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3．1.1　椭圆的标准方程
最新课程标准
(1)掌握椭圆的定义及其应用．
(2)掌握椭圆的标准方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　椭圆的定义
平面上到两个定点F1，F2的________________________为常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的________．
用集合语言描述椭圆的定义：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}．
要点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 ________________ __________________
a，b，c的关系 ____________________________
批注 　(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
批注 　椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．(　　)
(4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　　)
2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　 B．5 C．8　　　 D．10
3．椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则(　　)
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
5．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是____________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　椭圆的定义的应用
例1　已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
方法归纳
应用椭圆定义的两个技巧
巩固训练1　已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在椭圆上＝0，则△PF1F2的面积是(　　)
A．3 B．6
C．2 D．2
题型2　椭圆方程的判断
例2　(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
方法归纳
用分类讨论的数学思想，结合直线、圆、椭圆的特征，逐一验证．
巩固训练2　[2022湖南嘉禾一中测试]已知方程＝1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为(　　)
A．(3，4) B．(2，3)
C．(2，3)
题型3　求椭圆的标准方程
例3　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
方法归纳
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
巩固训练3　(1)已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为8，且2a＝10，则该椭圆的标准方程是(　　)
A．＝1
B．＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
(2)已知椭圆的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且经过(，－)，则椭圆的方程为____________．
题型4　椭圆中的焦点三角形问题(数学探究)
例4　已知点P是椭圆＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
方法归纳
1．椭圆中的焦点三角形：椭圆上的一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解决椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
2．若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则＝b2tan .
巩固训练4　已知椭圆＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
易错辨析　忽略椭圆焦点位置的讨论致错
例5　已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
综上可知，实数m的值为4或.
答案：4或
【易错警示】
出错原因 纠错心得
易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解． 涉及椭圆的标准方程的问题，如果没有明确地指出椭圆焦点的位置，一般都要分两种可能的情况进行讨论，不能想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解．
第3章　圆锥曲线与方程
3．1　椭圆
3．1.1　椭圆的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
距离之和　焦距
要点二
F1(－c，0)，F2(c，0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　a2＝b2＋c2
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.
答案：D
3．解析：由题设方程可知椭圆焦点在x轴上且c＝＝，
∴焦点坐标为(±，0)．
答案：B
4．解析：方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0.
答案：A
5．解析：由题意可知椭圆的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3，又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得2a＝10，即a＝5，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16，
当焦点可以在x轴上时，椭圆的方程为＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＝1.
答案：＝1或＝1
题型探究·课堂解透
例1　解析：由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
答案：C
巩固训练1　解析：因为＝0＝0，
所以，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
则(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
由椭圆的定义可得：(2a)2－2|PF1||PF2|＝(2c)2，
所以|PF1|·|PF2|＝2a2－2c2＝2b2＝6，
所以＝|PF1|·|PF2|＝3.
答案：A
例2　解析：对于A，若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为＝1，因为m＞n＞0，所以＜，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确，B错误；
对于C，若m＝n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；
对于D，若m＝0，n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
答案：AD
巩固训练2　解析：因为方程＝1表示一个焦点在y轴上的椭圆，
所以有解得2＜m＜3，
所以实数m的取值范围为2＜m＜3.
答案：B
例3　解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
又c＝4，2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.
于是所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)方法一　①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
由已知，得 ，
即所求椭圆的标准方程是＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
由已知，得
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＝1.
方法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故
即所求椭圆的标准方程是＝1.
(3)由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆方程为＝1(λ>0)，
将x＝2，y＝代入，得＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
巩固训练3　解析：(1)椭圆的焦距为8，且2a＝10，
∴a＝5，c＝4，则b＝＝3，
∴椭圆方程为＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，依题意得c＝2，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝2，
∴a＝，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆的标准方程为＝1.
答案：(1)A　(2)＝1
例4　解析：由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
巩固训练4　解析：由＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|　①，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4　②，
联立①②可得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝.
答案：3．1.2　椭圆的简单几何性质
最新课程
(1)掌握椭圆的几何性质．
(2)会求椭圆的离心率以及判断直线与椭圆的位置关系．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　椭圆的简单几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
范围 ____≤x≤____，____≤y≤____ ____≤y≤____，____≤x≤____
对称性 关于____轴、____轴对称，关于原点对称
顶点坐标 A1______，A2____，B1____，B2____ A1____，A2____，B1____，B2____
轴长 长轴长|A1A2|＝____，短轴长|B1B2|＝____
离心率 e＝(0批注 　离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　)
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)
(3)椭圆＝1的离心率e＝.(　　)
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±)．(　　)
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
3．椭圆＝1的短轴长为(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
4．下列四个椭圆中，形状最扁的是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1　焦点在x轴上的椭圆的方程为＝1，点P(，1)在椭圆上．
(1)求m的值；
(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．
方法归纳
在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合．
巩固训练1　求椭圆x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
题型2　根据椭圆几何性质求其标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
方法归纳
已知椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤
巩固训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________；
(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________.
题型3　求椭圆的离心率
例3　(1)[2022·湖南株洲测试]如图为学生做手工时画的椭圆C1、C2、C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1、e2、e3，则(　　)
A．e1＝e2＜e3 B．e2＝e3＜e1
C．e1＝e2＞e3 D．e2＝e3＞e1
(2)已知椭圆C的中心为O，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，右顶点为B，且|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列，则椭圆C的离心率为________.
