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期末考前必刷填空题（压轴真题60道，八上人教）
一．填空题（共60小题）
1．如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD，AE分别为△ABC的高，角平分线，下列四个结论：
①AC+CD＝BD；
②AC+CD＝AB；
③AC+CE＝AB；
④∠B＝2∠DAE．
其中所有正确结论的序号是 ．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
4．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数是 ．
5．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
（1）若一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ；
（2）若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 ；
（3）一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为 ．
6．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 ．
7．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
8．如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠2的度数为 ．
9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
10．如图，图①是一个四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为边AB，CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝26°，则∠EFC＝ ．
11．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 ．
12．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝112°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．写出∠EFD与∠A，∠B，∠D，∠E的关系为 ．
13．如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，下列结论：
①BE＝DE；②AE＝AF；③EG＝AG；④AD⊥EF；⑤∠EDA＝∠FDA，其中正确的结论是 （只填序号）．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是D、E、F，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到AB的距离为 ．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．若CE＝2，则AB＝ ．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝ ．
18．如图，六边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥EF，AB＝ED，AF＝CD，BC＝FE，又知对角线FD⊥BD，FD＝24cm，BD＝18cm，则六边形ABCDEF的面积是 ．
19．如图，在△ABC中，M为边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，且BE＝CF．若∠BME＝25°，则∠A＝ °．
20．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：
①AS＝AR；
②QP∥AR；
③△BPR≌△QSP．
其中结论正确的是 （填写序号）．
21．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 ．
22．如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．在边OB上取一点E，使得PE＝PD，设∠OEP为α，∠ODP为β，α与β的数量关系是 ．
23．在△ABC中，∠B＞90°，要使△ABC为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ．
24．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 ．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 cm．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝ ．
27．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
28．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D，E是BC上两点，∠ADE＝∠AED，延长AE至点F，使AF＝AC，已知∠BAD＝20°，则∠EFC的度数为 ．
29．如图，∠BOC＝10°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ ．
30．已知点A在x轴的负半轴上，以OA为边在第二象限作等边△AOB，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，则∠MEO的度数为 ．
31．若a2+b2＝2，a+b＝3，则ab的值为 ．
32．若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝ ．
33．已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
34．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
35．如图，正方形卡片A类、正方形卡片C类和长方形卡片B类各有若干张，如果要这三类卡片拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形，则需要B类卡片 张．
36．已知m2﹣n2＝12，m﹣n＝4，则m+n＝ ．
37．若（x+2）（x﹣3）＝x2+bx+c，其中b，c为常数，则点P（b，c）关于y轴的对称点的坐标为 ．
38．对于二次三项式x2+mx+n（m，n为常数），有下列结论：
①若n＝49，且x2+mx+n＝（x+a）2，则a＝7；
②若x2+mx+n＝（x+3）（x+a），则3m﹣n＝9；
③若m2＝4n﹣1，则无论x为何值，x2+mx+n＞0；
