资源简介

2．1.1　建立空间直角坐标系
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　空间直角坐标系
空间直角坐标系 在空间任取一点O，以O为原点，作三条________的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O xyz ．
坐标平面 在空间直角坐标系O xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为________平面，________平面，________平面．
右手系 伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正方向．
批注 　画空间直角坐标系O xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
要点二　空间直角坐标系中的坐标
有了空间直角坐标系，空间中的点P与有序实数组(x，y，z)之间就建立了一一对应的关系．有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标．
点的坐标 原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为________，y轴上的点的坐标为________，z轴上的点的坐标为________．
平面上点的坐标 xOy平面内的点的坐标为________，yOz平面内的点的坐标为________，xOz平面内的点的坐标为________．
批注 　坐标轴上的点的特征：x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0；y轴上的点横坐标和竖坐标都为0；z轴上的点横坐标和纵坐标都为0.
批注 　坐标平面上的点的特征：xOy平面上的点竖坐标为0；yOz平面上的点横坐标为0；xOz平面上的点纵坐标为0.
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(　　)
(2)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　)
(3)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　)
2．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　)
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
3．在空间直角坐标系O xyz，点A(1，－2，5)关于平面yOz对称的点B为(　　)
A．(1，－2，－5) B．(－1，－2，5)
C．(－1，－2，－5) D．(1，2，－5)
4．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　在空间坐标系下确定点的位置
例1　在空间直角坐标系O xyz中，画出下列各点：
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，
A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．
方法归纳
在空间坐标系下确定点的位置的方法
(1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
巩固训练1　在空间直角坐标系中，标出点M(2，－6，4)．
　在空间坐标系下求点的坐标
例2　设正四棱锥S P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系．求点S，P1，P2，P3和P4的坐标．
方法归纳
在空间坐标系下求点的坐标
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
巩固训练2　在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，试建立适当的坐标系，写出E，F，G的坐标．
　在空间坐标系下求对称点的坐标
例3　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
方法归纳
求空间对称点的2个策略
巩固训练3　求点(－2，1，4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．
2．1.1　建立空间直角坐标系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
两两垂直　xOy　yOz　xOz　x轴　y轴　z轴
要点二
(x，0，0)　(0，y，0)　(0，0，z)　(x，y，0)　(0，y，z)　(x，0，z)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：点(2，0，3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．
答案：C
3．解析：关于平面yOz对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同．
答案：B
4．解析：∵点P(－4，－2，3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4，0，0)．
答案：(－4，0，0)
题型探究·课堂解透
例1　解析：点A为原点．点B为x轴上坐标为2的点．点C的竖坐标为0，因此点C就是xOy平面内横坐标为2、纵坐标为3的点．点D是y轴上坐标为3的点．点A′是z轴上坐标为2的点．点B′是zOx平面内横坐标为2、竖坐标也为2的点．要作出点C′(2，3，2)，只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α，过y轴上坐标为3的点D作垂直于y轴的平面β，根据几何知识可以得出：这两个平面的交线就是经过点C(2，3，0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为2的点A′作垂直于z轴的平面γ，
那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α，β，γ，的交点，就是点C′.点D′是yOz平面内纵坐标为3、竖坐标为2的点．
在同一空间直角坐标系中，画出以上各点，它们刚好是长方体ABCD A′B′C′D′的八个顶点(如图)．
巩固训练1　解析：方法一　先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
方法二　以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
例2　解析：
以正四棱锥的底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|P1P2|＝a，P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(，0)，P2(－，0)．
又P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－，－，0)，P4(，－，0)．
又∵|OP1|＝a，∴在Rt△SOP1中，
|SO|＝＝ ＝a.