方法归纳
求椭圆离心率(或范围)的2种常用方法
巩固训练3　(1)[2022·湖南常德市淮阳中学测试]已知椭圆C：＝1(a＞0)的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知F是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，若△POF为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
题型4　直线与椭圆的位置关系
例4　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
方法归纳
直线与椭圆位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0，椭圆C：F(x，y)＝0，
由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
Δ＞0 直线l与椭圆C有两个公共点；
Δ＝0 直线l与椭圆C有一个公共点；
Δ＜0 直线l与椭圆C没有公共点．
巩固训练4　(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
(2)判断直线y＝2x－2与椭圆＝1是否有公共点，如有，求出公共点的坐标．
易错辨析　忽视隐含条件致错
例5　若直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)
答案：[1，5)
【易错警示】
出错原因 纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞)． 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况．
3．1.2　椭圆的简单几何性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
－a　a　－b　b　－a　a　－b　b　x　y　(－a，0)　(a，0)　(0，－b)　(0，b)　(0，－a)　(0，a)　(－b，0)　(b，0)　2a　2b
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
答案：D
3．解析：b2＝16，所以b＝4，所以短轴长为2b＝8.
答案：B
4．解析：由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足＜＜＜，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆＝1的离心率最大，故其形状最扁．
答案：A
5．解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆方程是＝1.
答案：＝1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上，代入，
得＝1，解得m＝2.
(2)由(1)知，椭圆方程为＝1，则a＝2，b＝，c＝，
椭圆的长轴长2a＝4；
短轴长2b＝2；
焦距2c＝2；
离心率e＝＝.
巩固训练1　解析：因为椭圆x2＋9y2＝36的标准方程为＝1，所以a＝6，b＝2，c＝＝4，
故长轴长为12，短轴长为4，焦点坐标为(4，0)，(－4，0)、顶点坐标为(6，0)，(－6，0)，(0，2)，(0，－2)和离心率为.
例2　解析：(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，
由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，
∴c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＝1.
解析：(3)方法一　由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＝1或＝1.
方法二　设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.
巩固训练2　解析：(1)由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)由2a＝18，得a＝9.
又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
解析：(3)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＝1或＝1.
答案：(1)B　(2)＝1　(3)＝1或＝1
例3　解析：(1)由图知椭圆C1的半长轴和半短轴分别为a＝2，b＝1.5，
椭圆C2的半长轴和半短轴分别为a＝4，b＝2，
椭圆C3的半长轴和半短轴分别为a＝6，b＝3，
所以e1＝＝＝＝＝，
e2＝＝＝ ＝ ＝，
e3＝＝＝ ＝ ＝，
所以e2＝e3＞e1.
(2)设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，
则|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，
由题设可得b2＝ac及b2＝a2－c2可得c2＋ac－a2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝，而e∈(0，1)，
所以椭圆的离心率为e＝.
答案：(1)D　(2)
巩固训练3　解析：(1)根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，
所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，
所以椭圆C的离心率为e＝＝.
(2)根据题意，取点P为第一象限的点，过点P作OF的垂线，垂足为H，如图所示：
因为△OPF为等边三角形，又F(c，0)，
故可得|OH|＝cos 60°×c＝，|PH|＝sin 60°×c＝c，
则点P的坐标为(c)，代入椭圆方程可得：＝1，
又b2＝a2－c2，整理得：e2＋＝4，
即e2＝4－2，解得e＝1－(舍)或e＝－1.
答案：(1)C　(2)－1
例4　解析：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．综上可得
当－3＜m＜3时，直线l与椭圆有两个公共点；
当m＝－3或m＝3时，直线l与椭圆有一个公共点；
当m＜－3或m＞3时，直线l与椭圆没有公共点．
巩固训练4　解析：(1)把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程组，
解方程组可得或，
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为(0，－2)，()．
答案：(1)C　(2)见解析3.2　双曲线
3．2.1　双曲线的标准方程
最新课程标准
(1)掌握双曲线的定义及其应用．
(2)掌握双曲线的标准方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　双曲线的定义
平面上到两个定点F1，F2的__________________________为正常数(小于|F1F2| )点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的________．
用集合语言描述双曲线的定义：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|}．
要点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1______，F2______ F1______，F2______
a，b，c的关系 c2＝________
批注 　若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
批注 　焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(　　)
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(　　)
(4)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．(　　)
2．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C.两条射线 D．一条射线
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.＝1
B.＝1
C.＝1或＝1
D.＝0或＝0
4．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A.(±，0) B．(0，±2)
C.(0，±) D．(±2，0)
5．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　双曲线定义的应用
例1　(1)[2022·湖南怀化测试]已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≤－)
B．＝1(x≥)
C．＝1
D．＝1
(2)设点P在双曲线＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　)
A．22 B．16
C．14 D．12
方法归纳
应用双曲线定义的3种策略
巩固训练1　(1)已知在△ABC中，C(－2，0)，B(2，0)，sin B－sin C＝sin A，则顶点A的轨迹方程为________；
(2)已知F1，F2为双曲线＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，满足|PF1|＝2|PF2|，求△PF1F2的面积为________．
题型2　双曲线方程的判断
例2　(1)(多选)设θ∈(－，0)，π)，则关于x，y的方程＝1所表示的曲线可能是(　　)
A.焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
(2)已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2方法归纳
1．判断双曲线的类型首先要将方程化为标准方程．
2．若方程为＝1(mn≠0)，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若，则双曲线的焦点在y轴上．
巩固训练2　(1)(多选)关于x，y的方程＝1(其中m2≠6)表示的曲线可能是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线
B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．长轴长为4的椭圆
(2)若方程＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 　D．k>－2
题型3　求双曲线的标准方程
例3　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
方法归纳
求双曲线标准方程的2种方法
巩固训练3　(1)已知双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2022·湖南石门测试]与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2，1)的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．x2－＝1
题型4　双曲线中的焦点三角形问题(数学探究)
例4　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
方法归纳
求双曲线中的焦点三角形面积的步骤
巩固训练4　如图，已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝＝12，则双曲线的标准方程为________．
易错辨析　忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值致错
例5　若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝13或1，
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去．
答案：13
【易错警示】
出错原因 纠错心得
由双曲线定义求得错解|PF2|＝1或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a＝2. 利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时，若有两解，一定要检验解是否满足|PF|≥c－a.
