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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识梳理
1. 等式的性质
性质 1 如果a = b，那么b = a 性质 2 如果a = b，b = c，那么a = c
性质 3 如果a = b，那么a c = b c 性质 4 如果a = b，那么ac = bc
a b
性质 5 如果a = b，c 0，那么 =
c c
2. 作差法比较大小关系
a b 0 a b ，a b = 0 a = b ，a b 0 a b
3. 不等式的性质
性质 1 对称性 a b b a 性质 2 传递性 a b, b c a c
性质 3 可加性 a b a+ c b+ c 性质 4 可乘性 a b, c 0 ac bc
性质 5 同向可加性 性质 6 同向同正可乘性
a b, c d a + c b+ d a b 0, c d 0 ac bd
性质 7 可乘方性 性质 8 可开方性
a b 0 an bn (n N+ , n 2) a b 0 n a n b(n N+ , n 2)
b b＋m b b－m a a＋m a a－m
若 a＞b＞0，m＞0，则 ＜ ； ＞ ，(b－m＞0)； ＞ ； ＜ ，(b－m＞
a a＋m a a－m b b＋m b b－m
0)．
4. 基本不等式
a +b
a 0, b 0 ab 当且仅当a = b时取等号
2 ，
a + b
其中 叫做正数a ，b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数a，b 的几何平均数
通常表达为：a + b 2 ab （积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
1
基本不等式的推论 1 基本不等式的推论 2
( )2 a, b R a2 +b2a +b 2ab
a 0, b 0 ab （和定积最
4
当且仅当a = b时取等号
大）
当且仅当a = b时取等号
5. 二次函数的图象与性质
y = ax2 +bx + c (a 0) a 0 a 0
函数图象
开口方向 向上 向下
b
对称轴方程 x =
2a
4ac b2
最值 y =
4a
6. 一元二次方程求根公式及韦达定理
一元二次方程求根公式
b b22 4acax +bx + c = 0 (a 0) 2的根为： x = (a 0, b 4ac 0)
2a
韦达定理（根与系数的关系）
b
x1 + x2 =
ax2 +bx + c = 0 (a 0) 的两根为 x1， x ；则
a
2 c
x1 x2 =
a
7. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
0 = 0 0
= b2 4ac
一元二次方程 有两个不等实根 有两个相等实根
2 b 无实数根 ax +bx + c = 0(a 0) x ， x （设 x1 = x2 = 1 2 2a
2
的根
x1 x2 ）
二次函数
y = ax2 +bx+ c(a 0)
的图象
ax2 +bx + c 0(a 0) b x x x1或x x2 x x R 2a
的解集
ax2 +bx + c 0(a 0) x x1 x x2
的解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0 且 b2－4ac＜0(x∈R)．
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0 且 b2－4ac＜0(x∈R)．
8. 解分式不等式
g(x) g(x)
① 0 f (x)g(x) 0 ② 0 f (x)g(x) 0
f (x) f (x)
g(x) f (x)g(x) 0 g(x) f (x)g(x) 0
③ 0 ④ 0
f (x) f (x) 0 f (x) f (x) 0
9. 解单绝对值不等式
x a(a 0) x a或 x a ， x a(a 0) a x a
题型总结
题型一 用不等式或不等式组表示不等关系及用不等式的性质求取值范围
【例 1】（1）（2023 秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐
动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 130cm，且体积不超过72000cm3，设
携带品外部尺寸长、宽、高分别记为 a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示
为（ ）
A．a+b+ c 130且abc 72000 B．a+b+ c 130且abc 72000
C．a+b+ c 130且abc 72000 D．a+b+ c 130且abc 72000
（2）（2023 春·广东揭阳·高一统考期末）已知a,b R ，且 5 a 2,1 b 4 ，则3a b的
取值范围是 ．
3
巩固训练：
1．（2022·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩 x 不低于 100 分，英语成绩 y 和语文
成绩 z 的总成绩高于 200 分且低于 240 分，用不等式组表示为（ ）
x 100 x 100
A． B．
200 y + z 240 200 y + z 240
x 100 x 100
C． D．
200 y + z 240 200 y + z 240
2．（2023·全国·高一假期作业）已知1 a+b 4， 1 a b 2，则3a+ 2b的取值范围
是 ．
题型二 比较代数式大小及不等式证明
【例 2】（1）（2023 春·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若a b 0，则ac bc B．若 a b，则 a b
a a + c
C．若a b 0，则a2 ab D．若 a b c，则
b b + c
（2）（2023 秋·陕西西安·高一统考期末）设 t = a 4b， s = a +b2 + 4，则 t 与 s的大小关系
是（ ）
A． s t B． s t C． s t D． s t
（3）（2023·高一课时练习）阅读材料：
y y +m
（1）若 x y 0，且m 0，则有
x x +m
（2）若 a b,c d ，则有 a + c b + d ．
请依据以上材料解答问题：
a b c
已知 a，b，c 是三角形的三边，求证： + + 2．
b + c a + c a +b
巩固训练
1．（2023 秋·湖南娄底·高一统考期末）已知M = (a + 2)(a + 3)， N = a2 +5a + 4 则（ ）
A．M N B．M N C．M N D．无法确定
2．（2023 秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a b,c d ，则a+ c b+ d
4
c c
B．若a b 0,c 0，则
a b
C．若 a b，则ac2 bc2
D．若a b,c d ，则ac bd
a + b c + d
3．（2023·高一课时练习）（1）若 bc－ad≥0，bd>0，求证： ≤ ；
b d
a b
（2）已知 c>a>b>0，求证：
c a c b
题型三 基本不等式之直接求最值
【例 3】（1）（2023 春·江西宜春·高一江西省丰城拖船中学校考期末）已知a 0,b 0，
a+b = 6，则ab的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
（2）（2023 秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）若a,b都是正数，且ab =1，则a + 2b的
最小值是 .
巩固训练
1．（2023 秋·甘肃天水·高一统考期末）已知正数 x ， y 满足 x + 2y = 2，则 xy的最大值为
（ ）
1 1
A．2 B．1 C． D．
2 4
a2 + 4
2．（2023 春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知a 0，则 的最小值
a
为 ．
题型四 基本不等式之妙用“1”求最值
1 1
【例 4】（1）（2023 秋·吉林延边·高一统考期末）已知a 0，b 0，且 + =1，则
a b
4a+9b的最小值是（ ）
A．23 B．26 C．22 D．25
1 1
（2）（2023 秋·河南安阳·高一统考期末）若a 0，b 0，且a +b = 4，则 + 的最小值
a b
为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
4
5
（3）（2023 秋·山东临沂·高一校考期末）已知 x 0， y 0，且满足 x + 2y xy = 0，则
9
的最大值为（ ）
2x + y
A．9 B．6 C．4 D．1
巩固训练
2 8x
1．（2023 秋·云南红河·高一统考期末）已知 x 0, y 0，且 x+ y =1，则 + 的最小值
x y
为 .
9 2
2．（2023 秋·新疆喀什·高一校联考期末）若 x 0, y 0，且 x+ 2y = 5，则 + 的最小值
x y
为 ．
3．（2023 秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数m n，满足2m+3n mn = 0，则2m+3n的
最小值为 .
题型五 基本不等式之拼凑求最值
1
【例 5】（1）（2023 秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）函数 f (x) = 4x + (x 1)的最小值
x 1
为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
1 2
（2）（2023 春·山西·高一统考期末）已知正数 a，b 满足a+ 2b = 6，则 + 的最小
a + 2 b +1
值为（ ）
7 10
A． B．
8 9
9 8
C． D．
10 9
（3）（2023 秋·甘肃天水·高一统考期末）（多选）已知a 0,b 0，且2a+b =1，若不等式
2 1
+ m恒成立，则m 的值可以为（ ）
a b
A．10 B．9 C．8 D．7
（4）（2023 秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）已知正实数 x ， y 满足
2 1
4x + 7y = 4，则 + 的最小值为 .
x +3y 2x + y
巩固训练
6
4
1．（2023 春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）若 x 0，则 x + 的最小
x +1
值为 ．
2．（2023 秋·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）已知a 1,b 2,a +b = 5，则
1 4
+ 的最小值为 ．
a 1 b 2
4 1
3．（2023 秋·山东济南·高一校考期末）若两个正实数 x，y 满足 + =1，且不等式
x y
x + 4 y m2 6m恒成立，则实数 m 的取值范围是 ．
2 1
4．（2023 秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知a,b +R ,a + 2b =1，则 + 的最小值
a + 2 b +1
为 .
