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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十四 一元一次方程的应用（三）
类型十一、方案选择问题
一个数学问题有多种解决方案，利用方程找出两种方案相等时的结果，由相等时的值从而确定最优方案。
【例11-1】 周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
（1）七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
（2）一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．
【例11-2】某学校艺术社团将举行“庆祝元旦”文艺汇演，需购买m套服装和n个道具（n≥2m）．某商店报价为每套服装100元，每个道具15元，并有两种方案供选一种：
方案名称 优惠情况
方案A 总价打8折
方案B 以原价购买，购买一套服装赠送两个道具
（1）若按方案B购买m套服装和n个道具，则需要付费的道具数量是多少？（用含m、n的代数式表示）
（2）当m＝30时，试用含n的代数式表示选择方案A与选择方案B所需费用的差额，并直接写出当n满足什么条件时，选择方案A合算？
【例11-3】如图是于阿姨刚接收的新房的地面平面结构图（图中长度单位：m．其中每间房屋地面都是长方形，她准备在客厅和卧室地面全部铺设复合地板、厨房和卫生间地面全部铺设瓷砖，铺完全部地面，有两个施工计费方案供她选择，根据图中数据解决以下问题：
方案一：每平方米瓷砖的铺设费用为25元．每平方米复合地板的铺设费用为30元；
方案二：铺完全部地面，一口价1500元．
（1）求该房屋地面的总面积（用含x的式子表示）；
（2）当x为何值时，两种方案所花费用一样？
（3）若x＝2，于阿姨选择哪个方案更省钱呢？
针对练习11
1．某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
2．某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元．
（1）这个公司要加工多少件新产品？
（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种最省钱的加工方案．
3．某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观．该革命胜地每张门票的票价为30元，现有 A、B两种购票方案可供选择：
方案 A：教师全价，学生半价；
方案 B：不分教师与学生，全部六折优惠；
（1）若按方案A购票，需付款 　 　元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款 　 　元（用含m的代数式表示）；
（2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？
（3）当学生人数m＝40时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？
4．某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．
（1）若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
5 .天虹超市销售东北大米，每包10kg，定价为100元．元旦期间进行促销活动，为满足大众采购需求，超市制定了两种销售方案以供选择：
方案一：六折优惠并且免费送货上门；
方案二：买一送一，但需另付200元运费．
（1）假设某食堂需要购买8包东北大米，且需送货上门．
采用方案一购买，需要 　 　元；
采用方案二购买，需要 　 　元．
（2）假设某食堂需要购买x包东北大米（x是偶数），且需送货上门．
①采用方案一购买x包东北大米需要 　 　元；
采用方案二购买x包东北大米需要 　 　元．
②某次进货时，食堂的采购员小王发现两种采购方案相差100元．请你算一算小王这次采购多少包东北大米？
类型十二、几何图形问题
【例12-1】如图，几块大小不等的正方形纸片无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片A的边长为7，求最小的正方形纸片的边长．
【例12-2】某长方形纸片的长是15㎝，长，宽上各剪去两个宽为3㎝的长条，剩下的面积是原长方形面积的 。求原长方形纸片的面积。
【例12-3】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28，那么大长方形的面积为 ．

针对练习12
1 .小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1).用含x的代数式表示厨房的面积 _____________ m 2 ， 卧室的面积 _____________ m 2 ．
A. 3x B. 6+3x
(2).设此经济适用房的总面积为y m 2 ， 请你用含x的代数式表示y．
A. 解：y=6 3x+3 （2+x）+2x+3x =18x+6+3x+2x+3x =26x+6
(3).已知厨房面积比卫生间面积多3m 2 ， 且铺1m 2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
A. 解：由题意得3x﹣2x=3，解得x=3 当x=3时，y=26×3+6=84（m2）， 即铺地砖的总费用为80×84=6720元
2 .如图，长方形被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则长方形的面积为 ．

2 .如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28，那么大长方形的面积为 ．

3 .探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线　 　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=　　；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．
4 .如图，在长方形中，，，E是上的一点，且，点P从点C出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点A．设点P运动时间为，若的面积为，则t的值为 ．

类型十三、古代问题
理解题意，将古代问题通过文字翻译转化成数学中的方程问题，方法理解题意，用代数式表示相关问题中的数量
【例13-1】我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳五折测之，绳少一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺．问绳长和井深各多少尺？
