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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题三十 期末综合测评（二）
时间120分钟 满分120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．如图，∠1是在五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝40°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数是（　　）
A．300° B．400° C．500° D．540°
3．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小3倍 D．不变
﹣1
4．用科学记数法表示0.000059，正确的是（　　）
A．5.9×10﹣5 B．5.9×10﹣4 C．0.59×10﹣3 D．0.59×10﹣4
5．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
6．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　）
A．35 B．19 C．12 D．10
7．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
8．如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别是边长为a（cm）、b（cm）的正方形，丙是长为b（cm），宽为a（cm）的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、1张、4张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为（　　）
A．（a+2b）cm B．（2a+b）cm C．（a﹣2b）cm D．（2a﹣b）cm
9．如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，，∠EBD＝38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC；②；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．一个单项式与3x2y3的积为12x6y5，这个单项式是 　 　．
12．已知﹣＝，则的值为 　 　．
13．若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　 　．
15若++＝1，则abc＝　 　．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y．
（2）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m．
17．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
18．（8分）化简并求值：
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接
DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．
20．（8分）将两数和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11．
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝10，x2+y2＝56，求xy的值；
（2）将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上，连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
21．（10分）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
22．（10分）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
＝＝1+，＝＝2﹣．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：＝　 　；
（2）①将变形为满足以上结果要求的形式：＝　 　；
②若为正整数，且a也为正整数，求a的值．
23．（13分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题三十 期末综合测评（二）（解析版）
时间120分钟 满分120分
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】利用三角形内角和定理求出第三个角的度数再判断．
【解答】解：在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，
∴∠C＝180﹣28﹣62＝90°，
∴三角形是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．
2．如图，∠1是在五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝40°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数是（　　）
A．300° B．400° C．500° D．540°
【分析】根据多边形内角与外角的关系，由∠1＝50°，得∠AED＝180°﹣∠1＝140°．再根据多边形的内角和，得∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×3﹣∠AED＝540°﹣130°＝400°．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠1＝140°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×3﹣∠AED＝540°﹣140°＝400°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的内角和、多边形外角与内角的关系是解决本题的关键．
3．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小3倍 D．不变
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
4．用科学记数法表示0.000059，正确的是（　　）
A．5.9×10﹣5 B．5.9×10﹣4 C．0.59×10﹣3 D．0.59×10﹣4
【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000059＝5.9×10﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【考点】全等三角形的性质．版权所有
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
6．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　）
A．35 B．19 C．12 D．10
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a 22b
＝2a （22）b
＝2a 4b
＝5×7
＝35，
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
7．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【考点】完全平方公式的几何背景；单项式乘多项式．版权所有
【分析】长方形ABCD的面积可以表示为a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以a（a+b）＝a2+ab
【解答】解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，
∴可得a（a+b）＝a2+ab
故选：D．
【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式．
8．如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别是边长为a（cm）、b（cm）的正方形，丙是长为b（cm），宽为a（cm）的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、1张、4张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为（　　）
A．（a+2b）cm B．（2a+b）cm C．（a﹣2b）cm D．（2a﹣b）cm
【考点】完全平方式．版权所有
【分析】先求出拼成的正方形的面积，从而得到拼成的正方形的边长．
【解答】解：拼成的正方形的面积＝4a2+b2+4ab
＝（2a+b）2（cm2），
拼成的正方形的边长＝（2a+b）（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
9．如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，，∠EBD＝38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC；②；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定．版权所有
【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∴△BDC≌△AEC（SAS），故①正确；
∴∠DBC＝∠EAC，BD＝AE，故③正确；
∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝38°，
∴∠EAC+∠EBC＝38°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣52°＝128°，故②正确；
∵∠3＝∠4，
∴∠BFE＝∠ACB＝90°，
∴AE⊥BD，故④正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，找三角形全等应有规律的去找，先找单个的全等三角形，再找由2部分或2部分以上组成全等的三角形．
10．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．一个单项式与3x2y3的积为12x6y5，这个单项式是 　4x4y2　．
【考点】整式的除法．版权所有
【分析】先根据题意列出式子12x6y5÷3x2y3，然后根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：由题意得，12x6y5÷3x2y3＝4x4y2，
