资源简介

复数的三角表示 学案
【目录】
【新知讲解】
知识点1.复数的三角表示式
知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【方法练】
【创新练】
【成果练】
【知识导图】
【新知讲解】
知识点1.复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辐角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
例1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.
(1)；
(2)．
例2．（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
例3．（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)；
(2)．
例4．（2023·全国·高一随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．
知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
例一、多选题
1．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考开学考试）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
例二、解答题
2．（2021下·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）设复数，
(1)写出的三角形式；
(2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式．
3．（2023·全国·高一课堂例题）解方程，并将其所有的根用复平面上的点表示，观察以这些点为顶点的多边形是什么性状．
4．（2023·全国·高一课堂例题）根据乘任意复数z的几何意义计算：
(1)；
(2)．
【方法练】
一、单选题
1．（2022·高一课前预习）若，则（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2020·高一课时练习）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
三、填空题
5．（2021下·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示).
四、解答题
6．（2020·高一课时练习）化简下列各式.
（1）；
（2）.
7．（2022·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)．
8．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，试用多种解法求解．
【创新练】
一、单选题
1．（2020·高一课时练习）________.
A． B．
C． D．
2．（2023下·高一单元测试）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2020·高一课时练习）计算： .
6．（2022·高一课时练习）将复数化为三角形式： ．
四、解答题
7．（2021·高一课时练习）已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.
8．（2023·全国·高一课堂例题）将正实数连续四次乘得到，，，，并将这些数用复平面上的点，，，表示，观察这些点的相互位置关系，你发现了什么？
【成果练】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）如果，那么复数的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2021下·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022下·高一课时练习）（多选题）关于复数，，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．复数是由顺时针旋转得到的
C．复数和的夹角为
D．复数是由逆时针旋转，再拉伸为原来的倍得到的
三、填空题
5．（2022下·高一单元测试）已知复数，，则 .
6．（2023·高一课时练习）计算： ．
7．（2021·高一课时练习）复数，则 .
四、解答题
8．（2023·全国·高一随堂练习）计算的5次方根．
9．（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
10．（2023·全国·高一随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．

11．（2021·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．
12．（2022·高一课时练习）由方程得的三个根为，则．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了的有理分解式．请你仿此将进行有理分解．
13．（2021下·福建莆田·高一仙游一中校考阶段练习）已知z＝cosθ－sin θ＋＋i(cosθ＋sinθ).
(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示).
14．（2023·高一课时练习）复数的辐角主值是，且为一实数，求复数．复数的三角表示 学案
【目录】
【新知讲解】
知识点1.复数的三角表示式
知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【方法练】
【创新练】
【成果练】
【知识导图】
【新知讲解】
知识点1.复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辐角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
例1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)不是，理由见解析；
【分析】根据复数的三角形式即可判断.
【详解】（1）括号内两项中间不是加号，故不是复数的三角形式，
其三角形式为.
（2）不满足复数的模大于等于0，故不是复数的三角形式，
其三角形式为.
例2．（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，画向量见解析
(2)，画向量见解析
(3)，画向量见解析
(4)，画向量见解析
【分析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.
【详解】（1）6对应的向量如答图中，
，又，
.

（2）对应的向量如答图中，
，
又，.

（3）对应的向量如答图中
，
又，.

（4）对应的向量如答图中，
，
又，.