【例13-2】列方程解应用题：（我国古代问题）
跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？
【例13-3】中国古代数学问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．请问甲、乙两个牧童各有羊数多少？
针对练习13
1.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
2 .《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣原文如下∶今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽；又三家合取一鹿，恰尽．问城中有家多少？大意为：现在有100只鹿要进城，城里的人家每家分一只，会有剩余分不完的鹿，如果再将剩余的鹿，3家合分一只，恰好分完．问城中有几户人家？问：城中有 户人家．
3 .古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两 长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”
(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；
(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？
4 .《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？
类型十四、新定义问题
理解新定义，按新定义给出的概念，法则，运算得出方程，解决问题。
【例14-1】1．新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“幸运数”．
（1）直接运用：最大的“幸运数”是 　 　；
（2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数；
设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数；
（3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”；
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
2．【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．
【特例感知】
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．
①【B，A】的幸运点表示的数是 　 　；
A．﹣1；B.0；C.1；D.2
②试说明A是【C，E】的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为 　 　．
【拓展应用】
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
针对练习14
1．[新定义]：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．
[特例感知]
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，
①[B，A]的幸运点表示的数是 　 　；
A．﹣1 B.0 C.1 D.2
②试说明A是[C，E]的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为 　 　．
[拓展应用]
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
2 .对于有理数、定义一种新运算，规定．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
3．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．
(1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值；
(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值；
(3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十四 一元一次方程的应用（三）（解析版）
类型十一、方案选择问题
一个数学问题有多种解决方案，利用方程找出两种方案相等时的结果，
从而确定最优方案。
【例11-1】 周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
（1）七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
（2）一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题；
（2）设一班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一的花费为：48×20×0.8＝768（元），
方案二的花费为：（48﹣5）×0.9×20＝774（元），
∵768＜774，
∴若二班有48名学生，则他该选选择方案一；
（2）设一班有x人，根据题意得，
x×20×0.8＝（x﹣5）×0.9×20，
解得x＝45．
答：一班有45人．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的方程是解题关键．
【例11-2】某学校艺术社团将举行“庆祝元旦”文艺汇演，需购买m套服装和n个道具（n≥2m）．某商店报价为每套服装100元，每个道具15元，并有两种方案供选一种：
方案名称 优惠情况
方案A 总价打8折
方案B 以原价购买，购买一套服装赠送两个道具
（1）若按方案B购买m套服装和n个道具，则需要付费的道具数量是多少？（用含m、n的代数式表示）
（2）当m＝30时，试用含n的代数式表示选择方案A与选择方案B所需费用的差额，并直接写出当n满足什么条件时，选择方案A合算？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．版权所有
【分析】（1）由方案B购买一套服装赠送两个道具，可知购买m套服装和n个道具，需要付费的道具数量是（n﹣2m）个；
（2）方案A所需费用是（12n+2400）元，方案B所需费用是（15n+2100）元，可得差额为（12n+2400）﹣（15n+2100）＝（﹣3n+300）元，由﹣3n+300＜0得n＞100，即知n＞100时，选择方案A合算．
