资源简介

第1课时　数列的概念与简单表示法
最新课程标准
(1)通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法)．
(2)了解数列是一种特殊函数．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　数列的概念
1．数列的定义：按照________排成的一列数叫作数列 .
2．数列的项 ：数列中的________叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的________或叫作数列的________，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的________．
要点二　数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
要点三　函数与数列的关系
数列{an}可以看成正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，….
要点四　数列的表示方法
1．数列的表示方法：解析式法、列表法、图象法．
2．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个式子表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式 .数列的通项公式就是数列的解析表达式．
批注 　(1)如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列；
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
批注 　数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．
批注 　(1)并不是所有数列都能写出其通项公式；
(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．(　　)
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．(　　)
(3)所有自然数能构成数列．(　　)
(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.(　　)
2．下列有关数列的说法正确的是(　　)
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D．数列中的每一项都与它的序号有关
3．数列1，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
4．已知数列，…，，…则5是这个数列的(　　)
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第25项
5．数列1，2，，…中的第26项为________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　数列的概念和分类
例1　(1)下列说法正确的是(　　)
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8}
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列
(2)已知下列数列：
①1，2，22，23，…，260；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③－2，2，－2，2，…；
④3，3，3，3，…；
⑤0，，…，；
⑥1，0，－1，…，sin ，….
其中有穷数列是________；无穷数列是________．
方法归纳
数列的判断技巧及分类方法
(1)数列的判断方法
①集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的；
②组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列．
(2)根据数列的项数可分为：
①项数有限的数列是有穷数列；
②项数无限的数列是无穷数列．
巩固训练1　下列说法正确的是(　　)
A．数列－1，0，1，2与数列2，1，0，－1是相同的数列
B．数列1，2，3，4，5是有穷数列，而数列1，2，3，4，…，n是无穷数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列{2n}的项数是2n
题型2　观察法写出数列的通项公式
例2　写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－；
(2)，3，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
方法归纳
观察法写出数列的通项公式的策略
巩固训练2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)，－，－；
(2)，2，，8，；
(3)2，0，2，0.
题型3　数列通项公式的简单应用
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求这个数列的第10项；
(2)在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
方法归纳
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
巩固训练3　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N＋.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
易错辨析　忽视数列中n∈N＋致错
例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．
解析：∵an＝n2－5n＋4＝－，
可知对称轴方程为n＝，
又n∈N＋，故n＝2或3时，
an有最小值，且a2＝a3＝－2.
答案：－2
【易错警示】
出错原因 纠错心得
在求出an＝－时，忘记n∈N＋了，导致得出错误答案：－. 数列的定义域是正整数集合时，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N＋这一条件．
详解答案
第1章　数列
1．1　数列的概念
第1课时　数列的概念与简单表示法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．一定顺序
2．每一个数　首项　第1项　第n项
要点二
有限　无限
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个集合；根据数列的概念，D是正确的．
答案：D
3．解析：由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为an＝.
答案：B
4．解析：由题意得数列的通项公式为an＝，
当an＝5，即＝5时，解得n＝12，
所以5是这个数列的第12项．
答案：A
5．解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
答案：(1)A　(2)①⑤　②③④⑥
巩固训练1　解析：数列中的数是有序的，数相同但次序不同的数列是不同的数列，A不正确；数列的项数若是有限的为有穷数列，项数若是无限的为无穷数列，B中两数列的项数分别为5，n，B不正确；数列{2n}的项数为n，D不正确；数列的通项为，所以第k项为＝1＋，C正确．
答案：C
例2　解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
巩固训练2　解析：(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
例3　解析：(1)a10＝＝.
(2)解不等式<<得巩固训练3　解析：(1)在通项公式中依次取n＝1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项．第2课时　数列的递推公式与数列的单调性
最新课程标准
会由数列的递推公式求数列的项，掌握数列单调性的判断与应用．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an＋1与它的________之间的关系可用一个公式an＋1＝f(an)，n≥1来表示，那么这个公式叫作数列{an}的递推公式 ；a1称为数列{an}的初始条件．
要点二　数列的单调性
类别 定义
递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项，即an＋1____an
递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项，即an＋1____an
摆动数列 从第2项起，有些项________它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
常数列 各项都________的数列
批注 　用递推公式给出一个数列，必须给出：(1)“基础”——数列的第1项(或前几项)；(2)递推关系——数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　)
(2)有些数列可能不存在最大项．(　　)
(3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　)
(4)所有的数列都有递推公式．(　　)
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
3．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4．(多选)数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
B．an＝2an－1(n≥2，n∈N＋)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
D．a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)
5．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型1　根据递推公式求数列的项
例1　(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋＝1(n≥2且n∈N＋) ，则a2 022＝(　　)
A．－1 B． C．2 D．
(2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则a6＝________．
方法归纳
根据递推公式求数列的项的两种类型
巩固训练1　(1)[2022·重庆巴蜀中学高二期中]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n∈N＋)，则a20＝________．
(2)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．结合图形的构成可猜想a2 021－a2 020＝________．
题型2　数列递推公式与通项公式的关系
例2　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通项an.
