资源简介

(共23张PPT)
5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4 三角函数的图象与性质
学习目标
能画出正切函数的图象；
了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、值域.借助图象理解正切函数在区间(-，)上的性质并能简单应用；
通过性质的运用，感悟逻辑推理、数学运算的核心素养.
一、情境引入
请同学们先自己阅读教材209-212页的内容，并思考以下问题：
问题一：正切函数是如何定义的？正切函数的定义域是什么？怎样作正切线
问题二：作函数图象时常用的方法有哪些？
问题三：你能否根据正、余弦函数的图象和性质的关系，以同样的方法研究正切函数的性质和图象呢
二、探究新知
在所学基础上，我们可以从一个新的角度来研究正切函数.
1.周期性：
由周期函数的定义和诱导公式我们很容易得出：
成立，
所以正切函数是周期函数，并且最小正周期为π.
2.奇偶性：
由奇偶性的定义和诱导公式我们很容易得出：
成立，
所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称.
对于正切函数的单调性、最值、值域等其它性质，我们怎么求解更简单呢
结合借助正弦线画正弦函数的方法，我们是不是可以借助正切线画正切函数的图象呢
3.正切函数的图象：
结合研究正、余弦函数的方法，我们可以进一步借助于正切函数的图象来研究它的性质，这样会更直观清晰.
(1) 等分
(2) 作正切线
(3) 平移
(4) 连线
利用正切线画出函数，的图象：
x
y
O
思考：在作正、余弦函数简图时我们借助于“五点作图法”，那么作正切函数简图我们能否有类似的方法呢
利用直线
和点
()，
()，().
“三点两线法”
x
y
O
由恰好为的一个周期，根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、右平移扩展，就可以得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.如下图：
由图象可以看出，正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.
正切曲线与直线无限接近但不相交，这里称直线为正切曲线的渐近线.
4.单调性：
由正切函数图象我们可以清楚地得到正切函数在为增函数，又由图象和正切函数的周期性可得，正切函数在每个开区间上都是增函数.
5.值域：
由正切函数图象很明显可以看出，当x大于且无限接近时，正切曲线向x=无限接近但不相交；同时当x小于且无限接近时，正切曲线向x=无限接近但不相交.因此在内可以取任意实数，但没有最大值、最小值.
因此正切函数的值域是实数集R.
三、理解新知
1.正切函数在整个定义域内是不是增函数
不是，从图象上看正切函数在每一个开区间()，上是增函数，但在整个定义域上不是增函数.
2.正切函数会不会在某一区间内是减函数
不会.
3.在作正弦曲线时用“五点作图法”，在作正切曲线时用“三点两线法”.
四、运用新知
例1 求函数的定义域、周期和单调区间.
分析： ，由复合而成，求解可把看成一个整体，运用整体思想可解决定义域和单调区间问题；对于周期性的分析，上升到一般，就是
.
解：函数的自变量x应满足，即.
例1 求函数的定义域、周期和单调区间.
所以函数的定义域是
由于
，
因此函数的周期为2.
由，
解得.
因此，函数的单调区间是.
变式训练1 求函数的定义域、周期和单调区间.
分析：此题和例1的区别就是变量的系数为负值，而在研究正切函数的性质时正切函数中变量的系数为正值，所以在求解之前应先变号.其余做法和例1相同.
解：由，
函数的自变量x应满足即
.
所以函数的定义域是
变式训练1 求函数的定义域、周期和单调区间.
由于
，
因此函数的周期为.
由，
解得.
因此，函数的单调区间是.
例2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题：
(1)求使不等式成立的x的集合.
(2)比较与的大小.
分析：对于(1)先变形为，结合图象及单调性和定义域很明显求出结果；
对于(2)先利用诱导公式进行变形，把角化到正切函数的同一单调区间内，然后借助于单调性很容易得到两者的大小关系.
例2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题：
(1)求使不等式成立的x的集合.
(2)比较与的大小.
解：（1）原式可化为，
由右图可得在内正切值
小于等于的x取值集合为，
再利用正切函数的周期性可得在定义域内满足条件的x取值
集合为.
(2)由 ，
，
又因为，
所以可得＜，
因此＞.
例2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题：
(1)求使不等式成立的x的集合.
(2)比较与的大小.
变式训练2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题：
(1)求函数的定义域.
(2)比较与的大小
解：（1）由题意可得即.
在上，满足上述不等式的x的取值范围是，
由于周期为π，
所以该函数的定义域为.
（2）由，
，
且，
所以，
即.
变式训练2 借助正切函数的图象和性质解答下列各题：
(1)求函数的定义域.
(2)比较与的大小
五、课堂小结
知识方面
体验和感悟
获取知识的思想方法方面
你收获到了什么？
六、布置作业
教材213页练习；
谢 谢！

展开更多......

收起↑