【解答】解：（1）∵方案B购买一套服装赠送两个道具，
∴购买m套服装和n个道具，需要付费的道具数量是（n﹣2m）个；
（2）但m＝30时，
方案A所需费用是（30×100+15n）×0.8＝（12n+2400）元，
方案B所需费用是30×100+15（n﹣30×2）＝（15n+2100）元，
∴选择方案A与选择方案B所需费用的差额为（12n+2400）﹣（15n+2100）＝（﹣3n+300）元，
由﹣3n+300＜0可得n＞100，
∴n＞100时，选择方案A合算．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出代数式表示两种方案所需的费用．
【例11-3】如图是于阿姨刚接收的新房的地面平面结构图（图中长度单位：m．其中每间房屋地面都是长方形，她准备在客厅和卧室地面全部铺设复合地板、厨房和卫生间地面全部铺设瓷砖，铺完全部地面，有两个施工计费方案供她选择，根据图中数据解决以下问题：
方案一：每平方米瓷砖的铺设费用为25元．每平方米复合地板的铺设费用为30元；
方案二：铺完全部地面，一口价1500元．
（1）求该房屋地面的总面积（用含x的式子表示）；
（2）当x为何值时，两种方案所花费用一样？
（3）若x＝2，于阿姨选择哪个方案更省钱呢？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式；代数式求值．版权所有
【分析】（1）表示出每个房间的面积进一步求和可得该房屋地面的总面积；
（2）根据两种方案所花费用一样列一元一次方程，求解即可；
（3）当x＝2时，计算方案一的总费用，再进行比较即可．
【解答】解：（1）该房屋底面的总面积为2x 6+2×3+3x+3×（2+3）＝（15x+21）平方米；
（2）方案一总费用为25（3x+2×3）+30（2x 6+3×5）＝（435x+600）元，
根据题意，得435x+600＝1500，
解得x＝，
答：当x＝时两种方案所花费用一样；
（3）当x＝2时，方案一总费用为435×2+600＝1470（元），
方案二总费用为1500元，
1500＞1470，
∴选择方案一更省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值，根据题意表示出方案一的总费用是解题的关键．
针对练习11
1．某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题；
（2）设一班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一的花费为：50×30×0.8＝1200（元），
方案二的花费为：（50﹣6）×0.9×30＝1188（元），
∵1200＞1188，
∴若二班有50名学生，则他该选择方案二；
（2）设一班有x人，根据题意，得
x×30×0.8＝（x﹣6）×0.9×30，
解得x＝54．
答：一班有54人．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题关键．
2．某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元．
（1）这个公司要加工多少件新产品？
（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种最省钱的加工方案．
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，则红星厂单独加工这批产品需天，巨星厂单独加工这批产品需要天，根据题意找出等量关系：红星厂单独加工这批产品需要的天数﹣巨星厂单独加工这批产品需要的天数＝20，根据此等量关系列出方程求解即可．
（2）应分为三种情况讨论：①由红星厂单独加工；②由巨星厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出省钱的加工方案．
【解答】解：（1）设这个公司要加工x件新产品，由题意得：﹣＝20，
解得：x＝960，
答：这个公司要加工960件新产品．
（2）①由红星厂单独加工：需要耗时为＝60天，需要费用为：60×（5+80）＝5100元；
②由巨星厂单独加工：需要耗时为＝40天，需要费用为：40×（120+5）＝5000元；
③由两场厂共同加工：需要耗时为＝24天，需要费用为：24×（80+120+10）＝5040元．
所以，由巨星厂单独加工省钱．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可．
3．某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观．该革命胜地每张门票的票价为30元，现有 A、B两种购票方案可供选择：
方案 A：教师全价，学生半价；
方案 B：不分教师与学生，全部六折优惠；
（1）若按方案A购票，需付款 　（120+15m）　元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款 　（18m+72）　元（用含m的代数式表示）；
（2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？
（3）当学生人数m＝40时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式；代数式求值．版权所有
【分析】（1）根据题意列出两个代数式即可；
（2）选择方案A所需的费用＝选择方案B所需的费用，解方程即可；
（3）把m＝40代入（1）中的两个代数式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）选择方案A所需的费用为：30×4+×30m＝（120+15m）元，
选择方案B所需的费用为：30×（m+4）×0.6＝（18m+72）元；
故答案为：（120+15m）；（18m+72）．
（2）由题意得：120+15m＝18m+72，
解得：m＝16，
当学生人数为16时，选择两种方案的费用相同．
（2）当m＝40时，
选择方案A所需的费用为：120+15×40＝720（元），
选择方案B所需的费用为：18×40+72＝792（元），
∵720＜792，
∴选择方案A更为优惠．
【点评】本题考查了列代数式及代数式求值，理解题意正确列出代数式是解题的关键．
4．某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．
（1）若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题；
（2）设一班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一的花费为：42×30×0.8＝1008（元），
方案二的花费为：（42﹣5）×0.9×30＝999（元），