例3．（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】由诱导公式及特殊角的三角函数化简即可.
【详解】（1）；
（2）.
例4．（2023·全国·高一随堂练习）将复数对应的向量旋转，求所得向量对应的复数．
【答案】
【分析】利用欧拉公式表达出原复数，利用旋转即可得出旋转后所得向量对应的复数.
【详解】由题意，
旋转后，变为，
∴旋转后所得向量对应的复数为.
知识点2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
例一、多选题
1．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考开学考试）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可判断A；根据复数的除法运算即可判断B；根据向量的数量积的运算律求出与的夹角的余弦值即可判断C；结合C选项即可判断D.
【详解】因为，，，
所以，则，
对于A，，
故
，
，
所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，设与的夹角为，
若，则，
即，
即，所以，
所以，即与的夹角为，故C错误；
对于D，若，则，
则，
即，由C选项可知与的夹角为，
同理与的夹角为，与的夹角为，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
例二、解答题
2．（2021下·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）设复数，
(1)写出的三角形式；
(2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据公式，即可直接得出答案；
（2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2）由已知可设，
则.
所以，.
由已知可得，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
3．（2023·全国·高一课堂例题）解方程，并将其所有的根用复平面上的点表示，观察以这些点为顶点的多边形是什么性状．
【答案】答案见解析.
【分析】应用复数的三角表示及几何意义即可得解.
【详解】在复平面C上，用向量来表示复数。
于是，该向量可以分成两个在实轴、虚轴上的分向量。
如果向量与实轴正方向的夹角为 ，
那么这两个分向量分别等于（其中）。
所以，复数可表示为，
设，，则
且
且．
由于正弦、余弦函数的周期均是，为避免复数根重复，只在范围内取值，
于是取0，1，2三个值，得三个不同的根1，，．
在复平面上画出表示这三个根的点，，，如图所示．
观察发现，以这三点为顶点的是以原点为圆心的单位圆的内接正三角形，三个顶点等分圆周．

4．（2023·全国·高一课堂例题）根据乘任意复数z的几何意义计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)1
【分析】（1）根据乘任意复数z的几何意义求解即可.
（2）根据乘任意复数z的几何意义求解即可.
【详解】（1）设，
则用乘任意复数，其几何意义是将对应的向量旋转45°，
于是，用乘的几何意义是将对应的向量连续旋转两个45°，
也就是将对应的向量旋转90°，又由虚数单位乘任意复数的几何意义可知，
，即．
（2）设，
则用乘任意复数，其几何意义是将对应的向量旋转120°，
同理可得，用乘任意复数就是将对应的向量连续旋转三个120°，
其结果就是将对应的向量旋转360°后回到原处，
因而．
【方法练】
一、单选题
1．（2022·高一课前预习）若，则（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角.
【详解】由，
所以60°.
故选：B
2．（2020·高一课时练习）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数的三角形式求解即可.
【详解】
-i的立方根为（其中）
当时,得；
当时,得；
当时,得,
故选：D
【点睛】本题主要考查了复数的三角形式的应用,属于中档题.
二、多选题
3．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.
【详解】对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.
故选：ABC
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.
【详解】A.若，则，所以该选项正确；
B.若，则，所以该选项错误；
C.若，，则
，所以该选项错误；
D.，，则
.所以该选项错误.
故选：BCD.
三、填空题
5．（2021下·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示).
【答案】
【分析】把绕原点按顺时针方向旋转得到，可知与所对应的复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到，
可得与对应的复数为
，
故答案为：．
四、解答题
6．（2020·高一课时练习）化简下列各式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】根据三角函数的和差公式化简即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】本题考查复数的运算法则，三角函数的和差公式，属于基础题.
7．（2022·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)； (2).
【分析】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
【详解】（1）.
（2）
.
8．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，试用多种解法求解．
【答案】
【分析】根据复数的代数形式、三角形式和自身的运算规律，可从三个方面出发求．
【详解】解法一：设．
由知．
∴
解得．故．
解法二：由，设，
∴．
∴，即，
∴，
∴．
即或．故．
解法三：由，知，
．
又由，易得，即．
．故．
【创新练】
一、单选题
1．（2020·高一课时练习）________.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据复数的基本运算求解即可.
【详解】原式=.
故选：C
【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.
2．（2023下·高一单元测试）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，
故选项B正确；
对于C，由，，
所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．
故选：D．
二、多选题
3．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.
【详解】因为单位向量分别对应复数，
设复数，，
因为，所以，即，
所以，
故选：AD.
4．（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误.
【详解】由，
A：，正确；
B：，错误；
C：由B知：，正确；
D：，错误；
故选：AC
三、填空题
5．（2020·高一课时练习）计算： .
【答案】
【解析】先根据复数的三角形式的运算法则化简，再利用特殊角的三角函数值求值．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查复数的三角形式及其运算，考查复数的代数形式及其运算，属于基础题．
6．（2022·高一课时练习）将复数化为三角形式： ．
【答案】
【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.
【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值，
又
所以.
故答案为：.
四、解答题
7．（2021·高一课时练习）已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.
【答案】3i，几何意义见解析.
【分析】利用复数三角形式的乘法运算，即可得到答案；
【详解】解：.
首先作复数z1对应的向量，然后将绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的6倍，得到的向量即为z1z2所对应向量.
8．（2023·全国·高一课堂例题）将正实数连续四次乘得到，，，，并将这些数用复平面上的点，，，表示，观察这些点的相互位置关系，你发现了什么？
【答案】向量每旋转，其所对应的复数就相应乘．
【分析】根据复数模的特征，结合旋转的性质进行求解即可.
【详解】由于，，，的模都等于，
且它们在复平面上对应的向量，，，的模都等于，
方向分别为轴正方向、轴正方向、轴负方向、轴负方向，如图所示，
将依次旋转，旋转四次，则依次得到，，，．
于是可发现向量每旋转，其所对应的复数就相应乘．
.
【成果练】
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）如果，那么复数的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2．（2021下·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为，
则，所以 .
故选：D.
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由题意可知，，求出，再求出所对应的坐标，可得辐角.
【详解】由题意可知，
又，
则
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为，
故可以作为复数的辐角的是，，
当时，.
故选：BD.
4．（2022下·高一课时练习）（多选题）关于复数，，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．复数是由顺时针旋转得到的
C．复数和的夹角为
D．复数是由逆时针旋转，再拉伸为原来的倍得到的
【答案】ACD
【分析】由复数的模长公式判断A；由复数的三角形式旋转计算判断选项B和D；由复数的集合意义判断选项C．
【详解】选项A，，，，A正确；
选项B，复数，其中，顺时针旋转得到，B错误；
选项C，复数对应的向量为，对应的向量为，，复数和的夹角为，C正确；
选项D，，其中，逆时针旋转得到，再拉伸为原来的倍可得，D正确；
故选：ACD
三、填空题
5．（2022下·高一单元测试）已知复数，，则 .
【答案】
【分析】设出复数的三角形式，根据复数的三角形式运算即可得解.
【详解】因为，
可设，
所以：，
所，则.
故答案为：1
6．（2023·高一课时练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.
【详解】
，
，
故答案为：.
7．（2021·高一课时练习）复数，则 .
【答案】
【分析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可.
【详解】
复数在复平面内，对应点的坐标为，
点在轴上，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算，属于基础题.
四、解答题
8．（2023·全国·高一随堂练习）计算的5次方根．
【答案】
【分析】把复数化成三角形式，利用复数的开方运算法则直接求5次方根.
【详解】设的5次方根为，
所以，
即，
所以，得，
所以的5次方根是5个复数，记为.
9．（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6).
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得.
（6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
（6）
.
10．（2023·全国·高一随堂练习）图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．