3．2　双曲线
3．2.1　双曲线的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
距离之差的绝对值　焦距
要点二
(－c，0)　(c，0)　(0，－c)　(0，c)　a2＋b2
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
答案：D
3．解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
答案：C
4．解析：由双曲线的标准方程－y2＝1知，a2＝3，b2＝1，c2＝3＋1＝4，则c＝±2.
因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±2，0)．
答案：D
5．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.
答案：22或2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设动圆M的半径为r，又圆C1与圆C2的半径均为，
则由已知得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又点C1(－4，0)，C2(4，0)，
则|C1C2|＝8，所以2＜|C1C2|，
根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
于是点M的轨迹方程为＝1(x≥)．
解析：(2)由题意知|F1F2|＝2＝10，由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，
∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为：3＋9＋10＝22.
答案：(1)B　(2)A
巩固训练1　解析：(1)由正弦定理及sin B－sin C＝sin A，得|AC|－|AB|＝|BC|<|BC|，
由双曲线的定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3，
∴顶点A的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
(2)由题意得|PF1|＝2|PF2|，
又|PF1|－|PF2|＝4，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝4，又|F1F2|＝4，
∴|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
∴∠F1F2P＝，
＝·|PF2|·|F1F2|＝×4×4＝8.
答案：(1)x2－＝1(x>1)　(2)8
例2　解析：(1)当θ∈(－，0)时，sin θ<0，cos θ>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确．
当θ∈(，π)时，sin θ>0，cos θ<0，则方程表示的曲线是在x轴上的双曲线，B正确．
(2)∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即或
解得k>5或－2答案：(1)AB　(2)B
巩固训练2　解析：(1)m2＋2－(6－m2)＝2(m2－2)，
当m＝±时，m2＋2＝6－m2＝4，此时＝1表示圆，故B正确．
当－＜m＜，则6－m2＞m2＋2＞0，
故＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
若此时长轴长为4，则6－m2＝8即m2＝－2，矛盾，故D错误．
若m＜－或m＞，则6－m2＜0，
故＝1表示焦点在x轴上的双曲线，故A错误，C正确．
若－＜m＜－或＜m＜，则m2＋2＞6－m2＞0，
故方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
若长轴长为4，则m2＋2＝8即m＝±，矛盾，故D错误．
解析：(2)由题意知解得－3答案：(1)BC　(2)A
例3　解析：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为＝1.
(2)方法一　∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　①
∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1.　②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1.
方法二　设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为＝1.
解析：(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为＝1.
巩固训练3　解析：(1)因为双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，所以c＝5，a＝3；
∴b2＝c2－a2＝16.
∴该双曲线的标准方程是＝1.
(2)由椭圆方程可得焦点坐标为(±，0)，设与其共焦点的双曲线方程为＝1(0＜m＜3)，
双曲线过点Q(2，1)，则＝1，整理可得m2－8m＋12＝0，
结合0＜m＜3可得m＝2，则双曲线方程为－y2＝1.
答案：(1)A　(2)A
例4　解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝4，
在△F1PF2中，由余弦定理，
cos ∠F1PF2＝
＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
答案：2
巩固训练4　解析：由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝
＝＝，
整理得|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，
所以＝|PF1||PF2|sin 60°＝2b2·＝b2，
因为＝12，可得b2＝12，解得b2＝12，
又由c＝2a，且c2＝a2＋b2，可得a2＝4，
所以双曲线的标准方程为＝1.
答案：＝13．2.2　双曲线的简单几何性质
最新课程标准
(1)掌握双曲线的简单几何性质．
(2)掌握双曲线的渐近线及离心率的意义．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：________；对称中心：________
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：________；虚轴：线段B1B2，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
批注 　双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．
批注 　由于＝＝＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．
批注 　双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　)
(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)
(4)离心率e越大，双曲线＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(　　)
2．双曲线－x2＝1的实轴长为(　　)
A．2 B．4
C． D．
3．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1或＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
4．双曲线－y2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
5．双曲线9y2－16x2＝144的离心率e＝________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　由双曲线的方程研究双曲线的性质
例1　求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
方法归纳
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
巩固训练1　[2022·河北石家庄测试](多选)已知双曲线方程为x2－＝1，则下列叙述正确的是(　　)
A．焦点F(±1，0)
B．渐近线方程：y＝±x
C．离心率为
D．实轴长为2
题型2　由双曲线的几何性质求其标准方程
例2　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程；
(3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线的标准方程．
方法归纳
用待定系数法求双曲线标准方程的4种方法
巩固训练2　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．
题型3　求双曲线的离心率
例3　(1)[2022·湖南雅礼中学测试]已知双曲线＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为(　　)
A．　 B．2　　C．或2　 D．
(2)[2022·湖南长沙一中测试]已知F1，F2是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点N在双曲线上，则双曲线C的离心率为(　　)
A.4＋2 B．－1
C．D．＋1
方法归纳
求双曲线离心率的2种常用方法
巩固训练3　(1)[2022·湖南岳阳一中测试]已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　 B． C．　　 D．
(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
题型4　直线与双曲线的位置关系
例4　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
方法归纳
直线与双曲线位置关系的判断方法
巩固训练4　直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．
易错辨析　　忽略对焦点所在轴的讨论致误
例5　已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1.