∵1008＞999，
∴若二班有42名学生，则他该选选择方案二；
（2）设一班有x人，根据题意得，
x×30×0.8＝（x﹣5）×0.9×30，
解得x＝45．
答：一班有45人．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的方程是解题关键．
5 .天虹超市销售东北大米，每包10kg，定价为100元．元旦期间进行促销活动，为满足大众采购需求，超市制定了两种销售方案以供选择：
方案一：六折优惠并且免费送货上门；
方案二：买一送一，但需另付200元运费．
（1）假设某食堂需要购买8包东北大米，且需送货上门．
采用方案一购买，需要 　480　元；
采用方案二购买，需要 　600　元．
（2）假设某食堂需要购买x包东北大米（x是偶数），且需送货上门．
①采用方案一购买x包东北大米需要 　60x　元；
采用方案二购买x包东北大米需要 　（50x+200）　元．
②某次进货时，食堂的采购员小王发现两种采购方案相差100元．请你算一算小王这次采购多少包东北大米？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．版权所有
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两种销售方案的优惠方法，即可求出结论；
（2）①利用总价＝单价×数量，结合两种销售方案的优惠方法，即可用含x的代数式表示出采用两种方案所需费用；
②由①的结论，结合两种采购方案相差100元，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：采用方案一购买所需费用为100×0.6×8＝480（元）；
采用方案二购买所需费用为100×+200＝600（元）．
故答案为：480；600；
（2）①根据题意得：采用方案一购买x包东北大米需要100×0.6x＝60x（元）；
采用方案二购买x包东北大米需要100×+200＝（50x+200）元．
故答案为：60x；（50x+200）；
②根据题意得：60x﹣（50x+200）＝100或50x+200﹣60x＝100，
解得：x＝30或x＝10．
答：小王这次采购10或30包东北大米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
类型十二、几何图形问题
【例12-1】如图，几块大小不等的正方形纸片无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片A的边长为7，求最小的正方形纸片的边长．
【答案】
解：设最小的正方形纸片的边长为x．
则B，C，D，E，F，G，H的边长依次为x+7，2x+7，3x+7，7x+7，4x，11x+7，x+14，
根据H的边长列方程：11x+7﹣（7﹣4x）=14+x，
解得：x=1．
答：最小的正方形纸片的边长为1．
或根据长方形的对边相等，列方程：
2x+7+x+7+x+14=7x+7+11x+7，
解得：x=1．
答：最小的正方形纸片的边长为1．
【解析】可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据正方形的边长相等列式求解即可．
【例12-2】某长方形纸片的长是15㎝，长，宽上各剪去两个宽为3㎝的长条，剩下的面积是原长方形面积的 。求原长方形纸片的面积。
【答案】解：设长方形纸片的宽是xcm，原面积是15xcm 2 ，
长宽上各剪去两个宽为3cm的长条，剩下的面积是12 （x-3）cm 2 ，
∵15xcm 2× =9xcm 2 ，
∴9x=12 （x-3），
解可得x=12，
∴原面积是180cm 2 ．
【解析】由题意可知剩下的面积是原面积的 ．
【例12-3】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28，那么大长方形的面积为 ．

【答案】
【分析】设小长方形的宽为x，则长为，根据大长方形的周长为28，列出方程，求出，即可求解．
【详解】解：设小长方形的宽为x，则长为，
∵大长方形的周长为28，
∴，
解得：，
∴，
∴大长方形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程是实际应用，解题的关键是根据图形，正确设出未知数，列出方程求解．
针对练习12
1 .小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1).用含x的代数式表示厨房的面积 _____________ m 2 ， 卧室的面积 _____________ m 2 ．
A. 3x B. 6+3x
(2).设此经济适用房的总面积为y m 2 ， 请你用含x的代数式表示y．
A. 解：y=6 3x+3 （2+x）+2x+3x =18x+6+3x+2x+3x =26x+6
(3).已知厨房面积比卫生间面积多3m 2 ， 且铺1m 2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
A. 解：由题意得3x﹣2x=3，解得x=3 当x=3时，y=26×3+6=84（m2）， 即铺地砖的总费用为80×84=6720元
(1).【答案】3x,6+3x
【解析】解：（1）根据图中数据可知厨房的长为3，宽为x；卧室的邻边长分别为3和（2+x）； ∴厨房的面积为3×x=3x，卧室的面积为3×（2+x）=6+3x；（1）根据图中数据可知厨房的长为3，宽为x；卧室的邻边长分别为3和（2+x）；（2）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y，根据长方形的面积=长×宽，表示出总面积．（3）把相关数值代入即可求得面积，乘以80即为铺地转的总费用．
解：y=6 3x+3 （2+x）+2x+3x =18x+6+3x+2x+3x
(2).【答案】=26x+6
【解析】解：（1）根据图中数据可知厨房的长为3，宽为x；卧室的邻边长分别为3和（2+x）； ∴厨房的面积为3×x=3x，卧室的面积为3×（2+x）=6+3x；（1）根据图中数据可知厨房的长为3，宽为x；卧室的邻边长分别为3和（2+x）；（2）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y，根据长方形的面积=长×宽，表示出总面积．（3）把相关数值代入即可求得面积，乘以80即为铺地转的总费用．
解：由题意得3x﹣2x=3，解得x=3 当x=3时，y=26×3+6=84（m (3).【答案】2），
即铺地砖的总费用为80×84=6720元
【解析】解：（1）根据图中数据可知厨房的长为3，宽为x；卧室的邻边长分别为3和（2+x）； ∴厨房的面积为3×x=3x，卧室的面积为3×（2+x）=6+3x；（1）根据图中数据可知厨房的长为3，宽为x；卧室的邻边长分别为3和（2+x）；（2）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y，根据长方形的面积=长×宽，表示出总面积．（3）把相关数值代入即可求得面积，乘以80即为铺地转的总费用．