方法归纳
由数列的递推公式求通项公式的两种方法
巩固训练2　已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋) ，则数列{an}的通项公式为an＝(　　)
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
题型3　数列单调性的判断
例3　已知数列{an}的通项公式是an＝，判断该数列的单调性．
方法归纳
判断数列单调性的四种方法
巩固训练3　下列数列是递增数列的是(　　)
A．{1－3n} B．{3n－2n＋2}
C．{2n－n} D．{(－3)n}
题型4　求数列的最大(最小)项
例4　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
方法归纳
求数列中的最大项时，可结合数列的单调性由an－1≤an且an≥an＋1来求，即解不等式组
得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值．
巩固训练4　若数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)·，其最大项是第k项，求k的值．
易错辨析　用函数思想解题时忽略数列的特征而致错例5　已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是________．
解析：方法一　由数列{an}为递增数列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N＋，所以t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二　an＝n2＋tn＝－，
由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图像得－<，解得t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
【易错警示】
出错原因 纠错心得
在方法二中，若忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)的错误结果．事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴位于区间内时，a1第2课时　数列的递推公式与数列的单调性
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
前一项an　
要点二
大于　>　小于　<　大于　相等
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.
答案：D
3．解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．
答案：A
4．解析：A，B中没有说明第一项，无法递推．
答案：CD
5．解析：∵an＝
＝＝－3
＝，
∴n＝9.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由已知得：an＝1－，可求a2＝，a3＝－1，a4＝2，
∴数列{an}的周期为3，
a2 022＝a3＝－1，选项A正确．
(2)依题意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，
所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.
答案：(1)A　(2)364
巩固训练1　解析：(1)由已知，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，因此数列{an}是周期数列，周期为6，
a20＝a2＝2.
(2)由题意可知，a1＝5，a2＝9，a3＝14，a4＝20，…，所以，a2－a1＝9－5＝4＝2＋2，a3－a2＝14－9＝5＝3＋2，
a4－a3＝20－14＝6＝4＋2，…
由此我们可以推断：当n≥2时，an－an－1＝n＋2，
故a2 021－a2 020＝2 021＋2＝2 023.
答案：(1)2　(2)2 023
例2　解析：(1)n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)n≥2时，an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝.
巩固训练2　解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，
即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2，
由累乘法可得＝n，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.
答案：A
例3　解析：方法一(作差法)　因为an＋1－an＝＝＝>0，
所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立，所以数列{an}是递增数列．
方法二(作商法)　因为an＝>0，
所以＝＝＝>1，
所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立．故数列{an}是递增数列．
方法三(函数性质法)　an＝＝＝2－.
由于函数y＝2－在[1，＋∞)上单调递增，
因此数列{an}是递增数列．
巩固训练3　解析：对于A，令an＝1－3n，则a1＝－2，a2＝－5，不合题意；
对于B，令an＝3n－2n＋2，则a1＝－5，a2＝－7，不合题意；
对于C，令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，符合题意．
对于D，令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，不合题意．
答案：C
例4　解析：∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·.
∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，a10－a9＝0，即a10＝a9；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
∴数列{an}中最大项为a9或a10，
其值为10×，其项数为9或10.
巩固训练4　解析：由题意得
所以由k∈N＋可得k＝4.1．2　等差数列
1．2.1　等差数列及其通项公式
最新课程标准
(1)通过生活中的实例，理解等差数列的概念．
(2)能在具体问题情景中，发现数列的等差关系．
(3)会推导等差数列的通项公式，并能应用公式解决简单的等差数列问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　等差数列的概念
1．文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 ，那么这个数列称为等差数列，这个________叫作等差数列的________，公差通常用字母________表示．
2．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)．
要点二　等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝ .
要点三　等差中项
在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项 ，即M＝________．
要点四　等差数列的常用性质
1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
2．在等差数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
批注 　一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．
批注 　由通项公式可知，要确定等差数列的通项公式只需确定其首项和公差即可．
批注 　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an －1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an －1与an＋1的等差中项．反之，若an －1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列．
批注 　熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}满足an＋1－an＝1(n>1)，则数列{an}是等差数列．(　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)
(4)一个无穷等差数列{an}中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．(　　)
2．(多选)下列数列是等差数列的有(　　)
A.1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16
C．，1， D．－3，－2，－1，1，2
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　)
A． B．±
C．3 D．±3
5．等差数列10，7，4，…的第10项是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
题型1　等差数列的通项公式
角度1　基本量的运算
例1　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若an＝13，求n的值．
方法归纳
(1)从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
(2)已知数列的其中两项求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形公式an＝am＋(n－m)d.
巩固训练1　(1)[2022·湖南益阳高二期末]已知{an}是公差为2的等差数列，且a3＝3，则a6＝(　　)
A．3 B．9
C．18 D．24
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
角度2　判断数列中的项
例2　100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
方法归纳
判断数列中的项的步骤
巩固训练2　等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？
题型2　等差中项及其应用
例3　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；
(2)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
方法归纳
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或解决有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
巩固训练3　设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则有(　　)
A．a＝－bB．a＝3b
C．a＝3b或a＝－b D．a＝b＝0
题型3　等差数列的判定与证明
例4　已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
方法归纳
证明一个数列是等差数列的2种常用方法
巩固训练4　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
题型4　等差数列的性质及应用
例5　(1)在等差数列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，则a9等于(　　)
A．14　　　B．12 C．10　　　D．8
(2)[2022·湖南怀化高二期末]在等差数列{an}中，a2，a4是方程x2－3x－4＝0的两根，则a3的值为(　　)
A．2　　　 B．3 C．±2　　　D．
方法归纳
利用等差数列的性质“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，则ak＋al＝am＋an”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量．
巩固训练5　(1)[2022·湖南长郡中学高二期中]数列{an}为等差数列，若a2＋a4＝4，则a3＝(　　)
A．1　　 　B．2 C．3　　　D．4
(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________．
易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错例6　两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1.
∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.
∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项．
【易错警示】
出错原因 纠错心得
混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致错． 解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分．
1．2　等差数列
1．2.1　等差数列及其通项公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．常数　公差　d
要点三
要点四
2．ak＋al＝am＋an
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由等差数列的定义可知ABC是等差数列，D不是等差数列．
答案：ABC
3．解析：由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
答案：C
4．解析：由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
答案：C
5．解析：设这个等差数列为{an}，则a1＝10，d＝7－10＝－3，
所以a10＝a1＋9d＝10－27＝－17.
答案：－17
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意可知解得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.
巩固训练1　解析：(1)因为{an}是公差为2的等差数列，a3＝3，
所以a6＝a3＋3×2＝9.
(2)方法一(方程组法)　由
得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
方法二(利用am＝an＋(m－n)d求解)　由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
答案：(1)B　(2)－
例2　解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是这个数列的第15项．
巩固训练2　解析：(1)设数列{an}的公差为d.
因为a5＝10，a12＝31，
由an＝a1＋(n－1)d得，
解得
即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，
则a20＝3×20－5＝55.
(2)令3n－5＝85，得n＝30，
所以85是该数列{an}的第30项．
例3　解析：(1)∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.
又a是－1与b的等差中项，∴a＝＝1.
又c是b与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
巩固训练3　解析：依题意2x＝a＋b，2x2＝a2－b2，消去x可得2·＝a2－b2，
整理得a2－2ab－3b2＝0，所以a＝3b或a＝－b.
答案：C
例4　解析：(1)证明：∵bn＋1－bn＝
＝
＝
＝＝
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n，
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
巩固训练4　解析：(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n，
所以＝＝＋1，
所以＝1，n∈N＋.
又bn＝，所以bn＋1－bn＝1.
所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝a1＝1，公差为1.
(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，经检验，n＝1时a1＝1也满足上式．
例5　解析：(1)因为2d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1，
又因为a3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6，
所以a9＝a7＋2d＝8.
(2)a2、a4是方程x2－3x－4＝0的两根，所以a2＋a4＝3，
又{an}是等差数列，所以a2＋a4＝2a3，所以a3＝.
答案：(1)D　(2)D
巩固训练5　解析：(1)因为{an}为等差数列，则a2＋a4＝2a3＝4，所以a3＝2.
(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.
答案：(1)B　(2)181．2.2　等差数列与一次函数
最新课程标准
体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的关系解决等差数列的问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　等差数列与一次函数的关系
对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)，当d≠0时，是________(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是________．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点________组成．
要点二　等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，
(1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}________；
(2)当d<0时，直线从左至右下降，等差数列{an}________；
(3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为________．
批注 　相同点都是关于自变量的一次整式．不同点是定义域的不同，数列中n∈N＋.
批注 　等差数列的单调性受公差d的制约．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的通项公式是关于n的一次函数．(　　)
(2)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.(　　)
(3)等差数列{an}是递增数列，则数列{|an|}也是递增数列．(　　)
2．已知等差数列{an}的公差为d，若{an}为递增数列，则(　　)
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3＋k·n，且a1＝1，则该等差数列的公差为(　　)
A．2　　　　B．－2 C．3　　　　D．－3
4．已知数列{an}，对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
5．已知等差数列{an}为递增数列，a2，a4是方程x2－14x＋40＝0的两个根，则a20＝________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　等差数列的通项公式的函数特征
例1　已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，求ap＋aq的值．
方法归纳
利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，列方程组求解．
巩固训练1　在等差数列{an}中，am＝n，an＝m，则am＋n(　　)
A．0 B．m
C．n D．m＋n
题型2　等差数列的图象与一次函数的图象
例2　已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图象；
(3)判断这个数列的单调性．
方法归纳
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n，an)为坐标描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
巩固训练2　[2022·山东莱州一中二月考]在数列{an}中，a1＝3，对任意大于1的正整数n，点()在直线x－y－＝0上，那么a5＝(　　)
A．5 B．5
C．50 D．75
题型3　等差数列的单调性与一次函数的单调性
例3　已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，求实数λ的取值范围．
方法归纳
数列单调性与函数单调性的区别和联系
区别：二者定义不同．函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D I，对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调．反之不正确，例如f(x)＝，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增．
巩固训练3　在数列{an}中，an＝－3n＋18，则an的最大值为(　　)
A．15 B．0
C．6 D．不存在
易错辨析　忽视等差数列中的隐含条件致误
例4　已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　)
A．d>B．d<
C．解析：由题意可得a1＝，且，
即，解得答案：D
【易错警示】
出错原因 纠错心得
(1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误． 认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件．
1．2.2　等差数列与一次函数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
一次函数　直线　(n，an)
要点二
(1)递增　(2)递减　(3)常数列
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：数列{an}是递增数列，则an＋1－an＝d>0.
