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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十三 一元一次方程的应用（二）
类型五、数字问题
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：
任何数=∑（数位上的数字×位权） （54=5×10+4）
如两位数ab= 10a + b； 三位数abc= 100a + 10b + c
【例5-1】小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，如表是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
时间 里程情况
12：00 是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
13：00 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了．
14：00 比12：00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，那么根据以上信息回答下列问题：（结果均要化简）
（1）12：00时小明看到的数可表示为 　 　；
（2）13：00时小明看到的数可表示为 　 　，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 　 　；
（3）14：00时小明看到的数可表示为 　 　，13：00～14：00问摩托车行驶的路程是 　 　；
（4）利用一元一次方程求出小明在12：00时看到的里程碑上的数是多少？
．
【例5-2】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
针对练习5
1 .利用一元一次方程解应用题：一个两位数的十位数字和个位数字之和是7．如果这个两位数加上45，恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的新两位数．
（1）设这个两位数的十位数字为x，用含x式子表示这个两位数，并化简．
（2）求对调后新的两位数．
2．若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是 　368　，“明德数”是 　44　；
（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．
3．列方程解应用题
（1）一个两位数，设它的个位上的数字为x，十位上的数字比个位上的数字大1，这个两位数的2倍与2的和等于66，求这个两位数．
（2）现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求在路的两端各栽一棵，并且两棵树的间距相等．方案一：如果每隔5m栽一棵，则树苗还差21棵；方案二：如果每隔5.5m栽一棵，则树苗刚好用完．请问树苗有多少棵和这段公路有多少米？
4．一个两位数，个位与十位上的数字之和为12，如果交换个位与十位数字，则所得新数比原数大36，求原两位数．
5．一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？
6.．一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍．如果把十位上的数字和个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．
类型六、比赛积分问题
【例6-1】下面的表格是某次篮球比赛积分表：
某次篮球比赛积分表
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）如果删去积分表的最后一行，你能求出胜一场和负一场的得分吗？
（2）某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？
【例6-2】如表是某次篮球联赛积分表，请同学们认真观察后完成下列各题．
队名 比赛场次 胜场数 负场数 积分
A 16 12 4 28
B 16 12 4 28
C 16 10 6 26
D 16 10 6 26
E 16 8 8 24
F 16 8 8 24
G 16 4 12 20
H 16 0 16 16
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）若某队比赛了16场，它的胜场总积分能等于负场总积分吗？说明理由．
针对练习6
1．下表是某次篮球联赛积分榜的一部分：
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
飞龙 14 10 4 24
猎豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
备注：积分＝胜场积分+负场积分
（1）根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
（2）联赛中还有一支队伍，领队电话向组委会汇报，说他的队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你判断该领队的说法是否成立，并说明理由．#Z8A0
2．下表是某次篮球联赛积分榜的一部分（无平局）：
（1）根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
（2）联赛中还有一支队伍，领队电话向组委会汇报，说他的队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样
请你判断该领队的说法是否成立，并说明理由．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
飞龙 14 10 4 24
猎豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
备注：积分＝胜场积分+负场积分
3．数学课上，教师出示某区篮球赛积分表如下：
（1）从表中可以看出，负一场积　2　分，胜一场积　3　分；
（2）请你帮忙算出二队胜了多少场？
（3）在这次比赛中，一个队胜场总积分能不能等于它的负场总积分？
（4）在计算五队、六队胜出场次的时候，老师还没等同学们计算出来就立刻说出了答案，老师解释说：“我是通过找到积分与胜场之间的数量关系求出来的”，请你说出其中的奥秘．
类型七、和差倍分问题
搞清各数量之间的关系，注意关键词语，找出和差倍分关系中的关键字，“大、小、多，少，几分之几，增加、减少”等，根据题意设未知数，利用关键字表示出含有未知数的量，利用量与量的关系列方程。
【例7-1】儿子今年13岁，父亲今年38岁，几年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍？
【例7-2】2022年11月卡塔尔世界杯正式开赛，中国建造、中国制造大放异彩，彰显了中国在全球产业链中的地位．本次比赛使用的足球由我国首条足球自动化生产线生产，已知每条自动化生产线平均每天生产的足球数量比每条人工生产线平均每天生产的足球数量多2000个，并且每条人工生产线36天生产的足球数量是每条自动化生产线20天生产数量的，求每条自动化生产线平均每天生产足球的数量．
针对练习7
1 .某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，则去年这个学校购买了 台计算机．
2 .兔年春节之际，小文和几个同学要用自己的压岁钱为社区敬老院购买春节礼品，如果每人出80元，那么可剩余36元；如果每人出70元，那么还差14元．参加此次活动的共有 人．
3 .蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛和蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍．问蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若设蜘蛛有x只，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
类型八、日历问题
【例8-1】小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的么？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家？试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．（提示：7月1日﹣9月1日暑假）