1 1
5．（2023 秋·天津静海·高一静海一中校考期末）已知a ,b ，且2a+b = 2，则
4 2
1 1
+ 的最小值是 .
4a 1 2b 1
题型六 基本不等式之商式分离或换元求最值
7 x2 6x +10
【例 6】（1）（2023·全国·高一专题练习）若 x ，则 f (x) = 有（ ）
2 x 3
5 5
A．最大值 B．最小值 C．最大值 2 D．最小值 2
2 2
x2 2x + 4
（2）（2023·全国·高一专题练习）若函数 f (x) = (x 2)在 x = a处取最小值，则
x 2
a =（ ）
A．1+ 5 B．2 C．4 D．6
(x +5)(x + 2)
（3）（2023·全国·高一专题练习）函数 y = (x 1)的最小值为 .
x +1
巩固训练
x2 2x + 2
1．（2023·全国·高一专题练习）若 1 x 1 ，则 y = 有（ ）
2x 2
A．最大值 1 B．最小值 1 C．最大值1 D．最小值1
x2 x +1
2．（2023·全国·高一专题练习）若 x 1，则函数 y = 的最小值为 .
x 1
x2 + x +3
3．（2023 秋·高一单元测试）函数 y = (x 2)的最小值为 ．
x 2
x2 + x + 4
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 x 1，则函数 y = 的最小值是 ．
x +1
题型七 基本不等式的应用
7
【例 7】（1）（2023·全国·高一假期作业）已知a 0，b 0，c 0，求证：
bc ca ab
+ + a + b + c .
a b c
（2）（2023 秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）为宣传 2022 年北京冬奥会，某公
益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏
面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为
1440cm2 .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm .设直角梯形
的高为 xcm .
(1)当 x 20时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 ABCD的面积最
小）？
（3）（2023 春·云南玉溪·高一统考期末）一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治
污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药
剂，已知每投放a (2 a 6, a R)个单位的药剂，它在海水中释放的浓度 y （克/升）随着
时间 x（天）变化的函数关系式近似为 y = a f (x)（投放当天 x = 0），其中
16
1(0 x 4) 8 x
f (x) = 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在
15 x (4 x 10)
2
相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于 6（克/升）时，它才
能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放 2 个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放 4 个单位的药剂，6 天后再投放（第二次投放）a个单位的药剂，要使第
二次投放后的 5 天（含投放当天）能够持续有效治污，试求a的最小值．
巩固训练
1．（2023·江苏·高一假期作业）已知a 0，b 0，c 0，且a+b+ c =1．求证：
8
1 1 1
a + + b + + c + ≥10．
a b c
2．（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一
边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为 xm，宽为 ym．
(1)若菜园面积为 72m2，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
1 2
(2)若使用的篱笆总长度为 30m，求 + 的最小值．
x y
3．（2023 秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积
为 240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为 100 元，体育馆前
后两侧墙壁平均造价为每平方米 150 元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米 250 元，设体
育馆前墙长为 x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为
a +1152
12000+500 + a 元 (a 0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成
x
功，试求a的取值范围．
题型八 一元二次不等式的解法
【例 8】（1）（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）求解下列不等式的解集：
(1) x2 + 4x +5 0；
(2) 2x2 5x+ 2 0；
(3) 4x 1 7 0；
2
(x +1)(x 5)
(4) 0；
(x 2)
4 x
(5) 1 .
2x + 3
（2）（2023 秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知不等式ax2 5x +b 0的解集为
9
{x | 3 x 2} ,则不等式bx2 5x + a 0的解集为( )
1 1 1 1
A．{x | x 或 x } B．{x | x }
3 2 3 2
C．{x | 3 x 2} D．{x | x 3或 x 2}
（3）（2023 秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）（1）若不等式ax2 + (1 a)x + a 2 2对
一切实数 x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于 x 的不等式
ax2 + (1 a)x + a 2 a 1(a R)．
巩固训练
1．（2023 秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1) 2x2 +5x 3 0；
(2) 3x2 + 6x 2；
x + 5 1
(3) ；
x 3 2
(4) (x 1)(x 2) x (2x 5)+ 3
2．（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知不等式ax2 +bx + 2 0的解集为
{x | 1 x 2}，则不等式2x2 +bx + a 0的解集为（ ）
1 1
A．{x | 1 x } B．{ x | x 1或 x }
2 2
C． x| 2 x 1 D． x | x 2或 x 1
3．（2023 秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于 x 的不等式：
ax2 + (3 a) x 2a 6 0
(1)当 a =1时，解关于 x的不等式；
(2)当 a R时，解关于 x的不等式.
题型九 一元二次不等式的关联知识点综合
【例 9】（1）（2023 秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知集合
A= x (x+2)(x 1)<0 2，非空集合B= x 2x < (2 m) x+m .
(1)当m=1时，求 R (A B)；
(2)若“ x B ”是“ x A”的充分条件，求实数m 的取值范围.
10
（2）（2023 秋·河南信阳·高一信阳高中校考期末）已知m 0，n 0，关于 x 的不等式
x2 mx 20 0的解集为{x | 2 x n}．
（1）求 m，n 的值；
1 1
（2）正实数 a，b 满足na+mb = 2，求 + 的最小值．
5a b
巩固训练
1．（2022 秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）在① A ( R B) = A，② A B = ，
③ A B = A这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
11
已知集合 A = x∣a 1 x 2a + 3 , B = x∣ 1 ，若__________，求实数a的取值范
x 4
围.
2
2．（2023 秋·山东临沂·高一校考期末）已知命题 p: x0 1,1 , x0 x0 m 0是假命题.
(1)求实数m 的取值集合 B ；
(2)设不等式 (x 3a)(x a 2) 0的解集为 A，若 x B 是 x A的必要不充分条件，求实数
a的取值范围.
题型十 一元二次不等式的应用
【例 10】（1）（2022 秋·湖北黄冈·高一校联考阶段练习）科技创新是企业发展的源动力，
是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设
备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润 p ( x)（单位：万元）与投
入的月研发经费 x（15 x 40，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于 36 万元
1 2
时， p (x) = x +8x 90；当投入月研发经费高于 36 万元时， p (x) = 0.4x + 54．对于企
10
p (x)
业而言，研发利润率 y = 100%，是优化企业管理的重要依据之一， y 越大，研发利
x
润率越高，反之越小．
（1）求该企业生产此设备的研发利润率 y 的最大值以及相应月研发经费 x 的值；
（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于 190%，求月研发经费 x 的取值范围．
巩固训练
11
1．（2022 秋·北京·高一东直门中学校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板
有一个角被锈蚀，其中 AE = 4m，CD = 6m .为了合理利用这块钢板，将在五边形 ABCDE 内
截取一个矩形块BNPM ，使点 P 在边DE 上.