2 .如图，长方形被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则长方形的面积为 ．

【答案】143
【分析】设第四个大正方形的边长为，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可．
【详解】设第四个大正方形的边长为（如图所示）．

，故最小的正方形的边长为1；
，
，
∴，
长方形的长：，
长方形的宽：，
长方形的面积：，
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．
2 .如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28，那么大长方形的面积为 ．

【答案】
【分析】设小长方形的宽为x，则长为，根据大长方形的周长为28，列出方程，求出，即可求解．
【详解】解：设小长方形的宽为x，则长为，
∵大长方形的周长为28，
∴，
解得：，
∴，
∴大长方形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程是实际应用，解题的关键是根据图形，正确设出未知数，列出方程求解．
3 .探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）一个角的平分线　 　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=　　；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．
【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【解析】试题分析：（1）根据巧分线定义即可判定；（2）分三种情况，根据巧分线定义即可求解；（3）分三种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；（4）分三种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
试题解析：
（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
故答案为：是
（2）∵∠MPN=α，
∴∠MPQ=α或α或α；
故答案为α或α或α；
深入研究：
（3）依题意有
①10t=60+×60，
解得t=9；
②10t=2×60，
解得t=12；
③10t=60+2×60，
解得t=18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
（4）依题意有
①10t=（5t+60），
解得t=2.4；
②10t=（5t+60），
解得t=4；
③10t=（5t+60），
解得t=6．
故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
4 .如图，在长方形中，，，E是上的一点，且，点P从点C出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点A．设点P运动时间为，若的面积为，则t的值为 ．

【答案】或5
【分析】分两种情况：当点P在上，即时和当点P在上，即时．分别进行求解即可．
【详解】解：如图1，当点P在上，即时．

∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∴．
如图2，当点P在上，即时．

∵，
∴．
∵，，
∴，
解得．
综上所述，当或5时，的面积为．
故答案为：或5．
【点睛】此题考查了动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键
类型十三、古代问题
理解题意，将古代问题通过文字翻译转化成数学中的方程问题，方法理解题意，用代数式表示相关问题中的数量
【例13-1】我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳五折测之，绳少一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺．问绳长和井深各多少尺？
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】设井深为x尺，则绳长为：3（x+4）尺，根据把将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺，列方程即可．
【解答】解：设井深为x尺，则绳长为：3（x+4），依题意得：
3（x+4）＝5（x﹣1）．
解得x＝，
则3（x+4）＝．
答：绳长是尺，井深是尺．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，用代数式表示井深是此题的关键．
【例13-2】列方程解应用题：（我国古代问题）
跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？
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【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x＝150x+12×150，
解得：x＝20．
答：快马20天可以追上慢马．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，挖掘出隐含条件．
【例13-3】中国古代数学问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．请问甲、乙两个牧童各有羊数多少？
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】由乙说的话可得甲的羊比乙的羊多2只，可根据甲的话来列等量关系：甲的羊数+1＝2（乙的羊数﹣1），把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设乙有x只羊，则甲有（x+2）只羊，
x+2+1＝2（x﹣1），
解得x＝5，
∴x+2＝7．
答：甲牧童有羊7只，乙牧童有羊5只．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到甲乙羊的实际数量的等量关系是解决本题的突破点．
针对练习13
1.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设小和尚有x人，需要个馒头，则大和尚有人，需要个馒头，依据个和尚分个馒头，正好分完列方程即可．
