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2023—2024学年度第一学期山东省青岛市市南区八年级数学期末模拟模拟热身试卷解析
一、选择题（本题共有10道小题，每小题3分，满分30分）
1．9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．±81
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
解：∵32＝9，
∴9算术平方根为3．
故选：C．
2．如图，直线，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【答案】B
【分析】根据互余计算出，再根据平行线的性质由得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
故选：B．
3 .如果在y轴上，那么点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【详解】解：∵在y轴上，
∴
解得，
∴点P的坐标是（0，-2）．
故选B．
4. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角的度数之比为 B. 三内角的度数之比为
C. 三边长之比为 D. 三边长的平方之比为
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为，，，所以此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、根据三角形内角和公式，求得各角分别为，，，所以此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、设三边长分别为，，，因为，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意；
D、三边长的平方之比为，即设三边长的平方分别为，，，即，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
5 . 在2023年元旦汇演中，10位评委给八年级一班比赛的打分如表格：
成绩/分 94 95 96 97 98 99
评委人数 2 1 3 1 2 1
则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．95，95 B．96，96 C．96，95 D．96，97
【答案】B
【分析】由表格及众数、中位数的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由表格可得：
众数为96，中位数为中间两个数的平均数，即；
故选B．
6．若函数（k为常数，且）中，随的增大而增大，则其图像可能是（　　）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵函数（k为常数，且）中，y随x的增大而增大，
∴，
∴函数图象经过一、二、三象限．
故选：A．
如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，
并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，
发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
【答案】A
【分析】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答．
【详解】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m，
在中，，
，
解得：，
故选：A．
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝3，
则AD等于（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．
【详解】解：连接BD，
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝3，
∴BD＝2CD＝6，
∴AD＝6．
故选：D．
9 . 如图，在中，，以为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，
再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．
已知，，为上动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AB的距离为3，然后根据垂线段最短得到PD的最小值为3．
【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，且∠C=90°，
∴点D到AB的距离=CD=3，
由垂线段最短可知，当PD⊥AB时，PD最短，即PD的最小值为3．
故选：B．
10．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程 (千米)随时间 (分)变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达
②甲平均速度为0.25千米/小时
③甲、乙相遇时，乙走了6千米
④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，乙比甲提前：40 28=12分钟到达，故①正确；
甲的平均速度为：10÷=15千米/小时，故②错误；
乙的速度为：10÷=60千米/小时，
设甲、乙相遇时，甲走了x分钟，
，
解得，x=24，
则甲、乙相遇时，乙走了60×=6千米，故③正确；
乙出发24 18=6分钟追上甲，故④正确；
故选C.
二、填空题（本题共有6道小题，每小题3分，满分18分）
11 .人数相同的甲乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
＝85，s甲2＝25，s乙2＝16，则成绩较为稳定的班级是．
【答案】乙
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：，，，
，
成绩较为稳定的班级是乙，
故答案为：乙．
12. 如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】关于x、y的方程组的解即为直线与的交点的坐标．
【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为，
即线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点为，
∴方程组的解是．
故答案为：．
13．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是　　．
【分析】利用平方根定义即可求出这个数．
解：如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是25，
故答案为：25
如图，中，，，点、分别在、上，连接并延长，
交的延长线于，若，则的度数为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形的外角的性质，得到，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质--三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，掌握三角形的外角的性质是解题关键．
如图，垂直平分，垂直平分，点D、E在边上，且点D在点B和点E之间．
若，则．
【答案】/20度
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16 .甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，
匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，
速度减少了，结果与甲车同时到达B地．
甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．
其中正确的有__________
【答案】①②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，故①正确，
甲的速度是：，故②正确，
设乙刚开始的速度为，则，得，
则设经过，乙追上甲，
，
解得，，故③正确，
乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确，
综上，四个选项都是正确的，
故答案为：①②③④
三、作图题（本题满分6分）
17．已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；
(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
【答案】(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1见解析；，，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标即可；
（2）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积；
（3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使PA＋PC最小．
【详解】（1）解：作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：
点，，．
（2）△A1B1C1的面积可以利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积，则：
＝2×3 ×1×2 ×1×2 ×1×3＝．
故答案为：．
（3）如图，取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
四、解答题（本题共有8道小题,满分66分）
18. 计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘除法计算，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的乘法、二次根式的性质进行化简，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）
；
（2）
．
19. 一个正方体的棱长减小1cm，得到的新正方体的体积是，求原正方体的表面积．
【答案】原正方体的表面积为
【解析】
【分析】根据正方体体积的计算方法求出原来正方体的棱长，再根据表面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：设原来的正方体的棱长为，由题意得，，
∴，
解得，
即原来正方体的棱长为，
∴原正方体的表面积为（），
答：原正方体的表面积为．
20. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
①－②可得，，解得，
将代入可得，解得，
则．
【小问2详解】
解：
由可得，
将代入可得，
解得，
将代入可得，
则．
21 .为了解某校八年级学生的生物实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分，
根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这40个样本数据的众数是 　　分，中位数是 　　分；
（2）扇形统计图中m的值为 　　；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是 　　；