④若n＝24，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），其中a，b为整数，则m可能的取值有8个．其中正确的是 ．（只填写序号）
39．已知：（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝2，则x2+y2＝ ．
40．已知ax+20，bx+19，cx+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ．
41．计算： ．
42．若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m的值为 ．
43．如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（a＞b）．
（1）若a＝195，b＝105，则甲纸片与乙纸片的面积差为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．
44．计算：[a3 a5+（3a4）2]÷a2的值是 ．
45．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 cm2．
46．若关于x的分式方程的解为非正数，则任意写出一个符合条件的a值： ．
47．若关于x的分式方程无解，则m＝ ．
48．对于实数a，b定义一种新运算“ ”：a b，例如，1 3．则方程x 21的解是 ．
49．式子（x+2）0有意义的条件是 ．
50．分式的值为0，则x＝ ．
51．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠20元，若该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，设A商家每张课桌的售价为x元，则可列方程为 ．
52．若（A、B为常数），则A B的值为 ．
53．已知，，，则的值为 ．
54．当m＝ 时，解分式方程会出现增根．
55．已知：①可转化为，解得x1＝1，x2＝2，②可转化为，解得x1＝2，x2＝3，③可转化为，解得x1＝3，x2＝4，…，根据以上规律，关于x的方程（m为常数）的解为 ．
56．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
57．下表所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则表中被污染掉的x的值是 ．
问题：先化简，再求值：1，其中x＝． 解：原式 （5﹣x）+（5﹣x）① ＝x﹣4+5﹣x ＝1
58．如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为 （结果保留π）．
59．定义一种新的运算：a*b，例如：3*5，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 ．
60．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 元．
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期末考前必刷填空题（压轴真题60道，八上人教）
一．填空题（共60小题）
1．如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD，AE分别为△ABC的高，角平分线，下列四个结论：
①AC+CD＝BD；
②AC+CD＝AB；
③AC+CE＝AB；
④∠B＝2∠DAE．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】①在DB上取一点F，使DF＝CD，连接AF，证AD为线段CF的垂直平分线，从而得AC＝AF，则∠AFC＝∠C＝2∠B，进而可证∠B＝∠BAF，从而得AF＝BF＝AC，据此可对结论①进行判断；
②在Rt△ABD中，由∠ADB＝90°得AB＞BD，再由结论①正确得AC+CD＝BD，据此可对结论②进行判断；
③在AB上截取AH＝AC，连接EH，先证△HAE和△CAE全等，得HE＝CE，∠AHE＝∠C＝2∠B，进而可证∠B＝∠HEB，从而得HB＝HE＝CE，据此可对结论③进行判断；
④先求出∠BAC＝180°﹣3∠B，则∠CAE＝90°∠B，再求出∠CAD＝90°﹣2∠B，由此可得∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD∠B，据此可对结论④进行判断；综上所述即可得出答案．
【详解】解：①在DB上取一点F，使DF＝CD，连接AF，如图1所示：
∵AD⊥BC，DF＝CD，
∴AD为线段CF的垂直平分线，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AFC＝2∠B，
∵∠AFC＝∠B+∠BAF，
∴2∠B＝∠B+∠BAF，
∴∠B＝∠BAF，
∴AF＝BF，
∴BF＝AC，
∴AC+CD＝BF+DF＝BD，
故结论①正确；
②在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴AB＞BD，
由结论①正确可知：AC+CD＝BD，
∴AC+CD＞AB，
故结论②不正确；
③在AB上截取AH＝AC，连接EH，如图2所示：
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠CAE，
在△HAE和△CAE中，
，
∴△HAE≌△CAE（SAS），
∴HE＝CE，∠AHE＝∠C，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AHE＝2∠B，
∵∠AHE＝∠B+∠HEB，
∴2∠B＝∠B+∠HEB，
∴∠B＝∠HEB，
∴HB＝HC，
∴HB＝CE，
∴AC+CE＝AH+HB＝AB，
故结论③正确；
④∵∠C＝2∠B，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣3∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC（180°﹣3∠B）＝90°∠B，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣2∠B，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°∠B﹣（90°﹣2∠B）∠B，
即∠B＝2∠DAE，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线、高，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED．
3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数是 60° ．
【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可得规律，进而得到∠BD4C的度数．
