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第一节 集合【讲】（1）
一.课标要求，准确定位
1．了解集合的含义．理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合．
2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．
3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．体会图形对理解抽象概念的作用．
二．考情汇总，名师解读
集合的概念及运算一直是高考热点，同时近两年新课标高考试题加强了对以集合为工具与其他知识相结合的考查，一般为基础题，解题时要充分利用Venn图、数轴的直观性迅速得解.
【二级结论】
1．任何一个集合是它本身的子集．
2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有（2n－1）个，非空真子集有（2n－2）个．
3．子集的传递性：A B，B C A C.
4．A B A＝A A＝B UA UB A∩（ UB）＝ .
5．A∪（ UA）＝U；A∩（ UA）＝ ； U（ UA）＝A；（ UA）∩（ UB）＝ U（A；（ UA）∪（ UB）＝ U（A
6.用集合运算表示区域：
核心考点1 元素与集合
1．用适当的符号填空：
（1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4） {0}；（5）{0，1} R．
2．选择适当的方法表示下列集合：
(1)由方程的所有实数根组成的集合；
(2)一次函数与的图象的交点组成的集合；
(3)函数的定义域；
(4)二次函数的函数值组成的集合．
核心考点2 集合间的基本关系
3．集合中实数的取值范围是 ．
4．已知集合，集合．若，则实数 ．
5．写出集合的所有子集．
核心考点3 集合的基本运算
6．设集合是小于的正整数，，，求，，．
7．已知集合，求．
考向一 集合元素的个数
8．已知集合，则B中元素个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
（2020·全国Ⅲ卷）
10．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．已知集合，集合中至少有3个元素，则
A． B． C． D．
考向二 元素与集合的关系
12．若集合中只有一个元素，则　　
A． B． C．0 D．0或
13．设a,b∈R，集合，则=( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
14．设集合，，已知且，则的取值集合为 .
【类题通法】与集合中元素有关问题的求解策略
考向一　判断集合间的关系
15．用适当的符号填空，使之成为正确的集合关系式：
① A；
②A∩ A；
③A ＝ ；
④（A∩B） （A B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
16．集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考向二　利用集合间的关系求参数的值或取值范围
17．已知集合，若，则实数的值为 ．
18．已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
【变式1】
19．函数在上单调递增，求实数的取值范围是 ．
【变式2】
20．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
考向三 判断满足条件的集合的个数
21．集合的子集的个数为 ．
【变式1】
22．满足的集合A的个数是 .
【变式2】
23．同时满足（1）；（2）若，则的非空集合M有 个．
24．已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，则A∩B子集的个数为(　　)
A．10 B．16 C．8 D．7
【类题通法】判断集合间关系的常用方法
考向一 交、并、补运算
25．已知集合，，则 ；
26．已知全集，，则 ；
27．已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为
A． B．或 C． D．
28．设全集，集合，求：
(1)；
(2)．
【类题通法】求集合交集、并集或补集的步骤
考向二 利用集合运算求参数
29．已知，，若，则
A．3 B．2 C．3或2 D．3或1
30．已知集合若，则实数的取值范围是
31．设全集集合，集合若，则应该满足的条件是
A． B．≥ C． D．≤
【类题通法】利用集合的运算求参数的方法
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，逐个判定，即可求解.
【详解】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，可得：
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）.
故答案为：，，，，.
2．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据列举法可得答案；
（2）根据列举法可得答案；
（3）根据描述法可得答案；
（4）根据描述法可得答案；
【详解】（1）由，得或，
所以由方程的所有实数根组成的集合为.
（2）由，得，
所以一次函数与的图象的交点组成的集合为.
（3）由函数有意义，得，即，
所以函数的定义域为.
（4）二次函数的函数值组成的集合为.
3．.
【分析】根据集合中元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合，根据集合元素的互异性，可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
4．
【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互异性，得到正确答案.
【详解】集合，集合．
①若，解得：或.
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去.
当时，符合题意.
②若，解得：.舍去.
故.
故答案为：-1.
5．
【分析】根据集合的子集的定义列举出即可．
【详解】集合的所有子集有：
【点睛】本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
6．，，.