【易错警示】
出错原因 纠错心得
误认为焦点一定在x轴上，得到答案：＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况． 当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.
3．2.2　双曲线的简单几何性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
坐标轴　原点　　2a　　2b　a　b
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由题知a2＝4，∴双曲线的实轴长为2a＝4.
答案：B
3．解析：由题意知2a＝2，2b＝4，
∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，
又双曲线的焦点位置不确定，故选D.
答案：D
4．解析：由双曲线方程得a＝，b＝1，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.故选B.
答案：B
5．解析：双曲线9y2－16x2＝144可化为＝1.
∴a2＝16，b2＝9，
∴离心率为：e＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：双曲线方程可化为－x2＝1，
则双曲线焦点在y轴上，a2＝，b2＝1，∴c2＝＋1＝，
∴a＝，b＝1，c＝，
∴顶点坐标为(0，±)；焦点坐标为(0，±)；实轴长为2a＝；虚轴长为2b＝2；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.
巩固训练1　解析：由题意，双曲线x2－＝1，可得a＝1，b＝，则c＝＝，
所以双曲线的焦点坐标为F(±，0)，所以A不正确；
渐近线方程为y＝±x＝±x，所以B正确；
离心率为e＝＝，所以C不正确；
实轴长为2a＝2，所以D正确．
答案：BD
例2　解析：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意知＝.
又∵双曲线过点P(，2)，∴＝1，
依题意可得解得
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)双曲线＝1的焦点为(±2，0)，
可设所求双曲线的方程为
＝1(a，b＞0)，
由题意可得c＝2，即a2＋b2＝20，
将点(3，2)代入双曲线方程可得，
＝1，
解得a2＝12，b2＝8，
即有所求双曲线的方程为
＝1.
解析：(3)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为＝1，由渐近线方程为y＝±x得＝，2c＝10，
由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.
∴双曲线方程为＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为＝1.
即所求双曲线方程为＝1或＝1.
方法二　由渐近线方程为y＝±x可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即＝1.
由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.
∴所求双曲线方程为＝1或＝1.
巩固训练2　解析：(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
(2)由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，
∴＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为＝1.
答案：(1)D　(2)＝1
例3　解析：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，因两条渐近线的夹角为，
于是得直线y＝x的倾斜角是或，即＝tan 或＝tan ，解得a＝或，而a＞，则a＝，
又b＝，则有c＝2，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)依题意知，若双曲线焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴|F1F2|＝2c，则△MF1F2的高为c，即M(0，c)，
∴N(－c)，代入双曲线方程：＝1，整理得b2c2－3a2c2＝4a2b2，
∵b2＝c2－a2，
∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，两边同除以a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±2，
∵e＞1，∴e＝＋1.
答案：(1)A　(2)D
巩固训练3　解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以(－)×＝－4，即a＝2b，
所以c＝b，所以e＝＝.
(2)不妨设焦点F(c，0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1(斜率为－的直线显然不符合)，即b2＝ac.
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
答案：(1)A　(2)
例4　解析：由，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.　①
(1)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．
∴，解得－＜k＜且k≠±1，故k的取值范围为(－，－1))．
(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2＝0即k＝±1时，①式方程只有一解；
当解得k＝±，
故k的值为±1或±.
解析：(3)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴解得k＞或k＜－.
则k的取值范围为(－∞，－，＋∞)．
巩固训练4　解析：联立方程组
得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，
则
解得－2答案：(－2，－)3．3.1　抛物线的标准方程
最新课程标准
(1)掌握抛物线的定义及其标准方程．
(2)会由抛物线方程求焦点坐标和标准方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l) ________的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的________．
要点二　抛物线的标准方程
图象
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦点坐标 __________ __________ __________ __________
准线方程 __________ __________ __________ __________
批注 　注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
批注 　焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　)
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　　)
2．抛物线y2＝－x的焦点坐标是(　　)
A．(0，－) B．(0，－)
C．(－，0) D．(－，0)
3．抛物线x2＝y的焦点坐标为(　　)
A．(0，) B．(，0)
C．(0，) D．(，0)
4．若点(－1，2)在抛物线x＝ay2上，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝2
5．焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程为________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　求抛物线的标准方程
例1　(1)[2022·湖南长郡中学测试]M(4，t)是抛物线y2＝2px上一点，若点M到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是(　　)
A．x＝－2 B．x＝－1
C．y＝－2 D．y＝－1
(2)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
(3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________．
方法归纳
求抛物线标准方程的2种常用方法
巩固训练1　(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)顶点在原点，焦点在坐标轴上，以直线y＝－1为准线的抛物线方程是________．
题型2　抛物线定义的应用
例2　(1)[2022·湖南衡阳测试]设点An(n，)(n∈N＋)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，F是焦点，则|A1F|＋|A2F|＋…＋|A20F|＝(　　)
A．214　　 B．215 C．228　　 D．230
(2)已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
方法归纳
灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
巩固训练2　(1)[2022·湖南永州测试]已知点A(4，y0)在抛物线C：y2＝8x上，F为抛物线的焦点，则|AF|＝(　　)
A．2　　　B．4 C．6　　　D．8
(2)[2022·湖南益阳测试]抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点到准线的距离为，则a的值为________．
题型3　与抛物线有关的最值问题
例3　(1)[2022·湖南常德测试]抛物线y＝上的动点M到两定点A(0，－1)，B(1，－3)的距离之和的最小值为(　　)
A．4 B．
C． D．
(2)已知定点M(a，0)，试在抛物线y2＝2px(p>0)上求一点N，使得|MN|最小．
方法归纳
解决与抛物线有关的最值问题的2种方法
巩固训练3　(1)已知点P在抛物线y2＝16x上，F为焦点，点A(2，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A.3　 　　B．4 C．5　 　　D．6
(2)已知点P为抛物线C：y＝x2上的动点，过点P作圆M：x2＋(y－2)2＝1的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．
易错辨析　　忽略抛物线标准方程的特征致误
例4　若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．
解析：把抛物线方程 y＝ax2化为标准方程得x2＝y，所以－＝2，
解得a＝－.
