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数列的概念 学案
【目录】
【新知讲解】
知识点1.对数列概念的理解
知识点2.数列的通项公式及其应用
知识点3.数列的递推公式及简单应用
知识点4.数列的前n项和公式及简单应用
【方法练】
【创新练】
【成果练】
【知识导图】
【新知讲解】
知识点1.对数列概念的理解
数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案　 不是．顺序不一样．
　数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
数列的单调性
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
例一、单选题
1．（2023上·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知数列则是这个数列的（　　）
A．第20项 B．第21项
C．第22项 D．第23项
【答案】D
【分析】由即可得.
【详解】，故为第23项.
故选：D.
例二、多选题
2．（2023下·高二课时练习）（多选题）下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以表示为
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为1＋
D．数列可记为
【答案】ABD
【分析】根据数列的概念求得正确答案.
【详解】A选项，数列和数列，
前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误.
B选项，数列与数列的项的顺序不相同，
所以不是相同数列，B选项错误.
C选项，，所以数列的第项为1＋，C选项正确.
D选项，数列可记为，所以D选项错误.
故选：ABD
3．（2023上·全国·高二假期作业）（多选）有下面四个结论，不正确的是（ ）
A．数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】BCD
【详解】结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．故选BCD．]
例三、填空题
4．（2023上·高二课前预习）数列的定义
（1）按照一定 排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫作这个数列的项.
（2）项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 .
（3）数列的一般形式可以写成：，简记为 ，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项.
【答案】 次序 有穷数列 无穷数列
【分析】根据数列的相关概念即可得结果.
【详解】略
例四、解答题
5．（2023·全国·高二随堂练习）在1984年到2016年的9届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，51，38，26．试画出该数列的图象．
【答案】答案见解析
【分析】画出平面直角坐标系，依次画出对应的点，得到答案.
【详解】该数列的图象如下：
知识点2.数列的通项公式及其应用
通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考　既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案　还可以用列表法、图象法．
方法感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
例一、单选题
1．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入即可结合选项逐一排除.
【详解】当时，对于B中，
当时，对于C中，对于D中，
四个选项中只有同时满足，，.
故选：A
2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案.
【详解】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为.
故选：B
例二、多选题
3．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知在数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
【答案】BC
【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意，，
函数的开口向上，对称轴为，
由于，所以当或时，取得最小值.
故选：BC
4．（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据各个选项的条件求得，的通项公式，依照题意分析即可.
【详解】对于A，若，
则
，
所以，此时，符合题意，故A正确；
对于B，若，
则
，
所以，
此时，不可能有相等的项，故B错误；
对于C，若，
则，
，
所以，
此时，符合题意，故C正确；
对于D，若，
则，
，
所以，此时，不可能有相等的项，故D错误，
故选：AC.
例三、填空题
5．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由数列对应函数的单调性，结合最值问题，即可求解.
【详解】，已知对任意的，都有成立，
，函数在区间和单调递减，
结合函数的单调性可得，得，
因此实数的取值范围为.
故答案为：
知识点3.数列的递推公式及简单应用
数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
思考　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
答案　不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．
方法感悟：　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
例一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）若数列满足，则（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【答案】B
【分析】由递推关系式得到结果.
【详解】由可得，
，即，
，即，
，即，
，即，
所以，
故选：B
2．（2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是.现已知，的差倒数是，的差倒数是，以此类推，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列出递推公式，依次求数列的各项，观察总结规律.
【详解】由题意：数列中，，，故：，，，
可知：数列周期为3，所以.
故选：A
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则的取值可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】从进行推导，得到或，继续推导，得到答案.
【详解】，若为偶数，则，解得，满足要求，
若为奇数，则，解得，不合要求，
若为偶数，则，解得，满足要求，
若为奇数，则，解得，不合要求，
若为偶数，则，解得，满足要求，
若为奇数，则，解得，满足要求，
①若，若为偶数，则，解得，
若为奇数，则，解得，不合要求，舍去；
则或，
或，
同理可得，若则，或21，
若，则，或3；
②若，则，，则或8，
或16，
综上：，3，16，20，21，128.