∴S(0，0，a)．
巩固训练2　解析：
建立如图所示的空间直角坐标系．
点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，
而E为DD1的中点，
故其坐标为(0，0，)．
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，
由平面几何知识知FM＝，FN＝，
故F点坐标为(，0)．
因为CG＝CD，G，C均在y轴上，
故G点坐标为(0，，0)．
例3　解析：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
巩固训练3　解析：点P关于y轴的对称点坐标为P1(2，1，－4)；
点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1，4)；
点P关于平面yOz的对称点为P3(2，1，4)；
点P关于平面xOz的对称点为P4(－2，－1，4)．2．1.2　空间两点间的距离
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点　空间两点间的距离
空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A、B两点间的距离为|AB|＝____________．
特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝____________．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．(　　)
(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(　　)
(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(　　)
2．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(　　)
A．2 B．2C．9 D．
3．已知空间直角坐标系O xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B，则|AB|为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．以上都不对
4．已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　求空间两点间的距离
例1　如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．
方法归纳
求空间两点间的距离的方法
巩固训练1　已知A(3，2，1)，B(1，0，5)，求线段AB的中点M到原点的距离．
　利用距离公式求空间点的坐标
例2　设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离等于它到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
方法归纳
由空间两点之间的距离求点的坐标的方法
巩固训练2　在空间直角坐标系O xyz中，若y轴上点M到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标为(　　)
A．(0，1，0) B．(0，－1，0)
C．(0，0，3) D．(0，0，－3)
　空间两点间距离公式的应用
例3　已知空间直角坐标系O xyz中一点M(2，－1，3)，N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，求M，N两点的最短距离．
方法归纳
利用空间两点间距离公式解题的类型
巩固训练3　已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则(　　)
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
2．1.2　空间两点间的距离
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
　
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：|AB|＝＝.
答案：D
3．解析：空间直角坐标系O xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B(－1，－2，3)，所以|AB|＝2.
答案：A
4．解析：设点P(0，0，z)．则由|PA|＝|PB|，
得
＝，解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6)．
答案：(0，0，6)
题型探究·课堂解透
例1　解析：
以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，
∴|AD1|＝＝，
|AB1|＝＝5，
|AC1|＝＝.
巩固训练1　解析：依题意，得点M的坐标为()，即M(2，1，3)，
所以|MO|＝＝.
即点M到原点的距离为.
例2　解析：因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x，0，0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以＝
2，
解x＝±1，所以P点坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．
巩固训练2　解析：由M在y轴上，不妨设M为(0，y，0)，
由|PM|＝|QM|得＝，解得 y＝－1，
∴M(0，－1，0)．
答案：B
例3　解析：N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，所以可设点N(m，－2m＋1，0)，
由空间两点之间的距离公式，得
|MN|＝
＝，
令 t＝5m2－12m＋17＝5(m－)2＋，
当m＝时，t的最小值为，
所以当m＝时，|MN|的最小值为 ＝，即M，N两点的最短距离为.
巩固训练3　解析：因为|AB|2＝49，|BC|2＝98，|CA|2＝49，所以|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形．
答案：C2．2　空间向量及其运算
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　空间向量
1．空间向量的概念
定义 把空间中既有________又有________的量称为空间向量 ．
长度 向量的________叫作向量的长度或________．
表示法 ①几何表示法：空间向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
批注 　空间向量在空间中是可以任意平移的．
2.几类特殊向量
相等向量 方向________且长度________的向量．
相反向量 方向________、长度________的向量．
零向量 长度为零的向量．
单位向量 长度为________的向量．
共线向量
(平行向量) 对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作________．
批注 　类比平面向量记忆．
要点二　空间向量的加减与数乘运算
运算 法则(或几何意义) 运算律
加法a＋b (1)交换律： a＋b＝________； (2)结合律： (a＋b)＋c＝________
减法a－b a－b＝a＋(－b)
数乘λa (1)|λa|＝________； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb. (λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.
批注 　当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即++++=
批注 　注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ＝；当λ≠0时，若＝，则λ＝．
要点三　空间向量的数量积
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 ，记作________，其取值范围为[0，π].