【例8-2】（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方方框内的四个数的左上角的数为2，那么右下角的那个数是 　10　．
（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的右上角的数为10，那么左下角的那个数是 　4　．
（3）小文也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是45，则中间的那个数是 　9　．
（4）若干个偶数按每行8个数排成如图：
①图（一）中方框内的9个数的和与中间的那个数的关系是 　和是中间的数的9倍　．
②在图（二）中，如果所画的斜框内中间的一个数是40，那么斜框内这9个数的和等于 　360　．
③在图（二）中，所画的斜框内的9个数之和能等于180吗？若能，分别写出斜框内的9个数；若不能，请说明理由．
针对练习8
1．如表是2023年11月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数．（1）若被框住的4个数中最小的数为7，求出被框住的这4个数的和；
（2）设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和；
（3）被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由．
2．如图四幅图都是11月份的日历，请仔细观察该日历，回答下列问题：
（1）图1中带阴影的方框中的9个数字之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由；
（2）如果将带阴影的方框移至图2的位置，（1）中的关系还成立吗（无需说明理由）？
（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请证明你的结论；
（4）如图3，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出的结论是 　方框中对角两数之和相等　；
（5）如图4，对于带阴影的框中的4个数，又能得出的结论是 　方框中对角两数之和相等　．
3．数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘．
（1）在某月的日历上圈出2×2个数，
①用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为 　m+7　（用含字母m的式子表示）；
②用图2方框圈出四个数的和是32，那么第一个数是 　4　；
③用图3斜框圈出的四个数和是42，最大的数是 　14　；
（2）若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．
4．如图是某月的日历表，在此日历表上用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日历表若圈出5个数，是否存在这5个数的和为120，请说明理由．
类型九、程序输入问题
程序输入问题的解题一般思路是：按照所给程序中的运算法则、运算顺序转化成方程问题，解方程得出结论。
【例9-1】轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算．若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例9-2】按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是10，则最初输入的数是（　　）
A．4 B． C． D．
【例9-3】根据流程右边图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．不存在
针对练习9
1．按下面的程序计算：
若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的x值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．3或﹣1
3．观察如图所示的程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
4．按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是﹣1，则输出y的值为﹣1；若输出y的值为，则输入x的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．无法确定
5 .如图是一种数值转换机的运算程序
（1）若第1次输入的数为x＝1，则第1次输出的数为4，则第10次输出的数为　 　；若第1次输入的数为12，则第10次输出的数为　 　．
（2）若输入的数x＝5，求第2010次输出的数是多少？
（3）是否存在输入的数x，使第3次输出的数是x？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
类型十、比例分配问题
解决这类型问题的方法是：按照比例间接设立未知数，根据所给比例找等量关系。
【例10-1】平行四边形两邻边的比为,周长为，求这个平行四边形的四条边长分别是多少？
【例10-2】已知两条线段的差是10cm，这两条线段的比是2：3，求这两条线段的长．
针对练习10
2 .列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．
(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？
(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进入到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．
3 .根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有 瓶大瓶产品．
4 .某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5 .某村原有林地108公顷，旱地54公公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则为可列方程为 _____________ ．
6．甲、乙两人合资办一个企业，并协议按照投资额的比例多少分配所得利润．已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年利润为38 500元，问甲、乙两人分别可获得利润多少元？
7．学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需要4天，徒弟单独完成需要6天．
（1）徒弟先做一天，再两人合作．共得报酬450元，按各人完成的工作量计算报酬，师徒各得多少？
（2）两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，多出的部分按每人单独完成工作量的比例进行分配，师徒各得多少元？
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十三 一元一次方程的应用（二）（解析版）
类型五、数字问题
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：
任何数=∑（数位上的数字×位权） （54=5×10+4）
如两位数ab= 10a + b； 三位数abc= 100a + 10b + c
【例5-1】小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，如表是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
时间 里程情况
12：00 是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
13：00 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了．
14：00 比12：00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，那么根据以上信息回答下列问题：（结果均要化简）
（1）12：00时小明看到的数可表示为 　9x+7　；
（2）13：00时小明看到的数可表示为 　70﹣9x　，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 　63﹣18x　；
（3）14：00时小明看到的数可表示为 　99x+7　，13：00～14：00问摩托车行驶的路程是 　108x﹣63　；
（4）利用一元一次方程求出小明在12：00时看到的里程碑上的数是多少？