答案：－
【易错警示】
出错原因 纠错心得
受二次函数的影响，误以为y＝ax2就是抛物线的标准方程，从而得到－＝2，即a＝－8的错误结论． 根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．
3．3　抛物线
3．3.1　抛物线的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
距离相等　焦点　准线
要点二
F(，0)　F(－，0)　F(0，)　F(0，－)
x＝－　x＝　y＝－　y＝
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：抛物线y2＝－x焦点在x轴负半轴，因为2p＝1，所以＝，所以焦点坐标为(－，0)．
答案：D
3．解析：抛物线x2＝y的焦点在y轴上，2p＝1，p＝，故焦点坐标为(0，)．
答案：A
4．解析：由题意知，－1＝a×22，可得a＝－，
∴抛物线的方程为x＝－y2，即y2＝－4x，故其准线方程为x＝1.
答案：A
5．解析：依题意p＝，2p＝3，
所以抛物线方程为：y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y.
答案：y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
其上一点M(4，t)到抛物线的焦点距离为6，则|4－(－)|＝6，
解得－＝－2，即抛物线的准线方程为x＝－2.
(2)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
(3)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
答案：(1)A　(2)C　(3)x2＝10y和x2＝－10y
巩固训练1　解析：(1)由已知得＝3，p＝6.
∴抛物线的标准方程是x2＝±12y.
(2)由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且以直线y＝－1为准线，
可得抛物线的开口向上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，
则－＝－1，解得p＝2，所以所求抛物线的方程为x2＝4y.
答案：(1)C　(2)x2＝4y
例2　解析：(1)依题意可得n＝2pn，则p＝，根据抛物线的定义，
则|AnF|＝n＋＝n＋，
故|A1F|＋|A2F|＋…＋|A20F|＝1＋2＋…＋20＋×20＝＋5＝215.
(2)设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，
当点P在y轴右侧时，x>0，则|PC|＝x＋5，
∴点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，x<0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0(x<0)．
∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
答案：(1)B　(2)见解析
巩固训练2　解析：(1)因为抛物线C：y2＝8x，
所以p＝4，
因为点A(4，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
故|AF|＝xA＋＝4＋2＝6，
(2)抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点为(0，)，准线方程为：y＝－，
因为抛物线x2＝ay(a＞0)的焦点到准线的距离为，
所以×2＝，
解得a＝5.
答案：(1)C　(2)5
例3　解析：(1)由题可知抛物线方程y＝－x2，即x2＝－4y，所以点A(0，－1)为抛物线的焦点，
如图
根据抛物线的定义可知：点M到抛物线准线y＝1的距离与到焦点距离相等，
所以|MA|＝|MD|，
则动点M到两定点A(0，－1)，B(1，－3)的距离之和为|MD|＋|MB|，
当D，A，M三点共线时，距离之和有最小，即为4.
(2)设抛物线y2＝2px(p>0)上一点N(x0，y0)，则有＝2px0，因为x0≥0，且|MN|2＝＝－2ax0＋a2＋2px0＝－(2a－2p)x0＋a2＝[x0－(a－p)]2－p2＋2ap.
①当a>p时，x0＝a－p使|MN|最小，则N(a－p，±)．
②当a≤p时，x0＝0使|MN|最小，则N(0，0)．
答案：(1)A　(2)见解析
巩固训练3　解析：
(1)因为抛物线方程y2＝16x，所以其准线方程是x＝－4.过P作PM垂直于准线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.当A，P，M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，最小值2－(－4)＝6，故|PA|＋|PF|的最小值为6.
解析：(2)由已知得：·＝||2＝||2－1，
设点P(x，x2)，则||2－1＝x2＋(x2－2)2－1＝x4－3x2＋3＝＋，
当x2＝时，·＝||2－1取得最小值.