【详解】解：设小和尚有x人，需要个馒头，则大和尚有人，需要个馒头，依题意得：
．
故选：A．
2 .《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣原文如下∶今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽；又三家合取一鹿，恰尽．问城中有家多少？大意为：现在有100只鹿要进城，城里的人家每家分一只，会有剩余分不完的鹿，如果再将剩余的鹿，3家合分一只，恰好分完．问城中有几户人家？问：城中有 户人家．
【答案】75
【分析】设城中共有x户人家，根据两次分掉的头数和等于100列出方程，然后解之即可．
【详解】解：设城中共有x户人家，依题意得：
，
解得：，
答：城中有75户人家．
故答案为：75
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程，找准数量关系：剩下的鹿的头数为城中总户数的是解题关键．
3 .古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两 长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”
(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；
(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？
【答案】(1)
(2)丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁
【分析】（1）根据他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两 长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子列式即可，再根据儿子只活了他全部年龄的一半列式；
（2）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设丢番图的寿命为x岁，
根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为岁，儿子的寿命为岁,
故答案为：，；
（2）设丢番图的寿命为岁，
根据题意得：，
解得：，
当时，可得儿子的寿命为，
答：丢番图的寿命为84岁，儿子的寿命为42岁．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解．
4 .《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？
【答案】天
【分析】首先设经过天相遇，根据题意可得等量关系：野鸭天的路程＋大雁天的路程，再根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：设经过天相遇，
根据题意，得∶ ，
解得：．
答：经过天相遇．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程
类型十四、新定义问题
理解新定义，按新定义给出的概念，法则，运算得出方程，解决问题。
【例14-1】1．新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“幸运数”．
（1）直接运用：最大的“幸运数”是 　9999　；
（2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数；
设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数；
（3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”；
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式；整式的加减．版权所有
【分析】（1）根据题意直接可得最大的“幸运数”9999；
（2）设任意一个“幸运数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则它的“相伴幸运数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，根据“幸运数”的定义可知a+b＝c+d，再计算（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝11（100a+100b+c+d），即可证明．
（3）设这个“幸运数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位数字是2a，又由0≤2a≤9，得到a的取值为1，2，3，4；百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m+n＝12，得到a＝2m﹣12，当m＝7时，a＝2，这个“幸运数”是2754；当m＝8时，a＝4，这个“幸运数”是4848．
【解答】解：（1）根据“幸运数”的定义可知：最大的“幸运数”9999，
故答案为：9999；
（2）设任意一个“幸运数”千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，则它的“相伴幸运数”千位数字为 b，百位数字为 a，十位数字为 d，个位数字为 c，且a+b＝c+d，
∵（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝11（100a+100b+c+d），
∴（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）能被 11 整除，
即“幸运数”与“相伴幸运数”之和是11的倍数．
（3）设“幸运数”的千位数字是 a，百位数字是 m，十位数字是 n，其中 a，m，n 均是正整数且 1 a 9，0 m 9，0 n 9，则个位数字是 2a，
又∵0 2a 9，
∴a 的取值为 1，2，3，4；
∵百位上的数字与十位上的数字之和是 12 的倍数，
∴m+n＝0 或 m+n＝12，
∵“幸运数”中 a+m＝n+2a，
∴m+n＝12，
∴a+m＝12﹣m+2a，即 a＝2m﹣12，
∴m 的取值为 7，8，9；
当 m＝7 时，a＝2，这个“幸运数”是 2754；
当 m＝8 时，a＝4，这个“幸运数”是 4848；
当 m＝9 时，a＝6，不成立；
综上所述，满足条件的“幸运数”是 2754 和 4848．
【点评】本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法，同时本题考查了多位数的表示方法，表示多位数时，应将数位上的数字乘对应的计数单位．
2．【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．