【分析】（1）由小明在12：00看到的两位数的两个数字之和为7及十位数字为x，可得出小明在12：00时看到的数的个位数字是（7﹣x），利用小明在12：00时看到的数＝10×十位数字+个位数字，即可用含x的代数式表示出小明在12：00时看到的数；
（2）利用小明在13：00时看到的数＝10×个位数字+十位数字，可用含x的代数式表示出小明在13：00时看到的数，再利用12：00～13：00间摩托车行驶的路程＝小明在13：00时看到的数﹣小明在12：00时看到的数，即可用含x的代数式表示出12：00～13：00间摩托车行驶的路程；
（3）利用小明在14：00时看到的数＝100×十位数字+个位数字，可用含x的代数式表示出小明在14：00时看到的数，再利用13：00～14：00间摩托车行驶的路程＝小明在14：00时看到的数﹣小明在13：00时看到的数，即可用含x的代数式表示出13：00～14：00间摩托车行驶的路程；
（4）根据摩托车的行驶速度不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（9x+7）中即可求出结论．
【解答】解：（1）∵小明在12：00看到的数是一个两位数字，它的两个数字之和为7，小明在12：00时看到的数的十位数字是x，
∴小明在12：00时看到的数的个位数字是（7﹣x），
∴小明在12：00时看到的数是10x+（7﹣x）＝9x+7．
故答案为：9x+7；
（2）根据题意得：13：00时小明看到的数是10（7﹣x）+x＝70﹣9x，
∴12：00～13：00间摩托车行驶的路程是70﹣9x﹣（9x+7）＝63﹣18x．
故答案为：70﹣9x，63﹣18x；
（3）根据题意得：14：00时小明看到的数是100x+（7﹣x）＝99x+7，
∴13：00～14：00问摩托车行驶的路程是99x+7﹣（70﹣9x）＝108x﹣63．
故答案为：99x+7，108x﹣63；
（4）根据题意得：63﹣18x＝108x﹣63，
解得：x＝1，
∴9x+7＝9×1+7＝16．
答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）（2）（3）根据各数之间的关系，用含x的代数式表示出各数；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【例5-2】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
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【分析】设这个两位数的十位数字是x，则个位数字是6﹣x，根据把这个两位数加上18后，比十位数字大56的等量关系列出方程解答即可．
【解答】解：设这个两位数的十位数字是x，则个位数字是6﹣x，由题意得
10x+6﹣x+18﹣x＝56，
解得：x＝4，
6﹣x＝6﹣4＝2．
答：这个两位数是42．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，理解题意，掌握数的计数方法是解决问题的关键．
针对练习5
1 .利用一元一次方程解应用题：一个两位数的十位数字和个位数字之和是7．如果这个两位数加上45，恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的新两位数．
（1）设这个两位数的十位数字为x，用含x式子表示这个两位数，并化简．
（2）求对调后新的两位数．
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，用含x式子表示这个两位数即可求解；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，进一步求得这个两位数．
【解答】解：（1）用含x式子表示这个两位数为10x+（7﹣x）＝9x+7；
（2）依题意有
9x+7+45＝10（7﹣x）+x，
解得x＝1，
10（7﹣x）+x＝10×6+1＝61．
故对调后新的两位数为61．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数字问题，方程思想是很重要的数学思想．
2．若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是 　368　，“明德数”是 　44　；
（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．
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【分析】（1）根据“至善数”和“明德数”的定义计算即可得答案；
（2）设M的十位数字为a，个位数字为b，分别写出M的“至善数”和“明德数”的各个数位上的数字之和，“明德数”的个位可能存在进位，故分两类计算即可．
【解答】解：（1）38的“至善数”是368；“明德数”是38+6＝44．
故答案为：368；44；
（2）设M的十位数字为a，个位数字为b，则M的至善数的各位数字之和是a+6+b．
M的明德数各位数字之和是a+b+6（当0≤b＜4时）或a+1+（6+b﹣10）（当4≤b≤9时）．
由题意得：0≤b＜4时，a+b+6＝（a+6+b）．
∴a+b＝﹣6，不符合题意；
或者：当4≤b≤9时，a+1+（6+b﹣10）＝（a+6+b）．
∴a+b＝12．
∴a＝3，b＝9或a＝4，b＝8或a＝5，b＝7或a＝6，b＝6或a＝7，b＝5或a＝8，b＝4．
∴满足条件的所有两位正整数M的值是：39或48或57或66或75或84．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，此题属于新定义在数字问题中的应用，读懂定义并正确列式是解题的关键．
3．列方程解应用题
（1）一个两位数，设它的个位上的数字为x，十位上的数字比个位上的数字大1，这个两位数的2倍与2的和等于66，求这个两位数．
（2）现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求在路的两端各栽一棵，并且两棵树的间距相等．方案一：如果每隔5m栽一棵，则树苗还差21棵；方案二：如果每隔5.5m栽一棵，则树苗刚好用完．请问树苗有多少棵和这段公路有多少米？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．版权所有
【分析】（1）设个位上的数字为x，则十位上的数字为x+1，由题意：这个两位数的2倍与2的和等于66，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设这段公路有x米，由题意：如果每隔5m栽一棵，则树苗还差21棵；如果每隔5.5m栽一棵，则树苗刚好用完．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设个位上的数字为x，则十位上的数字为x+1，
由题意得：2[10（x+1）+x]+2＝66，
解得：x＝2，
∴x+1＝3，
答：这个两位数为32．
（2）设这段公路有x米，
由题意得：+1﹣21＝+1，
解得：x＝1155，
∴+1﹣21＝231+1﹣21＝211，
答：树苗有211棵，这段公路有1155米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．一个两位数，个位与十位上的数字之和为12，如果交换个位与十位数字，则所得新数比原数大36，求原两位数．
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【分析】设个位上的数字为x，则十位上的数字为12﹣x．根据等量关系“交换个位与十位数字，则所得新数比原数大36”列出方程并求解．
【解答】解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为12﹣x，列方程得
10（12﹣x）+x+36＝10x+（12﹣x），
解得：x＝8，
12﹣8＝4．
答：原两位数为48．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
5．一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】根据两位数的确定方法列出一元一次方程即可求得结果．
【解答】解：方法一：
设个位数字为x，则十位数字为x﹣2，两位数为10（x﹣2）+x．
根据题意，得
10x+（x﹣2）+10（x﹣2）+x＝154
解得x＝8，x﹣2＝6．
∴10（x﹣2）+x＝68．
∴原两位数是68．
方法二：
设个位数字为x，十位数字为y，两位数为10y+x．
根据题意，得
解得
∴10y+x＝68．
∴原两位数是68．
答：原两位数是68．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是确定两位数.
