资源简介

1．1.1　函数的平均变化率
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　平均速度
若在一直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)．因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝.
批注 　平均速度是一个描述物体平均快慢程度和运动方向的矢量，它粗略地表示物体在一段时间内的运动情况．
要点二　平均变化率
一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变量x变化的________和________________，因此我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率 .
批注 　
(1)平均变化率不能脱离区间而言．
(2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[a，b]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平均速度是刻画某函数在区间[a，b]上变化快慢的物理量．(　　)
(2)因变量的改变量f(b)－f(a)一定大于0.(　　)
(3)函数的平均变化率不能为0.(　　)
2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　)
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
3．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变化率是(　　)
A．2.1 B．0.21
C．1.21 D．12.1
4．函数f(x)＝x在区间[2，4]上的平均变化率为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　求平均速度
例1　一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
方法归纳
求物体平均速度的步骤
巩固训练1　已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在[1，1＋h]这段时间内的平均速度．
　求平均变化率
例2　已知函数f(x)＝－x2图象上一点(－3，－9)及其附近一点(－3＋d，f(－3＋d))，求.
方法归纳
求平均变化率的步骤
巩固训练2　函数f(x)＝2x－3x在[0，2]上的平均变化率为(　　)
A． B．－
C．1 D．－2
　平均变化率的几何意义
例3　已知函数f(x)＝x2－1图象上两点A(2，3)，B(2＋d，f(2＋d))，当d＝－1时，求割线AB的斜率.
方法归纳
一般地，P(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，Q(x0＋d，f(x0＋d))是曲线上另外一点，则割线PQ的斜率为f(x)从x0变化到x0＋d的平均变化率．
巩固训练3　如图，直线l为经过曲线上点P和Q的割线．
(1)若P(1，2)，Q(5，7)，求l的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？
1．1.1　函数的平均变化率
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
f(b)－f(a)
要点二
快慢　变化方向(增减)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89，∴＝＝＝6.3，故选A.
答案：A
3．解析：根据平均变化率的公式，可得函数f(x)＝x2－1由1到1.1的平均变化率为：
＝＝2.1.故选A.
答案：A
4．解析：＝＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由于v＝＝＝3－t.
∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
(2)S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2，
∴＝＝＝2.
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.
巩固训练1　解析：s(1＋h)－s(1)＝[(1＋h)2＋2(1＋h)＋3]－(12＋2×1＋3)＝h2＋4h，
于是得＝4＋h，
所以物体在[1，1＋h]这段时间内的平均速度为4＋h.
例2　解析：∵f(－3＋d)－f(－3)＝－(－3＋d)2－(－9)＝6d－d2，
∴＝＝6－d.
巩固训练2　解析：由题意得f(x)＝2x－3x在[0，2]上的平均变化率为＝－，故选B.
答案：B
例3　解析：∵f(2＋d)－f(2)＝(2＋d)2－1－22＋1＝4d＋d2，
∴kAB＝＝＝4＋d.
又d＝－1，所以4＋d＝3，
所以割线AB的斜率为3.
巩固训练3　解析：(1)因为P(1，2)，Q(5，7)，所以kl＝＝.
(2)当Q沿曲线向点P靠近时，直线的倾斜角α(锐角)在变大，又k＝tan α，所以直线l的斜率变大了．1．1.2　瞬时变化率与导数
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　瞬时速度
设物体运动的距离与时间之间的关系是s＝f(t)，则平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的________，就是物体在任意时刻t的瞬时速度 .
批注 　平均速度反映了物体在某一时间内运动的快慢程度，瞬时速度是物体某一时刻的速度．
要点二　导数的定义
设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0) .
批注 　f′(x0)也可表述为
f′(x0)＝＝，Δx不可以是0.
