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高考数学试题分类汇编：圆锥曲线 解答题
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）易知
设P（x，y），则

，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点C，CD的中点为R，
则
又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
，
，
∠CAB为钝角.
.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:
.
解法二： 以AB为直径的圆的方程为:
.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，
B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
.
.
A，B，C三点共 线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：
3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在该双曲线上；
（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。
解：（1）略；（2）A(2+,2－), B(2－,2+)或A(2－,2+), B(2+,2－)
4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．
解：（Ⅰ）由题意可得直线l： ①
过原点垂直于l的直线方程为 ②
解①②得．
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴，
∴抛物线C的方程为．
（Ⅱ）设，，，
由，得．
又，．
解得 ③
直线ON：，即 ④
由③、④及得，
点N的轨迹方程为．
5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，
（1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；
（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；
解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，
联立消整理，得；∴，
又依题有，∴，∴抛物线方程为；
（2）设，，，∵，
∴的方程为；
∵过，∴，同理
∴为方程的两个根；∴；
又，∴的方程为
∴，显然直线过点
6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ………5分
（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
矛盾，故l的斜率存在. ………7分
设l的方程为

①

② ……………9分
把①、②代入
∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.
7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证λ1+λ2为定值.
解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.
∴椭圆C的方程为 …………………………………………………5分
（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为
易知F点的坐标为（2，0）.
将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得 …………………………………………10分
…………………………………………………………12分
方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
……………………………………7分
……………………………………8分
又
8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.
（Ⅰ）⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.
解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().
由得(3，)·(，)＝0,即
又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分
（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y2＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。
当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；………7分
当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得
则|AB|,解得 …………………10分
代入原方程得，由于，所以,
由，得 . ……………………13分
解法二：由题设条件得


由（6）、（7）解得或，又，故.
9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）求证： ()；
（Ⅲ）求面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，，，
所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分
（Ⅱ）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．
得.
由直线与椭圆W交于、两点，可知
，解得．
设点，的坐标分别为，,
则，，，．
因为，，
所以，.
又因为
，
所以． ……………………………………………………………10分
解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,
则点的坐标为，，．
由椭圆的第二定义可得
,
所以，，三点共线，即．…………………………………10分
(Ⅲ)由题意知


，
当且仅当时“=”成立，
所以面积的最大值为．
10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0.
（I）求抛物线C的焦点坐标；
（II）若点M满足，求点M的轨迹方程.
解：（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，
∴抛物线C的方程为，即
焦点坐标为F（0，－）.……………………………………4分
（II）设直线PA的方程为，
联立方程消去y得
则
由………………7分
同理直线PB的方程为
联立方程消去y得
则
又…………………………9分
设点M的坐标为（x，y），由

又…………………………………………11分

∴所求M的轨迹方程为：
11、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.
（I）求曲线C的方程；
（II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.
解：（I）圆A的圆心为，
设动圆M的圆心
由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|=r1—r2，即|MA|+|MB|=4，
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，由
故曲线C的方程为 …………6分
（II）当，
消去 ①
由点为曲线C上一点，
于是方程①可以化简为 解得，
综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.
12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.
（1）解：依题意有：
可得双曲线方程为 ………………………………………………6分
（2）解：设
所以
13、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程；
(Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ . ∴ .
∴ W: . …………………………………………… 2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得. ①………………………… 5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或.
∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 7分
（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),
由①得. ②
又 ③
因为，， 所以.……………………… 11分
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线.
14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．
（I）求线段中点的轨迹的方程；
（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．
解：（I）由题可设，，，其中.
则 1分
∵的面积为定值2，
∴. 2分
，消去，得：． 4分
由于，∴，所以点的轨迹方程为（x＞0）．
5分
（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由消去得：， 6分
设点、、、的横坐标分别是、、、，
∴由得 8分
解之得：．
∴. 9分
由消去得：，
由消去得：，
∴. 10分
由于为的三等分点，∴. 11分
解之得. 12分
经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.
15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：．
解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，， ∴ ． …………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为 ． …………4分
（Ⅱ），
圆过点O、，
圆心M在直线上．
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
（Ⅲ） 由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由 得
，方程有两个不等的实数根．
设，.
, ………………………………11分