批注 　关键是起点相同！
2．空间向量的数量积
定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 为a与b的数量积．
批注 　
(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．
(2)零向量与任意向量的数量积等于零．
3．性质
a·b＝0 ________，a·a＝________，|a|＝________，cos 〈a，b〉＝________．
4．运算律
λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)，a·(b＋c)＝________(分配律)．
批注 　特别提醒：不满足结合律(·)·＝·(·)．
5．投影向量
如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则________为在方向上的投影向量，投影向量的模________＝|||cos α|称为投影长，称________为在方向上的投影，其正负表示与方向相同还是相反．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　)
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
2．下列说法正确的是(　　)
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　)．
A．与 B．与
C．与 D．与
4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　空间向量的线性运算
例1　(1)(多选)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
(2)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②．
方法归纳
空间向量线性运算的3个技巧
巩固训练1　
如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．
(1)化简：－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝，试求实数x，y，z的值．
　共线向量的应用
例2　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在对角线上，且A1F＝，求证：E，F，B三点共线.
方法归纳
证明空间三点共线的三种思路
巩固训练2　如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH是梯形．
　空间向量数量积的运算
例3　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
方法归纳
计算空间向量数量积的2种方法
巩固训练3　如图，正方体ABCD A1B1C1D1的边长为1，求：
；
；
．
　空间向量数量积的应用
例4　已知平行六面体ABCD A′B′C′D′的各棱长均为1，且∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝.
(1)求证：AA′⊥BD；
(2)求对角线AC′的长．
方法归纳
利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略
巩固训练4　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
2．2　空间向量及其运算
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．大小　方向　大小　模　有向线段
2．相同　相等　相反　相等　1　b∥a
要点二
b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反
要点三
1．〈a，b〉
3．a⊥b　|a|2　　
4．(λa)·b　b·a　a·b＋a·c
5．　||　||cos α
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球面，故B错；
对C，向量不能比较大小，故C错；
对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．
答案：D
3．解析：对于A，因为＝，所以与的夹角为45°，故A正确；
对于B，因为＝，所以与的夹角为135°，故B不正确；
对于C，因为＝，所以与的夹角为90°，故C不正确；
对于D，因为＝，所以与的夹角为180°，故D不正确．
答案：A
4．解析：＝＝＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中－－＝－＝；
B中＝＝；
C中＝＝＝；
D中＝＝．
(2)①∵点P是C1D1的中点，
∴＝＋＝＋＝a＋c＋b.
②∵点N是BC的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c.
答案：(1)AB　(2)见解析
巩固训练1　解析：(1)－)＝－＝－＋＝．
(2)＝＝＝，
∴x＝、y＝－、z＝－.
例2　证明：设＝a，＝＝c.
∵＝，＝，
∴＝，＝．
∴＝＝b，＝)＝)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F，B三点共线．
巩固训练2　证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴＝＝.
则＝＝＝)＝.
∵＝＝＝)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．
例3　解析：(1)·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||·||cos 〈〉＝cos 120°＝－.
(4)·＝·()＝··＝||||cos 〈〉－||||cos 〈〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
巩固训练3　解析：＝0.
＝|cos 45°＝1.
＝〉
＝＝－1.
例4　解析：
(1)证明：由题意，平行六面体ABCD A′B′C′D′的各棱长均为1，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝，
因为＝，
所以·＝·()＝··＝||·||cos ∠A′AD－||·||cos ∠A′AB＝1×1×－1×1×＝0，
所以AA′⊥BD.
(2)因为＝＝＝，
所以||2＝()2＝＋2(···)
＝12＋12＋12＋2(1×1×＋1×1×＋1×1×)＝6.
所以||＝.
巩固训练4　证明：设正方体的棱长为a，
∵·＝(＋)·()
＝···＋···
＝··＝a2－a2＝0，
∴A1G⊥DF.