要点三　导函数的定义
若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都________，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数 或一阶导数．
既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在定义区间任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f (x)等等．
批注 　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数．它们之间的关系是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]内变化快慢的物理量．(　　)
(2)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数．(　　)
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与d的正、负无关．(　　)
2．一物体按规律s(t)＝t2运动，则在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．1　　　 B．2
C．4　　　 D．16
3．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为1，则当h趋近于0时，趋近于(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　求瞬时速度
例1　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(1)求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
(2)求物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
方法归纳
求运动物体瞬时速度的一般步骤
巩固训练1　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
　导数定义的应用
例2　求函数y＝x－在x＝1处的导数．
方法归纳
用导数定义求函数在某一点处的导数的一般步骤
巩固训练2　求函数f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1处的导数．
1．1.2　瞬时变化率与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
极限
要点二
f(x0＋d)－f(x0)
要点三
存在
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：＝＝＝d＋2，
当d趋近于0时，d＋2趋近于2，
所以t＝1时的瞬时速度是2.
答案：B
3．解析：由导数的定义可知：当h→0，趋近于f′(x0)＝1.
答案：A
4．解析：物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
答案：相等
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)按定义计算
＝＝3＋d，
∵d→0时，3＋d→3，
∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
(2)设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
＝2t0＋1＋d，
d→0时，2t0＋1＋d→2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4，
∴物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
巩固训练1　解析：∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为
＝＝4a＋ad，
d→0时，4a＋ad→4a，即4a＝8，即a＝2.
例2　解析：因为函数的改变量为(1＋d)－－(1－)＝d＋，
所以平均变化率为＝1＋.
d→0时，1＋→2，
所以f′(1)＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
巩固训练2　解析：∵f(1＋d)－f(1)＝[3(1＋d)2＋a(1＋d)＋b]－(3＋a＋b)＝3d2＋(6＋a)d，
∴＝＝3d＋6＋a.
又当d→0时，3d＋6＋a趋近于6＋a.
因此f′(1)＝6＋a.1．1.3　导数的几何意义
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝________．
批注 　函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x轴．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．(　　)
(2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．(　　)
(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．(　　)
2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)＝(　　)
A.1 B．－C． D．－1
3．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．不存在
4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x＝x0处切线的倾斜角为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　导数的几何意义
例1　函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0方法归纳
曲线在某点处切线的斜率就是该点的导数值，此时该点既在曲线上又在切线上．
巩固训练1　如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A.－2
B．2
C．3
D．无法确定
　在某点处的切线问题
例2　已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
方法归纳
求曲线在某点处的切线方程的一般步骤
巩固训练2　曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝kx＋b，则实数b＝(　　)
A．－16 B．16
C．－20 D．20
　过某点的切线问题
例3　求过点(2，0)且与曲线y＝f(x)＝相切的直线方程．
方法归纳
求曲线y＝f(x)的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程．后者需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．
巩固训练3　求曲线y＝f(x)＝x2过点P(1，1)的切线方程．
1．1.3　导数的几何意义
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
f′(x0)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：由图可知切线斜率为，∴f′(1)＝.
答案：C
3．解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.
答案：B
4．解析：设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，
又α∈[0，π)，所以α＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：如题图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，
f′(3)表示切线l3斜率k3>0，
又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，
结合图象，可得0答案：C
巩固训练1　解析：由题图，f′(5)＝－1，且f(5)＝－5＋8＝3，
所以f(5)＋f′(5)＝2.
答案：B
例2　解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)．
在曲线上另取一点Q(2＋d，(2＋d)3＋)，
∵kPQ＝＝4＋2d＋d2，
当d→0时，kPQ→4，
所以切线的斜率为4，
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
巩固训练2　解析：因为
＝＝d2－6d＋9，
所以当d→0时，d2－6d＋9→9.
所以曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为9.
又f(－2)＝(－2)3－3×(－2)＝－2，
所以在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝9x＋16.
故b＝16.
