾经玩过王者荣耀手机游戏的女生有2人，
设事件A为选到的学生玩过王者荣耀，事件B为选到的学生为男生，则
P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
(2)记前两次摸到的白球为事件A，第三次摸到黑球为事件B，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分别是事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
恰有两个项目成功为事件M，
则P(M)＝P(AB＋AC＋BC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)
＝×(1－)＋×(1－)×＋(1－)×＝；
(2)记至少有一个项目成功为事件N，
P(N)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－＝.
例3　解析：(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为
＝12，
所以这2个“青团”馅不同的概率为P＝＝.
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”，
事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”，
事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”，
事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”，
则B1，B2，B3彼此互斥．
P(B1)＝＝＝，P(B2)＝＝＝，P(B3)＝＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋
P(B3)P(A|B3)＝＝，
所以取出的这个“青团”是蛋黄馅的概率为.
例4　解析：设甲、乙两考生正确完成题数分别为X，Y，则X＝1，2，3，Y＝0，1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则甲考生正确完成题数的概率分布列为
X 1 2 3
P
数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝；
易得Y～B(3，)，P(Y＝0)＝()3＝，P(Y＝1)＝··()2＝，P(Y＝2)＝·()2·＝，P(Y＝3)＝()3＝，
则乙考生正确完成题数的概率分布列为
Y 0 1 2 3
P
数学期望E(Y)＝3×＝.
例5　解析：记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．
(1)安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元．
(2)安装2台光照控制仪的情形：
当X>70时，只有1台光照控制仪运行，
此时周总利润Y＝3 000－1 000＝2 000(元)，
P(Y＝2 000)＝＝0.2.
当30此时周总利润Y＝2×3 000＝6 000(元)，
P(Y＝6 000)＝＝0.8.
故Y的分布列为
Y 2 000 6 000
P 0.2 0.8
∴E(Y)＝2 000×0.2＋6 000×0.8＝5 200(元)．
(3)安装3台光照控制仪的情形：
当X>70时，只有1台光照控制仪运行，
此时周总利润
Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000(元)，
P(Y＝1 000)＝＝0.2.
当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，
此时周总利润
Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000(元)，
P(Y＝5 000)＝＝0.7.
当30周总利润Y＝3×3 000＝9 000(元)，
P(Y＝9 000)＝＝0.1.
故Y的分布列为
Y 1 000 5 000 9 000
P 0.2 0.7 0.1
∴E(Y)＝1 000×0.2＋5 000×0.7＋9 000×0.1＝4 600(元)．
综上可知，为使商家周总利润的期望达到最大，应该安装2台光照控制仪．
例6　解析：(1)根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为＝(5×0.01＋15×0.02＋25×0.03＋35×0.025＋45×0.015)×10＝26.5，
由题意，甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(26.5，11.952)，
所以P(14.55＝[P(μ－3σ又由0.840 0×100 000＝84 000，
所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有84 000瓶．
(2)设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，－10，
可得P(Y＝10)＝P(Z≥62.35)＝P(Z≥μ＋3σ)＝[1－P(μ－3σ＝(1－0.997 3)＝0.001 35，
P(Y＝5)＝P(14.55所以P(Y＝－10)＝1－0.001 35－0.840 0＝0.158 65，
故Y的分布列为
Y 10 5 －10
P 0.001 35 0.840 0 0.158 65
所以每瓶消毒液的平均利润为E(Y)＝10×0.001 35＋5×0.840 0＋(－10)×0.158 65＝2.627 0(元)，
故生产一年消毒液所获利润为2.627 0×1＝2.627 0(千万元)，
而2.627 0(千万元)>2(千万元)，
所以该厂能在一年之内收回投资．

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