【答案】证明见解析
【分析】根据题意，建立以为坐标原点的直角坐标系，分别表示出对应的复数，并将复数改写成三角表示的形式并进行乘法运算即可得出结论.
【详解】以为坐标原点，以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：

令，可得点，
所以对应的复数分别为，
所以分别为的辐角，且；
可得
；
所以可得
11．（2021·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．
【答案】
【分析】计算得到，故且，解得答案.
【详解】，故且，解得.
12．（2022·高一课时练习）由方程得的三个根为，则．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了的有理分解式．请你仿此将进行有理分解．
【答案】
【分析】根据题目所给的信息即可求解.
【详解】根据题目有理分解式原理可知
的个根为，
则.
13．（2021下·福建莆田·高一仙游一中校考阶段练习）已知z＝cosθ－sin θ＋＋i(cosθ＋sinθ).
(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示).
【答案】(1)当时， 取最大值为2 ，
(2).
【分析】（1）按照复数模的定义求解即可；
（2）按照复数的辐角主值的定义求解即可.
【详解】（1）由复数模的定义可得：
，
显然当 时最大，即 ， 最大值为 ；
（2）设 ，
，
实部为 ，虚部为，
，
∴当 即 时， ，
此时复数z对应的点在第四象限， ， ，
当 即，，
此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），
，∴ ，
∴ ；
综上，当时， 最大，最大值为，
.
14．（2023·高一课时练习）复数的辐角主值是，且为一实数，求复数．
【答案】
【分析】根据辐角主值的定义，写出的表达式，并带入化简，结合为一实数求出参数，进而得到的值.
【详解】∵复数的辐角主值是，且，
，
，
，
，
为实数，
，
整理得：，
，

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