答案：B
例3　解析：设切点为Q(x0，y0)，
因为＝＝，
所以当d→0时，
则f′(x0)＝，又f(x0)＝，
所以切线方程为y－＝(x－x0)，
切线过点(2，0)，所以－＝(2－x0)，解得x0＝1，
所以切线方程是y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.
巩固训练3　解析：设切点为)，
因为＝＝2x0＋d，
所以当d→0时，2x0＋d→2x0，
所以f′(x0)＝2x0，
所以切线方程是＝2x0(x－x0)，
切线过点(1，1)，则＝2x0(1－x0)，解得x0＝1，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.1．2.1　几个基本函数的导数
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　常见幂函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
批注 　是学习本章后面知识的基础．
要点二　基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ln x f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝
批注 　
(1)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用f(x)＝xα(α≠0)的导数公式解决．
(2)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)(sin )′＝cos .(　　)
(2)因为(ln x)′＝，所以()′＝ln x．(　　)
(3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　)
2．f(x)＝，则f′(－2)＝(　　)
A.4 B．C．－4 D．－
3．函数f(x)＝ex，则f′(0)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．e
4．设函数f(x)＝sin x，则f′(－)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝ ；
(3)y＝4x；
(4)y＝1－2sin2.
方法归纳
利用导数公式求函数的导数的策略
巩固训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________．
　求函数在某点处的导数
例2　(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cosx在()处的导数．
方法归纳
求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤
巩固训练2　已知f(x)＝，且f′(1)＝－，求n.
　利用导数公式解决与切线有关问题
例3　若函数f(x)＝ln x＋a(a>0)，函数g(x)＝ex.
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数a的值；
(2)若直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象都相切，求实数a的值．
方法归纳
利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型
巩固训练3　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
1．2.1　几个基本函数的导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
0　1　2x　－
要点二
0　αxα－1　cos x　－sin x　ex　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：f′(x)＝－，所以f′(－2)＝－＝－.
答案：D
3．解析：因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，所以f′(0)＝e0＝1.
答案：B
4．解析：因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，
所以f′＝cos ＝cos ＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由y＝，得y＝x－3，
所以y′＝－3x－4＝－.
(2)由y＝，得y＝，
所以y′＝.
(3)由y＝4x，得y′＝4x ln 4＝2·4x ln 2＝22x＋1ln 2.
(4)因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝－sin x．
巩固训练1　解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
答案：3x2－
例2　解析：(1)f′(x)＝()′＝，∴f′(1)＝.
(2)f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′＝－sin ＝－.
巩固训练2　解析：由题设，f′(x)＝)′＝－·，
∴f′(1)＝－＝－＝－，可得n＝4.
例3　解析：(1)由已知f′(x)＝，则f′(1)＝1，又f(1)＝a，
所以函数f(x)在x＝1处的切线为y＝x＋a－1，
当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a，
则×|a－1|×|1－a|＝，
又a>0，解得a＝2.
(2)由已知f′(x)＝，g′(x)＝ex，
设直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＝＝k，
所以x1＝，x2＝ln k，
可得直线y＝kx与函数f(x)＝ln x＋a的切点为(，1)，
直线y＝kx与函数g(x)＝ex的切点为(ln k，k ln k)，
∴，解得a＝2.
巩固训练3　解析：因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则＝2x0，
又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ，
所以k＝2x0＝1，即x0＝，
所以切点为M()．
所以所求的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.1．2.2　函数的和差积商求导法则
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　导数的和差积商运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则
(1)(cf(x))′＝________；
(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x) ；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(4)()′＝________；
(5)()′＝.
批注 　可推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
批注 　可推广到任意有限个可导函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．
批注 　切记[]　′≠.