故选：B.
知识点4.数列的前n项和公式及简单应用
　数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝
方法感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
例一、单选题
1．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】当是递增数列，则，则，
但是的符号不确定，故充分性不成立；
当时，则，故是递增数列，即必要性成立；
综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024上·江苏·高二期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】，且，
，即 ，，
故数列为常数列，且，
，则，
故数列的前项和.
故选：D.
3．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）设数列的前n项和为，并且，则等于（ ）
A．32 B．16 C．992 D．
【答案】A
【分析】利用即可求解.
【详解】当时，.
所以.
故选：A.
例二、多选题
4．（2023上·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】当时，，此时，由此即可判断B；由题意通过递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，即可判断剩余选项.
【详解】数列满足，，
所以时，，此时，故B错误；
，，
，化为：．当时，．
．
，，故可知．
故选：AD．
例三、填空题
5．（2024上·吉林长春·高二长春市第六中学校考期末）设数列的前项和是，则 ．
【答案】.
【分析】利用,求得即可.
【详解】结合题意：由可得：
当时，,
当时，,
所以，，不满足，
故.
故答案为：.
【方法练】
一、单选题
1．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
【答案】C
【分析】代入通项公式计算可得．
【详解】.
故选：C.
2．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
【答案】D
【分析】作差讨论的符号与的关系，结合可得，，然后讨论奇数项和偶数项的单调性，再验证前8项哪些满足题意，结合单调性即可解答.
【详解】由题，，且前8项为1，2，，，，，，，
，
所以当时，；
当时，．
又，所以，.
因为，
其中，
所以，
所以，，
所以，
，
又因为，
所以不满足的分别为，，，，，，.
故选：D．
【点睛】本题难点在于作差讨论的符号与的关系，从而得到，，这对学生的思维能力有很高的要求，不易想到，但结合本题目标分析，似乎又是理所当然.
二、多选题
3．（2023上·湖南·高二校联考阶段练习）甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．该数列为递增数列 D．
【答案】ACD
【分析】根据首项可得，再逐个选项判断即可.
【详解】对AB，由，得，故，故A正确，B错误；
对C，得该数列为递增数列，故C正确；
对D，，则，故D正确.
故选：ACD
4．（2022下·广东肇庆·高二统考期末）已知数列满足，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】代入前几项即可判断出A,B，然后分奇偶可点数列的通项公式，从而判断出C，D.
【详解】由题意可得，
所以，所以A错误，B正确；
又，
故，即，
所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，
故选：BC.
三、填空题
5．数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n的有n个，则该数列第30项是 ．
【答案】-8
【分析】先计算，，第29个数为8，第30个数为-8.
【详解】到个数共有数个
则
则第29个数为8，第30个数为-8
故答案为-8
【点睛】本题考查了数列的项，先计算是解题的关键，意在考查学生对于数列知识的灵活运用.
6．（2023上·安徽亳州·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.
【详解】数列的前项和为，
当时，，
当时，，
，不满足上式，
所以数列的通项公式为
故答案为：
四、解答题
7．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且
(1)求出
(2)写出与之间的递推关系式
(3)求出数列的通项公式
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件，找出规律，依次求出前3项，即可求出的值；
（2）根据规律，归纳推理，即可得到递推关系式；
（3）利用叠加法和等差数列求和公式及连续自然数平方和公式，便可求出通项公式.
【详解】（1）设个平面最多把空间分成部分；
1个平面最多把空间分成2个部分；即；
2个平面最多把空间分成4个部分，增加了2个部分，即；
3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交线都在第3个平面上，并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即；
4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这3条交线都在第4个平面上，并把第4个平面分成7部分平面区域，这7部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了7部分空间，即；
（2）由小问（1）知：
，
，
，
，
依次类推
，
所以；
（3）由小问（2）知：
，
，
，
，
，
叠加可得，
根据，，
化简可得.