答案：(1)D　(2)3．3.2　抛物线的简单几何性质
最新课程标准
(1)掌握抛物线的几何性质．
(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点 (，0) (－，0) (0，) (0，－)
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
批注 　椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．
批注 　抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形．
批注 　顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴．(　　)
(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.(　　)
(3)抛物线是中心对称图形．(　　)
(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　)
2．对抛物线y＝x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0，2)
B．开口向上，焦点为(0，)
C．开口向右，焦点为(2，0)
D．开口向右，焦点为(，0)
3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
4．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　由抛物线的几何性质求标准方程
例1　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
方法归纳
用待定系数法求抛物线方程的步骤
巩固训练1　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
题型2　直线与抛物线的位置关系
例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：
(1)一个公共点；
(2)两个公共点；
(3)没有公共点．
方法归纳
判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，利用判别式解决：
Δ＞0 相交；Δ＝0 相切；Δ＜0 相离．
(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．
巩固训练2　过点M(3，2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
题型3　抛物线的焦点弦问题
例3　[2022·湖南平江一中高二期末]已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
方法归纳
求直线与抛物线相交弦长的2种方法
巩固训练3　(1)过拋物线C：y2＝4x的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长|AB|＝(　　)
A．3　　　B．8　　　C．9　　　D．12
(2)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝4，则弦AB的中点到y轴的距离为(　　)
A． B．2 C．3 D．4
易错辨析　忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况致误
例4　(多选)过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为(　　)
A．y＝－1
B．y＝1
C．(－1)x－2y＋＋1＝0
D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
(2)当直线l的斜率存在时，
①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点．
②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0，
由题意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝
故所求直线l的方程为：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0，
综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
答案：BCD
【易错警示】
出错原因 纠错心得
本题易错的地方是只考虑直线l的斜率k存在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线l平行于抛物线的对称轴这两种情形． 在涉及直线与抛物线只有一个交点的问题时，应提防两处陷阱：一是直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，这是由Δ＝0无法得到的(事实上，此时消元后对应的“一元二次”方程的“二次”项系数一定为零)；二是若由Δ＝0仅得到一条直线，则意味着斜率不存在的直线可能与抛物线相切(仅有一个交点)，应检验斜率不存在的直线是否满足条件．
3．3.2　抛物线的简单几何性质
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)．
答案：A
3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．
答案：B
5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1　解析：方法一　由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
方法二　设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
巩固训练1　解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，解得a＝±，
所以抛物线方程为y2＝±x.
答案：C
例2　解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.　(*)
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
∴直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，其中
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述：(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．
巩固训练2　解析：经验证点M(3，2)在抛物线开口内部，结合函数图象，可知
过点M(3，2)与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M平行与x轴的直线，即y＝2.
答案：B
例3　解析：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16＞0.
∴x1＋x2＝，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得：k＝±1，
所以k的值为1或－1.
巩固训练3　解析：(1)由题设，F(1，0)，则直线l为y＝x－1，联立抛物线得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，则|yA－yB |2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，
∴|AB|＝·|yA－yB|＝8.
(2)∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，
所以p＝1，抛物线方程为y2＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，|AB|＝x1＋x2＋p，
所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，
所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝.
答案：(1)B　(2)A3.4　曲线与方程
最新课程标准
(1)了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．
(2)理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．
(3)掌握求轨迹方程的方法．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　曲线的方程与方程的曲线
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f (x，y) ＝ 0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解 ；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .
此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．
要点二　坐标法
确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质．我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想．
批注 　阐明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性、不杂)；
批注 　阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性、不漏) .
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．(　　)
(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．(　　)
(3)方程y＝与方程y＝(x>0)是同一条曲线的方程．(　　)
2．方程y＝表示的曲线是(　　)
A．一条直线 B．圆
C．半圆 D．不表示任何图形
3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
4．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为(　　)
A.x＋y＝4 B．x－y＝4
C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4
5．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　曲线与方程的概念
例1　命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是(　　)
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
方法归纳
1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
巩固训练1　已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0
B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
题型2　用直接法求曲线方程
例2　已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，求点N的轨迹方程．
方法归纳
用直接法求轨迹方程的一般步骤
巩固训练2　已知点C(4，0)，A(－4，0)，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形．
题型3　代入法求轨迹方程
例3　已知三角形ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，求三角形ABC的重心的轨迹方程．
方法归纳
用代入法求轨迹方程的一般步骤
巩固训练3　已知DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且＝，当点P在圆x2＋y2＝4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
3．3.2　抛物线的简单几何性质
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)．
答案：A
3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．
答案：B
5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1　解析：方法一　由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
方法二　设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
巩固训练1　解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，解得a＝±，
所以抛物线方程为y2＝±x.
答案：C
例2　解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.　(*)
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
∴直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，其中
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述：(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．
巩固训练2　解析：经验证点M(3，2)在抛物线开口内部，结合函数图象，可知
过点M(3，2)与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M平行与x轴的直线，即y＝2.
答案：B
例3　解析：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16＞0.
∴x1＋x2＝，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得：k＝±1，
所以k的值为1或－1.
巩固训练3　解析：(1)由题设，F(1，0)，则直线l为y＝x－1，联立抛物线得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，则|yA－yB |2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，
∴|AB|＝·|yA－yB|＝8.
(2)∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，
所以p＝1，抛物线方程为y2＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，|AB|＝x1＋x2＋p，
所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，
所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝.
答案：(1)B　(2)A
3．4　曲线与方程
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：方程两边平方得方程x2＋y2＝9(y≥0)．
答案：C
3．解析：将点M的坐标代入直线l、曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B
4．解析：点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为|x|和|y|，|x|＋|y|＝4.
答案：D
5．解析：设M(x，y)，
∵点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，
∴＝|y－3|－1，
根据平面几何知识得：y＜3，原方程化为＝2－y，
两边平方，得x2＋(y＋2)2＝(2－y)2，整理得x2＝－8y，
即点M的轨迹方程是x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
题型探究·课堂解透
例1　解析：根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错，如曲线y＝表示的半圆的点的坐标都是方程x2＋y2＝1的解．
答案：B
巩固训练1　解析：根据曲线的方程的定义知选C.
