资源简介

2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　直线的方向向量
1．一般地，如果非零向量v与直线l________，就称v为l的方向向量 .
2．已知空间直线l上一个________以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置．
批注 　一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是互相平行的．
要点二　平面的法向量
1．如果非零向量n所在直线与平面α________，则称n为平面α的法向量 .
2．给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的平面是完全________的．
批注 　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　)
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　)
(3)若都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　)
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3)　 B．(1，3，2)
C．(2，1，3)　　 D．(3，2，1)
3．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5)　 B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1)　　 D．(1，－1，－1)
4．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　直线的方向向量及其求法
例1　如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量．
方法归纳
求直线l的一个方向向量，只需在直线l上找两点A，B，则即为直线l的一个方向向量．
巩固训练1　如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝2，AA1＝，M是CC1的中点．
求直线BA1、AM的一个方向向量的坐标．
　平面的法向量及其求法
例2　正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
方法归纳
在空间直角坐标系下，求平面法向量的一般步骤
巩固训练2　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的一个法向量；
(2)求平面A1BC的一个法向量．
2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．平行　
2．定点A
要点二
1．垂直
2．确定
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．
答案：A
3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，
(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，
∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量．
答案：B
4．解析：∵直线的方向向量平行，
∴＝＝，
∴x＝－20，y＝12.
答案：－20　12
题型探究·课堂解透
例1　
解析：以点D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)，
故＝(4，0，5)，＝(－4，3，0)，
所以直线DA1与AC的方向向量分别为(4，0，5)，(－4，3，0)．
巩固训练1　
解析：以点B为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
所以B(0，0，0)、C(1，0，0)、A(0，，0)、A1(0，)、M(1，0，)
所以＝(0，)，＝(1，－)．
例2　解析：设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，
(1)设平面BDD1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
∵＝＝(0，0，2)，
则，即，
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0，
∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1，0)，
(2)＝(2，2，0)，＝(1，0，2)，
设平面BDEF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)．
∴，
令x2＝2，得y2＝－2，z2＝－1，
∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1)．
巩固训练2　解析：易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)．
(1)＝＝(0，0，2)，设平面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则，
即，取x1＝y1＝1，z1＝0 ，则n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)；
(2)＝＝(－1，0，2)，
设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则 ，
即，取x2＝y2＝2，z2＝1，
则m＝(2，2，1)，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1)．第1课时　向量与垂直
教 材 要 点
要点一　向量法判断线线垂直
设直线l1的方向向量为v1＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v2＝(x2，y2，z2)，则l1⊥l2 v1·v2＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 .
批注 　若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直．
要点二　向量法判断线面垂直
设直线l的方向向量为v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，则l⊥α v∥n v＝λn (λ∈R) .
批注 　若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行．
要点三　向量法判断面面垂直
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
批注 　若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　)
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　)
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　)
2．若直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，则这两条直线(　　)
A．平行 B．垂直
C．异面垂直 D．垂直相交
3．直线l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，则有(　　)
A．l∥αB．l α或l∥α
C．l与α斜交 D．l⊥α
4．已知平面α的一个法向量n＝(2，－2，5)，平面α⊥β，则平面β的一个法向量是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　向量法证明线线垂直
例1　如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1
的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.
求证：AB1⊥MN.
方法归纳
证明两直线垂直的一般步骤
巩固训练1　已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，求证：A1E⊥BD.
　向量法证明线面垂直
例2　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
方法归纳
利用坐标法证明线面垂直的2种方法及步骤
巩固训练2　已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，E、F分别是棱C1C、BC的中点，求证：B1F⊥平面AEF.
　向量法证明面面垂直
例3　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
方法归纳
利用空间向量证明面面垂直的2种方法
巩固训练3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
第1课时　向量与垂直
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：因为m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，
所以m⊥n，所以l1⊥l2.
答案：B
3．解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，
∴a＝－n，则a∥n，所以l⊥α.
答案：D
4．解析：设平面β的一个法向量为m＝(x，y，z)，因为平面α⊥β，所以n·m＝0，即2x－2y＋5z＝0，取x＝1，y＝1时，z＝0，故平面β的一个法向量为m＝(1，1，0)．
答案：(1，1，0)(答案不唯一)
题型探究·课堂解透
例1　证明：
设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.