6 .一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍．如果把十位上的数字和个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．
【分析】两位数问题，一般都是设个位数或十位数，不能设某个两位数是谁．设原来的这个两位数十位数字为x，则个位数字为3x．利用新数﹣原数＝36，列方程求解即可．
【解答】解：设原十位数字为x，个位数字为3x，由题意得：
（3x×10+x）﹣（10x+3x）＝36，
解之得：x＝2，
故原数为2×10+6＝26；
答：原来的这个两位数是26．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
类型六、比赛积分问题
【例6-1】下面的表格是某次篮球比赛积分表：
某次篮球比赛积分表
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）如果删去积分表的最后一行，你能求出胜一场和负一场的得分吗？
（2）某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？
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【分析】（1）设胜一场积x分，则负一场积分，依照光明队的胜负场次及得分情况可列出一元一次方程，求解即可；
（2）设胜场数是y，负场数是（14﹣y），结合（1）中结论，根据负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍，列一元一次方程求解即可．
【解答】解：（1）设胜一场积x分，则负一场积分，
根据题意可得：，
解得：x＝2，
则，
答：胜一场得分为2，负一场的得分为1；
（2）设胜场数是y，负场数是（14﹣y），依题意得：
4y＝14﹣y，
解得：y＝（不符合题意），
答：某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分的2倍．
【点评】本题考查了一元一次方程在比赛问题中的应用，恰当地设未知数并正确地列方程是解题的关键．
【例6-2】如表是某次篮球联赛积分表，请同学们认真观察后完成下列各题．
队名 比赛场次 胜场数 负场数 积分
A 16 12 4 28
B 16 12 4 28
C 16 10 6 26
D 16 10 6 26
E 16 8 8 24
F 16 8 8 24
G 16 4 12 20
H 16 0 16 16
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）若某队比赛了16场，它的胜场总积分能等于负场总积分吗？说明理由．
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【分析】（1）如果一个队胜x场，根据比赛场次为16次，从而可得出负（16﹣x）场，再根据积分＝胜场积分+负场的积分即可求解；
（2）根据等量关系：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分得出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可．
【解答】解：（1）如果一个队胜x场，则负（16﹣x）场，胜场积分为2x分，负场积分为（16﹣x）分，总积分为2x+（16﹣x）＝16+x分．
故总积分与胜、负场数之间的数量关系为：2x+（16﹣x）＝16+x．
（2）根据题意得：
2x＝16﹣x
3x＝16
x＝，不是正整数，
则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，用字母表示数，解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分．
针对练习6
1．下表是某次篮球联赛积分榜的一部分：
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
飞龙 14 10 4 24
猎豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
备注：积分＝胜场积分+负场积分
（1）根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
（2）联赛中还有一支队伍，领队电话向组委会汇报，说他的队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你判断该领队的说法是否成立，并说明理由．#Z8A0
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【分析】（1）设胜一场积x分、负一场积y分，根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出答案；
（2）设该队胜场数为a场，则负场数为（14﹣a）场，根据队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，列出方程，解出并分析，即可得出结论．
【解答】解：（1）设胜一场积x分、负一场积y分，
根据题意，可得：，
解得：，
∴胜一场积2分、负一场积1分；
（2）该领队的说法不成立，理由如下：
设该队胜场数为a场，则负场数为（14﹣a）场，
根据题意，可得：2a＝14﹣a，
解得：，
∵a为整数，
∴不符合题意，舍去，
∴该队伍在比赛中获得胜场和负场的积分不一样多，
∴该领队的说法不成立．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确找出等量关系．
2．下表是某次篮球联赛积分榜的一部分（无平局）：
（1）根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
（2）联赛中还有一支队伍，领队电话向组委会汇报，说他的队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样
请你判断该领队的说法是否成立，并说明理由．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
飞龙 14 10 4 24
猎豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
备注：积分＝胜场积分+负场积分
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【分析】（1）先根据猛虎队得知负一场积1分，再根据小牛队的积分列方程求解；
（2）假设成立，列方程求解．
【解答】解：（1）由猛虎队的积分知，负一场积1分，
设胜一场积x分，
则：7x+7＝21，
解得：x＝2，
答：胜一场积2分，负一场积1分；
（2）不成立，设该队胜了m场，则该队负了（14﹣m）场，
则2m＝（14﹣m）×1，
解得，
因为m必须是整数，
所以该队长说法不成立．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
3．数学课上，教师出示某区篮球赛积分表如下：
（1）从表中可以看出，负一场积　2　分，胜一场积　3　分；
（2）请你帮忙算出二队胜了多少场？
（3）在这次比赛中，一个队胜场总积分能不能等于它的负场总积分？
（4）在计算五队、六队胜出场次的时候，老师还没等同学们计算出来就立刻说出了答案，老师解释说：“我是通过找到积分与胜场之间的数量关系求出来的”，请你说出其中的奥秘．