8．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，数列满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由已知等式可得，采用累乘法可求得当时的，利用可求得，检验首项后可得结论；
（2）由（1）可得的通项，由前项和公式，采用分组求和,错位相减求和可求得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，，，…，，，
累乘得，，所以，.
因为符合上式，所以.
当时，，所以，即.因为符合上式，所以.
因为，所以，两边取倒数得，即.
因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，故.
（2）由（1）知，所以.
令，则，两式相减得，
，
所以，
故.
【创新练】
一、单选题
1．（2021·高二课时练习）下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）
A．55 B．56
C．57 D．58
【答案】B
【解析】分别让选项中的数值等于，求出是正整数时的这一项，就是符合要求的选项．
【详解】解：由，有或（舍去）．所以正确；
，，均无正整数解，
则、、都不正确．
故选：．
2．（2020·湖北武汉·统考一模）已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根据数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，求出，再求解.
【详解】已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，
所以，
所以，
所以，
所以a1+a3＝7.
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的前n项和与项的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
二、多选题
3．（2022上·湖南郴州·高二湖南省资兴市立中学校考期末）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
【答案】BCD
【分析】根据数列的定义即可判断A,根据通项公式即可求解项,可判断B,根据规律归纳数列的通项即可判断CD.
【详解】对于A,数列中的项与顺序有关，故数列，0，4与数列4，0，是两个不同的数列，故A错，
对于B,当时，，又是单调递增的数列，故110是该数列的第10项，故B正确，
对于C,数列的一个通项公式是，故第8个数是，故C正确，
对于D,数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为,故D正确，
故选：BCD
4．（2022·广东·统考模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据条件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判断.
【详解】因为，，，
，，…，，
所以，，
，
累加得，
∴，，
因为，，所以，
故选：ABC．
三、填空题
5．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，求出数列的周期即可计算作答.
【详解】，，显然，否则，矛盾，
则，于是，
因此是周期为4的周期数列，所以.
故答案为：
6．（2022·高二课时练习）已知数列的递推公式为，则数列的第4项为 ．
【答案】
【分析】根据数列的递推公式，逐项计算，即可求解.
【详解】由题意，数列的递推公式为，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得.
故答案为：.
四、解答题
7．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，求的值.
【答案】36
【分析】法一：分别讨论n为奇数与n为偶数时的递推关系式，赋值后即可求得结果.
法二：直接赋值即可求得结果.
【详解】法一：由可得：
当n为奇数时，
，
，
两式相减可得：，
所以.
当n为偶数时，
，
，
两式相加可得：，
所以，，
所以
.
法二：因为，
所以，，，
，，，，
所以.
8．（2022·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
【答案】有，第4项为最大项．
【分析】利用不等式法求出数列的单调性，判断出第4项为最大项.
【详解】∵，，．
∴当，时，；当，时，．
综上，可知在时严格增；在时严格减，所以存在最大项．
又
所以第4项为最大项．
【成果练】
一、单选题
1．（2021·高二课时练习）设数列的前n项和为，且，为常数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得出，进而可得（），两式作差得
，然后利用累乘法求出即可.
【详解】因为为常数列且，所以有，①
当时，，②
①②得：，即，
从而，得，
当时，上式也成立．
故选：B.
【点睛】本题考查利用与的关系求数列的通项，考查累乘法求通项，合理递推作差是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于常考题．
2．已知数列1，,,,…，则数列的第k项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案
【详解】解：由已知数列的前4项：1，,,,
归纳可知该数列的第项是一个以1为首项，以为公比的等比数列第项开始的连续项和，
所以数列的第项为：
故选：D
二、多选题
3．（2024上·湖北·高二期末）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．数列的最小值为
【答案】AD
【分析】利用与的关系式求得与，从而判断AB；利用作商法判断的单调性，进而求得其最小值，从而判断CD.