【详解】解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1＝∠CBD1∠ABC，∠ACD1＝∠BCD1∠ACB，
∴∠CBD1+∠BCD1（∠ABC+∠ACB）128°＝64°，
∴∠BD1C＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣64°＝116°，
同理可得∠BD2C＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣96°＝84°，
…
依此类推，∠BDnC＝180°（∠ABC+∠ACB），
∴∠BD4C＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣124°＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理．解题时注意：三角形内角和是180°．
5．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
（1）若一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30° ；
（2）若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 60°或90° ；
（3）一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为 0°＜α＜120° ．
【分析】（1）根据特征角求出三角形的另一个内角，再根据三角形内角和即可得到答案；
（2）分直角为特征角或其中一个锐角为特征角两类讨论即可得到答案；
（3）根据特征角表示出另外两个角，根据三角形内角在0°～180°列不等式计算即可得到答案；
【详解】解：（1）∵“特征三角形”的“特征角”为100°，
∴其中一个内角为，
根据三角形内角和定理可得，
另一个内角为：180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为：30°；
（2）①当直角为“特征角”时，另外两个内角为，
②当直角不是“特征角”时，设特征角为x度，则另一个内角为度，
∴，解得x＝60°，
故答案为：60°或90°；
（3）设特征角为m度，则与特征角相关的角为度，另一个内角为度，由题意可得，，
解得0°＜m＜120°，
故答案为：0°＜α＜120°；
【点睛】本题考查三角形内角和定理及特征三角形定义，解题的关键是读懂题干中的特征三角形结合三角形内角和进行计算．
6．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 120° ．
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
7．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【详解】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）．
故答案为1．
【点睛】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
8．如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠2的度数为 30° ．
【分析】根据反射角＝入射角，推出∠3＝∠4，利用三角形内角和定理求出∠4即可．
【详解】解：如图，由题意，∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴，
∴∠2＝∠4＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，反射定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应 增加 （填“增加”或“减少”） 20 度．
【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【详解】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝140°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝40°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应增加20°．
故答案为：增加；20．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
10．如图，图①是一个四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为边AB，CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝26°，则∠EFC＝ 102° ．
【分析】根据折叠的性质，先求出图②的∠B′EF的度数，再根据平行线的性质，求出∠EFM的度数，由邻补角特点可求出∠EFC′的度数，再由折叠性质可得∠EFC＝∠EFC′，再根据∠MFC＝∠EFC﹣∠EFM求得∠MFC的度数为102°，由折叠的性质得图③的∠MFC的度数为102°，根据∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM计算即可得出答案．
【详解】解：第一次折叠后，如图②，
由折叠可得：∠B′EF＝∠BEF＝∠FEM＝26°，
∵AB∥DF，
∴∠FEM＝∠BEF＝26°，
∴∠EFC′＝180°﹣∠EFM＝180°﹣26°＝154°，
∵∠EFC＝∠EFC′＝154°，
∴∠MFC＝∠EFC﹣∠EFM＝154°﹣26°＝128°，
第二次折叠后，如图③，
由折叠可得：∠MFC＝∠MFC″＝128°，
∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝128°﹣26°＝102°．
【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 20° ．
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，即可求解．
【详解】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝∠ACB﹣∠ACN﹣∠FCB＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质（折叠前后，对应角相等）是解题的关键．
12．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝112°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 8 度．写出∠EFD与∠A，∠B，∠D，∠E的关系为 180°﹣∠A﹣∠B+∠E+∠D ．