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)
(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．(　　)
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.(　　)
2．函数f(x)＝x2＋sin x的导数f′(x)＝(　　)
A．2x＋cos x B．2x＋sin x
C．x＋cos x D．x－cos x
3．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　)
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sin x
D．y′＝cos x·sin x
4．函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　利用导数的加法与减法法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝2x3＋x2－x＋1；
(2)y＝x4＋cos x；
(3)y＝ex＋ln x．
方法归纳
熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．
巩固训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝x5＋x3；
(2)y＝5x－ln x；
(3)y＝log5x＋sin x．
　利用导数的乘法与除法法则求导
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝ex cos x．
方法归纳
求函数导数的策略
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
巩固训练2　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x2＋1)(x－)；
(2)f(x)＝.
　利用导数运算法则解决与切线有关的问题
例3　已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
方法归纳
解与切线有关问题的策略
巩固训练3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝ex sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
1．2.2　函数的和差积商求导法则
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
(1)cf′(x)　(4)－
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：由f(x)＝x2＋sin x，可得f′(x)＝2x＋cos x.
答案：A
3．解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
答案：B
4．解析：因为f′(x)＝(x＋)′＝x′＋′＝1－，
所以f′(1)＝1－1＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)y′＝(2x3)′＋(x2)′－(x)′＋(1)′＝6x2＋2x－1.
(2)y′＝(x4)′＋(cosx)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋.
巩固训练1　解析：(1)y′＝′＋′＝x4＋2x2.
(2)y′＝(5x)′－(ln x)′＝5x ln 5－.
(3)y′＝(log5x)′＋(sin x)′＝＋cos x．
例2　解析：(1)y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3.
(2)y′＝
＝
＝.
(3)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝ex(cos x－sin x)．
巩固训练2　解析：(1)f′(x)＝2x(x－)＋(x2＋1)(1＋)＝3x2＋.
(2)f′(x)＝＝.
例3　解析：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．
令f′(x)＝0，即2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
巩固训练3　解析：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又知g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.1．2.3　简单复合函数的求导
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　复合函数的概念
一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x)) 是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．
要点二　复合函数的求导 法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝____________，即y对x的导数等于________________________________________．
批注 　判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，内层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层地分析．
批注 　关键在于：
(1)准确将复合函数分解成基本函数；
(2)正确运用复合函数的求导法则．
基 础 自 测　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(　　)
(2)函数f(x)＝sin (2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(　　)
(3)函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(　　)
2．函数y＝cosnx可由(　　)
A．y＝un和u＝cosxn复合而成
B．y＝u和u＝cosnx复合而成
C．y＝un和u＝cosx复合而成
D．y＝cos u和u＝xn复合而成
3．函数y＝cos (－x)的导数是(　　)
A．cos x B．－cos x
C．－sin x D．sin x
4．已知函数f(x)＝e－x，则f′(－1)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　求复合函数的导数
例1　(1)y＝；
(2)y＝cos (x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
方法归纳
复合函数求导的步骤
巩固训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cos (2x－)；
(3)y＝ln (4x－1)；
(4)y＝.
　复合函数导数的应用
例2　设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝ f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值．
方法归纳
解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法
正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
巩固训练2　求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4e－x＋1－2在点M(1，－3)处的切线l平行的直线方程．
1．2.3　简单复合函数的求导
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
y′u·u′x　y对u的导数与u对x的导数的乘积
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx.
答案：C
3．解析：y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.
答案：C
4．解析：因为f′(x)＝－e－x，所以f′(－1)＝－e.
答案：－e
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2x sin (x2)．
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′uu′x＝＝.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
巩固训练1　解析：(1)y′＝[(4－3x)2]′＝2(4－3x)·(4－3x)′
＝2(4－3x)·(－3)＝18x－24.
(2)y′＝[cos (2x－)]′＝－sin (2x－)·(2x－)′＝－2sin (2x－)．
(3)y′＝[ln (4x－1)]′＝·(4x－1)′＝.
(4)y′＝)′＝·(x2)′＝.