答案：C
例2　解析：由||＝||，则P为MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，P(0，)，
由·＝0，得(－x，－)·(1，－)＝0，
所以(－x)·1＋(－)·(－)＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
巩固训练2　解析：设P(x，y)，由题意得，＝(x≠±4)，
化简得，P的轨迹方程为＝1(x≠±4)，所以P的轨迹是除去(－4，0)，(4，0)两点的双曲线．
例3　解析：设△ABC的重心G(x，y)，点C(x′，y′)，
则有，即，
因为点C在曲线上y2＝6x上，
所以有(3y)2＝6×3x，即y2＝2x，
因为三角形的三个顶点不能共线，所以y≠0，
所以△ABC的重心的轨迹方程为：y2＝2x(y≠0)．
巩固训练3　解析：设M(x，y)．
由＝得P(x，)．
又∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋()2＝4.
设D坐标为(x，0)，当x＝±2时，P点和D点坐标相同，即两点重合，
此时约束条件中DP垂直于x轴，没有意义，∴x≠±2，
∴M的轨迹方程是＝1(x≠±2)．
所以点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(去掉短轴顶点)．3.5　圆锥曲线的应用
最新课程标准
(1)了解圆锥曲线的光学性质．
(2)通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养解决应用问题的能力．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　天体运动的轨道
牛顿根据开普勒定律得出了万有引力定律，人们按照万有引力定律可以推出，太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在________轨道上运行，而某些天体的运行速度若增大到某种程度，它就会沿________或________运行．
要点二　斜抛物体的轨迹
运动场上推出的铅球、投出的篮球，都是斜抛物体，它们的运动轨迹近似于抛物线．喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体，水柱的形状也接近于抛物线．
要点三　圆锥曲线的光学性质及其应用
(1)椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
(2)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．
双曲线的这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
(3)抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴．
抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择，例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通信像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中得到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)汽车大灯的反射镜面是双曲线．(　　)
(2)电影放映机的反光镜镜面是椭圆. (　　)
(3)天文望远镜：哈勃望远镜镜面是抛物线．(　　)
(4)中国天眼：世界最大的单口径射电望远镜镜面是抛物线．(　　)
2．在相距1 400 m的A，B两哨所，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
3．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心(地球的中心)F为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的距离)距离地面n千米，并且F，A，B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为(　　)千米
A．2mn B．
C．mn D．2
4．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如下图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px(p>0)反射后，与x轴相交于点A(2，0)，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　椭圆在实际中的应用
例1　有一幅椭圆形彗星轨道图，长4 cm，高2cm.如图所示，已知O为椭圆中心，A1，A2是椭圆长轴的两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处．试建立恰当的坐标系，求出椭圆方程，并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离．
方法归纳
在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a＋c.
巩固训练1　如图，“神州十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e.设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为________．
题型2　双曲线在实际中的应用
例2　双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝－，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B．C．　　　D．
方法归纳
将实际问题转化为双曲线问题，结合双曲线的定义与性质解决问题．
巩固训练2　(多选)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C不是共渐近线的有(　　)
A．－x2＝1 B．＝1
C．－x2＝1 D．＝1
题型3　抛物线在实际中的应用
例3　某河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
(2)近日由于水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？(精确到0.1 m)
方法归纳
将实际问题转化为抛物线问题，结合抛物线的定义、方程与性质解决问题．
巩固训练3　一种卫星接收天线如图(1)所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图(2)所示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F的最短距离为(　　)
A．0.72 mB．1.44 m
C．2.44 mD．2.88 m
3．5　圆锥曲线的应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
椭圆　抛物线　双曲线
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：设点M是炮弹爆炸点所在的曲线上任意一点，
则＝3×340＝1 020<1 400，所以炮弹爆炸点所在的曲线是双曲线．
答案：B
3．解析：由题设条件可得＝n＋R，＝R＋m，
设椭圆的半长轴长为a，半焦距为c，则a＋c＝n＋R，a－c＝R＋m，
故短半轴长为b＝＝，
所以短轴长为2.
答案：D
4．解析：依题意，A(2，0)为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.
∴该抛物线的焦点到准线的距离为4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　
解析：建立如图所示的坐标系，设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
依题意有2a＝4，2b＝2，
所以a＝2，b＝，c＝1，
故椭圆方程为＝1，F为(－1，0)，
将x＝－1代入椭圆方程得y＝±，
即彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离为1.5 cm.
巩固训练1　解析：由题设，若椭圆轨道对应方程为＝1且a>b>0，
椭圆的几何性质知，则，
又近地点离地面的距离为a－c－r＝－r＝.
答案：
例2　解析：易知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，
设＝m，＝n，则m－n＝2a，
由tan ∠ABC＝－得＝，
又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，
所以tan ∠ABF1＝＝＝m，
所以＝＝m－n，
所以＝2a＋＝2a＋m－n＝4a＋m，
由2＋2＝2得m2＋2＝2，
因为m>0，故解得m＝3a，
则n＝3a－2a＝a，
在△AF1F2中，m2＋n2＝(2c)2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝＝.
答案：C
巩固训练2　解析：依题意可知M(，4)，N(，－2)，
将M、N的坐标分别代入＝1，
得，解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1，其渐近线为y＝±x，
对于A，－x2＝1，其渐近线为y＝±x，不符合题意，
对于B，＝1，其渐近线为y＝±x，符合题意，
对于C，－x2＝1，其渐近线为y＝±2x，符合题意，
对于D，＝1，其渐近线为y＝±x，符合题意．
答案：BCD
例3　解析：(1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(－15，－9)，B(15，－9)，
设拱桥所在的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
因点A(－15，－9)在抛物线上，代入解得2p＝25，
故拱桥所在的抛物线方程是x2＝－25y；
解析：(2)因x2＝－25y，故当x＝3时，y＝－0.36，
故当水位暴涨2.46 m后，船身至少应降低7＋2.46－(9－0.36)＝0.82，
因精确到0.1 m，
故船身应降低0.9 m，才能安全通过桥洞．
巩固训练3　解析：在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，
焦点在x轴上，如图所示
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由题知点A(1，2.4)在抛物线方程上，
所以2.42＝2p，解得p＝2.88.
