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鞍山市普通高中2023-2024学年高三上学期期末考试
数学
时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗．禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，1斗为10升，则（ ）
A． B．，，依次成公差为的等差数列
C． D．，，依次成公比为的等比数列
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有（ ）
A．50种 B．60种 C．80种 D．100种
8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，，则
B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性超强，反之，线性相关性越弱
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，，，则
D．若样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2
10．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，圆柱的轴截面是正方形，在底面圆周上，，，是垂足，在上，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的余弦值为 D．若平面平面，则
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，若，则________．
14．已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则________．
15．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是________．
16．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知，，分别为内角、、的对边，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展．某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”．
（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核．要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”．已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”．能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的动点．
（1）若直线平面，求证：为的中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
21．（本小题满分12分）已知椭圆过点，其右焦点为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点．问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围．
鞍山市普通高中2023-2024学年高三上学期期末考试
数学 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B A D D C B CD BC AD ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2 ; 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
【解】（1）∵∴
即∴∴或
∵在中，∴故
∴，即，∴…………（5分）
（2）∵的面积为，且由第一问可知：
由面积公式得：∴
∵
由余弦定理得：
解得：∴的周长为…………（10分）
18．（本小题满分12分）
【解】（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．…………（6分）
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴ …………（12分）
19．（本小题满分12分）
【解】（1）设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．
“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．…（4分）
（2）(i) X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．
所以，．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以． …………（8分）
（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，
则．
参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．
参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ． …………（12分）
20．（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO．
因为直线平面，
又平面平面，
平面，
所以．
因为正方形，
所以为的中点．
所以为的中点． …………（6分）
（Ⅱ）因为底面为正方形，平面，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图建立空间直角坐标系．
设，可得，，
，，．
则．
设，则
设为平面的法向量，
则 即
令，，则，可得．
又，，
所以为平面的法向量，
，
解得，所以． ………（12分）
21．（本小题满分12分）
【解】（1）由题可知，则．
故椭圆的方程为． …………（4分）
（2）设，则，即．
由为的中点，得，所以．
因为直线的斜率，且，
所以直线的方程为．
令，得，则．
因为，所以．
所以．
所以直线与斜率的乘积是为定值-1． …………（12分）
22．（本小题满分12分）
【解】（1）时，．
所以曲线在点处的切线方程为
即． …………（6分）
（2）只需求满足恒成立的实数的取值范围．
设其中．
①若在上单调递增．
因为所以不满足条件．
②若令
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以
令，解得
综上，实数的取值范围为 …………（12分）

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