=

，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
16、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）解：
依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
将代入， 消去整理得 ………….. 2分
设 则 ………….. 4分
由线段中点的横坐标是， 得，
解得，适合. ………….. 5分
所以直线的方程为 ，或 . ………….. 6分
（Ⅱ）解：
假设在轴上存在点，使为常数.
① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以
………….. 8分
将代入，整理得

注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 .. 11分
② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，
当时， 亦有 ………….. 13分
综上，在轴上存在定点，使为常数.
17、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线和的斜率之积为定值；
（Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程。
解：(I)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋p
18、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)在面积为9的中，，且。现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示。
(1)求AB、AC所在的直线方程；
(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值。
解：（1）设
则由
为锐角，
，
AC所在的直线方程为y=2x
AB所在的直线方程为y= -2x…………………………………………….4分
（2）设所求双曲线为
设，，，
由可得：
，
即
由，可得，
又， ，
，
即，代入（1）得，
双曲线方程为…………………………………………………9分
（3）由题设可知，，
设点D为，则
又点D到AB，AC所在直线距离
，，
而=
19、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知椭圆的离心率为，且其焦点F（c，0）(c＞0)到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设M为右顶点，则直线AM、BM与准线l分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合），求证：
解：（1）由题意有 解得
∴椭圆的标准方程为 ……………………………………5分
（2）①若直线AB与轴垂直，则直线AB的方程是
∵该椭圆的准线方程为,
∴，， ∴，
∴ ∴当直线AB与轴垂直时，命题成立。
②若直线AB与轴不垂直，则设直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为
又设
联立 消y得
∴ ∴
又∵A、M、P三点共线，∴ 同理
∴，
∴
综上所述：
20、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
解：（Ⅰ）由题，得，设
则
由 …………①
又在双曲线上，则 …………②
联立①、②，解得
由题意，
∴点T的坐标为（2，0） …………3分
（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）
由A1、P、M三点共线，得
…………③ …………1分
由A2、Q、M三点共线，得
…………④ …………1分
联立③、④，解得 …………1分
∵在双曲线上，
∴
∴轨迹E的方程为 …………1分
（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为 中，得

设
则由根与系数的关系，得 ……⑤
……⑥ …………2分
∵ ∴有
将⑤式平方除以⑥式，得
…………1分
由
…………1分
∵
又
故
令 ∴，即
∴
而 ， ∴
∴
21、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。
（1）求双曲线C的标准方程
（2）当直线l的斜率为何值时，。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。
解（1）设双曲线C的方程为
又P（6,6）在双曲线C上，
由①、②解得
所以双曲线C的方程为。
（2）由双曲线C的方程可得
所以△A1PA2的重点G（2,2）
设直线l的方程为代入C的方程，整理得
整理得
解得
由③，可得
解得
由④、⑤，得
22、(东北三校2008年高三第一次联考)设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：
相切，求椭圆C的方程.
解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）
A（0，b）知
…2分
设，得………4分
因为点P在椭圆上，所以………6分
整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝………8分
⑵由⑴知，
于是F（－a，0）， Q
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a…………10分
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求椭圆方程为
23、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，
双曲线的方程为.
（2）依题意，直线 的方程为 .设是双曲线右支上满足
的点，结合 ，得，
即点到直线的距离
①若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；
②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而
. 又因为 ，所以
.
当时，方程有唯一解 ，则；
当时，由得 ，此时方程有唯一解 ，则
综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.
24、(本小题满分12分) 已知椭圆过点，且离心率e＝.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。
由题意椭圆的离心率

∴椭圆方程为……2分
又点在椭圆上
∴椭圆的方程为……4分
（Ⅱ）设 由
消去并整理得……6分
∵直线与椭圆有两个交点
，即……8分
又 中点的坐标为……9分
设的垂直平分线方程：
在上 即
……11分
将上式代入得
即或 的取值范围为
25、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．
（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得．
由韦达定理得，．
于是．
，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，
的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，点的坐标为．
，
，
，
．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得．
从而，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入得，
则．
设直线与以为直径的圆的交点为，
则有．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．

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