同理可证A1G⊥DE，又DF＝D，
∴A1G⊥平面DEF.2．3.1　空间向量的分解与坐标表示
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　共面向量
1．定义：能平移到____________的向量叫作共面向量．
2．共面向量的充要条件：如果两个向量e1，e2不共线 ，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序是数组(x，y)，使得________．
批注 　两个向量，不共线是共面向量充要条件的前提，若，共线，则不成立．
要点二　空间向量基本定理
设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量 ，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝________．上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.把________称为空间的一组基，________叫作基向量 .(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标．
批注 　由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是．
批注 　一个基是指一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点三　空间向量的直角坐标表示
1．标准正交基
空间任意三个________、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．
2.空间向量的坐标表示
在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j，k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用从原点O出发的有向线段________表示，则有向线段的终点P对应于这个向量p.向量p＝在标准正交基{i，j，k}下的坐标________就是点P在这个直角坐标系中的坐标．
批注 　一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．
3．空间向量在坐标轴上的投影
向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在____________的坐标．
批注 　相等向量在同一轴上的投影相等．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(　　)
(2)向量的坐标就是点A的坐标．(　　)
2．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基，则一定有(　　)
A．a与b共线 B．a与b同向
C．a与b反向 D．a与b共面
3．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系O xyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为(　　)
A．(－1，1，1)
B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1)
D．(－1，1，－1)
4．设{i，j，k}是空间向量的一个标准正交基，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　向量共面
例1　已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
方法归纳
解决向量共面的策略
巩固训练1　已知空间向量a，b，c不共面，且p＝a＋b，q＝a＋c，r＝b－c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由．
　空间向量基本定理的应用
例2　如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1.设＝a，＝＝c，以a，b，c为一组基，求，在这组基下的坐标．
方法归纳
用一组基表示向量的步骤
巩固训练2　在空间四边形OABC中，已知点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a，＝b，＝c，以a、b、c为一组基，求在这组基下的坐标．
　空间向量的直角坐标表示
例3　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)向量的坐标；
(2)向量的坐标．
方法归纳
用坐标表示空间向量的步骤
巩固训练3　在正方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，的坐标．
2．3.1　空间向量的分解与坐标表示
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．同一平面内
2．p＝xe1＋ye2
要点二
xe1＋ye2＋ze3　{e1，e2，e3}　e1，e2，e3
要点三
1．两两垂直
2.　(x，y，z)
3．相应坐标轴上
[基础自测]
1．(1)×　(2)√
2．解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．
答案：A
3．答案：D
4．答案：(3，2，－1)、(－2，4，2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵＝3，
∴＝()＋()，
∴＝＝－，
∴向量共面．
(2)由(1)知向量共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
巩固训练1　解析：假设p，q，r共面，则存在实数λ，μ，使得p＝λq＋μr，
则a＋b＝λ(a＋c)＋μ(b－c)＝λa＋μb＋(λ－μ)c，
∵a，b，c不共面，∴，即，
故向量p，q，r共面．
例2　解析：连接AC，AC1.
＝＝＝a＋b－c.
＝＋＝)＝)＝(a＋b＋4c)．
＝＝＝)＝)＝)＝b＋(－a＋c)＝－a＋b＋c.
＝＝－＝－a＋a＋b＋c＝－a＋b＋c.
因此，在基{a，b，c}下的坐标分别为(1，1，－1)，(－，1，)，(－)．
巩固训练2　解析：
如图所示：
＝＝＝)＝，
所以，＝＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
所以在这组基下的坐标为(－)．
例3　解析：(1)因为PA＝AD＝AB＝1，且PA，AD，AB两两垂直，
所以可设＝i，＝j，＝k.