由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，)，B1(，0，1)．
∵M为BC中点，∴M(，0)．
∴＝＝(1，0，1)，
＝－＋0＋＝0.
，∴AB1⊥MN.
巩固训练1　
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，A1(a，0，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
例2　
证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz，如图，
设DC＝PD＝1，
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，)．
所以＝(1，1，－1)，＝(0，)，
＝(1，，－)，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝(x，y－，z－)．
因为⊥，所以x＋(y－)－(z－)＝0，
即x＋y －z＝0.　①
又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.　②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝(，－)．
方法一　因为·＝(1，1，－1)·(0，)＝0＋＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF＝E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二　设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
则有即
所以
取z2＝1，则n2＝(－1，－1，1)．所以＝－n2.
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
巩固训练2　
解析：∵三棱柱ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，
∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB＝AC＝AA1＝1，E、F分别是棱C1C、BC的中点，
∴A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E(0，1，)，F(，0)，
＝(－，－1)，＝(0，1，)，＝(，0)，
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
∵AE＝A，AE 平面AEF，AF 平面AEF，
∴B1F⊥平面AEF.
例3　证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(0，a，)，
故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．
∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
巩固训练3　
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(0，0，)，＝(1，1，0)，＝＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，此时n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
此时n2＝(1，1，)．
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，
所以n1⊥n2，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.第2课时　向量与平行
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　向量法判断线线平行
设直线l1的方向向量为v1＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v2＝(x2，y2，z2)，则l1∥l2 ________ ________．
批注 　注意l1与l2是两条不重合的直线．
要点二　向量法判断线面平行
设直线l的方向向量为v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，
则l∥α __________ __________ ________．
批注 　必须说明直线不在平面内！
要点三　向量法判断面面平行
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β ________ ________ __________．
批注 　必须说明两个平面不重合！
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(　　)
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　)
(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　)
2．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，则l1，l2的位置关系是(　　)
A．垂直 B．重合
C．平行 D．平行或重合
3．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．以上选项都不对
4．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
题型 1　向量法证明线线平行
例1　在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
方法归纳
利用向量法证明线线平行的2种方法
巩固训练1　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型 2　向量法证明线面平行
例2　在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3　向量法证明面面平行
例3　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3　已知正方体ABCD A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
第2课时　向量与平行
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
v1∥v2　
要点二
v⊥n　v·n＝0　xa＋yb＋zc＝0
要点三
n1∥n2　n2＝kn1　
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝，
所以v1＝－2v2，
即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
答案：D
3．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，
则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，
故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l α.
答案：D
4．解析：∵n1＝(1，2，2)，n2＝(3，6，6)，
∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.
答案：α∥β
题型探究·课堂解透
例1　
证明：方法一　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，
∴＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
方法二　＝＝，＝＋＝＋，
∴＝∥，即RS∥PQ.
巩固训练1　
证明：以点D为坐标原点，分别以为正交基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，
∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝，
∥，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
例2　
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，
设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，)．
方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，)，＝(a，，－)，
则有即
即令z＝1，则所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(，0)，所以＝(，0，－)．
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ(0，)＋μ(a，，－)，
则有解得
所以＝－，
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
巩固训练2　证明：∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
例3　解析：
如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由条件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，G(，1，4)．
所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，
＝(0，2，－2)，＝(，1，1)，＝(0，1，1)．
方法一　因为·＝0，
·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.
因为BA＝B，所以B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，
·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
方法二　设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．
设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
即
令y2＝1，则n2＝(0，1，－1)．
所以n1＝n2，
所以平面EGF∥平面ABD.
巩固训练3　
证明：方法一　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)．
设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
令y1＝1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1，1，－1)．
设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，
由得
令y2＝1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1，1，－1)．
则n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.
方法二　同方法一知＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(0，1，1)，
所以＝＝，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
又BC′，DC′ 平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.