【详解】，
，则，即，
，当时，，
又满足上式，，故A正确，B错误；
易知，，，
，当时，，
当时，，当时，，
数列不是递减数列，且当时，取得最小值，故C错误，D正确．
故选：AD.
4．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据斐波那契数列满足的条件，结合累加法，逐项计算判断即得.
【详解】斐波那契数列中，，，，
，A错误；
当时，，，三个式子相加，得：，B正确；
当时，，则
，C正确；
当时，，则
，D错误.
故选：BC
三、填空题
5．（2023下·高二课时练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】/-0.4
【分析】利用，结合递推公式，可得，即可得.
【详解】因，，则，
，.
故答案为：.
6．（2020上·浙江温州·高二校联考期中）已知正项数列中，，若对于一切的都有成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据列出关于的不等式，求解出的取值范围，从而的取值范围可确定出.
【详解】因为，所以，解得，满足，
所以，即，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过之间的不等关系求解出的取值范围，由此可确定出的取值范围.
7．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】已知条件求出，裂项相消求出，由不等式恒成立，列不等式求实数的取值范围.
【详解】数列满足：，
时，
时，，
得，即，
时也满足，则有.
，
，
不等式恒成立，即，解得或.
即实数的取值范围为.
故答案为：
8．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知（为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第 项.
【答案】45
【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.
【详解】由解析式可知，
时，
当时，数列单调递减，且
当时，数列单调递减，且，
所以当时，数列取得最大值.
故答案为：45
四、解答题
9．（2024上·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求满足的的最大取值.
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由与的关系，结合累加法即可得答案；
（2）利用裂项相消法即可求和，再解不等式即可.
【详解】（1）因为当时，.
所以，即，
所以.
所以
，
所以.
又满足上式，故.
（2）由（1）知，.
所以
.
又.解得，数的最大值为7.
10．（2023下·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．
(1)
(2)
(3)0，，，，…；
(4)1，11，111，1 111，….
【答案】(1)；
(2);
(3);
(4).
【分析】（1）将给定的5项都加1即为项数的平方,即可写出一个通项；
（2）所给5项正负相间，其绝对值为前5个正奇数，由此即可写出一个通项；
（3）分母为项数的平方加1，观察即可写出一个通项；
（4）把所给4项变形，并用10的整数次幂减去1的形式表示出来，观察即可写出一个通项.
【详解】（1）观察数列中的数，可以看到所以它的一个通项公式是；
（2）数列各项的绝对值为是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为；
（3）因为所以数列的一个通项公式为；
（4）原数列的各项可变为，易知数列9，99，999，9 999，…，的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为．
11．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）（1）已知数列满足，，求的通项．
（2）数列中，，（n为正整数），求．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用叠加法，结合裂项相消的知识可得通项公式；
（2）利用累乘法求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以；
综上：.
而符合上式，故.
（2）因为，，所以，
综上：.
12．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足.
(1)求及数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造，利用相除得到，进而求得;
（2）对数列的前项和进行裂项相消，即可证明.
【详解】（1）因为①
所以当时，，解得，
当时，②，
由①②得，即，又满足上式，所以.
（2）证明：因为，
所以.
13．（2023·全国·高二随堂练习）根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式．
(1)
(2)
【答案】(1)图形见解析，
(2)图形见解析，
【分析】根据每一个图形与项数n的关系进行仔细观察，发现规律，列出前几项，即可猜想出每个图形对应的通项公式．
【详解】（1）
有，，，故；
（2）
，，，故.
14．（2023下·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用退一作差法求得，由求得.
（2）先判断的单调性，由此求得的最大值.
