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2023-2024学年河北省保定市莲池区九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1~10题，每小题3分；11~16题，每小题3分；共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
2．（3分）如图，一个立方体被截去四个角后得到一个几何体，从上面看到的图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则布袋中白色球的个数可能是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．6
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣2+16 B．（x﹣4）2＝2+16
C．（x﹣2）2＝﹣2+4 D．（x﹣2）2＝2+4
5．（3分）在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
7．（3分）图1，2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，BC的坡度为1：，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是（　　）米？（精确到0.1米；参考数据：sin10°＝cos80°≈0.17，cos10°＝sin80°≈0.98，sin20°＝cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin70°≈0.94）
A．13.1 B．12.9 C．12.5 D．11.3
8．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（3分）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
10．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（　　）
A．2 B．3 C．3或4 D．4
11．（2分）以下是某风景区旅游信息：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．44
12．（2分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：
①△PBE∽△QFG；
②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；
③EC平分∠BEG；
④EG2﹣CH2＝GQ GD，
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
13．（2分）下列说法不正确的是（　　）
A．四边都相等的四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若AB＝2BC，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
15．（2分）如图，△OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形，若A（2，1），B（3，0），N（9，0），则点M的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（5，4）
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b＝0，②x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，③△PAB周长的最小值是3；④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
17．（3分）若，则等于　 　．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝13，点E、F均在对角线BC上，且BE＝EF＝FD，若线段AE和CF之间的距离为6，则AB的长为 　 　．
19．（3分）若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分69分）
20．（7分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断一元二次方程x2﹣3x+2＝0 　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
（2）若关于x的一元二次方程ax2﹣6ax+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a和c的关系；
（3）若（x﹣2）（mx+n）＝0是“倍根方程”．求证：4m2+5mn+n2＝0．
21．（8分）一个袋中装有3个红球，5个白球，7个黑球，每个球除颜色外其余完全相同．
（1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率；
（2）从袋中摸出3个白球和a个红球，再从剩下的球中摸出一个黑球的概率为，求a的值．
22．（8分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
24．（11分）如图，已知直线y＝﹣x+4与反比例函数y的图象相交于点A（﹣2，a），并且与x轴相交于点B．
（1）求a的值；求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式﹣x+40的解集（直接写出答案）．
25．（12分）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设隔墙的长度为x米，要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？
26．（14分）在平面直角坐标系中，线段OA＝2，OC＝4，以OA、OC为边作长方形OABC．
（1）求AC的长；
（2）将△ABC沿CD对折，使得点B的对应点B'落在AC上，折痕CD交AB于点D，求点D坐标；
（3）在平面内，是否还存在点P（点B除外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年河北省保定市莲池区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．【解答】解：∵y＝（m﹣1）是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1或m＝1（舍），
∴m＝﹣1，
故选：B．
2．【解答】解：从上面看是一个正方形并且每个角各有一个三角形，
故选：C．
3．【解答】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.15和0.45，
∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.15和0.45，
∴摸到白球的概率为1﹣0.15﹣0.45＝0.4，
∴口袋中白色球的个数可能为0.4×60＝24．
故选：A．
4．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，
移项，得x2﹣4x＝2，
配方，得x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝2+4，
故选：D．
5．【解答】解：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过路灯的点光源．
故选：A．
6．【解答】解：∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x+20，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
故选：A．
7．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°
∵BC的坡度为1：，
∴tan∠BCH，
∴∠BCH＝30°，
∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACB＝80°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
过点A作AM⊥BC于M，
∴CM＝BM＝2（米），
∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°，
∴cos∠ACBcos80°≈0.17，
∴AC（米），
∵在Rt△ACE中，AC米，∠ACE＝70°，
∴sin∠ACE＝sin70°≈0.94，
∴AE0.9411.1（米），
∴AE+CD＝13.1（米），
∴可得点A到地面的距离为13.1米，
故选：A．
8．【解答】解：把x＝1代入x2﹣mx+2＝0得1﹣m+2＝0，
解得m＝3．
故选：D．
9．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴，
∴选项C符合题意，
故选：C．
10．【解答】解：如图所示：当DF∥BC时，则△AFD∽△ABC，