【分析】延长DF，交CE于点G，根据三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，然后利用三角形外角的性质求解即可得到∠D应减少8度；利用三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得出∠EFD与∠A，∠B，∠D，∠E的关系．
【详解】解：延长DF，交CE于点G，
∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°
∴∠DCG＝∠ACB＝70°
∵∠EFD＝112°，∠E＝30°
∴∠FGE＝∠EFD﹣∠E＝82°
∴∠D＝∠FGE﹣∠DCG＝82°﹣70°＝12°
∴20°﹣12°＝8°
∴使∠EFD＝112°，则图中∠D应减少8度；
∠EFD＝∠E+∠DGE
＝∠E+∠D+∠DCE
＝∠E+∠D+∠ACB
＝∠E+∠D+180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣∠A﹣∠B+∠E+∠D．
故答案为：减少；8；180°﹣∠A﹣∠B+∠E+∠D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题关键．
13．如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，下列结论：
①BE＝DE；②AE＝AF；③EG＝AG；④AD⊥EF；⑤∠EDA＝∠FDA，其中正确的结论是 ②④⑤ （只填序号）．
【分析】证明△ADE≌△ADF（AAS），利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定一一判断即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，∠EDA＝∠FDA，故②⑤正确，
∴AD垂直平分线段EF，
∴EG＝FG，AD⊥EF，故④正确，
无法判断①③正确，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别是D、E、F，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到AB的距离为 2 ．
【分析】根据角平分线的性质得出OE＝OD＝OF，再根据全等三角形的判定与性质可得DB＝FB，AE＝AF，根据正方形的判定与性质可得CE＝CD＝OD＝OE，设OE＝OD＝OF＝x，CE＝CD＝x，BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝6﹣x，再根据BF+FA＝AB＝10，即6﹣x+8﹣x＝10，求解即可．
【详解】解：如图，连接OB，AO，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE＝OD＝OF，
在Rt△ODB和Rt△OFB中，
，
∴Rt△ODB≌Rt△OFB（AAS），
∴DB＝FB，
同理可证，AE＝AF，
∵∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
∴CE＝CD＝OD＝OE，
设OE＝OD＝OF＝x，CE＝CD＝x，BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝6﹣x，
∴BF+FA＝AB＝10，即6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2，
∴OF＝2，
故答案为：2．
【点睛】【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，设未知数，并用未知数表示各边是解题的关键．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．若CE＝2，则AB＝ 6 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠C＝∠CBF，根据角平分线的定义得到∠ABC＝∠CBF，推出AB＝AC，根据角平分线的性质得到DC＝BD，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，CE＝BF＝2，于是得到结论．
【详解】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC＝BD，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA）
∴DE＝DF，CE＝BF＝2，
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，
∴AB＝3BF＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 或6或8 ．
【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质易证∠PEC＝∠CFQ，∠PCE＝∠CQF．只需PC＝QC，就可得到△PEC与△CFQ全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠QCF+∠CQF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠PCE＝∠CQF，
①当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图，
此时有AP＝2t cm，BQ＝3t cm，AC＝8cm，BC＝14cm．
当PC＝QC即8﹣2t＝14﹣3t，
解得t＝6，不合题意舍去；
②当4＜t＜5时，点P在BC上，点Q也在BC上，如图，
若PC＝QC，则点P与点Q重合，即2t﹣8＝14﹣3t，
解得t；
③当5≤t时，点P在BC上，点Q在AC上，如图，
当PC＝QC即2t﹣8＝3t﹣14，
解得t＝6；
④当t＜7时，点Q停在点A处，点P在BC上，如图，
当PC＝QC即2t﹣8＝8，
解得t＝8；
综上所述：当t等于或6或8时，以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：或6或8．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝ ．
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝14﹣x，求出∠DGF＝30°，利用直角三角形的性质得DG＝2DF＝2x，则AD＝2DG＝4x，同理得∠DCH＝30°，则DHCD＝7，AH＝AD+DH＝4x+7，再证∠A＝∠FCE，进而可依据“AAS”判定△ACH和△CFE全等，从而得AH＝CF，则4x+7＝14﹣x，由此解出x即可得DF的长．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
设DF＝x，
∵CD＝14，
∴CF＝CD﹣DF＝14﹣x，
∵EF⊥CD，
在Rt△DFG中，∠BDC＝60°，
∴∠DGF＝30°，
∴DG＝2DF＝2x，
∵2DG＝AD，