答案：A
3．解析：由已知可知3＋k＝1，所以k＝－2，an＝3－2n，即公差d＝－2.
答案：B
4．解析：由题意知：an＝2n＋1，则an＋1－an＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案：A
5．解析：因为a2，a4是方程x2－14x＋40＝0的两个根，所以，或，
又因数列{an}为递增数列，所以，故2d＝a4－a2＝6，d＝3，a1＝1，故an＝3n－2，a20＝58.
答案：58
题型探究·课堂解透
例1　解析：设等差数列通项公式为an＝xn＋y，代入两点的坐标得解得x＝－2，y＝5，即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2(－10＋5)＝－10.
巩固训练1　解析：方法一　构造等差数列{an}使得a1＝2，a2＝1，这里m＝1，n＝2，于是am＋n＝a3＝0，排除B、C、D.
方法二　因为是等差数列且m≠n，所以d≠0，即通项公式是关于n的一次函数，一次函数图象是一条直线，则(n，m)，(m，n)，(m＋n，am＋n)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即＝，得am＋n＝0.
答案：A
例2　解析：(1)d＝＝2，∴an－1＝2(n－1)．即an＝2n－1.
(2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点．图略．
(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．
巩固训练2　解析：∵点()在直线x－y－＝0上，即＝，
又＝，∴{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝n，即an＝3n2，
所以a5＝3×52＝75.
答案：D
例3　解析：方法一　构造一次函数，因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)(*)．设f(n)＝－(2n＋1)，则只需求出f(n)的最大值即可，因为n≥1，显然f(n)有最大值f(1)＝－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
方法二　构造二次函数，设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－，要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)－3.
巩固训练3　解析：an＝－3n＋18对应的函数为y＝－3x＋18，易知它是R上的递减函数，因此可知数列是递减数列，首项最大，所以(an)max＝a1＝15.
答案：A1．2.3　等差数列的前n项和(1)
最新课程标准
(1)探索并掌握等差数列的前n项和公式．(2)理解数列的an与Sn的关系．(3)掌握等差数列前n项和的性质及应用．(4)会求等差数列前n项和的最值．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
要点二　等差数列的前n项和公式
1．Sn＝.
2．Sn＝na1＋d .
要点三　等差数列前n项和的性质
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等差数列．
2．数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
批注 　已知a1和an及项数n，使用此公式．
批注 　已知首项a1和公差d及项数n，使用此公式．
批注 　熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加．(　　)
(2)知道等差数列的首项、公差与前n项和可求项数n.(　　)
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　)
(4)数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．(　　)
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于(　　)
A.45　　　B．52 C．108　　 D．54
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，则a5＝(　　)
A．10　　　B．13 C．15　　　D．18
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝(　　)
A．28　　　B．32 C．36　　　D．40
5．某剧场有20排座位，若后一排比前一排多2个座位，这个剧场共有820个座位，则这个剧场最后一排有________个座位．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　等差数列前n项和的基本计算
例1　在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
方法归纳
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差数列的性质解题
巩固训练1　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11＋7＝2a12，则S25＝(　　)
A． B．145
C． D．175
(2)在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sm＝－15，则am＝________．
题型2　等差数列前n项和公式的实际应用
例2　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
方法归纳
(1)解答与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
巩固训练2　[2022·湖南部分重点中学联考]跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要(　　)
A．16天 B．17天
C．18天 D．19天
题型3　等差数列前n项和性质的应用
例3　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
方法归纳
等差数列前n项和计算的三种方法
巩固训练3　(1)[2022·重庆十一中月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 021等于(　　)
A．2 021 B．－2 021
C．－2 020 D．2 020
易错辨析　混淆等差数列的性质致误
例4　已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________．
解析：由题意知，得
所以S40＝40×＝120.
答案：120
【易错警示】
出错原因 纠错心得
将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列． 本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40.
1．2.3　等差数列的前n项和(1)
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：S9＝＝＝54.
答案：D
3．解析：由题意得解得所以a5＝a1＋4d＝13.
答案：B
4．解析：∵数列{an}为等差数列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，
解得：S12＝36.
答案：C
5．解析：由题意知，剧场各排座位从前到后构成一个公差为2的等差数列{an}，且n＝20，Sn＝820，d＝2，
由Sn＝na1＋d，即820＝20a1＋×2，解得a1＝22，
所以a20＝a1＋(20－1)d＝22＋19×2＝60.
答案：60
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，
∴
解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
巩固训练1　解析：(1)因为等差数列{an}中，a11＋7＝2a12，则a1＋10d＋7＝2(a1＋11d)，即a1＋12d＝7，即a13＝7，所以S25＝＝25a13＝25×7＝175.
(2)∵Sm＝m×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
答案：(1)D　(2)－4
例2　解析：(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，
构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，
所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)；
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：S10＝＝2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列，
所以后20天新感染者人数和为T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人．
巩固训练2　解析：依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程(单位：千米)依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，
设经过n天后他完成健身计划，则8n＋≥200，
整理得n2＋31n－800≥0.
因为函数f(x)＝x2＋31x－800在[1，＋∞)为增函数，且f(16)<0，f(17)>0，
所以n≥17.