则点P与焦点F的最短距离为＝1.44.
答案：B章末复习课
知识网络·形成体系
本章自我梳理：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点聚焦·分类突破
考点一　圆锥曲线的定义与标准方程
(1)解决这类问题的关键是准确把握圆锥曲线的定义和标准方程．
(2)通过对圆锥曲线的定义与标准方程的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．
例1　(1)[2022·湖南武冈二中测试]F1、F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若AF2⊥BF2，＝，则＝(　　)
A．2　　 　B．2　 　C．4　 　　D．4
(2)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为(　　)
A．2B．4C．4 D．6
(3)[2022·湖南永州测试]已知F是抛物线y2＝4x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且＝6，则线段AB的中点到直线x＝－的距离为(　　)
A．2 B．C．3 D．
考点二　圆锥曲线的几何性质
(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键．
(2)通过对圆锥曲线几何性质的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例2　(1)[2022·湖南长郡中学月考]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，若＝2，则C的离心率为(　　)
A．B．C．2 D．4
(2)[2022·湖南岳阳一中测试]已知椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为(　　)
A．B．C．D．
(3)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，那么a＝________．
考点三　直线与圆锥曲线的综合问题
角度1　定点问题
(1)求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)通过对圆锥曲线中的定点问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．
例3　已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.
(1)求E的方程；
(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．
角度2　定值问题
(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．
(2)通过对圆锥曲线中的定值问题的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养．
例4　[2022·湖南名校联考测试]设点P为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上任意一点，双曲线E的离心率为，右焦点与椭圆G：＝1(t>0)的右焦点重合．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点A，B，求证：平行四边形OAPB的面积为定值，并求出此定值．
角度3　最值问题
(1)构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．
(2)通过对圆锥曲线中的最小问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．
例5　[2022·湖南师大附中测试]设椭圆M：＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，t)(t>0)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)由双曲线的定义可得，＝2a，＝2a，
因为＝，所以＝2a，
所以＝4a，即＝4a，
因为AF2⊥BF2，
所以2＋2＝2，所以22＝2＝16a2，
由＝1，得a2＝2，
所以22＝2＝16a2＝32，得＝4，
(2)易知a2＝，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝，a＝，即c＝，
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因为|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又＝2c＝5，
所以△PF1F2为直角三角形，所以＝×3×4＝6.
(3)∵F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1，0)，准线方程x＝－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6，即x1＋x2＝4，
∴线段AB的中点横坐标为(x1＋x2)＝2，
∴线段AB的中点到直线x＝－的距离为2＋＝.
答案：(1)C　(2)D　(3)B
例2　解析：(1)设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
又由已知圆的方程可得圆心为M(0，2)，半径r＝2，
设圆心M到渐近线的距离为d，则|AB|＝2＝2＝2，
所以d＝＝，即1＝，所以e＝2.
(2)结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况：
图1
图2
图3
第一种，如图1，若以D，C，F2作为直角三角形的三个顶点，则DC⊥CF2，
由勾股定理可得：(a2＋b2)＋a2＝(a＋c)2，将b2＝a2－c2代入可得c2＋ac－a2＝0，
所以e2＋e－1＝0，因为0第二种，如图2，若以C，F1，F2作为直角三角形的三个顶点，则CF1⊥CF2，
所以∠OCF2＝45°，则e＝＝，
第三种，如图3，若以C，A，F2作为直角三角形的三个顶点，则CF2⊥AF2，
所以∠CF2O＝45°，e＝＝，
综上所述：椭圆M的离心率的可能取值为或，
故选项A正确．
解析：(3)由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，
设其它两个顶点的坐标分别为，
把顶点代入抛物线方程可得t2＝ta，解得a＝t，
正三角形的边长为t，
故这个正三角形的面积＝36，
解得t＝±6，a＝±2.
答案：(1)C　(2)A　(3)±2
例3　解析：(1)根据题意知，4＝2py0，　①
因为|AF|＝2，所以y0＋＝2.　②
联立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y.
(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)
由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.　③
由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，
则由A，P，B三点共线，得＝，
整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.
将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.
由点B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直线BM恒过定点(2，3)．
例4　解析：(1)
则a＝1，b＝，c＝.
所以双曲线E的标准方程为x2－＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，过P与渐近线平行的直线分别为l1，l2，
方程分别为y－y0＝(x－x0)，y－y0＝－(x－x0)，
联立方程，得，
同理可得得，
又渐近线方程为y＝±x，则sin ∠AOB＝，
|OA|2|OB|2sin 2·＝，
又点P在双曲线上，则＝2，
所以＝，即平行四边形OAPB的面积为定值，且此定值为.
例5　解析：(1)双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率为e＝＝，2a＝4，
由 ，故椭圆M的方程为＝1.
解析：(2)由，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，得－2＜m＜2，
∵x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，
因为P(1，t)(t>0)为椭圆M上一点，所以P(1，)，
又P到AB的距离为d＝.
则S△PAB＝|AB|d＝··＝＝·＝，
当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，
∴(S△PAB)max＝.

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