例2　解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
巩固训练2　解析：∵y′＝(3x2－4e－x＋1－2)′＝6x＋4e－x＋1，
∴曲线在点M(1，－3)处的切线l的斜率为6＋4＝10，
过点P(－1，2)且与切线l平行的直线方程为y－2＝10(x＋1)，即10x－y＋12＝0.1．3.1　函数的单调性与导数
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递____
f′(x)<0 单调递____
批注 　f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势．
批注 　f′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势．
要点二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 ____ 比较“________”(向上或向下)
越小 ____ 比较“________”(向上或向下)
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　)
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的符号不确定
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
4．函数f(x)＝的单调递减区间为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　单调性与导数的关系
例1　设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)
方法归纳
研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
巩固训练1　偶函数f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为(　　)
　利用导数求函数的单调区间
例2　求函数f(x)＝x2－ln x的单调区间．
方法归纳
求函数单调区间的步骤
巩固训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为________________．
　已知函数的单调性求参数的范围
例3　(1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________；
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3　已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
1．3.1　函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
增　减
要点二
快　陡峭　慢　平缓
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.
答案：B
3．解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
答案：A
4．解析：易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
答案：(－∞，0)，(0，＋∞)
题型探究·课堂解透
例1　解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时，f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负后正，最后为负．
答案：B
巩固训练1　解析：由题意可知，f′(x)为偶函数，设f′(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为－x1，x1，(x1>0)，由图象可得，当x<－x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，故选项A错误，选项D错误；由f′(x)的图象可知，f′(x)在x＝0左右的函数值是变化的，不同的，而选项C中，f(x)的图象在x＝0左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数f′(x)为定值，故选项C错误，选项B正确．
答案：B
例2　解析：函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍)．
f′(x)，f(x)随x的变化如表所示．
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 f(1) 单调递增
故函数f(x)＝x2－ln x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)．
巩固训练2　解析：由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为(－2－，－2＋)．
答案：(－2－，－2＋)
例3　解析：(1)由于f′(x)＝k－，则f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
(2)对函数f(x)求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)].
令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
因为函数在区间(1，4)内为减函数，
所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0.
又函数在区间(6，＋∞)上为增函数，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，
所以4≤a－1≤6，
所以5≤a≤7.
即实数a的取值范围为[5，7].
答案：(1)[1，＋∞)　(2)见解析
巩固训练3　解析：由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.1．3.2　函数的极值与导数
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　函数的极值与导数
条件 f′(x0)
x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0 x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
批注 　函数极值是一个局部的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
批注 　极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
要点二　函数的驻点与极值点
(1)若f′(c)＝0，则________叫作函数f(x)的驻点．
(2)如果一个函数的导数在驻点的两侧________，则该驻点就是此函数的一个极值点
批注 　也就是说，若f′(c)存在，则f′(c)＝0是f(x)在x＝c处取到极值的必要条件，但不是充分条件．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)导数为0的点一定是极值点．(　　)
(2)函数的极大值一定大于极小值．(　　)
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　)
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝－2为f(x)的极大值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝0为f(x)的极小值点
4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，则函数f(x)的极大值为________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性　
　求函数的驻点、极值点和极值
例1　求下列函数的驻点、极值点、极值．
(1)y＝(x2－1)3＋1；
(2)f(x)＝.
方法归纳
求函数驻点、极值点和极值的步骤
巩固训练1　求函数f(x)＝－2的驻点、极值点和极值．
　已知函数极值求参数
例2　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
已知函数极值求参数的方法
巩固训练2　
(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值，则a＝________，b＝________．
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
　函数极值的综合应用
例3　若对任意a∈[3，4]，函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
方法归纳
利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
巩固训练3　已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．
1．3.2　函数的极值与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
(1)x＝c　(2)变号
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，
函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个．
答案：A
3．解析：由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－2)和(，2)上单调递减，在(－2，)和(2，＋∞)上单调递增，所以x＝为f(x)的极大值点，x＝－2和x＝2为f(x)的极小值点，x＝0不是函数的极值点．
答案：A
4．解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2，
∴f′(x)＝3x2－6x，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2.