(1)设MP = x m，矩形 2BNPM 的面积为S m ，试写出 x 的取值范围及S与 x 的关系式；
(2)要使矩形BNPM 的面积不小于42m2，试求 x 的取值范围
12
第二章 一元二次函数、方程和不等式（教师版）
知识梳理
1. 等式的性质
性质 1 如果a = b，那么b = a 性质 2 如果a = b，b = c，那么a = c
性质 3 如果a = b，那么a c = b c 性质 4 如果a = b，那么ac = bc
性质 5 如果a = b，c 0，那么 a b=
c c
2. 作差法比较大小关系
a b 0 a b ，a b = 0 a = b ，a b 0 a b
3. 不等式的性质
性质 1 对称性 a b b a 性质 2 传递性 a b, b c a c
性质 3 可加性 a b a+ c b+ c 性质 4 可乘性 a b, c 0 ac bc
性质 5 同向可加性 性质 6 同向同正可乘性
a b, c d a + c b+ d a b 0, c d 0 ac bd
性质 7 可乘方性 性质 8 可开方性
a b 0 an bn (n N+ , n 2) a b 0 n a n b(n N+ , n 2)
b b＋m b b－m a a＋m a a－m
若 a＞b＞0，m＞0，则 ＜ ； ＞ ，(b－m＞0)； ＞ ； ＜ ，(b－m＞
a a＋m a a－m b b＋m b b－m
0)．
4. 基本不等式
a +b
a 0, b 0 ab 当且仅当a = b时取等号
2 ，
a + b
其中 叫做正数a ，b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数a，b 的几何平均数
通常表达为：a + b 2 ab （积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
1
基本不等式的推论 1 基本不等式的推论 2
( )2 a, b R a2 +b2a +b 2ab
a 0, b 0 ab （和定积最
4
当且仅当a = b时取等号
大）
当且仅当a = b时取等号
5. 二次函数的图象与性质
y = ax2 +bx + c (a 0) a 0 a 0
函数图象
开口方向 向上 向下
b
对称轴方程 x =
2a
4ac b2
最值 y =
4a
6. 一元二次方程求根公式及韦达定理
一元二次方程求根公式
b b22 4acax +bx + c = 0 (a 0) 2的根为： x = (a 0, b 4ac 0)
2a
韦达定理（根与系数的关系）
b
x1 + x2 =
ax2 +bx + c = 0 (a 0) 的两根为 x1， x ；则
a
2 c
x1 x2 =
a
7. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
0 = 0 0
= b2 4ac
一元二次方程 有两个不等实根 有两个相等实根
2 b 无实数根 ax +bx + c = 0(a 0) x ， x （设 x1 = x2 = 1 2 2a
2
的根
x1 x2 ）
二次函数
y = ax2 +bx+ c(a 0)
的图象
ax2 +bx + c 0(a 0) b x x x1或x x2

x x
R
2a
的解集
ax2 +bx + c 0(a 0) x x1 x x2
的解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0 且 b2－4ac＜0(x∈R)．
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0 且 b2－4ac＜0(x∈R)．
8. 解分式不等式
g(x) g(x)
① 0 f (x)g(x) 0 ② 0 f (x)g(x) 0
f (x) f (x)
g(x) f (x)g(x) 0 g(x) f (x)g(x) 0
③ 0 ④ 0
f (x) f (x) 0 f (x) f (x) 0
9. 解单绝对值不等式
x a(a 0) x a或 x a ， x a(a 0) a x a
题型总结
题型一 用不等式或不等式组表示不等关系及用不等式的性质求取值范围
【例 1】（1）（2023 秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐
动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 130cm，且体积不超过72000cm3，设
携带品外部尺寸长、宽、高分别记为 a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示
为（ ）
A．a+b+ c 130且abc 72000 B．a+b+ c 130且abc 72000
C．a+b+ c 130且abc 72000 D．a+b+ c 130且abc 72000
【答案】C
【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
3
【详解】由长、宽、高之和不超过 130cm 得a+b+ c 130，由体积不超过72000cm3得
abc 72000 .
故选：C.
（2）（2023 春·广东揭阳·高一统考期末）已知a,b R ，且 5 a 2,1 b 4 ，则3a b的
取值范围是 ．
【答案】 ( 19,5)
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【详解】解：因为a,b R ，且 5 a 2,1 b 4，
所以 15 3a 6, 4 b 1，
所以 19 3a b 5，
所以3a b的取值范围是 ( 19,5)
故答案为： ( 19,5)
巩固训练：
1．（2022·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩 x 不低于 100 分，英语成绩 y 和语文
成绩 z 的总成绩高于 200 分且低于 240 分，用不等式组表示为（ ）
x 100 x 100
A． B．
200 y + z 240 200 y + z 240
x 100 x 100
C． D．
200 y + z 240 200 y + z 240
【答案】D
【分析】利用题设条件即得.
【详解】数学成绩 x不低于 100 分表示为 x 100，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高
x 100
于 200 分且低于 240 分表示为200 y + z 240，即 .
200 y + z 240
故选：D.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知1 a+b 4， 1 a b 2，则3a+ 2b的取值范围
是 ．
【答案】 2,11
4
5 1
【分析】利用待定系数法可得3a + 2b = (a + b)+ (a b)，利用不等式的基本性质可求得
2 2
3a+ 2b的取值范围.
【详解】设3a + 2b = x (a + b)+ y (a b) = (x + y )a + (x y )b ，
5
x = x + y = 3 2
所以 ，解得 ，
x y = 2 1y =
2
5 1
3a + 2b = (a +b)+ (a b)
2 2
5 5 1 1
因为1 a+b 4， 1 a b 2，则 (a + b) 10， (a b) 1，
2 2 2 2
因此，2 3a+ 2b 11 .
故答案为： 2,11 .
题型二 比较代数式大小及不等式证明
【例 2】（1）（2023 春·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若a b 0，则ac bc B．若 a b，则 a b
a a + c
C．若a b 0，则a2 ab D．若 a b c，则
b b + c
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【详解】对于 A，若c 0，则ac = bc ，故 A 错误；
对于 B，若a =1，b = 2，则 a b ，故 B 错误；
对于 C，若a b 0，a 0，可得a2 ab，故 C 正确；
a 3 a + c 2 a a + c
对于 D，若 a = 3，b = 2，c = 1，则 = , = = 2, ，故 D 错误.
b 2 b + c 1 b b + c
故选：C．
（2）（2023 秋·陕西西安·高一统考期末）设 t = a 4b， s = a +b2 + 4，则 t 与 s的大小关系
是（ ）
A． s t B． s t C． s t D． s t
【答案】A
【分析】利用作差法求解即可.
5
2
【详解】因为 s t = a +b2 + 4 (a 4b) = b2 + 4b+ 4 = (b+ 2) 0，
所以 s t .
故选：A.
（3）（2023·高一课时练习）阅读材料：
y y +m
（1）若 x y 0，且m 0，则有
x x +m
（2）若 a b,c d ，则有 a + c b + d ．
请依据以上材料解答问题：
a b c
已知 a，b，c 是三角形的三边，求证： + + 2．
b + c a + c a +b
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.
【详解】因为 a，b，c 是三角形的三边，则b+ c a 0，由材料（1）知，
a a + a 2a
= ，
b + c b + c + a a +b + c
b 2b c 2c
同理 ， ，由材料（2）得：
a + c a + b + c a + b a +b + c
a b c 2a 2b 2c 2(a +b + c)
+ + + + = = 2，
b + c a + c a +b a +b + c a +b + c a +b + c a +b + c
所以原不等式成立.
巩固训练
1．（2023 秋·湖南娄底·高一统考期末）已知M = (a + 2)(a + 3)， N = a2 +5a + 4 则（ ）
A．M N B．M N C．M N D．无法确定
【答案】A
【分析】作差即可比较大小.
【详解】M N = (a + 2)(a +3) (a2 +5a + 4) = 2 0 ,
故M N .
故选:A.
2．（2023 秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a b,c d ，则a+ c b+ d
c c
B．若a b 0,c 0，则
a b
6
C．若 a b，则ac2 bc2
D．若a b,c d ，则ac bd
【答案】AB
【分析】利用不等式的基本性质可判断 A；利用作差法比较出大小可判断 B；举出反例可
判断 CD.
【详解】对于 A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故 A 正确；
c c c (b a) c c
对于 B， = ，因为b a 0,c 0,ab 0，所以 0，故 B 正确；
a b ab a b
对于 C，当c 0时，ac2 = bc2 故 C 错误；
对于 D，当a = 1,b = 2.c = 2,d =1时，ac = bd ，故 D 错误；
故选：AB.
a + b c + d
3．（2023·高一课时练习）（1）若 bc－ad≥0，bd>0，求证： ≤ ；
b d
a b
（2）已知 c>a>b>0，求证：
c a c b
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
c a
【分析】（1）由不等式的性质，先得到 ，两边同时+1，即得证；
d b
1 1 c c
（2）由不等式的性质，先得到 ，两边乘以 c,可得 ，两边同时-1，可得
a b a b
c a c b
，再两边取倒数，即得证.
a b
c a
【详解】证明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴ ，
d b
c a a + b c + d
∴ ＋1≥ ＋1，∴ ≤ .
d b b d
（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
1 1∵a>b>0，∴
a b
c c c a c b
又∵c>0，∴ ，∴ ，
a b a b
a b
又 c－a>0，c－b>0，∴
c a c b
.
题型三 基本不等式之直接求最值
【例 3】（1）（2023 春·江西宜春·高一江西省丰城拖船中学校考期末）已知a 0,b 0，
a+b = 6，则ab的最大值为（ ）
7
A．6 B．9 C．12 D．36
【答案】B
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为a 0，b 0且a+b = 6，
a + b
由基本不等式可得 ab ( )2 = 9，当且仅当a = b = 3时，等号成立，
2
所以ab的最大值为9 .
故选：B.
（2）（2023 秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）若a,b都是正数，且ab =1，则a + 2b的
最小值是 .
【答案】2 2
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为a,b都是正数，且 ab =1，
所以a + 2b 2 a 2b = 2 2 ，
2
当且仅当a = 2b，即a = 2,b = 时取等号，
2
故答案为：2 2 .