【特例感知】
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．
①【B，A】的幸运点表示的数是 　B　；
A．﹣1；B.0；C.1；D.2
②试说明A是【C，E】的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为 　2.5或7　．
【拓展应用】
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【考点】一元一次方程的应用；数轴．版权所有
【分析】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）设【M，N】的幸运点为P，P表示的数为p，由题意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四种情况讨论：①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB．
【解答】解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故选B．
②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸运点．
（2）设【M，N】的幸运点为P，P表示的数为p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案为7或2.5；
（3）由题意可得，AB＝60，BP＝3t，AP＝60﹣3t，
①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB，
∴60﹣3t＝3×3t，
∴t＝5；
②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA，
∴3t＝3×（60﹣3t），
∴t＝15；
③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，
∴60＝3（60﹣3t）
∴t＝；
④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB，
∴60＝3×3t，
∴t＝；
∴t为5秒，15秒，秒，秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．
【点评】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键．
针对练习14
1．[新定义]：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．
[特例感知]
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，
①[B，A]的幸运点表示的数是 　B　；
A．﹣1 B.0 C.1 D.2
②试说明A是[C，E]的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为 　7或2.5　．
[拓展应用]
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【考点】一元一次方程的应用；数轴．版权所有
【分析】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，由题意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四种情况讨论：①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB．
【解答】解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故选B．
②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸运点．
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案为7或2.5；
（3）由题意可得，BP＝5t，AP＝60﹣5t，
①当P是[A，B]的幸运点时，PA＝3PB，
∴60﹣5t＝3×5t，
∴t＝3；
②当P是[B，A]的幸运点时，PB＝3PA，
∴5t＝3×（60﹣5t），
∴t＝9；
③当A是[B，P]的幸运点时，AB＝3PA，
∴60＝3×（60﹣5t），
∴t＝8；
④当B是[A，P]的幸运点时，AB＝3PB，
∴60＝3×5t，
∴t＝4；．
∴t为3秒，9秒，8秒，4秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点..
【点评】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键．
2 .对于有理数、定义一种新运算，规定．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)10
(2)
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算；
（1）根据据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
（2）首先根据据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
解得．
3．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．
(1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值；
(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值；
(3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及新定义运算：
（1）根据“友好方程”的定义，结合的解为，得的解为。代数列式，即可作答．
（2）根据“友好方程”的定义，先表达某“友好方程”的两个解分别为，再列式计算，即可作答．
（3）先表达某“友好方程”的两个解分别为，，根据“友好方程”的定义再列式计算，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：方程的解为
因为关于的方程与方程是“友好方程”，
所以关于的方程的解为，
所以，
所以
（2）解：∵某“友好方程”的一个解为，
∴“友好方程”的另一个解为，
所以或，
所以或
（3）解：对于方程，
解为，
对于方程，
解为，
由题意可知：，
解得
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