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值为f(0)＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 － 0 ＋ 0 ＋
y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴x＝－1，x＝0，x＝1均为此函数的驻点．
x＝0是此函数的极小值点，y有极小值且极小值为0.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ↘
因此，x＝e是函数的驻点也是极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
巩固训练1　解析：函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由上表可以看出，x＝－1和x＝1是函数的驻点．
x＝－1是函数的极小值点，且极小值为f(－1)＝－3；
x＝1是函数的极大值点，且极大值为f(1)＝－1.
例2　解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a＋1.函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，由二次函数图象可知，只需函数f′(x)有两个零点，即f′(x)＝0有两个不同的实数解，
则Δ＝4a2＋12(a－1)>0，
解得a<或a>.
所以实数a的取值范围是(－∞，，＋∞)．
答案：(1)4　－11　(2)见解析
巩固训练2　解析：(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1时取得极小值，
∴a＝2，b＝9.
(2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
答案：(1)2　9　(2)见解析
例3　解析：因为f(x)＝－x3＋ax2＋b，
所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x(x－)．a∈[3，4]，
令f′(x)>0，即－3x(x－)>0，解得0所以f(x)极大值＝f＝＋b，
f(x)极小值＝f(0)＝b.
由于对任意a∈[3，4]，
函数f(x)在R上都有三个零点，
所以即
解得－因为对任意a∈[3，4]，b>－恒成立，
所以b>(－)max＝－＝－4.
所以实数b的取值范围为(－4，0)．
巩固训练3　解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；
当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．
所以a＋27<0或a－5>0，解得a<－27或a>5.
故实数a的取值范围为a<－27或a>5.1．3.3　三次函数的性质：单调区间和极值
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　最值的概念
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
批注 　
(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．
要点二　函数在区间[a，b]上最值的求法
一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________；
(2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数y＝f(x)的各________与f(a)，f(b)比较，其中最大者是________，最小者是________．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　)
(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　)
(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　)
2．函数y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为(　　)
A．32 B．27
C．16 D．40
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________．
　
题型探究·课堂解透——强化创新性
　求三次函数的最值
例1　已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b，若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值．
方法归纳
利用导数求函数最值的方法
巩固训练1　求函数f(x)＝x3－4x在区间[－3，3]的最大值与最小值．
　由函数的最值确定参数的值
例2　设方法归纳
由函数最值求参数的方法
先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．结合已知求出参数，进而使问题得以解决．要注意极值点是否在区间内．
巩固训练2　若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
　与最值有关的恒成立问题
例3　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
方法归纳
与最值有关的恒成立问题的解题策略
若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以避免分类讨论．a>f(x)恒成立 a>f(x)max，a巩固训练3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意x∈[－1，2]，不等式f(x)1．3.3　三次函数的性质：单调区间和极值
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
连续不断
要点二
(1)极值　(3)极值　最大值　最小值
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：因为y′＝－3x(x－4)，所以当0≤x≤4时，y′≥0；
当x>4时，y′<0.
所以函数在[0，4]上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，
因此，y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为－43＋6×42＝32.
答案：A
3．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
答案：D
4．解析：由题设，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)，
∴[0，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减；(1，2]上f′(x)>0，f(x)单调递增；
∴f(x)在[0，2]上的最小值为f(1)＝－7＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由已知可得f(0)＝b＝1.
又f′(x)＝3x2－2x＋a，
所以f′(0)＝a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋1，f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)>0，解得x<－或x>1，
所以f(x)在[－2，－)和[1，2]上单调递增，在[，1)上单调递减．
又因为f(－2)＝－9，f(1)＝0，
所以函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值为－9.
巩固训练1　解析：∵f′(x)＝x2－4 ，令f′(x)＝x2－4＝0得x＝±2.