巩固训练
1．（2023 秋·甘肃天水·高一统考期末）已知正数 x ， y 满足 x + 2y = 2，则 xy的最大值为
（ ）
1 1
A．2 B．1 C． D．
2 4
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为正数 x， y 满足 x + 2y = 2，
2
1 1 x + 2y 1
所以 xy = x (2y) = ，
2 2 2 2
1
当且仅当 x = 2y且 x + 2y = 2，即 x =1, y = 时取等号，
2
1
所以 xy的最大值为 .
2
故选：C.
8
a2 + 4
2．（2023 春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知a 0，则 的最小值
a
为 ．
【答案】4
a2 + 4 4
【分析】直接展开得 = a + ，利用基本不等式即可求出最值.
a a
a2 + 4 4 4
【详解】 a 0， = a + 2 a = 4，a = 2时取等号，
a a a
故答案为：4.
题型四 基本不等式之妙用“1”求最值
1 1
【例 4】（1）（2023 秋·吉林延边·高一统考期末）已知a 0，b 0，且 + =1，则
a b
4a+9b的最小值是（ ）
A．23 B．26 C．22 D．25
【答案】D
1 1
【分析】根据已知将4a+9b变为 + (4a + 9b)，展开后结合基本不等式，即可求得答
a b
案.
1 1
【详解】由题意得a 0，b 0， + =1，
a b
1 1 9b 4a 9b 4a
故4a + 9b = + (4a + 9b) = + +13 2 +13 = 25，
a b a b a b
9b 4a 1 1 5 5
当且仅当 = ，结合 + =1，即a = ,b = 时取等号，
a b a b 2 3
故4a+9b的最小值是 25，
故选：D
1 1
（2）（2023 秋·河南安阳·高一统考期末）若a 0，b 0，且a +b = 4，则 + 的最小值
a b
为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
4
【答案】B
【分析】由a +b = 4，利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出．
【详解】因为a +b = 4，
9
1 1 1 1 1 1 a b 1 b a
所以 + = (a + b) + = 2+ + 2+ 2 =1，
a b 4 a b 4 b a 4 a b
1 1
当且仅当a = 2，b = 2时，等号成立，故 + 的最小值为 1．
a b
故选：B．
（3）（2023 秋·山东临沂·高一校考期末）已知 x 0， y 0，且满足 x + 2y xy = 0，则
9
的最大值为（ ）
2x + y
A．9 B．6 C．4 D．1
【答案】D
2 1
【分析】由题可得 + =1，利用基本不等式可得2x + y 9 ，进而即得.
x y
【详解】因为 x + 2y xy = 0， x 0， y 0，
2 1
所以 + =1，
x y
2 1 2y 2x 2y 2x
所以 2x + y = (2x + y) + = + + 5 2 + 5 = 9，
x y x y x y
2y 2x
当且仅当 = ，即 x = y = 3时等号成立，
x y
9 9
所以 1，即 的最大值为 1.
2x + y 2x + y
故选：D.
巩固训练
2 8x
1．（2023 秋·云南红河·高一统考期末）已知 x 0, y 0，且 x+ y =1，则 + 的最小值
x y
为 .
【答案】10
【分析】根据基本不等式灵活运用“1”即可.
2 8x 2x + 2y 8x 2y 8x
【详解】因为 x+ y =1，所以 2x + 2y = 2，所以 + = + = 2 + +
x y x y x y
2y 8x
又因为 x 0， y 0，所以 0 ， 0，由基本不等式得：
x y
2y 8x 2y 8x
2 + + 2 + 2 =10
x y x y
2y 8x 1 2
当且仅当 = ，即 x = , y = 时等号成立.
x y 3 3
故答案为：10
10
9 2
2．（2023 秋·新疆喀什·高一校联考期末）若 x 0, y 0，且 x+ 2y = 5，则 + 的最小值
x y
为 ．
【答案】5
x 2y
【分析】根据题意可得 + =1，结合基本不等式运算求解.
5 5
x 2y
【详解】因为 x 0, y 0，且 x+ 2y = 5，则 + =1，
5 5
9 2 9 2 x 2y 18y 2x 13 18y 2x 13
可得 + = + + = + + 2 + = 5，
x y x y 5 5 5x 5y 5 5x 5y 5
18y 2x
当且仅当 = ，即 x = 3y = 3时，等号成立，
5x 5y
9 2
所以 + 的最小值为 5.
x y
故答案为：5.
3．（2023 秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数m n，满足2m+3n mn = 0，则2m+3n的
最小值为 .
【答案】24
2 3
【分析】根据正数m ， n满足2m+3n mn = 0，可得 + =1，
n m
2 3
再由2m+ 3n = (2m+ 3n) + ，利用基本不等式即可求解.
n m
2 3
【详解】由正数m ，n满足2m+3n mn = 0，可得 + =1，
n m
2 3 4m 9n 4m 9n
所以2m+3n = (2m+3n) + = + +12 2 +12 = 24，
n m n m n m
4m 9n 2 3
当且仅当 = ， + =1，即m = 6,n = 4时取等号，
n m n m
所以2m+3n的最小值为24 .
故答案为：24 .
题型五 基本不等式之拼凑求最值
1
【例 5】（1）（2023 秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）函数 f (x) = 4x + (x 1)的最小值
x 1
为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
11
【答案】C
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意 x 1, x 1 0，
1 1
f (x) = 4(x 1)+ + 4 2 4(x 1) + 4 = 8，
x 1 x 1
1 3
当且仅当4(x 1) = , x = 时等号成立.
x 1 2
故选：C
1 2
（2）（2023 春·山西·高一统考期末）已知正数 a，b 满足a+ 2b = 6，则 + 的最小
a + 2 b +1
值为（ ）
7 10
A． B．
8 9
9 8
C． D．
10 9
【答案】C
【分析】由a+ 2b = 6，得到a+ 2+ 2b+ 2 =10，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：因为a+ 2b = 6，
所以a+ 2+ 2b+ 2 =10，
1 2 1 1 4 1 2b + 2 4(a + 2) 9
所以 + = + (a + 2+ 2b + 2) 5+ 2 = ，
a + 2 b +1 10 a + 2 2b + 2 10 a + 2 2b + 2 10
4 7
当且仅当2b + 2 = 2 (a + 2)，即a = ，b = 时，等号成立．
3 3
故选：C
（3）（2023 秋·甘肃天水·高一统考期末）（多选）已知a 0,b 0，且2a+b =1，若不等式
2 1
+ m恒成立，则m 的值可以为（ ）
a b
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】BCD
2 1 2 1
【分析】根据题意和基本不等式，求得 + ≥9，由 + m恒成立，得到m 9，结合
a b a b
选项，即可求解.
【详解】由a 0,b 0 ，且2a+b =1，
2 1 2 1 2b 2a 2b 2a
可得 + = ( + )(2a +b) = 5+ + 5+ 2 = 9，
a b a b a b a b
12
2b 2a 1
当且仅当 = 时，即a = b = 时，等号成立，
a b 3
2 1
又因为不等式 + m恒成立，所以m 9，
a b
结合选项，可得选项 B、C、D 符合题意.
故选：BCD.
（4）（2023 秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）已知正实数 x ， y 满足
2 1
4x + 7y = 4，则 + 的最小值为 .
x +3y 2x + y
9
【答案】
4
【分析】由4x + 7y = 2(x + 3y)+ (2x + y)，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为4x + 7y = 4，
2 1 1 2 1
所以 + = 2(x +3y)+ (2x + y) + ，
x +3y 2x + y 4 x +3y 2x + y
2 1 1 2(x +3y) 2(2x + y)
所以 + = 4+ + +1 ，
x +3y 2x + y 4 2x + y x +3y
2(x +3y) 2(2x + y)
因为 x, y为正实数，所以 0, 0，
2x + y x +3y
2(x + 3y) 2(2x + y) 2(x +3y) 2(2x + y) x +3y = 2x + y
所以 + 2 = 4，当且仅当 时等号
2x + y x +3y 2x + y x +3y 4x + 7y = 4
8 4
成立，即 x = , y = 时等号成立，
15 15
2 1 1 9 8 4
所以 + (4+ 4+1) = ，当且仅当 x = , y = 时等号成立，
x +3y 2x + y 4 4 15 15
2 1 9
所以 + 的最小值为 ，
x +3y 2x + y 4
9
故答案为： .
4
巩固训练
4
1．（2023 春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）若 x 0，则 x + 的最小
x +1
值为 ．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
13
4 4 4
【详解】因为 x 0，由基本不等式得： x + = x +1+ 1 2 (x +1) 1= 3，
x +1 x +1 x +1
4
当且仅当 x +1= ，且 x 0，即 x =1时等号成立．
x +1
故答案为：3
2．（2023 秋·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）已知a 1,b 2,a +b = 5，则
1 4
+ 的最小值为 ．
a 1 b 2
9
【答案】
2
1 1 4
【分析】由已知条件构造出 (a 1)+ (b 2) =1，然后与 + 相乘，构造出基本不2 a 1 b 2
等式，利用基本不等式即可.