当∠ADE＝∠B时，则△ADE∽△ABC，
当DN∥AB时，则△CDN∽△CAB，
当∠CDM＝∠B时，则△CDM∽△CBA．
这样的直线可以画4条．
故选：D．
11．【解答】解：因为30×80＝2400＜2800，所以人数超过30人；
设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800，
解之得，x＝40或x＝70，
当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50，故应舍去，
即：参加这次旅游的人数为40人．
故选：B．
12．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，HE，如图，
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折叠可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴，
∴GH2＝GQ GD，
∴GE2﹣CH2＝GQ GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：C．
13．【解答】解：∵四边都相等的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项B不符合题意；
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
14．【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴OB∥CD，
∴AB：AC＝OB：CD＝OA：AD，
∵AB＝2BC，
∴AB：AC＝2：3，
∴OB：CD＝OA：AD＝2：3，
∵直线yx+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AD＝6，CD＝3，
∴OD＝2，
∴C（2，3）．
∵点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6．
故选：D．
15．【解答】解：∵△OMN与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，B（3，0），N（9，0），
∴△OMN∽△OAB，相似比为1：3，
∵A（2，1），
∴点M的坐标为（6，3），
故选：B．
16．【解答】解：①根据图象知，对称轴是直线x1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．
故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x＝1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′＝3．即△PAB周长的最小值是3．
故③正确．
④观察二次函数图象可知：
当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则1﹣x1＜x2﹣1
∴y1＞y2．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
二．填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
17．【解答】解：∵，
∴b，
∴6．
故答案为：﹣6．
18．【解答】解：如图，延长AE，DC交于点G，过点C作CH⊥AG于点H，
∴CH＝6，
∵BE＝EF＝FD，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，∠ADC＝90°，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴DG＝2AB，
∴AB＝DC＝CG，
∵∠CHG＝∠ADG＝90°，∠G＝∠G，
∴△GCH∽△GAD，
∴，
∴，
∴HGAB，
在Rt△GCH中，根据勾股定理，得
CG2＝CH2+HG2，
∴AB2＝62+（AB）2，
解得AB．
故答案为：．
19．【解答】解：（1）当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+2，
此时y＝﹣3x+2与x轴的交点坐标为（，0），
与y轴的交点坐标为（0，2）；
（2）当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
①当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得a＝0，此时y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
②当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，
y＝（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a所对应的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）a＝0．
解得a．
此时yx2x．
当x＝0时，y．
∴与y轴的交点坐标为（0，）．
当y＝0时，x2x0，
解得x1＝x2．
∴与x轴的交点坐标为（，0）．
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，．
故答案为：2或0或．
三．解答题（共7小题，满分69分）
20．【解答】（1）解：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2，
∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
故答案为：是；
（2）解：∵一元二次方程ax2﹣6ax+c＝0（a≠0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t＝6，t 2t，
∴8，
∴c＝8a；
（3）证明：∵（x﹣2）（mx+n）＝0，
∴x1＝2，x2，
当2×2时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；
当2时，n＝﹣m，即m+n＝0；
则（4m+n）（m+n）＝0，即4m2+5mn+n2＝0．
21．【解答】解：（1）∵一个袋中装有3个红球，5个白球，7个黑球，
∴从袋中随机摸出一个球是白球的概率是；
（2）根据题意得：
，
解得：a＝2，
经检验a＝2是原方程的解，
则a的值是2．
22．【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝BD cos∠D，
＝560×cos50°，
≈560×0.64，
＝358.4（米）．
答：点E与点D间的距离是358.4米．
23．【解答】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
24．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a）在y＝﹣x+4的图象上，
∴a＝2+4＝6；
将A（﹣2，6）代入y，得k＝﹣12，
所以反比例函数的解析式为y；
（2）如图：过A点作AD⊥x轴于D，
∵A（﹣2，6），
∴AD＝6，
在直线y＝﹣x+4中，令y＝0，得x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴△AOB的面积SOB×AD4×6＝12．
（3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为C，
解得或，
所以C点坐标（6，﹣2），
由图象知，不等式﹣x+40的解集为：﹣2＜x＜0或x＞6．
25．【解答】解：设鸡场的面积为y平方米，依题意得：
y＝x （50﹣3x）＝﹣3x2+50x，
∵a＝﹣3＜0，
∴y有最大值，
当x时，y最大，
即鸡场的长度为25m时，其面积最大为m2．
26．【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝4，∠AOC＝90°，
∴AC2；
（2）设AD＝x，则BD＝4﹣x，
由折叠知：BC＝B'C＝2，BD＝B'D＝4﹣x，∠B＝∠DB'C＝90°．
∴AB'＝22，
∵B'A2+B'D2＝AD2，
∴（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝5．
∴D（5，﹣2）．
（3）①当点P与点O重合时，如图1，△APC≌△CBA，此时P（0，0）；
②当点P在第一象限时，如图2，△APC≌△ABC．
∴∠PAC＝∠CAB，
∵OC∥AB，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴AN＝CN，
设ON＝a，则CN＝AN＝4﹣a，
∴a2+22＝（4﹣a）2，
解得，a，
∴ON，CN，
∵BC＝PC＝2，
∴PN，
∵S△PNCCN PM，
∴PM，
∴MN，
∴OM＝ON+MN，
∴P（）．
③当点P在第四象限时，如图3，△APC≌△CBA．
过点P作PM⊥AB于点M，PC交AB于点N，
同理可得，AN＝CN，BN，
∴PM，MN，
∴AM＝AN﹣MN，
∴P（）．
综合以上可得点P的坐标为（0，0）或（）或（）．
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