答案：B
例3　解析：(1)由等差数列{an}的性质，可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
即30，70，S3m－100成等差数列，所以2×70＝30＋S3m－100，解得S3m＝210.
(2)由等差数列的前n项和的性质，且＝，
可得＝＝＝＝＝.
巩固训练3　解析：(1)因为＝，
所以＝＝＝＝＝2.
(2)∵数列{an}为等差数列，∴数列为等差数列，设其公差为d，
又＝2d＝2，解得：d＝1，又＝a1＝－2 021，
∴＝－2 021＋2 020＝－1，∴S2 021＝－2 021.
答案：(1)C　(2)B1．2.3　等差数列的前n项和(2)
最新课程标准
(1)理解数列的an与Sn的关系．
(2)会求等差数列前n项和的最值．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　Sn与an的关系
an＝
要点二　等差数列前n项和的最值
1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
2．因为Sn＝n2＋n ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
批注 　如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为
an＝
批注 　用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N*.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　　)
(2)对于数列{an}，一定有关系式an＝Sn－Sn－1.(　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn一定同时存在最大值和最小值．(　　)
(4)若等差数列{an}的公差d>0，则该数列Sn一定有最小值，d<0，则该数列Sn一定有最大值．(　　)
2．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．14或15
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a4的值为(　　)
A．15 B．27
C．37 D．64
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于(　　)
A．4n－2 B．n2
C．2n＋1 D．2n
5．等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，则其最小值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　an与Sn的关系的应用
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}是否为等差数列？
方法归纳
已知Sn求an的一般步骤
巩固训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
题型2　等差数列前n项和的最值
例2　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
变式探究1　将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取最大值时，n的值为________．
变式探究2　将本例中“a1>0，S3＝S11”换为“a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0”，求使Sn>0成立的最大自然数n.
方法归纳
1．在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法
2．寻求正、负项分界点的方法
巩固训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 020>0，S2 021<0，则当n＝________时，Sn最大．
题型3　求数列{|an|}的前n项和
例3　已知等差数列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)Sn为数列{|an|}的前n项和，求Sn.
方法归纳
求数列{|an|}前n项和的方法
(1)一般地，数列{|an|}与数列{an}是两个不相同的数列，只有数列{an}中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列．因此，求数列{|an|}的前n项和时，应先弄清n取什么值时an>0或an<0，去掉绝对值符号后再求和．
(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则有：
①若a1>0，d<0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，从而Tn＝
②若a1<0，d>0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，从而
巩固训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
易错辨析　数列中的最值错误
例4　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．
解析：方法一　由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.
构建不等式组即解得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
方法二　由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d.
由于n∈N＋，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．
方法三　由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
答案：14或15
【易错警示】
出错原因 纠错心得
由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错． 在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项．
1．2.3　等差数列的前n项和(2)
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
S1　Sn－Sn－1
要点二
1．最大　最小
2．最小　最大　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N＋，∴n＝14.
答案：B
3．解析：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴a4＝S4－S3＝43－33＝37.
答案：C
4．解析：当n＝1时，S1＝a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋n－1]＝2n，
因为a1＝2满足an＝2n，
所以an＝2n.
答案：D
5．解析：由Sn＝n2－3n＝－，可知当n＝1或2时，Sn的最小值为－2.
答案：－2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列．
巩固训练1　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10，
当n＝1时，a1＝S1＝－8也适合，所以an＝2n－10.
又因为5＜ak＜8，所以5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9，故k＝8.
答案：B
例2　解析：方法一(函数法)　由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．
方法二(通项变号法)　由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
答案：7
变式探究1　解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大．
答案：12或13
变式探究2　解析：∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，
∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列．
∴a2 019>0，a2 020<0.
且|a2 019|>|a2 020|，∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0，
∴S4 038＝>0，
又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0，
∴S4 039＝＜0，
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4 038.
巩固训练2　解析：∵S2020>0，S2 021<0，
∴>0，<0，
∴a1＋a2 020＝a1 010＋a1 011>0，a1＋a2 021＝2a1 011<0，
∴a1 010>0，a1 011<0，
∴当n＝1 010时，Sn最大．
答案：1 010
例3　解析：(1)在等差数列{an}中，由a1＋a4＋a7＝－6得a4＝－2，则，解得或，
而公差d>0，则，d＝＝2，于是得a1＝－8，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－10.
解析：(2)由(1)知an＝2n－10，因此，|an|＝|2n－10|＝，
当1≤n≤5时，Sn＝－a1－a2－…－an＝－×n＝－n2＋9n，
当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋(|a6|＋…＋|an|)
＝(－a1－a2－…－a5)＋(a6＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)
＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a5)＝×n＋40＝n2－9n＋40，
所以Sn＝(n∈N＋)．
巩固训练3　解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0得n≤34，
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
方法一　①当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
方法二　①同方法一．
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝
＝n2－n＋3 502，
故Tn＝1．3.1　等比数列及其通项公式
最新课程标准
(1)理解等比数列的概念和通项公式的意义．
(2)掌握等比数列的通项公式．
(3)能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　等比数列的概念
1．文字语言：一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项之比都等于________常数，那么这个数列称为等比数列 ，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母________表示．
2．符号语言：＝q (q为常数，n∈N＋)
要点二　等比数列的通项公式
若数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝a1qn－1 .