【详解】因为a 1,b 2，
所以a 1 0,b 2 0，
又a+b = 5，
1
所以 (a 1)+ (b 2) = 2 (a 1)+ (b 2) =1， 2
1 4 1 1 4 1 b 2 4(a 1)
所以 + = (a 1)+ (b 2) + = 1+ + + 4 a 1 b 2 2 a 1 b 2 2 a 1 b 2
1 b 2 4(a 1) 1 9
5+ 2 = (5+ 4) = ，
2 a 1 b 2 2 2

b 2 4(a 1) 5 10
当且仅当 = ，即a = ,b = 时取等号，
a 1 b 2 3 3
1 4 9
所以 + 的最小值为： ，
a 1 b 2 2
9
故答案为： .
2
4 1
3．（2023 秋·山东济南·高一校考期末）若两个正实数 x，y 满足 + =1，且不等式
x y
x + 4 y m2 6m恒成立，则实数 m 的取值范围是 ．
【答案】 2 m 8
【分析】根据基本不等式即可求解 x + 4 y 的最小值，进而求解m2 6m 16即可.
【详解】由于 x 0, y 0，所以
14
4 1 16 y x 16 y( xx + 4 y ) + = 8+ + 8+ 2 =16 ,
x y

x y x y
16 y x
当且仅当 = x = 64, y = 4取等号，故m2 6m 16，解得 2 m 8，
x y
故答案为： 2 m 8
2 1
4．（2023 秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知a,b +R ,a + 2b =1，则 + 的最小值
a + 2 b +1
为 .
8
【答案】 /1.6
5
2 1 2 2
【分析】由a+ 2b =1可得 (a + 2)+ (2b + 2) = 5，又 + = + ，再用“乘 1
a + 2 b +1 a + 2 2b + 2
法”即可求最小值.
【详解】因为a+ 2b =1，所以 (a + 2)+ (2b + 2) = 5 .
2 1 2 2 2 2 1
所以 + = + = + (a + 2)+ (2b+ 2)
a + 2 b +1 a + 2 2b + 2 a + 2 2b+ 2

5
1 2(a + 2) 2(2b + 2) 1 2(a + 2) 2(2b + 2) 8
= 4+ + 4+ 2 = ,
5 2b + 2 a + 2 5 2b + 2 a + 2 5
1 1
当且仅当a = ,b = 时等号成立.
2 4
2 1 8
故 + 的最小值为 .
a + 2 b +1 5
8
故答案为: .
5
1 1
5．（2023 秋·天津静海·高一静海一中校考期末）已知a ,b ，且2a+b = 2，则
4 2
1 1
+ 的最小值是 .
4a 1 2b 1
【答案】2
1 1
【分析】根据已知式子拼凑出 (4a 1)+ (2b 1) = 2，将 + 乘以“2”再除以“2”，利
4a 1 2b 1
用基本不等式即可求解.
1 1
【详解】因为a ,b ，所以 (4a 1) 0,(2b 1) 0，
4 2
由2a+b = 2可得 (4a 1)+ (2b 1) = 2，
1 1 1 1 1 1 2b 1 4a 1
则 + = [(4a 1)+ (2b 1)] ( + ) = (2+ + )
4a 1 2b 1 2 4a 1 2b 1 2 4a 1 2b 1
15
1 2b 1 4a 1 2b 1 4a 1 1
(2+ 2 ) = 2当且仅当 = ，即a = ,b =1时取等，
2 4a 1 2b 1 4a 1 2b 1 2
1 1
所以 + 的最小值是2，
4a 1 2b 1
故答案为：2 .
题型六 基本不等式之商式分离或换元求最值
7 x2 6x +10
【例 6】（1）（2023·全国·高一专题练习）若 x ，则 f (x) = 有（ ）
2 x 3
5 5
A．最大值 B．最小值 C．最大值 2 D．最小值 2
2 2
【答案】D
1
【分析】构造基本不等式 f (x) = (x 3)+ 即可得结果.
x 3
7
【详解】∵ x ，∴ x 3 0，
2
x2
2
6x +10 (x 3) +1 1 1
∴ f (x) = = = (x 3)+ 2 (x 3) = 2，
x 3 x 3 x 3 x 3
1
当且仅当 x 3 = ，即 x = 4时，等号成立，即 f ( x)有最小值 2.
x 3
故选：D.
【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
x2 2x + 4
（2）（2023·全国·高一专题练习）若函数 f (x) = (x 2)在 x = a处取最小值，则
x 2
a =（ ）
A．1+ 5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
4
【分析】由 x 2 0，而 f (x) = x 2 + + 2，利用基本不等式可求出最小值，结合等
x 2
号取得的条件可求出a的值.
2
x2 2x + 4 (x 2) + 2 (x 2) + 4 4
【详解】由题意， x 2 0，而 f (x) = = = x 2 + + 2
x 2 x 2 x 2
4 4
2 (x 2) + 2 = 6，当且仅当 x 2 = ，即 x = 4时，等号成立，
x 2 x 2
所以a = 4 .
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
16
(x +5)(x + 2)
（3）（2023·全国·高一专题练习）函数 y = (x 1)的最小值为 .
x +1
【答案】9
【分析】由题意得 x+1 0，原函数表达式可化为关于 x +1的表达式，分离常数，转化为可
利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.
【详解】因为 x 1，则 x+1 0，
x2 + 7x +10 (x +1)2 +5(x +1)+ 4
所以 y = =
x +1 x +1
4 4
= (x +1)+ +5 2 (x +1) +5 = 9，
x +1 x +1
4
当且仅当 x +1= 即 x =1时等号成立，
x +1
∴已知函数的最小值为 9.
故答案为：9.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照
分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.
巩固训练
x2 2x + 2
1．（2023·全国·高一专题练习）若 1 x 1 ，则 y = 有（ ）
2x 2
A．最大值 1 B．最小值 1 C．最大值1 D．最小值1
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因 1 x 1，则0 1 x 2，
1 (1 x)2 +1 1 1 1 1
于是得 y = = [(1 x)+ ] 2 (1 x) = 1，当且仅当
2 1 x 2 1 x 2 1 x
1
1 x = ，即 x = 0时取“=”，
1 x
x2 2x + 2
所以当 x = 0时， y = 有最大值 1 .
2x 2
故选：A
x2 x +1
2．（2023·全国·高一专题练习）若 x 1，则函数 y = 的最小值为 .
x 1
【答案】3
x2 x +1 1
【分析】由 y = = x 1+ +1，及 x 1，利用基本不等式可求出最小值.
x 1 x 1
【详解】由题意，
17
x2
2 2
x +1 (x 2x +1)+ (x 1)+1 (x 1) + (x 1)+1 1
y = = = = x 1+ +1，
x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1
因为 x 1，所以 y = x 1+ +1 2 (x 1) +1= 3，当且仅当 x 1= ，即 x = 2时
x 1 x 1 x 1
等号成立.
x2 x +1
所以函数 y = 的最小值为 3.
x 1
故答案为：3.
x2 + x +3
3．（2023 秋·高一单元测试）函数 y = (x 2)的最小值为 ．
x 2
【答案】11
9
【分析】将函数化为 y = x 2+ + 5，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
x 2
(x 2)2 +5(x 2)+9 9
【详解】由 y = = x 2+ +5，又 x 2 0，
x 2 x 2
9 9
所以 y 2 (x 2) +5 =11，当且仅当 x 2 = ，即 x = 5时等号成立，
x 2 x 2
所以原函数的最小值为11.
故答案为：11
x2 + x + 4
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 x 1，则函数 y = 的最小值是 ．
x +1
【答案】3
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为 x 1，
x2
2
+ x + 4 (x +1) (x +1)+ 4 4
y = = = (x+1)+ 1
x +1 x +1 x +1
4
2 (x +1) 1= 3
x +1
4
当且仅当 (x +1) = ，即 x =1时，等号成立.
x +1
x2 + x + 4
所以函数 y = 的最小值是3
x +1
故答案为:3 .
题型七 基本不等式的应用
【例 7】（1）（2023·全国·高一假期作业）已知a 0，b 0，c 0，求证：
bc ca ab
+ + a + b + c .
a b c
18
【答案】证明见解析
【分析】三次利用基本不等式即可得证.