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【分析】（1）根据三队的积分和负的场数可以得到负一场的积分，再根据一队的积分和胜场数可以得到胜一场的积分；
（2）根据（1）中的结果和二队的总积分，可以列出相应的方程，从而可以得到二队胜了多少场；
（3）根据题意，列出相应的方程，看方程的解是否为整数，即可解答本题；
（4）根据胜一场的积分和负一场的积分，以及总的比赛11场，可以写出其中的奥秘．
【解答】解：（1）由表格可得，
负一场积分：22÷11＝2（分），胜一场积分为：（32﹣1×2）÷10＝3（分），
故答案为：2，3；
（2）设二队胜了x场，则负了（11﹣x）场，
3x+2（11﹣x）＝29，
解得，x＝7，
答：二队胜了7场；
（3）设一个队胜了a场，负了（11﹣a）场，
3a＝2×（11﹣a），
解得，a＝4，
∵胜利的场数为整数，
∴一个队胜场总积分不能等于它的负场总积分；
（4）其中的奥秘是：胜一场比负一场多1分，一共11场，最少22分，只要看最后得分比22分多几分，就代表胜了几场，从而可以快速的说出五队、六队胜出的场次．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
类型七、和差倍分问题
搞清各数量之间的关系，注意关键词语，找出和差倍分关系中的关键字，“大、小、多，少，几分之几，增加、减少”等，根据题意设未知数，利用关键字表示出含有未知数的量，利用量与量的关系列方程。
【例7-1】儿子今年13岁，父亲今年38岁，几年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍？
【答案】12
【分析】设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，然后根据题意给出的等量关系即可求出答案．
【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，
∴，
解得：，
故答案为：12
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题意中的等量关系，本题属于基础题型．
【例7-2】2022年11月卡塔尔世界杯正式开赛，中国建造、中国制造大放异彩，彰显了中国在全球产业链中的地位．本次比赛使用的足球由我国首条足球自动化生产线生产，已知每条自动化生产线平均每天生产的足球数量比每条人工生产线平均每天生产的足球数量多2000个，并且每条人工生产线36天生产的足球数量是每条自动化生产线20天生产数量的，求每条自动化生产线平均每天生产足球的数量．
【答案】3000个
【分析】每条自动化生产线平均每天生产x个足球，根据每条人工生产线36天生产的足球数量是每条自动化生产线20天生产数量的列出方程，解之即可．
【详解】解：设每条自动化生产线平均每天生产x个足球，
由题意可得：，
解得：，
∴每条自动化生产线平均每天生产3000个足球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是设出合适的未知数，找到等量关系，列出方程．
针对练习7
1 .某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，则去年这个学校购买了 台计算机．
【答案】40
【分析】此题等量关系为：前年购买计算机台数+去年购买计算机台数+今年购买计算机台数．
【详解】解：设前年这个学校购买了台计算机，
根据题意得：，
解得：．
．
答：去年这个学校购买40台计算机．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语“三年共购买计算机140台”，就找到了相应的等量关系．
2 .兔年春节之际，小文和几个同学要用自己的压岁钱为社区敬老院购买春节礼品，如果每人出80元，那么可剩余36元；如果每人出70元，那么还差14元．参加此次活动的共有 人．
【答案】5
【分析】设此次参加活动的共有x人，根据购买春节礼品的总钱数不变，可得方程，解之即可．
【详解】解：设此次参加活动的共有x人，
由题意可得：，
解得：，
∴此次参加活动的共有5人，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3 .蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛和蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍．问蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若设蜘蛛有x只，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设蜘蛛有x只，根据蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍，以及它们共有120条腿，列出方程即可．
【详解】解：设蜘蛛有x只，则蜻蜓有只，由题意，得：
；
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
类型八、日历问题
【例8-1】小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的么？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家？试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．（提示：7月1日﹣9月1日暑假）
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【分析】根据题意设小赵是x号出去的那么建立等量关系x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝84，小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得，同上建立等量关系y+（y﹣1）+（y﹣2）+（y﹣3）+（y﹣4）+（y﹣5）+（y﹣6）＝84．
【解答】解：设小赵是x号出去的，那么列出方程式x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝84，
简化7x+21＝84，
解得x＝9．
答：小赵是9号出去的．
设小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得：
7y+7＝84，
解得y＝11；
回来的日期是：
11+3＝14（号）．
或7y+8＝84，
解得 y＝10，不合题意舍去．
答：小赵是9号出去的，小王是7月14号回来的．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．此题的关键是知道七天中第两天相差为1，然后依题意列出方程即可，但在第二问中，还有一个月份的问题，这就要我们先假设七月或八月，哪一个能答出整数哪一个就是正确的答案，这还要生活常识，知道学生的暑假一般在七八月这两个月．
【例8-2】（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方方框内的四个数的左上角的数为2，那么右下角的那个数是 　10　．
（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的右上角的数为10，那么左下角的那个数是 　4　．
（3）小文也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是45，则中间的那个数是 　9　．
（4）若干个偶数按每行8个数排成如图：