要点三　等比中项
在两个数a，b中间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．
批注 　比是有顺序的，不能有0项！
批注 　公比q是除0之外的任意实数，当q＝1时，此时为常数列，也是等差数列．
批注 　公式中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
批注 　只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
基础自测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列为{an}，且满足＝q(n≥2，q为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．(　　)
(2)在等比数列{an}中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．(　　)
(3)G为a，b的等比中项 G2＝ab.(　　)
(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．(　　)
　
2．(多选)下列数列不是等比数列的是(　　)
A．2，22，3×22，…
B．，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0，0，0，…
3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．4
4.－1与＋1的等比中项是(　　)
A．B．－
C．± D．±
5．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________．
　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　等比数列通项公式的应用
例1　在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
方法归纳
等比数列中求an的2种常用方法
巩固训练1　(1)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
(2)已知{an}为等比数列，且a2＝2，a4＋a6＝，则{an}的公比q等于(　　)
A． B．
C．－ D．±
题型2　等比中项及其应用
例2　已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
方法归纳
(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
巩固训练2　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
题型3　等比数列的实际应用
例3　某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
(1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？
方法归纳
解等比数列应用题的一般步骤
巩固训练3　某教育网站本月的用户为500人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)
易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错
例4　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　)
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．－27
解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9.
答案：B
【易错警示】
出错原因 纠错心得
没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a7＝±9，错选A. 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当．
1．3　等比数列
1．3.1　等比数列及其通项公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．2　同一个　q(q≠0)
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中，≠，A不是等比数列；B中，＝＝…，B是等比数列；C中，当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．
答案：ACD
3．解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3，
∴q＝，∴a3＝＝2.
答案：B
4．解析：－1与＋1的等比中项是±＝±.
答案：C
5．解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
答案：－2n或(－2)n
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
(2)方法一　由已知可得
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
巩固训练1　解析：(1)设公比为q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0，
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.
(2)∵数列{an}为等比数列，
∴a4＋a6＝a2q2＋a2q4＝2(q2＋q4)＝，即16q4＋16q2－117＝0，
∴(4q2＋13)(4q2－9)＝0，解得q2＝，即q＝±.经检验q＝±均满足题意．
答案：(1)B　(2)D
例2　解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，
因为a2－a5＝42，所以q≠1，
由已知，得，
所以，
因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得q(1－q)＝.
所以q＝.
所以a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，
则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9.
所以a5，a7的等比中项是±3.
巩固训练2　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9，
∴b<0，∴b＝－3.
又b2＝ac，∴ac＝9.
答案：B
例3　解析：(1)由题意，得b1＝＝0.65 g/ml，
a1＝＝1.55 g/ml.
当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，
an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，
∴an－bn＝(an－1－bn－1)，
∴等比数列{an－bn}的公比为，
其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，
∴an－bn＝0.9·.
(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·<10－2，
∴n>1＋≈7.49，
∴至少要操作8次才能达到要求．
巩固训练3　解析：根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列{an}，
则首项a1＝500，公比q＝1＋10%＝1.1，
则由an＝500×1.1n＝10 000可得，1.1n＝20，
则n＝log1.120≈31.4，所以大约经过32个月可使用户达到1万人．1．3.2　等比数列与指数函数
最新课程标准
(1)体会等比数列与指数函数的关系．
(2)通过指数函数理解等比数列的性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　等比数列与指数函数的关系
如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，所以{an}的单调性由a1和q共同决定 .
具体情况如下：
单调性 公比q 首项 q>1 0a1>0 ________ ________ 常数 数列 摆动 数列
a1<0 ________ ________
要点二　等比数列的常用性质
1．在等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
2．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么}，{an·bn}，仍是等比数列．
批注 　一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
批注 　熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
　基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当q>1时，{an}为递增数列．(　　)
(2)当q＝1时，{an}为常数列．(　　)
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　)
(4)若{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)
A.递增数列 B．递减数列
C.常数列 D．摆动数列
3．设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是(　　)
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
4．对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是(　　)
A.该数列既不是等差数列也不是等比数列
B.该数列是等差数列但不是等比数列
C.该数列是等比数列但不是等差数列
D.该数列既是等差数列又是等比数列
5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5＝3，则a1a9＝________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　等比数列的性质应用
例1　(1)[2022·福建宁德高二期中]已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2＝3，a7a8＝27，则a4a5＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)(多选)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则(　　)
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C．数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{log2|an|}是等比数列
方法归纳
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．
巩固训练1　(1)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝(　　)
A． B．
C．10 D．15
(2)若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是(　　)
A．公比为2的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公差为2的等差数列
D．公差为的等差数列
题型2　等比数列的单调性及其应用
例2　(1)在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项之积为Tn，且a2＝27，a3·a6·a9＝，则当Tn最大时，n的值为(　　)
A．5或6 B．6
C．5 D．4或5
方法归纳
借助指数函数的单调性，轻而易举地解决数列最大项的问题．在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质．
巩固训练2　(1)设{an}是公比为q的等比数列，则“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
题型3　等比数列的判断与证明
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
方法归纳
判断数列是等比数列的3种常用方法
巩固训练3　已知数列{an}与等比数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)，试判断：{an}是等比数列吗？
1．3.2　等比数列与指数函数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
递增数列　递减数列　递减数列　递增数列
要点二
1．akal＝aman
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：∵q<0，a1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列．
答案：D
3．解析：根据题意，{an}是等比数列，
依次分析选项：
A．1＋9≠2×3，则(a3)2≠a1×a9，则a1，a3，a9不成等比数列，A错误；
B．2＋6≠2×3，则(a3)2≠a2×a6，则a2，a3，a6不成等比数列，B错误；
C．2＋8≠2×4，则(a4)2≠a2×a8，则a2，a4，a8不成等比数列，C错误；
D．3＋9＝2×6，则(a6)2＝a3×a9，则a2，a3，a6成等比数列，D正确．
答案：D
4．解析：由题意可知，对于无穷常数列7，7，…，7…是以7为首项，0为公差的等差数列；同时也是以7为首项，1为公比的等比数列．
答案：D
5．解析：由题意a1a9＝＝9.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由a1a7＝＝a1a7·a2a8＝3×27＝81，又因为各项均为正数，所以a4a5＝9.