∴AD＝2DG＝4x，
∵CH⊥AB，
在Rt△CHD中，∠BDC＝60°，
∴∠DCH＝30°，
∴DHCD＝7，
∴AH＝AD+DH＝4x+7，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，∠ACB＝∠ACD+∠FCE＝60°，
∴∠A＝∠FCE，
又∵CH⊥AB，EF⊥CD，
∴∠AHC＝∠CFE＝90°，
在△ACH和△CFE中，
，
∴△ACH≌△CFE（AAS），
∴AH＝CF，
∴4x+7＝14﹣x，
解得：x．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
18．如图，六边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥EF，AB＝ED，AF＝CD，BC＝FE，又知对角线FD⊥BD，FD＝24cm，BD＝18cm，则六边形ABCDEF的面积是 432cm2 ．
【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC＝FD，EH＝BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【详解】解：如图，
连接AC交BD于G，AE交DF于H，
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE＝BD，AC＝FD，
∵FD⊥BD，
∴∠GDH＝90°，
∴四边形AHDG是矩形，
∴AH＝DG，
∵EH＝AE﹣AH，BG＝BD﹣DG，
∴EH＝BG．
∴六边形ABCDEF的面积
＝平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积
＝FD DGAC BGFD EH
＝FD DG+FD BG
＝FD BD
＝24×18
＝432（cm2）．
故答案为：432cm2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
19．如图，在△ABC中，M为边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，且BE＝CF．若∠BME＝25°，则∠A＝ 50 °．
【分析】证明Rt△BME≌Rt△CMF（HL），可得∠B＝∠C＝65°，利用三角形内角和计算即可得答案．
【详解】解：∵M为边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，
∴BM＝CM，∠MEB＝∠MFC＝90°，
又BE＝CF，
∴Rt△BME≌Rt△CMF（HL），
∴∠BME＝∠CMF＝25°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
故答案为：50．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的证明方法和性质，三角形内角和定理，证明Rt△BME≌Rt△CMF（HL）是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：
①AS＝AR；
②QP∥AR；
③△BPR≌△QSP．
其中结论正确的是 ①② （填写序号）．
【分析】①根据角平分线的判定定理，证△ARP≌△ASP，所以AS＝AR；
②根据等腰三角形的性质知，∠APQ＝∠CAP，∠BAP＝∠CAP，所以∠BAP＝∠APQ，内错角相等，所以PQ∥AR；
③不满足三角形全等的条件，只有一对角和一条直角边相等．
【详解】解：①正确，∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵AP＝AP，
∴△ARP≌△ASP（AAS）．
∴AS＝AR．
②正确：∵∠BAP＝∠CAP，
又∵AQ＝PQ，
∴∠APQ＝∠CAP．
∴∠APQ＝∠BAP．
∴QP∥AR．
③不正确，根据已知条件不能证明△BRP≌△QSP．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 （1，6） ．
【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，
∴CD＝OD﹣OC＝6，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝6，
∴则B点的坐标是（1，6）
故答案为（1，6）
【点睛】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
22．如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．在边OB上取一点E，使得PE＝PD，设∠OEP为α，∠ODP为β，α与β的数量关系是 α＝β或α+β＝180° ．
【分析】以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，由△E2OP≌△DOP（SAS），推出E2P＝PD，即此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，则此点E1也符合条件PD＝PE1，由PE2＝PE1＝PD，推出∠PE2E1＝∠PE1E2，由∠OE1P+∠E2E1P＝180°，∠OE2P＝∠ODP，推出∠OE1P+∠ODP＝180°．
【详解】解：如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，
在△E2OP和△DOP中，
，
∴△E2OP≌△DOP（SAS），
∴E2P＝PD，
即此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP，即α＝β．
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，如图，
则此点E1也符合条件PD＝PE1，
∵PE2＝PE1＝PD，
∴∠PE2E1＝∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，
∵∠OE2P＝∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP＝180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°，
故答案为：α＝β或α+β＝180°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
23．在△ABC中，∠B＞90°，要使△ABC为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ∠A＝∠C（或BA＝BC） ．
【分析】根据等腰三角形的定义即可解答．
【详解】解：∵△ABC中，∠B＞90°，要使△ABC为等腰三角形，
∴可添加∠A＝∠C（或BA＝BC）．
故答案为：∠A＝∠C（或BA＝BC）．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键．