又AD′＝A，AD′，AB′ 平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′.2．4.3　向量与夹角
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　异面直线所成的角
设两条异面直线l1与l2所成的角为θ(θ∈(0，])，它们的方向向量分别为v1，v2，则cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|＝.
批注 　异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以计算公式中要加绝对值．
要点二　直线与平面所成的角
直线l与平面α所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则sin θ＝|cos 〈v，n〉|＝.
批注 　直线与平面所成角的范围为[0，]，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以计算公式中要加绝对值．
要点三　平面与平面所成的角
设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝.
批注 　利用公式求二面角的平面角时，要注意，〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　)
(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　)
2．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．
3．已知两平面的法向量分别为n1＝(0，1，0)，n2＝(0，－1，1)，则两平面所成的锐二面角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．若直线l的方向向量为v＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　向量法求两异面直线所成角
例1　如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．
方法归纳
利用坐标法求两异面直线所成角的步骤
巩固训练1　在三棱锥O ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA＝OB＝OC＝2，求直线AE与BC所成角的大小．
　向量法求直线与平面所成角
例2　在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为BB1的中点，求直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值．
方法归纳
利用法向量计算直线与平面的夹角θ的步骤
巩固训练2　如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
　向量法求两个平面所成的夹角
例3　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝90°，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2.
(1)求证：平面QAB∥平面PDC；
(2)求平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值．
方法归纳
利用法向量求两个平面夹角的步骤
巩固训练3　在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．
2．4.3　向量与夹角
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－，
∴l1，l2夹角的余弦值为.
答案：B
3．解析：cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°.
答案：B
4．解析：设v＝(1，0，3)与n＝(－2，0，2)的夹角为θ，直线l与平面α所成角为φ，
所以sin φ＝|cos θ|＝
＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　
解析：分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝1，则B(0，0，0)，E(0，，0)，F(0，0，)，C1(1，0，1)，
所以＝＝(1，0，1)，
于是，〉＝＝＝，
所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.
巩固训练1　
解析：由已知以O为原点，以的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由2OA＝OB＝OC＝2，知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
所以＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)，
所以|cos 〈〉|＝
＝＝，
所以〈〉＝，即直线AE与BC所成角的大小为.
例2　
解析：取AB中点O，A1B1中点O1，连接OC，OO1.
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴OC⊥AB.
以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz
则C(0，，0)，A1(－1，0，3)，B(1，0，0)，N(1，0，)，
＝＝(－2，0，3)，＝(2，0，－)，
设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
由，得，取n＝(3，，2)，
设直线A1N与平面A1BC所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
∴直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值为.
巩固训练2　
解析：以A为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3)．
设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，
＝＝(0，3，3)，
则即
令x＝1，则y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－)．
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为＝(0，1，0)，∴sin θ＝＝，
∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
例3　解析：(1)证明：四边形ABCD是正方形，可得AB∥CD,
又AB 平面DCP ，CD 平面DCP，
则有AB∥平面DCP，
四边形ADPQ是梯形，可得QA∥PD，
又QA 平面DCP ，PD 平面DCP，
则有QA∥平面DCP，
又QA＝A，
故平面QAB∥平面PDC.
(2)依题意知DA，DC，DP两两垂直，故以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有
C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，Q(2，0，1)
可得＝(2，2，－2) ，＝(0，2，－2)，＝(2，0，－1)，
设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则有：
，
取y＝1，可得n＝(0，1，1)，
设平面PBQ的一个法向量m＝(x，y，z)，则有
，
取x＝1，可得m＝(1，1，2)，
设平面PBC与平面PBQ的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
故平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值为.
巩固训练3　解析：(1)证明：取CD的中点G，连接EG，FG.
因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以FG∥PD，
又FG 平面PAD，PD 平面PAD，所以FG∥平面PAD.
因为BC∥AD，且E，G分别是棱AB，CD的中点，所以EG∥AD，
又EG 平面PAD，AD 平面PAD，所以EG∥平面PAD.
因为EG，FG 平面EFG，且EG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.
因为EF 平面EFG，所以EF∥平面PAD.