(2)对于A，因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，错误；对于B，an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝(－1)n·3·2n－1，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证，故{an＋1－an}是等比数列，正确；对于C，anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝＝(－2)－1·(－2)2n＝－·4n，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证数列{anan＋1}是等比数列，正确；对于D，log2|an|＝log22n－1＝n－1，是等差数列，错误．
答案：(1)C　(2)BC
巩固训练1　解析：(1)因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，
所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5
＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝＝log3(95)＝log3(310)＝10.
(2)数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，设bn＝·a2n，则＝＝·()2＝2(n≥2)，即{·a2n}是公比为2的等比数列．
答案：(1)C　(2)A
例2　解析：(1)如等比数列{(－1)n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列．
(2)设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a3·a6·a9＝，a3·a9＝(a6)2，所以a6＝，又a2＝27，q4＝＝，故q＝，所以a1＝81，Tn＝＝＝，所以当n＝4或5时，Tn取最大值．
答案：(1)D　(2)D
巩固训练2　解析：(1)当等比数列{an}的首项a1<0而公比01.故{an}为等比数列，q为公比，则“0(2)由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.
又a1>0，所以数列{an}为递增数列．
答案：(1)D　(2)A
例3　解析：(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－，
当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
巩固训练3　解析：设数列{bn}的公比为q，则q>0，因为bn＝，所以b1＝，所以bn＝·qn－1＝.方程两边取以3为底的对数，得an＝·qn－1)＝a1＋(n－1)log3q.由于an＋1－an＝[a1＋nlog3q]－[a1＋(n－1)log3q]＝log3q，可知数列{an}是以log3q为公差的等差数列，数列{an}不是等比数列．1．3.3　等比数列的前n项和
最新课程标准
(1)探索并掌握等比数列的前n项和公式．
(2)理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
(3)理解与等比数列的前n项和有关的性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，前n项和为Sn ，
当q＝1时，Sn＝________；
当q≠1时，Sn＝＝.
要点二　等比数列前n项和的性质
1．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn ，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
2．等比数列的项数为2n项时，＝________；项数为2n＋1项时，＝________．
批注 　(1)当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
(2)当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
批注 　当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　)
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．(　　)
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　)
2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93　　　B．－93 C．45　　　D．－45
3．若等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则a等于(　　)
A．－4　　 B．－2 C．0　　　 D．－1
4．Sn为等比数列{an}的前n项和，且a3＝3，S2＝6，则a5的值为(　　)
A．　　　B．3或12 C．3或　 D．12或
5．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
　
题型1　等比数列前n项和的基本运算
例1　在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
方法归纳
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，由等比数列的通项公式和求和公式，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
巩固训练1　(1)已知公比不为1的等比数列{an}，其前n项和为Sn，＝5，则＝(　　)
A．2 B．4
C．5 D．25
(2)[2022·湖南娄星高二期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，则S8＝________．
题型2　等比数列前n项和性质的应用
例2　(1)等比数列{an}前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为________；
(2)已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．
方法归纳
解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．
巩固训练2　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．2 B．
C． D．3
(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，且前3项之积为64，求该数列的通项公式．
题型3　等比数列前n项和公式的实际应用
例3　[2022·湖南长沙一中高二期中]政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款，一位大学毕业生想自主创业，经过市场调研，测算，有两个方案可供选择．
方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年获得比上一年增加25%；
方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加获利1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算(参考数据：1.259＝7.45，1.2510＝9.3，1.029＝1.20，1.0210＝1.22)
(1)10年后，方案1，方案2的总获利分别有多少万元？
(2)10年后，哪一种方案的利润较大？(利润＝总获利－贷款－贷款总利息)
方法归纳
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
巩固训练3　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
易错辨析　忽略对公比q的讨论致误
例4　已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________．
解析：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意，此时a3＝a1＝2.
若q≠1时，则 S3＝＝＝6，
解得q＝－2，此时a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上a3的值为2或8.
答案：2或8
【易错警示】
出错原因 纠错心得
忽略了对公比q的讨论，直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而漏解致误． 解答有关等比数列求和问题时，应考虑公比q两种情况q＝1或q≠1，否则容易出错．
1．3.3　等比数列的前n项和
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
na1
要点二
2．q　q
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：S5＝＝＝93.
答案：A
3．解析：∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，
a3＝S3－S2＝18.