①图（一）中方框内的9个数的和与中间的那个数的关系是 　和是中间的数的9倍　．
②在图（二）中，如果所画的斜框内中间的一个数是40，那么斜框内这9个数的和等于 　360　．
③在图（二）中，所画的斜框内的9个数之和能等于180吗？若能，分别写出斜框内的9个数；若不能，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可．
【解答】解：（1）设第一个数是2，其他的数为2+1，2+7，2+8，
则右下角的那个数是2+8＝10．
故答案为：10；
（2）右上角的数是10，其他的数为10﹣1，10﹣7，10﹣6，
则左下角的数是10﹣6＝4．
故答案为：4；
（3）设中间的数是x，
则5x＝45，
解得x＝9；
故答案为：9；
（4）①和是中间的数的9倍．
故答案为：和是中间的数的9倍；
②根据规律可知，和是中间的数的9倍，
9×40＝360，
故答案为：360；
③设中间的数是x，
则9x＝180，
解得x＝20（不合题意舍去）．
故所画的斜框内的9个数之和不能等于180．
【点评】考查了一元一次方程的应用．考查了学生基本的计算能力和找规律的能力，解答时可联系生活实际去解．
针对练习8
1．如表是2023年11月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数．（1）若被框住的4个数中最小的数为7，求出被框住的这4个数的和；
（2）设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和；
（3）被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式；整式的加减．版权所有
【分析】（1）根据数的排布规律即可找出框中的四个数，将其相加即可得出结论；
（2）结合规律找出被框住的4个数相加即可得出结论；
（3）结合（2）以及被框住的4个数之和等于100即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，由x+15的值为31不符合实际意义可求解．
【解答】解：（1）由题意知：被框住的4个数分别为：7、14、21、22，
7+14+21+22＝64，
∴这4个数的和为64；
（2）∵被框住的4个数中最小的数为x，
∴框中的四个数分别为：x、x+7、x+14、x+15，
∴被框住的4个数的和是x+x+7+x+14+x+15＝4x+36．
故答案为：4x+36．
（3）不能，理由如下：
根据题意得：4x+36＝100，
解得：x＝16，
∵x+15＝31，
∴而十一月份没有31天，
∴被框住的4个数的和不能等于100．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据正方形框住4个数的和列出一元一次方程是解题的关键．
2．如图四幅图都是11月份的日历，请仔细观察该日历，回答下列问题：
（1）图1中带阴影的方框中的9个数字之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由；
（2）如果将带阴影的方框移至图2的位置，（1）中的关系还成立吗（无需说明理由）？
（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请证明你的结论；
（4）如图3，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出的结论是 　方框中对角两数之和相等　；
（5）如图4，对于带阴影的框中的4个数，又能得出的结论是 　方框中对角两数之和相等　．
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【分析】（1）根据题意列式计算求解；
（2）根据题意列式计算求解；
（3）根据题意列式计算求解；
（4）根据题意列式计算求解；
（5）根据题意列式计算求解．
【解答】解：（1）带阴影的方框中的9个数字之和等于方框正中心的数的9倍，
理由：7+8+9+14+15+16+21+22+23＝135＝15×9；
（2）将带阴影的方框移至图2的位置（1）中的关系还成立；
（3）带阴影的方框内的9个数字的和等于中间数字的9倍；
理由：设最中间位置上的数字为x，
则：x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝9x；
（4）如果带阴影的方框里的数是4个，则：方框中对角两数之和相等，
故答案为：方框中对角两数之和相等；
（5）如图4，对于带阴影的框中的4个数，则方框中对角两数之和相等，
故答案为：方框中对角两数之和相等．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
3．数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘．
（1）在某月的日历上圈出2×2个数，
①用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为 　m+7　（用含字母m的式子表示）；
②用图2方框圈出四个数的和是32，那么第一个数是 　4　；
③用图3斜框圈出的四个数和是42，最大的数是 　14　；
（2）若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．版权所有
【分析】（1）①根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示出来即可；
②设第一个数是x，根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可；
③设最大的数是y，根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可；
（2）设第一个数是n，根据图4上的数据规律把所要求的数用代数式表示求解即可．
【解答】解：（1）①用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为m+7．
故答案为：m+7；
②设第一个数是x，依题意有：
x+x+1+x+7+x+8＝32，
解得：x＝4．
故答案为：4；
③设最大的数是y，依题意有：
y+y﹣1+y﹣6+y﹣7＝42，
解得：y＝14．
故答案为：14；
（2）设第一个数是n，
则这四个数的和是n+n+2+n+14+n+16＝4n+32，
∵n为偶数，
∴4n+32是8的整数倍．
故这四个数的和是8的整数倍．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
4．如图是某月的日历表，在此日历表上用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日历表若圈出5个数，是否存在这5个数的和为120，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，根据“这5个数的和为120”列出x的一元一次方程，求出x的值，进而求出这5个数．
【解答】解：不能，理由如下：
设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，
根据题意：这5个数的和为120，则x+x﹣7+x﹣1+x+1+x+7＝120，
解得x＝24，
即圈出5个数分别为17，24，31，23，25．
由于该月没有31号，所以不能圈出5个数字的和为120．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设第二行中间数为x，用x表示出其他四个数，此题难度不大．
类型九、程序输入问题