(2)以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2)．
因为F是棱PC的中点，所以F(1，1，1)，
所以＝(1，0，0)，＝(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则，令y1＝1，得n＝(0，1，－1)．
设平面CDF的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则令x2＝1，得m＝(1，1，2)．
设平面AEF与平面CDF的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
所以平面AEF与平面CDF夹角的余弦值为.第1课时　点到直线的距离与点到平面的距离
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　点到直线的距离
直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，A为直线l上任意一点，则点P到直线l的距离d＝.
批注 　是在l上的投影向量．
要点二　点到平面的距离
设平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点A是平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d＝ ||·|cos 〈·n〉|＝________．
批注 　等于在向量方向上射影的绝对值．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(　　)
(2)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(　　)
(3)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(　　)
2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　)
A.－16 B．－4
C．4 D．16
3．已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　)
A． B．C． D．1
　题型探究·课堂解透——强化创新性　
　点到直线的距离
例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
方法归纳
向量法求点到直线距离的一般步骤
巩固训练1　已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
　点到平面的距离
例2　在三棱锥S ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．
方法归纳
用向量法求点面距的一般步骤
巩固训练2　如图，在棱长是2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CD的中点，求点B1到平面AD1E的距离．
第1课时　点到直线的距离与点到平面的距离
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：因为n＝(－2，－2，1)，＝(－1，－2，z)，且d＝＝＝＝，所以z＝4或－16.
答案：AC
3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，
∴＝(－1，－1，2)，又平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，
∴点A到平面α的距离为＝.
答案：B
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直线A′C的方向向量＝(1，2, －3)．
又＝(0，2，0)，
所以在上的投影长为＝.
所以点B到直线A′C的距离d＝＝＝.
巩固训练1　
解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以直线A1C1的方向向量
＝＝(0，3，1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝＝＝.
例2　解析：取AC的中点O，连接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO.
如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz，
则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则取z＝1，
则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴点B到平面CMN的距离d＝＝.
巩固训练2　
解析：因为正方体ABCD A1B1C1D1棱长为2，
故以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．
设平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z) ，则，m⊥，
即，
又＝(0，0，2)－(2，0，0)＝(－2，0，2)，＝(0，1，0)－(2，0，0)＝(－2，1，0)，
所以，令x＝1，则y＝2，z＝1，
所以m＝(1，2，1)，又＝(2，1，2)，
所以点B1到平面AD1E的距离d＝＝＝.第2课时　两平行线间的距离与两平行平面间的距离
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一　两平行线间的距离
两平行线 m，n，点A是直线m上的任意一点，点P是直线n上的任意一点，直线m的方向向量为v，则两平行线 m，n间的距离为d＝.
批注 　是在方向向量上的投影长．
要点二　两平行平面间的距离
A，B分别是平行平面α，β上的任意一点，n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β间的距离 为d＝.
批注 　平面α，β间的距离等于平面 上任一点A到平面的距离，也等于两平面间任一条线段AB在平面α的法向量上的投影长．
　
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(　　)
(2)两个平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离都相等．(　　)
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
A． B．C． D．3
3．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则过点P(4，3，2)且与直线l平行的直线间距离为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性　
　两平行线间的距离
例1　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，AM⊥PD于点M，O为底面ABCD的中心，求PB与OM之间的距离．
方法归纳
求两平行线间距离的步骤
巩固训练1　已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BC和CD的中点，求两条平行线EF和B1D1间的距离．
　两平行平面间的距离
例2　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，求平面A1BC1与平面ACD1间的距离．
方法归纳
求平行平面之间的距离的步骤
巩固训练2　如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
第2课时　两平行线间的距离与两平行平面间的距离
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√　(2)√
2．解析：∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离＝＝＝.
答案：B
3．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝，
则点P到直线l的距离d＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：连接BD，因为PA＝AD，AM⊥PD于M，
则M为PD的中点，
又O为底面ABCD的中心，
所以PB∥OM，
如图建立空间直角坐标系A xyz，
则B(1，0，0)，P(0，0，2)，O(，1，0)，M(0，1，1)，
∴＝(－1，0，2)，＝(－，1，0)，
∴PB与OM之间的距离为d＝＝＝.