24．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 8 ．
【分析】根据点A与点C关于EF对称，连接AD，AM，可得CM+DM≥AD，所以CM+DM最小值为AD的长，因此计算出AD的长即可．
【详解】解：连接AM，如图，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D为BC边的中点，
∴CDBC＝2，AD⊥BC，BC AD4×AD＝16，
∴AD＝8，
∵点A与点C关于EF对称，
∴CM＝AM，
∴CM+DM＝AM+DM≥AD，
∴CM+DM的最小值为AD的长，
∴CM+DM的最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，能将两条线段和的最小值转化为一条线段的长是解答此题的关键．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 15 cm．
【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【详解】解：∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，
∴AB＝2AC＝10（cm），
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝10cm，
∴△ACP的周长最小值＝AC+AB＝15（cm），
故答案为：15；
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝ 3 ．
【分析】作EH⊥AC于H，由等边三角形的性质，推出△EFH≌△DEB（AAS），FH＝BE，EH＝BD＝6，由直角三角形的性质求出HC＝2，CE＝4，BCAB＝5，即可得到FH＝BE＝BC﹣CE，从而求出CF的长．
【详解】解：作EH⊥AC于H，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，DE＝EF，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，
∵∠BED+∠DEF＝∠C+∠EFH，
∴∠BED＝∠EFH，
∵∠B＝∠EHF＝90°，DE＝EF，
∴△EFH≌△DEB（AAS），
∴FH＝BE，EH＝BD＝6，
∴HCEH＝2，
∴CE＝2CH＝4，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴BCAB15＝5，
∴BE＝BC﹣CE，
∴CF＝FH+CH23．
故答案为：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作EH⊥AC于H，证明△EFH≌△DEB（AAS），得到FH＝BE，由直角三角形的性质求出BE，CH的长，即可解决问题．
27．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 80° ．
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
28．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D，E是BC上两点，∠ADE＝∠AED，延长AE至点F，使AF＝AC，已知∠BAD＝20°，则∠EFC的度数为 80° ．
【分析】根据等角对等边得出∠B＝∠ACE，根据已知条件和邻补角的定义得出∠ADB＝∠AEC，证明△ABD≌△ACE（AAS）得出∠EAC＝∠BAD＝20°，然后根据等角对等边以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACE，
又∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴∠EAC＝∠BAD＝20°，
∵AF＝AC，
∴，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
29．如图，∠BOC＝10°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ 8 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【详解】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝10°，
∴∠A1AB＝20°，∠A2A1C＝30°，∠A3A2B＝40°，∠A4A3C＝50°，…，
∴10°n＜90°，
解得n＜9．
由于n为整数，故n＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
30．已知点A在x轴的负半轴上，以OA为边在第二象限作等边△AOB，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，则∠MEO的度数为 75° ．
【分析】过M作MF∥AB，可证△OMF为等边三角形，∠FMO＝60°，MF＝MO，由△MNE是等边三角形，可得∠NME＝∠MFO＝60°，MN＝ME，可证∠FMN＝∠OME，再证△MFN≌△MOE，∠MFN＝∠MOE＝60°即可．
【详解】解：过M作MF∥AB，
∴∠MFO＝∠BAO，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝∠BOA＝60°＝∠MFO，
∴△OMF为等边三角形，
∴∠FMO＝60°，MF＝MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME＝∠FMO＝60°，MN＝ME，
∴∠FMN+∠NMO＝∠NMO+∠OME＝60°，
∴∠FMN＝∠OME，
在△MFN和△MOE中，
，
∴△MFN≌△MOE（SAS），
∴∠MFN＝∠MOE＝60°，
∵∠EMO＝45°，
∴∠MEO＝180°﹣∠OME﹣∠MOE＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查图形与坐标，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质掌握图形与坐标，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
31．若a2+b2＝2，a+b＝3，则ab的值为 ．
【分析】把a+b＝3两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab的值．
【详解】解：把a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9，
将a2+b2＝2代入得：2+2ab＝9，
解得：ab，
故答案为：
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
32．若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝ x+z ．