程序输入问题的解题一般思路是：按照所给程序中的运算法则、运算顺序转化成方程问题，解方程得出结论。
【例9-1】轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算．若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．版权所有
【分析】根据题意列出等式，进而可以求解
【解答】解：由题意可得，
当输入x时，3x﹣1＝41，解得：x＝14，
即输入x＝14，输出结果为41；
当输入x满足3x﹣1＝14时，解得x＝5，
即输入x＝5，结果为14，再输入14可得结果为41，；
同理：
当输入9x﹣4时，3（9x﹣4）﹣1＝41，即：27x﹣13＝41，解得：x＝2，
当输入27x﹣13时，3（27x﹣13）﹣1＝41，即：81x﹣40＝41，解得：x＝1，
∵x为正整数，
∴x的值可取1或2或5或14，
故选：D．
【点评】本题考查了代数式的值，根据题意列出等式是解决本题的关键．
【例9-2】按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是10，则最初输入的数是（　　）
A．4 B． C． D．
【考点】解一元一次方程．版权所有
【分析】先根据所给的程序图列出一元一次方程，再根据等式的性质求出x的值即可．
【解答】解：由程序图可知：
4[4（4x﹣6）﹣6]﹣6＝10，
移项、合并同类项得，64x＝136，
化系数为1得，x＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，根据题意列出方程式是解答此题的关键．
【例9-3】根据流程右边图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．不存在
【考点】解一元一次方程．版权所有
【分析】分别把y＝1代入左右两边的算式求出x的值，哪边的x的值满足取值范围，则哪边求出的x的值就是输入的x的值．
【解答】解：∵输出数值y为1，
∴x+5＝1时，解得x＝﹣8，
﹣x+5＝1时，解得x＝8，
∵﹣8＜1，8＞1，
都不符合题意，故不存在．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，题目比较新颖，有创意，需要先求出x的值再根据条件判断是否符合．
针对练习9
1．按下面的程序计算：
若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【考点】一元一次方程的应用；代数式求值．版权所有
【分析】根据最后输出的结果可以列出关于x的方程5n+1＝656，通过解方程可得它前面的那个数，接下来可求出符合题意的正整数．
【解答】解：由题意可知：
5n+1＝656，n＝131，
5n+1＝131，n＝26，
5n+1＝26，n＝5，
5n+1＝5，n＝0.8，
∵n值为正整数，
∴n＝0.8不符合题意．
n的值可取131，26，5，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式求值以及一元一次方程的应用，关键是找出题中的等量关系．
2．观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的x值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．3或﹣1
【考点】解一元一次方程．版权所有
【分析】分当x＞0时，当x＜0时，两种情况根据输出的结果为5建立方程求解即可．
【解答】解：当x＞0时，
∵输出的结果为5，
∴2x﹣1＝5，
解得x＝3；
当x＜0时，
∵输出的结果为5，
∴|x|+2＝5，
∴﹣x+2＝5，
解得x＝﹣3；
综上所述，输入的x值为3或﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的计算，分类讨论是解题的关键．
3．观察如图所示的程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
【考点】一元一次方程的解．版权所有
【分析】根据输出结果为3，得到关于x的方程，求解得结论．
【解答】解：（1）当|x|+2＝3时，|x|＝1．
∴x＝±1．
由于x＜0，
∴x＝﹣1；
（2）当2x﹣1＝3时，x＝2．
所以当输出的结果为3，则输入的x值为2或﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
4．按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是﹣1，则输出y的值为﹣1；若输出y的值为，则输入x的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．无法确定
【考点】解一元一次方程．版权所有
【分析】根据“输入x的值是﹣1，输出y的值为﹣1”求出a的值，再分两种情况：①当x≥﹣2时，②当x＜﹣2时y的值为，分别求出x的值即可．
【解答】解：∵﹣1＞﹣2，
∴把x＝﹣1，y＝﹣1代入y＝得，，
解得，a＝1，
∴y＝或y＝3x+1，
∴当输出y的值为，分两种情况：
①当x≥﹣2时，＝，解得x＝1；
②当x＜﹣2时，＝3x+1，解得x＝﹣＞﹣2，舍去，
∴输出y的值为时，输入x的值是1，
故选：A．
【点评】考查了代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，注意分类讨论．
5 .如图是一种数值转换机的运算程序
（1）若第1次输入的数为x＝1，则第1次输出的数为4，则第10次输出的数为　4　；若第1次输入的数为12，则第10次输出的数为　3　．
（2）若输入的数x＝5，求第2010次输出的数是多少？
（3）是否存在输入的数x，使第3次输出的数是x？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）（2）由图示知，当输入的数x为偶数时，输出x，当输入的数x是奇数时，输出x+3．按此规律计算即可求解；
（2）分x为奇数，x为偶数两种情况，根据输入的数x，使第3次输出的数是x，路程方程求解即可．
【解答】解：（1）当第1次输入的数为x＝1时，
第一次输出1+3＝4，
第二次输出4×＝2，
第三次输出2×＝1，
三个一循环，则第10次输出的数为4；
当第1次输入的数为x＝12时，
第一次输出12×＝6，
第二次输出6×＝3，
第三次输出3+3＝6，
二个一循环，则第10次输出的数为3；
（2）当第1次输入的数为x＝5时，
第一次输出5+3＝8，
第二次输出8×＝4，
第三次输出4×＝2，
第四次输出2×＝1，
第五次输出1+3＝4，
三个一循环，则第2010次输出的数为2；
（3）当x为奇数时，有（x+3）+3＝x，解得x＝9（舍去），
×（x+3）＝x，解得x＝1，
当x为偶数时，有××x＝x，解得x＝0，
×x+3＝x，解得x＝4，
×（x+3）＝x，解得x＝2，
综上所述，x＝0或1或2或4．
【点评】考查了一元一次方程的应用，本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，注意输入的数x分为偶数和奇数两种情况．
类型十、比例分配问题
解决这类型问题的方法是：按照比例间接设立未知数，根据所给比例找等量关系。
【例10-1】平行四边形两邻边的比为,周长为，求这个平行四边形的四条边长分别是多少？
解：根据题意设一条边的长为2x，另一条为5x，则有 2(2x+5x)=28 ， 解得：x=2． 所以2x=4 , 5x=10
即这四条边的长分别为：4cm，10cm, 4cm，10cm
【解析】根据题意设一条线段长为2x，另一条为5x，继而可列出方程求出答案.