【详解】∵a 0，b 0， c 0，
bc ca bc ca
∴ + 2 = 2c ，
a b a b
bc ca
当且仅当 = ，即a = b时，等号成立，
a b
bc ab bc ab ca ab ca ab
同理： + 2 = 2b， + 2 = 2a ，
a c a c b c b c
当且仅当a = c ，b = c时，等号成立，
bc ca ab
以上三式相加得：2 + + 2(a + b+ c)，
a b c
当且当且仅当a = b = c时，等号成立，
bc ca ab
所以 + + a + b + c .
a b c
（2）（2023 秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）为宣传 2022 年北京冬奥会，某公
益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏
面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为
1440cm2 .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm .设直角梯形
的高为 xcm .
(1)当 x 20时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 ABCD的面积最
小）？
【答案】(1)1920cm2
(2)当海报纸宽为12 5 + 4，长为 24 5 + 8，可使用纸量最少．
【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边 EF =1440 20 2 = 36cm ，再分别求出
AD， DC ，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
19
【详解】（1） 宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1440cm2，直角梯形的高为20cm，
则梯形长的底边 EF =1440 20 2 = 36cm ，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，
AD = 20 + 2 2 = 24cm，DC = 36 2 + 2 4 = 80cm ，
故海报面积为 AD DC =1920cm2．
（2） 直角梯形的高为 xcm，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1440cm2，
1440 720
EF = = ，
2x x
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，
1440
海报宽 AD = x+ 4，海报长DC = + 8，
x
故
1440 5760 5760
SABCD = AD DC = (x + 4)( +8) = 8x + +1472 2 8x +1472 =192 5 +1472，
x x x
5760
当且仅当8x = ，即 x =12 5 ，
x
故当海报纸宽为12 5 + 4，长为 24 5 + 8，可使用纸量最少．
（3）（2023 春·云南玉溪·高一统考期末）一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治
污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药
剂，已知每投放a (2 a 6, a R)个单位的药剂，它在海水中释放的浓度 y （克/升）随着
时间 x（天）变化的函数关系式近似为 y = a f (x)（投放当天 x = 0），其中
16
1(0 x 4) 8 x
f (x) = 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在
15 x (4 x 10)
2
相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于 6（克/升）时，它才
能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放 2 个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放 4 个单位的药剂，6 天后再投放（第二次投放）a个单位的药剂，要使第
20
二次投放后的 5 天（含投放当天）能够持续有效治污，试求a的最小值．
【答案】(1)1 天
(2)2
32
2(0 x 4)
【分析】（1）根据题意得到 y = 8 x ，分类讨论，列出不等式，即可求解；

10 x (4 x 10)
16a
（2）根据题意，求得当6≤ x≤10时， y = 2(14 x)+ a 8，转化为 y 6对于
14 x
x 6,10 恒成立，结合基本不等式求得最小值，列出不等式8 2a a 8 6，即可求解．
32
2(0 x 4)
【详解】（1）解：因为a = 2，所以 y = 2 f (x) = 8 x ，

10 x (4 x 10)
32
①当0 x 4时，由 2 6 ，解得 x 4，所以此时 x = 4；
8 x
②当4 x 10时，由10 x 6，解得 x 4，所以此时为空集；
综上可得，一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间为 1 天．
（2）解：当6≤ x≤10时，
16 16a 16a
可得 y = 20 2x + a 1 = 20 2x + a = 2(14 x)+ a 8，
8 (x 6) 14 x 14 x
根据题意，可得 y 6对于 x 6,10 恒成立，
因为14 x 4,8 ，而2 a 6，所以2 2a 4,4 3 ，
16a 16a
由 2(14 x)+ a 8 2 2(14 x) a 8 = 8 2a a 8，
14 x 14 x
当且仅当14 x = 2 2a 时， y 有最小值为8 2a a 8，
令8 2a a 8 6，解得2 a 6，所以实数a的最小值为2．
巩固训练
1．（2023·江苏·高一假期作业）已知a 0，b 0，c 0，且a+b+ c =1．求证：
1 1 1
a + + b + + c + ≥10．
a b c
【答案】证明见解析
b a c a c b
【分析】将证明式子中的 1 用a+b+ c =1代换，整理为4+ ( + )+ ( + )+ ( + )，根据
a b a c b c
21
基本不等式即可证明．
【详解】因为 a，b，c 都为正实数，且a+b+ c =1，
1 1 1
所以 (a + ) + (b + )+ (c + )
a b c
a +b + c a +b + c a +b + c
= (a + )+ (b + ) + (c + )
a b c
b a c a c b b a c a c b
= 4+ ( + )+ ( + ) + ( + ) 4+ 2 + 2 + 2 = 4+ 2+ 2+ 2 =10，
a b a c b c a b a c b c
1
当且仅当a = b = c = 时取等号，
3
1 1 1
所以 a + + b + + c + ≥10．
a b c
2．（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一
边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为 xm，宽为 ym．
(1)若菜园面积为 72m2，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
1 2
(2)若使用的篱笆总长度为 30m，求 + 的最小值．
x y
【答案】(1)菜园的长 x 为 12m，宽 y 为 6m 时，可使所用篱笆总长最小
3
(2) ．
10
【分析】（1）由已知可得 xy＝72，而篱笆总长为 x+2y．利用基本不等式 x+2y≥2 2xy 即可
得出；
1 2 2y 2x
（2）由已知得 x+2y＝30，利用基本不等式（ + ） （x+2y）＝5+ + 5+2
x y x y
2y 2x
，进而得出．
x y
【详解】（1）由已知可得 xy＝72，而篱笆总长为 x+2y．又∵x+2y≥2 2xy = 24，
当且仅当 x＝2y，即 x＝12，y＝6 时等号成立．
22
∴菜园的长 x 为 12m，宽 y 为 6m 时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得 x+2y＝30，
1 2 2y 2x 2y 2x
又∵（ + ） （x+2y）＝5+ + 5+2 = 9，
x y x y x y
1 2 3
∴ + ，当且仅当 x＝y，即 x＝10，y＝10 时等号成立．
x y 10
1 2 3
∴ + 的最小值是 ．
x y 10
3．（2023 秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积
为 240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为 100 元，体育馆前
后两侧墙壁平均造价为每平方米 150 元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米 250 元，设体
育馆前墙长为 x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为
a +1152
12000+500 + a 元 (a 0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成
x
功，试求a的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为 20 米时，甲工程队报价最低为 84000 元
(2)当0 a 36时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
1200 a +1152
（2）根据题意可知500 +3x + 24000 12000+500 + a 对任意的 x 0恒成
x x
3(x + 4)2
立，分离参数可得a 对任意的 x 0恒成立，分类常数结合基本不等式求出
1+ x
(x + 4)2
的最小值，即可得解.
1+ x
【详解】（1）因为体育馆前墙长为 x米，地面面积为240m2，
240
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为 米 (x 0)，
x
设甲工程队报价为 y 元，
240 1200
所以 y = 5 250 2+150 5x 2+ 24000 = 500 + 3x + 24000，
x x
400
因为 y 1500 2 x + 24000 = 84000，
x
23
400
当且仅当 = x，即 x 20时等号成立，
x
所以当前墙的长度为 20 米时，甲工程队报价最低为 84000 元；
1200 a +1152
（2）根据题意可知500 +3x + 24000 12000+500 + a 对任意的 x 0恒成
x x
立，
2
即3x + 24x + 48 a (1+ x)对任意的 x 0恒成立，
3(x + 4)2
所以a 对任意的 x 0恒成立，
1+ x
因为a 0，
2 (x +1)2(x + 4) + 6(x +1)+9 9 9
= = (x +1)+ + 6 2 (x +1) + 6 =12，
1+ x 1+ x x +1 x +1
9
当且仅当 x +1= ，即 x = 2时等号成立，
x +1
所以0 a 36，
故当0 a 36时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
题型八 一元二次不等式的解法
【例 8】（1）（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）求解下列不等式的解集：
(1) x2 + 4x +5 0；
(2) 2x2 5x+ 2 0；
(3) 4x 1 7 0；
2
(x +1)(x 5)
(4) 0；
(x 2)
4 x
(5) 1 .
2x + 3
【答案】(1) x x 1或 x 5
1
(2) x x 2
2
3
(3) x x 2
2
(4) x 1 x 2
24
3 1
(5) x x
2 3
【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；
（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；
（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.
【详解】（1）解：由 x2 + 4x +5 0可得 x2 4x 5 0 ，解得 x 1或 x 5，
故原不等式的解集为 x x 1或 x 5 .
1
（2）解：由2x2 5x+ 2 0可得 (2x 1)(x 2) 0 ，解得 x 2，
2
1
故原不等式的解集为 x x 2 .