【分析】本题是平方差公式的应用，x+z是相同的项，互为相反项是y与﹣y，（x+y+z）（x﹣y+z）＝（x+z+y）（x+z﹣y），且B＝y，即可求出A．
【详解】解：∵（x+y+z）（x﹣y+z），
＝（x+z+y）（x+z﹣y），
＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]，
＝（A+B）（A﹣B），
∵B＝y，
∴A＝x+z．
【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，本题要把x+y看成一个整体．
33．已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 b＜a． （请用字母表示，并用“＜”连接）．
【分析】把a和b变成指数为11的两个数，再对底数进行比较即可．
【详解】解：a＝255＝（25）11＝3211，
b＝522＝（52）11＝2511，
∵2511＜3211，
∴522＜255，
故答案为：b＜a．
【点睛】本题考查了幂的乘方，关键把题中的两个数就变成相同的指数再比较．
34．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 490 ．
【分析】利用面积公式得到ab＝10，由周长公式得到a+b＝7，将原式因式分解代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝10×72
＝490．
故答案为：490．
【点睛】本题考查了因式分解—提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
35．如图，正方形卡片A类、正方形卡片C类和长方形卡片B类各有若干张，如果要这三类卡片拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形，则需要B类卡片 7 张．
【分析】由图得A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，由（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2可求出各类卡片的数量．
【详解】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片2张，B类卡片7张，C类卡片6张．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
36．已知m2﹣n2＝12，m﹣n＝4，则m+n＝ 3 ．
【分析】利用平方差公式将m2﹣n2分解，然后整体代入可得出m+n的值．
【详解】解：由题意得，m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝12，
∵m﹣n＝4，
∴m+n＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是关键，另外本题涉及了整体代入思想．
37．若（x+2）（x﹣3）＝x2+bx+c，其中b，c为常数，则点P（b，c）关于y轴的对称点的坐标为 （1，﹣6） ．
【分析】先根据多项式乘多项式进行化简，再合并同类项，求出b、c的值，再求出点P的坐标，再求出答案即可．
【详解】解：∵（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6且（x+2）（x﹣3）＝x2+bx+c，
∴b＝﹣1，c＝﹣6，
∴P（﹣1，﹣6）
∴点P关于y轴的对称点的坐标为（1，﹣6），
故答案为：（1，﹣6）．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，关于x轴、y轴对称的点的坐标等知识点，能求出b、c的值是解此题的关键．
38．对于二次三项式x2+mx+n（m，n为常数），有下列结论：
①若n＝49，且x2+mx+n＝（x+a）2，则a＝7；
②若x2+mx+n＝（x+3）（x+a），则3m﹣n＝9；
③若m2＝4n﹣1，则无论x为何值，x2+mx+n＞0；
④若n＝24，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），其中a，b为整数，则m可能的取值有8个．其中正确的是 ②④ ．（只填写序号）
【分析】根据完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可．
【详解】解：①若n＝49，且x2+mx+n＝（x+a）2，
则有x2+mx+49＝（x±7）2，
∴a＝±7，
故说法①错误；
②若x2+mx+n＝（x+3）（x+a），
∴x2+mx+n＝x2+（3+a）x+3a，
∴m＝a+3，n＝3a，
∴3m﹣n＝3（a+3）﹣3a＝9，
故说法②正确；
③若m2＝4n﹣1，则，
则，
∵，
∴x2+mx+n≥0，
故说法③错误；
④若n＝24，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），
则x2+mx+24＝x2+（a+b）x+ab，
∴m＝a+b，n＝ab＝24，
∵a，b为整数，
∴a＝1，b＝24或a＝﹣1，b＝﹣24或a＝2，b＝12或a＝﹣2，b＝﹣12或a＝3，b＝8或a＝﹣3，b＝﹣8或a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝﹣6，
∴m＝a+b＝25或﹣25或14或﹣14或11或﹣11或10或﹣10共8种，
故说法④正确，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，十字相乘法因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．
39．已知：（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝2，则x2+y2＝ ．
【分析】把完全平方公式展开得x2+2xy+y2＝1，x2﹣2xy+y2＝2，由两式相加可以求出x2+y2的值．
【详解】解：∵（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝2，
∴x2+2xy+y2＝1，x2﹣2xy+y2＝2，
∴2x2+2y2＝1+2＝3，
∴2（x2+y2）＝3，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，考核学生的计算能力，熟悉公式的结构特点是解题的关键．
40．已知ax+20，bx+19，cx+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 3 ．
【分析】已知条件中的几个式子有中间变量x，三个式子消去x即可得到：a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1，b﹣c＝﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．