巩固训练1　解析：连接EF，BD，B1D1，
∵E，F分别为BC，CD中点，
∴EF∥BD，又BD∥B1D1，
∴EF∥B1D1.
如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，F(0，，0)，
＝(1，1，0)，＝(0，，－1)，
∴平行线EF与B1D1间的距离
d＝＝＝.
例2　解析：因为长方体ABCD A1B1C1D1，故A1D1∥BC且A1D1＝BC，故四边形A1D1CB为平行四边形，故A1B∥CD1，又A1B 平面ACD1，CD1 平面ACD1
∴A1B∥平面ACD1.同理，BC1∥平面ACD1，又A1B＝B，∴平面A1BC1∥平面ACD1.
如图建立空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，A1(3，0，2)，
∴＝＝＝(0，0，2)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
由得，
令x＝4，则y＝3，z＝6，∴n＝(4，3，6)，
所以两平行平面ACD1与平面A1BC1间的距离为d＝＝＝.
巩固训练2　
解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
易证平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.章末复习课
知识网络·形成体系
考点聚焦·分类突破　
考点一　空间向量的概念及运算
1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．
2．通过对空间向量的概念及运算的考查，提升学生的数学运算素养．
例1　(1)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝(　　)
A．－a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
(2)正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．4 B．－4
C．－2 D．2
考点二　利用空间向量证明线面位置关系
1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．
2．通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证：
(1)AF∥平面BDE；
(2)CF⊥平面BDE.
考点三　利用空间向量求空间角
1．空间角的计算公式
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，则l1，l2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为v，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈v，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|.
2．通过对利用向量计算空间角的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　如图，在四棱锥P ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，CD⊥PB，PD＝AD＝AB＝BC＝2.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°，点E在线段AP上，且＝3，求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值．
考点四　利用空间向量计算距离
1．空间距离的计算公式
(1)直线l外一点P到直线l的距离：PQ＝＝(其中A是l上的定点，是在l上的投影向量，＝a，u是l的单位方向向量)．
(2)平面α外一点P到平面α的距离：PQ＝＝＝(其中A是平面α内的定点，n是平面 α的法向量)．
2．通过对利用空间向量计算距离的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例4　长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　
解析：(1)＝＝＝－＝－，
∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a＋b＋c.
(2)∵＝＝，
∴·＝()·＝＋·
＝×22cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2.
答案：(1)A　(2)C
例2　证明：
(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG 平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C xyz，则C(0，0，0)，A(，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(，，1)．
所以＝(，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0，1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.
所以CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE＝E，所以CF⊥平面BDE.
例3　解析：(1)证明：取BC中点F，连接DF.
∵AD∥BF，且AD＝BF，∴四边形ABFD为平行四边形．
则DF＝AB＝BC，于是CD⊥BD.
又∵CD⊥PB，PB＝B，∴CD⊥平面PBD.
又∵PD 平面PBD，∴CD⊥PD.
又∵平面PCD⊥平面ABCD且交线为CD，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD即为直线PC与平面ABCD所成的角，
∴∠PCD＝30°.又∵PD＝2，∴CD＝AF＝2，BD＝2.
以DB，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz，
则D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(1，－，0)，P(0，0，2)．
＝(1，－，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)．
∵＝3，∴＝＝(0，0，2)＋(1，－，－2)＝(，－)．
设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，
由得取n＝(0，4，)．
由(1)可知，DC⊥平面PBD，
所以平面PBD的法向量＝(0，2，0)，
∴cos 〈，n〉＝＝＝.
∴平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为.
例4　
解析：如图，建立空间直角坐标系B xyz，
则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．
(1)∵＝(－2，－3，2)，
＝(－4，－2，－2)，
∴在上的射影的模为＝＝，
∴M到直线PQ的距离为＝＝；
(2)设平面AB1P的法向量n＝(x，y，z)，则，n⊥，
＝(－4，0，4)，＝(－4，4，0)，
，令x＝1，解得y＝1，z＝1，
∴n＝(1，1，1)，
又＝(2，－3，－4)，
∴M到平面AB1P的距离d＝＝＝.

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