即这个单项式为4x4y2，
故答案为：4x4y2．
【点评】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
12．已知﹣＝，则的值为 　﹣　．
【考点】分式的加减法；分式的值．版权所有
【分析】根据﹣＝求出b﹣3a＝2ab，3a﹣b＝﹣2ab，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵﹣＝，
∴b﹣3a＝2ab，
∴3a﹣b＝﹣2ab，
∴
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了分式的加减和分式的值，能求出b﹣3a＝2ab和3a﹣b＝﹣2ab是解此题的关键．
13．若x2y+xy2＝30，xy＝6，则x﹣y的值为 　1或﹣1　．
【考点】因式分解﹣提公因式法；代数式求值．版权所有
【分析】直接利用已知得出x2+y2的值，再利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵x2y+xy2＝30，
∴xy（x+y）＝30，
∵xy＝6，
∴x+y＝5，
∴（x+y）2＝25，
∴x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×6＝13，
∴x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，
∴（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及代数式求值，正确利用完全平方公式计算是解题关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　4　．
【考点】含30度角的直角三角形．版权所有
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
15．若++＝1，则abc＝　1　．
【分析】设abc＝k再设ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w根据已知条件，++＝1，通过化简即可得到结果．
【解答】解：设abc＝k
再设ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w
以上三式两边分别乘以c，a，b可得：
abc+ca+c＝cu，代入abc＝k并根据ac+c+1＝w得到：k﹣1+w＝cu①，
abc+ab+a＝av，代入abc＝k并根据ab+a+1＝u得到：k﹣1+u＝av②，
abc+bc+b＝bw，代入abc＝k并根据bc+b+1＝v得到：k﹣1+v＝bw③，
根据已知条件，++＝1，
两边同乘以uvw，得到avw+buw+cuv＝uvw，
下面把①式两边乘以v，②式两边乘以w，③式两边乘以u，三式相加得到
（k﹣1）（u+v+w）+uv+vw+uw＝avw+buw+cuv＝uvw④
①②③三式相乘，可得：（k﹣1+u）（k﹣1+v）（k﹣1+w）＝abcuvw＝kuvw，
等号左边把（k﹣1）看作一项展开，把右边的kuvw移到左边，就有：
（k﹣1）3+（u+v+w）（k﹣1）2+（uv+vw+uw）（k﹣1）﹣uvw（k﹣1）＝0
（k﹣1）[（k﹣1）2+（u+v+w）（k﹣1）+（uv+vw+uw）﹣uvw]＝0⑤，
把④代入⑤化简为：（k﹣1）3＝0，
所以k＝1，
即abc＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法，正确的化简是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y．
（2）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m．
【考点】整式的除法；因式分解﹣十字相乘法等；平方差公式．版权所有
【分析】（1）先整理括号内的项，再进行多项式除单项式的运算即可；
（2）多项式乘多项式后合并同类项得平方差公式模型，进行分解即可．
【解答】解：（1）计算：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y
＝（x2﹣9y2﹣x2）÷9y
＝﹣9y2÷9y
＝﹣y．
（2）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m
＝m2﹣3m﹣4+3m
＝m2﹣4
＝（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了整式的混合运算和因式分解，整理合并多项式是基础，需要熟练灵活．
17．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有
【分析】（1）根据线段的和差证出BC＝EF，由SSS即可得出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，根据平行线的判定与性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°，
∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A＝45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，由SSS得出△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（8分）化简并求值：
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值．版权所有
【分析】（1）先把分式转化为乘法，再约分即可；
（2）先计算括号内的分式的加减运算，再约分得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【解答】（1）解：
＝
＝a；
（2）解：
＝
＝
＝﹣2m﹣6；
当时，
原式＝．
【点评】本题考查的是分式的除法运算，分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接
DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．版权所有
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一即可解决问题．
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，证明∠BDF＝90°．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DE是∠AEB的平分线．
（2）解：∵∠A＝38°，
∴∠ABE＝∠A＝38°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝71°，
∵EA＝EB，AD＝DB，
∴ED⊥AB，
∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
20．（8分）将两数和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11．
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝10，x2+y2＝56，求xy的值；
（2）将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上，连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有
【分析】（1）x+y＝10两边平方，可得x2+2xy+y2＝100，将已知代入求解即可；
（2）运用割补法，阴影部分的面积为：S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝10，
∴（x+y）2＝100，
∴x2+2xy+y2＝100，
∵x2+y2＝56，
∴；
（2）阴影部分的面积为：S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG
＝
＝＝
＝
＝，
∵x+y＝8，xy＝14，
∴．
【点评】本题考查了整式的运算；掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键．
21．（10分）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【考点】分式方程的应用．版权所有
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
（2）根据题意得：（天），
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22．（10分）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
＝＝1+，＝＝2﹣．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：＝　1﹣　；
（2）①将变形为满足以上结果要求的形式：＝　3+　；
②若为正整数，且a也为正整数，求a的值．
【考点】分式的加减法；分式的基本性质．版权所有
【分析】（1）按照范例进行分解即可；
（2）①按照范例的要求分解即可；②根据正整数的条件进行解答即可．
【解答】解：（1）；
故答案为：1﹣；
（2）①＝＝3+，
故答案为：3+，
②若为正整数，且a也为正整数，
则有3+为正整数，
∴a﹣1＝5或a﹣1＝1，
∴a＝6或2．
故答案为：6或2．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．
23．（13分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　EF＝BE+FD　；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE　．
【分析】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；
（2）如图2，同理可得：EF＝BE+DF；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，
当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
同理可得：∴EG＝EF
∵EG＝BG﹣BE
∴EF＝FD﹣BE．
故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出AF＝AG是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出EF＝EG，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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