因为＝＝＝)＝－(－)＝＝k＋j，
所以＝(0，)．
(2)因为＝＝－()＝＝－i＋j－k，
所以＝(－，－)．
巩固训练3　解析：如图所示建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，
∴＝＝(1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1)．2．3.2　空间向量运算的坐标表示
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　向量线性运算的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
a＋b＝________________________，
a－b＝________________________，
λa＝________________________________，
a∥b(b≠0) a＝λb (λ∈R)．
批注 　空间向量线性运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
批注 　若∥，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.
要点二　向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
a·b＝________________________，
|a|＝________________，
cos 〈a，b〉＝＝________________________，
a⊥b a·b＝0 ________________．
批注 　空间向量数量积的坐标表示可以仿照平面向量数量积的坐标表示来记忆．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(　　)
(2)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．(　　)
(3)空间向量a＝(0，0，－1)为单位向量．(　　)
2．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－1，2)，则a＋2b＝(　　)
A.3 B．(4，－1，1)C．(5，1，－4) D．
3．与空间向量a＝(1，2，－3)平行的一个向量的坐标是(　　)
A．(2，－1，0) B．(1，2，3)C．(－，－1，) D．(－1，－3，2)
4．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(b＋c)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　空间向量的坐标运算
例1　在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求·；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．
方法归纳
空间向量坐标运算的3类问题及解题方法
巩固训练1　已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
　空间向量平行、垂直的坐标表示
例2　已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)．
(1)若a∥c，且|c|＝2，求c的坐标；
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值．
方法归纳
解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可．
巩固训练2　已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)．
(1)若a∥b，求实数x，y的值；
(2)若a⊥b，且|b|＝，求实数x，y的值．
　空间向量的夹角与长度的计算
例3　已知正三棱柱ABC A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
方法归纳
利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤
巩固训练3　在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值．
2．3.2　空间向量运算的坐标表示
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　(x1－x2，y1－y2，z1－z2)　(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
要点二
x1x2＋y1y2＋z1z2　　
　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：a＋2b＝(2，1，－3)＋(2，－2，4)＝(4，－1，1)．
答案：B
3．解析：(－，－1，)＝－a.
答案：C
4．解析：因为b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，所以b＋c＝(2，0，3)＋(0，0，2)＝(2，0，5)，所以a·(b＋c)＝(2，－3，1)·(2，0，5)＝4＋5＝9.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4，1，2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，－4，5)．
因为＝(3，－2，5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，－6，10)．
(2)因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
(3)设P(x2，y2，z2)，
则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以解得
故点P的坐标为(，－)．
巩固训练1　解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．
∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2　5
例2　解析：(1)因为|a|＝，a∥c，且|c|＝2，所以c＝2a或c＝－2a，
所以c＝(2，4，－2)或c＝(－2，－4，2)．
(2)因为ka＋b＝(k，2k，－k)＋(－2，4，2)＝(k－2，2k＋4，2－k)，
a－2b＝(1，2，－1)－(－4，8，4)＝(5，－6，－5)．
由(ka＋b)⊥(a－2b)，得(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－6(2k＋4)－5(2－k)＝0，解得k＝－22.
巩固训练2　解析：(1)由a∥b可得，存在实数λ使a＝λb，
即，解得λ＝，x＝6，y＝.
(2)若a⊥b，则6＋4x＋5y＝0　①，
由|b|＝，则9＋x2＋y2＝29　②，
两式联立解得或.
例3　解析：(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝＝(－，1，b)．
因为AB1⊥BC1，所以＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.
故侧棱长为.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因为|＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以，〉＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
巩固训练3　解析：
如图，建立空间直角坐标系D xyz，
则有E(0，0，)，F(，0)，H(0，)，C1(0，1，1)，G(0，，0)，
(1)∵＝(－)，
∴||＝ ＝.
∴FH的长为.
(2)∵＝(，0)－(0，0，)＝(，－)，
＝(0，，0)－(0，1，1)＝(0，－，－1)．
∴||＝，||＝.
又·＝×0＋×(－1)＝，
∴|cos 〈，〉|＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.

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