当x变化时，f(x)，f′(x)变化如下：
x －3 (－3，－2) －2 (－2，2) 2 (2，3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 3 ↗ ↘ － ↗ －3
∴f(x)min＝f(2)＝－，f(x)max＝f(－2)＝.
例2　解析：f′(x)＝3x2－3ax，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1，0) 0 (0，a) a (a，1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －1－a＋b ↗ b ↘ －＋b ↗ 1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，
故需比较f(0)与f(1)的大小及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
巩固训练2　解析：∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，
∴f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
∵x∈[－1，2]，∴x＝0.
∵a>0，所以f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：
x (－1，0) 0 (0，2)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 最大值3 ↘
所以当x＝0时，f(x)取最大值f(x)max＝f(0)＝b，
∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，
∴f(x)max＝f(0)＝b＝3.
又∵f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3且a>0，
∴f(2)∴当x＝2时，f(x)取最小值f(x)min＝f(2)＝－16a＋3，
∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最小值为－29，
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2，
综上所述：a＝2，b＝3.
例3　解析：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0，1) 1 (1，2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) ↗ 极大值1－m ↘
∴g(t)在(0，2)上有最大值，g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0，2)上恒成立，等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0，
所以m的取值范围为(1，＋∞)．
巩固训练3　解析：(1)由题设，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
又f′＝a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2.
(2)由(1)，知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
即f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x∈[－1，2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x [－1，－) － (－，1) 1 (1，2]
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f(x)在[－1，－)上单调递增，在(－，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴当x＝－时，f(－)＝＋c为极大值，
又f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为f(x)在[－1，2]上的最大值，
要使f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2，
∴实数c的取值范围为(－∞，－1)1．3.4　导数的应用举例
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　利用导数解决优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题 .
批注 　利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
(2)用导数解决优化问题的基本思路是：
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用导数研究实际问题要先求定义域．(　　)
(2)将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为3和5.(　　)
(3)做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．(　　)
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8　　　 B．C．－1　　　 D．－8
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________ m时，容器的容积最大．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　利润最大问题
例1　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系y＝＋10(x－6)2式，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
方法归纳
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
巩固训练1　某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
　用料、费用最少问题
例2　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
方法归纳
用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一．解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，然后正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
巩固训练2　一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w(v)＝(18≤v≤30)，要使燃料费最低，则v＝(　　)
A．18 B．20
C．25 D．30
　几何中的最值问题
例3　将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
方法归纳
解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决．
巩固训练3　用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
1．3.4　导数的应用举例
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
导数　函数
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：由题意，f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，
∴x＝1时，f ′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
答案：C
3．解析：由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.
故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值．
答案：C
4．解析：由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m，则体积V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)因为当x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3，4) 4 (4，6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
巩固训练1　解析：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
答案：D
例2　解析：(1)隔热层厚度x cm，依题意，每年能源消耗费用为C(x)＝，由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝8x，
则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为15C(x)＋C1(x)＝15·＋8x＝＋8x，
所以f(x)＝＋8x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知，f′(x)＝8－，
令f′(x)＝0，即＝8，而0≤x≤10，解得x＝，
当00，即f(x)在(0，)上递减，在(，10)上递增，
则当x＝时，f(x)取最小值f＝＋8×＝.
所以当隔热层修建 cm厚时，总费用达到最小值为万元．
巩固训练2　解析：w′(v)＝＝，
当180，
所以w(v)在[18，30]上单调递增，
所以当v＝18时，w(v)取得最小值．
答案：A
例3　解析：(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x)m，长为＝(3－x)m.
故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，
令y′＝0，解得x＝(舍去)或x＝，
所以y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x＝时，水箱的容积最大．
巩固训练3　解析：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，
高为：h＝＝4.5－3x(m)(0故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，∴x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
最大体积V(x)＝9×12－6×13(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.

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