由a1·a3＝得(3＋a)·18＝62，
∴a＝－1.
答案：D
4．解析：设公比为q，则解得q＝－或q＝1，故a5＝a3q2＝或a5＝3.
答案：C
5．解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，
解得a1＝192.
答案：192
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝
(2)方法一　由题意知
解得从而S5＝＝.
方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
巩固训练1　解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
则＝＝＝1＋q2＝5，所以q2＝4，
则＝＝q2＝4.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，
∴，
解得a1＝1，q＝2，
∴S8＝＝255.
答案：(1)B　(2)255
例2　解析：(1)设等比数列{an}的前3n项的和为S，因为S2n＝60，所以q≠－1，则54，60－54，S－60成等比数列，所以54×(S－60)＝(60－54)2，解得S＝60.
(2)设该等比数列为{an}，公比为q，项数为n，由题意得：＝＝q＝＝2，Sn＝＝2n－1＝85＋170＝255，则2n＝256，n＝8，所以数列的公比为2，项数为8.
答案：(1)60　(2)2　8
巩固训练2　解析：(1)方法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.
方法二　由＝3，得S6＝3S3.
设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3，所以＝.
(2)设该数列的首项为a1，公比为q，奇数项之和、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵该数列的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式an＝12·.
答案：(1)B　(2)见解析
例3　解析：(1)方案1是等比数列，方案2是等差数列，
①方案1，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，即4万元，
获利：4[1＋(1＋25%)＋(1＋25%)2＋…＋(1＋25%)9]＝4×＝132.8(万元)，
方案2，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，即3万元，
获利：3＋(3＋1.5)＋(3＋2×1.5)＋…＋(3＋9×1.5)，
＝10×3＋×1.5＝97.50(万元)；
(2)方案1，银行贷款本息：40(1＋2%)10≈48.8(万元)，
故方案1纯利：132.8－48.8＝84(万元)．
方案2，银行贷款本息：20(1＋2%)10≈24.4(万元)，
故方案2纯利：97.50－24.4＝73.1(万元)．
∴方案1的利润较大．
巩固训练3　解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度．
由题意，得an＋1＝an.
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．1.4　数学归纳法
最新课程标准
(1)了解数学归纳法的原理．
(2)能用数学归纳法证明一些简单的命题.
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　数学归纳法的概念
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0 (n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫作数学归纳法 .
批注 　n0不一定都是1，也可以是其他正整数．
批注 　主要用于解决与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法．
基 础 自 测
　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步就可以．(　　)
(2)在用数学归纳法时，第二步必须利用归纳假设．(　　)
(3)一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性结论：对于任意n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是数学归纳法．(　　)
(4)用数学归纳法证明命题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)
2．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　)
A．k∈NB．k>1，k∈N＋
C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋
3．用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N＋)时，第一步应证明(　　)
A．f(2)＝1＋2 B．f(1)＝1
C．f(1)＝1＋2＋3 D．f(1)＝1＋2＋3＋4
4．用数学归纳法证明，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2 B．1＋<2
C．1＋<3 D．1＋<3
5．用数学归纳法证明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是________．
　　题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1　用数学归纳法证明等式问题
例1　用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋(n∈N＋)．
方法归纳
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
巩固训练1　求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．
题型2　归纳—猜想—证明
例2　数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N＋)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．
方法归纳
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．
巩固训练2　已知数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和Bn＝(n＋1)bn，求数列{bn}的通项公式．
题型3　用数学归纳法证明几何问题
例3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
方法归纳
对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
巩固训练3　证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
*1.4　数学归纳法
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．答案：C
3．解析：n的初始值应为1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.
答案：D
4．解析：因为n∈N＋，n>1，故数学归纳法应验证n＝2的情况，即1＋<2.
答案：B
5．解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了
[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．
答案：(2k＋1)＋(2k＋2)
题型探究·课堂解透
例1　证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即1－＋…＋＝＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋…＋
＝＋…＋
＝＋…＋.
上式表明当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立．
巩固训练1　证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．
例2　解析：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明猜想正确：
(1)当n＝1，2时易知猜想正确．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时猜想正确，即ak＝.
当n＝k＋1时，ak＋1＝＝
＝＝＝
＝＝.
∴当n＝k＋1时猜想也正确．
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N＋都正确．
巩固训练2　解析：由已知条件b1＝1，Bn＝(n＋1)bn，得B2＝b1＋b2＝b2，
∴b2＝2.
B3＝b1＋b2＋b3＝2b3，
∴b3＝3.
B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝b4，
∴b4＝4.
由此猜想：bn＝n(n∈N＋)为数列{bn}的通项公式．
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，b1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立．
即bk＝k，则当n＝k＋1时，
bk＋1＝Bk＋1－Bk＝(k＋1＋1)bk＋1－(k＋1)bk，
整理得bk＋1＝·bk＝k＋1，
即当n＝k＋1时，bk＋1＝k＋1.
由(1)(2)知，对任意n∈N＋，都有bn＝n.
例3　证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合①②可知，对一切n∈N＋，命题成立．
巩固训练3　证明：①当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．
②假设n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)．
当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k＋1－3)＋1＝k－1.
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3].
故n＝k＋1时，命题成立．
由①②可知，对任意n≥4，n∈N＋，命题成立．

展开更多......

收起↑