【详解】（1）①，
②，
①-②可得也满足上式，③．
数列的前项之积为当时，，代入③可得，
．
（2），
，
，
，即单调递减，
的最大值为．中小学教育资源及组卷应用平台
数列的概念 学案
【目录】
【新知讲解】
知识点1.对数列概念的理解
知识点2.数列的通项公式及其应用
知识点3.数列的递推公式及简单应用
知识点4.数列的前n项和公式及简单应用
【方法练】
【创新练】
【成果练】
【知识导图】
【新知讲解】
知识点1.对数列概念的理解
数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案　 不是．顺序不一样．
　数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
数列的单调性
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
例一、单选题
1．（2023上·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知数列则是这个数列的（　　）
A．第20项 B．第21项
C．第22项 D．第23项
例二、多选题
2．（2023下·高二课时练习）（多选题）下列说法不正确的是（ ）
A．数列可以表示为
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为1＋
D．数列可记为
3．（2023上·全国·高二假期作业）（多选）有下面四个结论，不正确的是（ ）
A．数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
例三、填空题
4．（2023上·高二课前预习）数列的定义
（1）按照一定 排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫作这个数列的项.
（2）项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 .
（3）数列的一般形式可以写成：，简记为 ，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项.
例四、解答题
5．（2023·全国·高二随堂练习）在1984年到2016年的9届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，51，38，26．试画出该数列的图象．
知识点2.数列的通项公式及其应用
通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考　既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案　还可以用列表法、图象法．
方法感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
例一、单选题
1．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
例二、多选题
3．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知在数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
4．（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（ ）
A． B． C． D．
例三、填空题
5．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是 ．
知识点3.数列的递推公式及简单应用
数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
思考　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
答案　不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．
方法感悟：　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
例一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）若数列满足，则（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
2．（2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是.现已知，的差倒数是，的差倒数是，以此类推，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则的取值可能为（ ）
A． B．
C． D．
知识点4.数列的前n项和公式及简单应用
　数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝
方法感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
例一、单选题
1．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024上·江苏·高二期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　 ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）设数列的前n项和为，并且，则等于（ ）
A．32 B．16 C．992 D．
例二、多选题
4．（2023上·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
例三、填空题
5．（2024上·吉林长春·高二长春市第六中学校考期末）设数列的前项和是，则 ．
【方法练】
一、单选题
1．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
2．（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
二、多选题
3．（2023上·湖南·高二校联考阶段练习）甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．该数列为递增数列 D．
4．（2022下·广东肇庆·高二统考期末）已知数列满足，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n的有n个，则该数列第30项是 ．
6．（2023上·安徽亳州·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
四、解答题
7．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且
(1)求出
(2)写出与之间的递推关系式
(3)求出数列的通项公式
8．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，数列满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【创新练】
一、单选题
1．（2021·高二课时练习）下列四个数中，哪个是数列中的一项（ ）
A．55 B．56
C．57 D．58
2．（2020·湖北武汉·统考一模）已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
3．（2022上·湖南郴州·高二湖南省资兴市立中学校考期末）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
4．（2022·广东·统考模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则 ．
6．（2022·高二课时练习）已知数列的递推公式为，则数列的第4项为 ．
四、解答题
7．（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，求的值.
8．（2022·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
【成果练】
一、单选题
1．（2021·高二课时练习）设数列的前n项和为，且，为常数列，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列1，,,,…，则数列的第k项是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024上·湖北·高二期末）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．数列的最小值为
4．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023下·高二课时练习）已知数列满足，，则 ．
6．（2020上·浙江温州·高二校联考期中）已知正项数列中，，若对于一切的都有成立，则的取值范围是 .
7．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知数列满足：，设数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
8．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知（为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第 项.
四、解答题
9．（2024上·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求满足的的最大取值.
10．（2023下·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．
(1)
(2)
(3)0，，，，…；
(4)1，11，111，1 111，….
11．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）（1）已知数列满足，，求的通项．
（2）数列中，，（n为正整数），求．
12．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足.
(1)求及数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.
13．（2023·全国·高二随堂练习）根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式．
(1)
(2)
14．（2023下·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．

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