【例10-2】已知两条线段的差是10cm，这两条线段的比是2：3，求这两条线段的长．
【答案】解：根据题意设一条线段长为2x，另一条为3x，则有 3x-2x=10 ， 解得：x=10cm．
即这两条线段的长分别为：20cm，30cm
【解析】根据题意设一条线段长为2x，另一条为3x，继而可列出方程求出答案．
针对练习10
1 .新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？
【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元
【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方程求解即可；
【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得，
3x+4x+5x=216，
解得，x=18．
所以3x=54，4x=72，5x=90；
答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键．
2 .列方程解应用题，若没有列方程，则给0分．
(1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？
(2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进入到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．
【答案】(1)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．
(2)这列火车的长度300m．
【分析】（1）设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果．
（2）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】（1）解：设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，
依题意得：x＋2x＋14x＝25500
解得：x＝1500
∴2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000
答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台．
（2）解：设火车的长度为x m，
根据题意得：，
解得：x＝300，
答：这列火车的长度300m．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解本题的关键．
3 .根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有 瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．
4 .某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程．
5 .某村原有林地108公顷，旱地54公公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则为可列方程为 _____________ ．
【答案】20%（108+x）=54﹣x
【解析】【解答】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x=20%（108+x）．
故答案为：20%（108+x）=54﹣x．
设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
6 .甲、乙两人合资办一个企业，并协议按照投资额的比例多少分配所得利润．已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年利润为38 500元，问甲、乙两人分别可获得利润多少元？
【分析】此题的等量关系是甲乙所得利润和为38500元，解题的关键是抓住此类题目的设法，此题可设甲乙可获得利润分别是3x元、4x元，列方程即可．
【解答】解：设甲乙可获得利润分别是3x元、4x元，
由题意得，3x+4x＝38500，
解得：x＝5500．
∴甲乙可获得利润分别是16500元、22000元．
答：甲获得的利润为16500元，乙获得的利润为22000元．
【点评】此题贴近于学生生活实际，利于学生理解，但要把握好比例问题中未知数得设法，设一份为x元，则甲乙可获得利润分别是3x元、4x元．
7．学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需要4天，徒弟单独完成需要6天．
（1）徒弟先做一天，再两人合作．共得报酬450元，按各人完成的工作量计算报酬，师徒各得多少？
（2）两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，多出的部分按每人单独完成工作量的比例进行分配，师徒各得多少元？
【分析】根据师徒单独制作时间可知，师傅一天可以完成广告牌的，徒弟一天可以完成广告牌的．
（1）设师傅工作了x天，则徒弟工作了（x+1）天，根据总工作量＝徒弟完成的工作量+师傅完成的工作量即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据报酬的分配方式为按各人完成的工作量计算，即可求出师徒各得多少钱；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可求出制作广告牌需要的时间，结合两人的工作效率即可求出各自完成的工作量，再根据报酬的分配方式即可求出师徒各自获得的报酬，此题得解．
【解答】解：根据师徒单独制作时间可知，师傅一天可以完成广告牌的，徒弟一天可以完成广告牌的．
（1）设师傅工作了x天，则徒弟工作了（x+1）天，
根据题意，得：x+（x+1）＝1，
解得：x＝2．
师傅获得的报酬为×2×450＝225（元），
徒弟获得的报酬为450﹣225＝225（元）．
答：师傅获得的报酬为225元，徒弟获得的报酬为225元．
（2）师徒二人共同工作的时间为：1÷（+）＝（天），
徒弟完成了广告牌的×＝，
师傅完成了广告牌的×＝，
师徒完成工作量相同的部分占广告牌的×2＝，
徒弟获得的报酬为：450××＝144（元），
师傅获得的报酬为：450﹣144＝306（元）．
答：师傅获得的报酬为306元，徒弟获得的报酬为144元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程（或列式计算）是解题的关键．
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