2
3
（3）解：由 4x 1 7 0可得 4x 1 7，即 7 4x 1 7，解得 x 2，
2
3
故原不等式的解集为 x x 2 .
2
2 x +1
(x +1)(x 5) 0
（4）解：由 0可得 x 2 ，解得 1 x 2，
(x 2)
x 5 0
故原不等式的解集为 x 1 x 2 .
4 x 4 x 2x +3 (4 x) 3x 1 3 1
（5）解：由 1可得1 = = 0 ，解得 x ，
2x + 3 2x +3 2x +3 2x +3 2 3
3 1
故原不等式的解集为 x x .
2 3
（2）（2023 秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知不等式ax2 5x +b 0的解集为
{x | 3 x 2} ,则不等式bx2 5x + a 0的解集为( )
1 1 1 1
A．{x | x 或 x } B．{x | x }
3 2 3 2
C．{x | 3 x 2} D．{x | x 3或 x 2}
【答案】A
【分析】由不等式ax2 5x +b 0的解集为 x | 3 x 2 ,可得ax2 5x+b = 0的根为 3,2，
，由韦达定理可得a,b的值，代入不等式bx2 5x + a 0解出其解集即可.
25
【详解】 ax2 5x +b 0的解集为 x | 3 x 2 ,
ax2 5x +b = 0的根为 3,2，
5 b
即 3+ 2 = ， 3 2 = ，
a a
解得a = 5,b = 30，
则不等式bx2 5x + a 0可化为30x2 5x 5 0，
即为6x2 x 1 0，
1 1
解得 x | x 或 x ，故选 A.
3 2
【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二
次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出a,b的值，是解答本题的关键.
（3）（2023 秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）（1）若不等式ax2 + (1 a)x + a 2 2对
一切实数 x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于 x的不等式ax2 + (1 a)x + a 2 a 1(a R)．
1
【答案】（1）a ；（2）答案见解析.
3
【分析】（1）讨论a = 0和a 0两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数a的
取值范围；
1
（2）按a = 0，a 0和 a<0三种情况分类讨论，当 a<0，比较 和1的大小，分情况写出
a
不等式的解集．
【详解】（1）由题意， ax2 + (1 a)x + a≥0恒成立，
当a = 0时，不等式可化为 x 0，不满足题意；
a 0
当a 0时，满足 ，
Δ 0
a 0 1
即 ，解得a ；
(1 a)
2 4a2 0 3
1
故实数a的取值范围是a ．
3
（2）不等式ax2 + (1 a)x + a 2 a 1(a R)等价于ax2 + (1 a)x 1 0．
当a = 0时，不等式可化为 x 1，所以不等式的解集为{x∣x 1}；
26
1
当a 0时，不等式可化为 (ax +1)(x 1) 0，此时 1，
a
1
所以不等式的解集为 x∣ x 1 ；
a
当 a<0时，不等式可化为 (ax +1)(x 1) 0 ，
1
①当a = 1时， =1，不等式的解集为{x∣x 1}；
a
1 1
②当 1 a 0时， 1，不等式的解集为 x x 或 x 1 ；
a a
1 1
③当a 1时， 1，不等式的解集为 x x 1或 x .
a a
1
综上：a 1时，等式的解集为 x x 1或 x
a
a = 1时，不等式的解集为{x∣x 1}
1
1 a 0时，不等式的解集为 x x 或 x 1
a
a = 0时，不等式的解集为{x∣x 1}
1
a 0时，不等式的解集为 x∣ x 1
a
巩固训练
1．（2023 秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：
(1) 2x2 +5x 3 0；
(2) 3x2 + 6x 2；
x + 5 1
(3) ；
x 3 2
(4) (x 1)(x 2) x (2x 5)+ 3
1
【答案】(1) 3,
2
3 3
(2) ,1 1+ ,+
3 3
(3) 13,3)
(4) ( ,1) (1,+ )
【分析】（1）先因式分解，然后直接求解即可；
（2）利用求根公式即可求解不等式；
27
（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；
（4）先整理，然后直接求解即可.
【详解】（1） 2x2 +5x 3 0，
(2x 1)( x + 3) 0 ，
1
3 x ，
2
1
即不等式的解集为 3, ；
2
（2） 3x2 + 6x 2，
3x2 6x + 2 0，
3 3
解得 x 1 或 x 1+ ；
3 3
3 3
即不等式的解集为 ,1 1+ ,+ ；
3 3
x + 5 1
（3） ，
x 3 2
1 1
x + 5 (x 3) x + 5 (x 3)
2 或 2

x 3 0

x 3 0
解得 13 x 3，
即不等式的解集为 13,3)；
（4） (x 1)(x 2) x (2x 5)+ 3，
整理得 x2 2x +1 0，
解得 x 1，
即不等式的解集为 ( ,1) (1,+ ) .
2．（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知不等式ax2 +bx + 2 0的解集为
{x | 1 x 2}，则不等式2x2 +bx + a 0的解集为（ ）
1 1
A．{x | 1 x } B．{ x | x 1或 x }
2 2
C． x| 2 x 1 D． x | x 2或 x 1
【答案】A
【分析】根据不等式ax2 +bx + 2 0的解集求出a，b，代入不等式2x2 +bx + a 0中，化简
28
求出不等式的解集．
【详解】解：因为不等式ax2 +bx + 2 0的解集为 x | 1 x 2 ，
b 2
ax2 +bx + 2 = 0的两根为 1，2，且 a<0，即 1+ 2 = ， ( 1) 2 = ，解得a = 1，
a a
b =1，
1
则不等式可化为2x2 + x 1 0，解得 1 x ，则不等式2x2 +bx + a 0的解集为
2
1
x | 1 x ．
2
故选：A.
3．（2023 秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）关于 x 的不等式：
ax2 + (3 a) x 2a 6 0
(1)当 a =1时，解关于 x的不等式；
(2)当 a R时，解关于 x的不等式.
【答案】(1) x | x 4或 x 2 ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）当a =1时，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）分a = 0，a 0，
a 1，a = 1， 1 a 0五种情况解一元二次不等式即可求解.
【详解】（1）当a =1时，原不等式化为 x2 + 2x 8 0 ，
方程 x2 + 2x 8 = 0的实数根为 x1 = 4 ， x2 = 2，
所以原不等式的解集为 x | x 4或 x 2 .
（2）ax
2 + (3 a) x 2a 6 0，
当a = 0时，原不等式化为3x 6 0，所以原不等式的解集为 x | x 2 ；
当a 0时，
2 3
方程ax + (3 a) x 2a 6 = 0即 (x 2)(ax + a + 3) = 0 的根为 x1 = 1 ， x2 = 2， a
3 3 3(a +1)
且 x2 x1 = 2 1 = 3+ = ，
a a a
当a 0或a 1时， x2 x1 ；当 1 a 0时， x2 x1；当a = 1时， x2 = x1 ；
29
3
所以当a 0时，原不等式的解集为 x | x 1 或 x 2 ，
a
3
当a 1时，原不等式的解集为 x | 1 x 2 ，
a
当a = 1时，原不等式的解集 ，
3
当 1 a 0时，原不等式的解集为 x | 2 x 1 ，
a
综上所述：当a = 0时，原不等式的解集为 x | x 2 ；
3
当a 0时，原不等式的解集为 x | x 1 或 x 2 ；
a
3
当a 1时，原不等式的解集为 x | 1 x 2 ；
a
3
当 1 a 0时，原不等式的解集为 x | 2 x 1 ；
a
当a = 1时，原不等式的解集为 .
题型九 一元二次不等式的关联知识点综合
【例 9】（1）（2023 秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知集合
A= x (x+2)(x 1)<0 2，非空集合B= x 2x < (2 m) x+m .
(1)当m=1时，求 R (A B)；
(2)若“ x B ”是“ x A”的充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1){x | x 2或 x 1}
(2) 2 m 4
1
【分析】（1）由m=1可得B= {x | x 1}，则 A B= x 22
（2）“ x B ”是“ x A”的充分条件可知B A且B ，分情况讨论即可.
2 1
【详解】（1）当m=1时，B = x 2x x +1 = {x | x 1}
2
A = x (x + 2)(x 1) 0 = x 2 x 1 ，
则 A B= x 2所以 R (A B) = x x 2或x 1 .
（2）B = x 2x2 (2 m) x +m = x (2x +m)(x 1) 0 ，
因为“ x B ”是“ x A”的充分条件，
30
所以B A且B ，故m 2，
m m
当 1，即m 2时，B= x 12 2
因为 A= x 2所以B A不成立，即m 2不符合题意；
m m
当 1，即m 2时，B= x 2 2
m 2,

则有 m 解得 2 m 4 .