（3）若该校八年级共有480名学生，估计该校生物实验操作得满分的学生有多少人．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求出中位数、众数即可；
（2）用“9分”的频数12除以样本容量40即可求出“9分”所占的百分比，确定m的值，用360°乘以相应的占比即可；
（3）求出样本中“满分”所占的百分比，再求出总体中“满分”的频数．
解：（1）将这40人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是8分，因此中位数是8分，
这40人成绩出现次数最多的是“9分”共出现12次，因此众数是9分，
故答案为：9分，8分；
（2）“9分”所占的百分比为，即m＝30，
360°×＝36°，
故答案为：30，36°；
（3）480×＝84（人），
答：八年级全体同学物理和生物实验操作得满分的学生为84人．
22．在△ABC中，D是BC中点，，，垂足分别是E，F，．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，即可证明△ABC是等腰三角形．
【详解】证明：是的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
23．某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格 类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 30 45
B 50 70
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与A种服装数量的函数关系式，再根据A种服装数量的取值范围和一次函数的性质，可以计算出应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为多少元．
解：（1）设购进A种服装a件，B种服装b件，
，
解得，
答：购进A种服装75件，B种服装25件；
（2）设A种服装进货为x件，则B种服装进货为（100﹣x）件，总的利润为w元，
由题意可得：w＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x）＝﹣5x+2000，
∴w随x的增大而减小，
∵商场规定A种服装进货不少于50件，购进A，B两种服装共100件，
∴50≤x≤100，
∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1750，100﹣x＝50，
答：当购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元．
24 . 甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，
两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，
请你根据图象，回答下列问题：
(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
【答案】(1)乙
(2)甲的表达式为：
(3)甲乙在12分钟时相遇
(4)5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米
【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点；
（2）甲的函数图象是正比例函数，直线经过点，可求出解析式；
（3）当时，甲乙两人相遇，求得乙的路程与时间的函数关系式，再求得两个函数图象的交点坐标即可；
（4）根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：由函数图象可以：甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点，
故答案为：乙；
（2）解：设甲跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，
，解得：，
甲的函数解析式为：；
（3）解：设甲乙相遇后（即），乙跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，，联立方程可得：
，解得，
乙的函数解析式为：，
再联立方程：，解得，
甲乙在12分钟时相遇；
（4）解：设此时起跑了分钟，
根据题意得，或或或，
解得：或或或，
5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米．
如图，在平面直角坐标系中，，，点P是线段上任意一点，
设点P的横坐标为n，请解答下列问题：
（1）直接写出直线的函数关系式；
（2）连接，设的面积为S，求S与n的函数关系式；
（3）当面积是面积的时，求点P的坐标；
（4）连接，当线段最短时，求n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标为
（4）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求直线的函数关系式即可；
（2）由直线的函数关系式得出，再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）求出的面积，由（2）的函数关系式即可得点P的坐标；
（4）根据垂线段最短得，当时，线段最短，根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
∴直线的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意知，
∴，解得，
∴点P的坐标为；
【小问4详解】
解：解：由勾股定理得，，
由题意知，当时，线段最短，如图，
∵，
∴，解得，，
∴由勾股定理得，
如图，过点P作于D，
∵，
∴，解得，
∴，解得，
∴．2023—2024学年度第一学期山东省青岛市市南区八年级数学期末模拟模拟热身试卷
一、选择题（本题共有10道小题，每小题3分，满分30分）
1．9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．±81
2．如图，直线，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
3 . 如果在y轴上，那么点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角的度数之比为 B. 三内角的度数之比为
C. 三边长之比为 D. 三边长的平方之比为
5 . 在2023年元旦汇演中，10位评委给八年级一班比赛的打分如表格：
成绩/分 94 95 96 97 98 99
评委人数 2 1 3 1 2 1
则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．95，95 B．96，96 C．96，95 D．96，97
6．若函数（k为常数，且）中，随的增大而增大，则其图像可能是（　　）
A．B．C． D．
如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，
并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，
发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝3，
则AD等于（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
9 . 如图，在中，，以为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，
再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．
已知，，为上动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
10．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程 (千米)随时间 (分)变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达
②甲平均速度为0.25千米/小时
③甲、乙相遇时，乙走了6千米
④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题共有6道小题，每小题3分，满分18分）
11 .人数相同的甲乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
＝85，s甲2＝25，s乙2＝16，则成绩较为稳定的班级是．
12. 如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ________．
13．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是　　．
如图，中，，，点、分别在、上，连接并延长，
交的延长线于，若，则的度数为 _________．
如图，垂直平分，垂直平分，点D、E在边上，且点D在点B和点E之间．
若，则．
16 .甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，
匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，
速度减少了，结果与甲车同时到达B地．
甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．
其中正确的有__________
三、作图题（本题满分6分）
17．已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；
(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
四、解答题（本题共有8道小题,满分66分）
18. 计算：
(1)
(2)
19. 一个正方体的棱长减小1cm，得到的新正方体的体积是，求原正方体的表面积．
20. 解方程组：
（1）
（2）
21 .为了解某校八年级学生的生物实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分，
根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这40个样本数据的众数是 　　分，中位数是 　　分；
（2）扇形统计图中m的值为 　　；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是 　　；
（3）若该校八年级共有480名学生，估计该校生物实验操作得满分的学生有多少人．
22．在△ABC中，D是BC中点，，，垂足分别是E，F，．
求证：△ABC是等腰三角形．
23．某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格 类型 进价（元/件） 售价（元/件）
A 30 45
B 50 70
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
24 . 甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，
两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，
请你根据图象，回答下列问题：
(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
如图，在平面直角坐标系中，，，点P是线段上任意一点，
设点P的横坐标为n，请解答下列问题：
（1）直接写出直线的函数关系式；
（2）连接，设的面积为S，求S与n的函数关系式；
（3）当面积是面积的时，求点P的坐标；
（4）连接，当线段最短时，求n的值．

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