【分析】根据集合的交并补的概念可求出结果.
【详解】由题意得，，，
所以，，.
7．，，或.
【分析】根据集合交集、并集和补集的概念与运算，准确运算，即可求解.
【详解】由集合，
可得，，
由补集的概念与运算，可得或.
8．A
【解析】化简集合，根据集合的元素特征，即可求解
【详解】，
，中元素个数为4个.
故选:A.
【点睛】本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.
9．C
【详解】试题分析：，的取值有、、、，又， 值分别为、、、，故集合中的元素个数为，故选C.
考点：数的整除性
10．C
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
11．C
【详解】试题分析：因为中到少有个元素，即集合中一定有三个元素，所以，故选C.
考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.
12．D
【分析】分与两种情况讨论元素的个数可得答案．
【详解】解：集合中只有一个元素，
当时，可得，集合只有一个元素为：．
当时：方程只有一个解：即，
可得：．
故选：．
【点睛】本题主要考查了集合描述法的意义，涉及集合元素的确定和个数的判断，属于基础题．
13．C
【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.
【详解】因，则，从而得，有，于是得，
所以.
故选：C
14．
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
15．
【分析】根据集合表示方法，集合间的包含关系，以及集合的交集、并集的运算，逐项进行判定，即可求解.
【详解】①由空集为任何集合的子集，可得；
②因为，所以；
③根据空间的概念和并集的运算，可得；
④根据集合的交集和并集的概念，可得；
⑤由和表示所有的奇数，
所以；
⑥由表示所有的偶数，表示的倍数的偶数，
所以；
⑦由，所以，
又由，所以，
所以；
⑧由，
又由，
所以.
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
16．C
【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】，
表示整数，表示奇数，故，
故A错误，B错误，C正确，而中的元素有分数，故D错误.
故选：C．
17．0，±1
【详解】试题分析：当时，集合，满足；当时，，又，所以若，则有，综上实数的值为0，±1．
考点：利用子集关系求参数．
18．
【分析】根据，分和，两种情况讨论求解.
【详解】因为集合，，且，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
综上：，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
19．
【分析】根据二次函数的单调性列式可求出结果.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，得.
故答案为：
20．
【分析】令，由题意函数的值域为，则可得可以取遍所有的正实数，可得，解不等式即可求解．
【详解】函数的值域为，
令，
真数部分可以取遍所有的正实数，
，可得，解得或，
实数的取值范围是；
故答案为：
【点睛】本题考查由二次函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质，注意区别与函数定义域为的限制条件的不同，属于中档题．
21．
【分析】直接根据公式可得结果.
【详解】集合的子集的个数为个.
故答案为：.
22．8
【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，从而可求出集合A
【详解】解：因为，
所以，
所以满足集合A的个数为8，
故答案为：8
23．7
【分析】由集合的元素所满足的两个性质，找出集合的元素，从而确定集合的个数，得到答案.
【详解】因为①；②若，则，
当时，；
当时，；
当时，；
同时，集合中若有，则成对出现，有时，也成对出现，
所以满足题意点的集合有：，
共有7个集合满足条件.
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
24．C
【详解】因为A＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的个数为23＝8，故选C.
点睛：若集合有个元素，则的子集个数为，其中包括空集和集合本身．
25．
【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：.
26．
【分析】化简集合和，再根据补集的概念可求出结果.
【详解】因为，所以，则，
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
27．D
【详解】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.
28．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据不等式的解法求得，，结合并集和补集的运算，即可求解；
（2）由（1）中的集合，结合交集和补集的运算，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，解得，所以，
又由不等式，解得，所以，
可得，所以或.
（2）解：由（1）知，集合，
可得或，或，
所以或.
29．A
【详解】由题，，，且，
当 ，符合题意；
当 ，此时，不符合题意.故
故选A.
30．
【分析】首先求得集合，对进行分类讨论，根据，求得的取值范围.
【详解】，
当，即时，，满足，
当，即时，由得，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
31．B
【详解】由得：，由，得≥，故选B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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