2,
2
综上，m 的取值范围为 2 m 4 .
（2）（2023 秋·河南信阳·高一信阳高中校考期末）已知m 0，n 0，关于 x 的不等式
x2 mx 20 0的解集为{x | 2 x n}．
（1）求 m，n 的值；
1 1
（2）正实数 a，b 满足na+mb = 2，求 + 的最小值．
5a b
【答案】（1）n =10，m = 8；（2）9．
【分析】（1）利用不等式解集的端点为方程的根，由韦达定理即求；
（2）代入m ，n可得5a+ 4b =1，再利用基本不等式的乘“1”法求得最值即可.
【详解】（1）根据题意，不等式 x2 mx 20 0的解集为{x | 2 x n}，
即方程 x2 mx 20 = 0的两根为 2和 n，
( 2)+ n = m，
则有
( 2) n = 20，
解可得n =10，m = 8．
（2）正实数 a，b 满足na+mb = 2，即10a +8b = 2，变形有5a+ 4b =1，
1 1 1 1 4b 5a
则 + = + (5a + 4b) =1+ + + 4 5+ 2 4 = 9，
5a b 5a b 5a b
1 1
当且仅当a = ，b = 时，取等号．
15 6
1 1
∴ + 的最小值为 9．
5a b
巩固训练
31
1．（2022 秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）在① A ( R B) = A，② A B = ，
③ A B = A这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
11
已知集合 A = x∣a 1 x 2a + 3 , B = x∣ 1 ，若__________，求实数a的取值范
x 4
围.
【答案】答案见解析
【分析】根据所选的条件，① A ( R B) = A可以推出A 是 BR 的子集；② A B = ，两个
集合没有公共元素；③ A B = A可以推出 A B .利用集合的交集、补集、并集的定义，
对 a 进行分类讨论，分别求解即可．
11
【详解】解：由 1解得 7 x 4，所以 B = ( 7,4)，.
x 4
若选择①： A ( R B) = A，则A 是 BR 的子集， A = x∣a 1 x 2a + 3 ,
RB = ( , 7 4,+ )，
当a 1 2a+3，即a 4时， A = ，满足题意；
a 4 a 4
当a 4时， 或 ,解得a 5，
2a +3 7 a 1 4
综上可得，实数a的取值范围是 ( , 4) 5,+ ) .
若选择②： A B = ，
当 A = 时，即a 1 2a+3，即a 4时，满足题意；
a 4 a 4
当a 4时， 或 ，解得a 5 .
2a +3 7 a 1 4
综上可知，实数a的取值范围是 ( , 4) 5,+ ) .
若选择③： A B = A，则 A B ，
当a 1 2a+3，即a 4时， A = ，满足题意；
a 1 7 1
当a 4时， ，解得 4 a ；
2a +3 4 2
1
综上可知，实数a的取值范围是 , .
2
2
2．（2023 秋·山东临沂·高一校考期末）已知命题 p: x0 1,1 , x0 x0 m 0是假命题.
32
(1)求实数m 的取值集合 B ；
(2)设不等式 (x 3a)(x a 2) 0的解集为 A，若 x B 是 x A的必要不充分条件，求实数
a的取值范围.
【答案】(1) B = (2,+ )
2
(2) ,+
3
【分析】（1）由题意得到 p 是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问
题，由此得解；
（2）先由必要不充分条件的性质得到集合A 是集合 B 的真子集，再分类讨论得到解集A ，
从而列不等式求得a的取值范围.
2
【详解】（1）因为命题 p: x0 1,1 , x0 x0 m 0是假命题，
所以命题 p : x 1,1 , x2 x m 0是真命题，
所以m x2 x在 x 1,1 上恒成立，
1
令 f (x) = x2 x ( 1 x 1)，则 f ( x)开口向上，对称轴为 x = ，
2
1 1
所以 f ( x)在 1, 上单调递减，在 ,12 2
上单调递增，

2 2
又 f ( 1) = ( 1) ( 1) = 2， f (1) =1 1= 0 ，所以 f (x) = f ( 1) = 2 ，
max
所以m>2，即m (2,+ )，故B = (2,+ ) .
（2）因为 x B 是 x A的必要不充分条件，
所以集合A 是集合 B 的真子集，又B = (2,+ )，
因为 (x 3a)(x a 2) 0对应的方程 (x 3a)(x a 2) = 0的根为 x = 3a 或 x = a + 2，
当3a a+ 2，即a 1时，由 (x 3a)(x a 2) 0得a+ 2 x 3a，则 A = (a + 2,3a)，
所以a + 2 2，则a 0，故a 1；
2
当3a = a+ 2，即a =1时，由 (x 3a)(x a 2) 0得 (x 3) 0，显然 x ，即 A = ，
满足题意；
当3a a+ 2，即a 1时，由 (x 3a)(x a 2) 0得3a x a+ 2，则 A = (3a,a + 2)，
33
2 2
所以3a 2，则a ，故 a 1；
3 3
2 2
综上：a ，即 a ,+ .
3 3
题型十 一元二次不等式的应用
【例 10】（1）（2022 秋·湖北黄冈·高一校联考阶段练习）科技创新是企业发展的源动力，
是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设
备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润 p ( x)（单位：万元）与投
入的月研发经费 x（15 x 40，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于 36 万元
1 2
时， p (x) = x +8x 90；当投入月研发经费高于 36 万元时， p (x) = 0.4x + 54．对于企
10
p (x)
业而言，研发利润率 y = 100%，是优化企业管理的重要依据之一， y 越大，研发利
x
润率越高，反之越小．
（1）求该企业生产此设备的研发利润率 y 的最大值以及相应月研发经费 x 的值；
（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于 190%，求月研发经费 x 的取值范围．
【答案】（1）30 万元，最大值 200%；（2） x | 25 x 36 .
【解析】（1）分别写出15 x 36与36 x 40时研发利润率 y 关于月研发经费 x 的函数，再由
基本不等式及函数的单调性求最值，取最大值中的最大者得结论；
（2）由（1）可得应付利润率关于研发经费 x 的解析式，列不等式求解 x 的范围即可
【详解】（1）由已知，当15 x 36时，
1
x2 +8x 90
10 1 90 1 90 ． y = = x +8 8 2 x = 2
x 10 x 10 x
1 90
当且仅当 x = ，即 x = 30时，取等号；
10 x
0.4x + 54 54
当36 x 40时， y = = 0.4+ ．
x x
54 54
因为 y = 0.4+ 在 (36, 40 上单调递减，所以 y 0.4+ =1.9．
x 36
因为2 1.9，所以当月研发经费为 30 万元时，研发利润率取得最大值 200%．
（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于 190%，
由（1）可知，此时月研发经费15 x 36．
34
1 90
于是，令 y = x +8 1.9，
10 x
整理得 x2 61x +900 0，解得25 x 36．
因此，当研发利润率不小于 190%时，月研发经费的取值范围是 x | 25 x 36 ．
【点睛】思路点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通
过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃
透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
巩固训练
1．（2022 秋·北京·高一东直门中学校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板
有一个角被锈蚀，其中 AE = 4m，CD = 6m .为了合理利用这块钢板，将在五边形 ABCDE 内
截取一个矩形块BNPM ，使点 P 在边DE 上.
(1)设MP = x m，矩形BNPM 的面积为 S m2，试写出 x 的取值范围及S与 x 的关系式；
(2)要使矩形BNPM 的面积不小于42m2，试求 x 的取值范围.
1
【答案】(1) S = (x 10)
2 + 50 ， x 4,8
2
(2) 6,8
1
【分析】（1）设PN = y ，利用三角形相似得到 y = x +10，再根据面积公式计算可得；
2
1
（2）依题意得到不等式 S = (x 10)
2 + 50 42，求出 x 的取值范围，再根据（1）中 x 的取
2
值范围计算可得；
（1）
35
解：设PN = y ，作PQ ⊥ AF 于Q，所以PQ = 8 y，EQ = x 4，
EQ EF x 4 4
因为 EDF∽ EPQ ，所以 = ，所以 = ，
PQ FD 8 y 2
1
所以 y = x +10，
2
x 1
设矩形BNPM 的面积为S，则 S = xy = x(10 ) = (x 10)
2 + 50 ， x 4,8 ；
2 2
（2）
1
解：依题意 S = (x 10)
2 + 50 42，解得6 x 14，
2
又4 x 8，
所以6 x 8，故 x的取值范围为 6,8
36

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