【详解】解：由ax+20，bx+19，cx+21，
得（a﹣b）x+20x﹣19＝1，
同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，
（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，
[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
（1+1+4）＝3．
故答案为3．
【点睛】本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键．
41．计算： ．
【分析】直接利用平方差公式因式分解，再进一步找出规律计算即可．
【详解】解：原式＝（1）
．
故答案为：．
【点睛】此题考查利用平方差公式因式分解，注意算式的特点，灵活计算．
42．若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先将（x+3）（x+n）展开得出一个关于x的多项式，再将它与x2+mx﹣15作比较，即可分别求得m、n的值．
【详解】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，
∴x2+（3+n）x+3n＝x2+mx﹣15，
∴，
∴m＝﹣2，n＝﹣5．
故本题答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用．
43．如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（a＞b）．
（1）若a＝195，b＝105，则甲纸片与乙纸片的面积差为 27000 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 6 块．
【分析】（1）根据正方形的面积计算方法分别表示出甲纸片与乙纸片的面积再作差，再根据平方差公式的计算方法即可求解；
（2）分别计算长1块甲纸片，9块乙纸片的面积，设丙纸片有x块，并计算出丙纸片的面积，再根据大正方形的边长都相等，完全平方公式的形式及配方的方法即可求解．
【详解】解：（1）甲纸片的面积为a2，乙纸片的面积为b2，
∴甲纸片与乙纸片的面积差为a2﹣b2，且a＝195，b＝105，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（195+105）×（195﹣105）＝300×90＝27000，
故答案为：27000；
（2）甲纸片的面积为a2，乙纸片的面积为b2，丙纸片的面积为ab，
∵甲纸片1块，乙纸片9块，设丙纸片有x块，
∴大正方形的面为a2+xab+9b2，
∵大正方形的边长都相等，
∴a2+xab+9b2可以配成完全平方公式，
∴（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，
∴x＝6，即还需取丙纸片6块，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查图形面积与乘法公式的关系，掌握多项式乘法的运算，乘法公式是解题的关键．
44．计算：[a3 a5+（3a4）2]÷a2的值是 10a6 ．
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可．
【详解】解：[a3 a5+（3a4）2]÷a2
＝（a3+5+9a8）÷a2
＝（a8+9a8）÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6．
故答案为：10a6．
【点睛】本题主要考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键．
45．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为 （4a+12） cm2．
【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积，求解即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
（a+4）2﹣（a+2）2
＝a2+8a+16﹣a2﹣4a﹣4
＝（4a+12）cm2．
故答案为：（4a+12）cm2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
46．若关于x的分式方程的解为非正数，则任意写出一个符合条件的a值： ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解是x，根据方程的解释非正数得出0且x+9≠0，求出a且a，再在a的范围内取一个数即可．
【详解】解：，
方程两边都乘3（x+9），得3（x﹣2a）＝x+9，
解得：x，
∵关于x的分式方程的解为非正数，
∴0且x+9≠0，
解得：a且x≠﹣9，
即9，
∴a，
即a且a，
取a＝﹣2．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式方程的解，能根据题意求出a且x≠﹣9是解此题的关键．
47．若关于x的分式方程无解，则m＝ 3 ．
【分析】先转化为整数方程并求解，再是整式方程的解使分式方程的解为0，列方程求解．
【详解】解：方程两边统乘以（x﹣3）得：
x＝2（x﹣3）+m，
解得：x＝6﹣m，
由题意得：6﹣m＝3，
解得：m＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的解的意义是解题的关键．
48．对于实数a，b定义一种新运算“ ”：a b，例如，1 3．则方程x 21的解是 x＝5 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．
【详解】解：根据题中的新定义，化简得：1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
【点睛】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．
49．式子（x+2）0有意义的条件是 x≠1或﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，根据零指数幂的条件可得x+2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x﹣1≠0，x+2≠0，
解得：x≠1或﹣2，
故答案为：x≠1或﹣2．
【点睛】此题主要考查了分式和零指数幂有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，零指数幂：a0＝1（a≠0）．
50．分式的值为0，则x＝ 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣1＝0且（x+1）（x﹣2）≠0
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点睛】考查了分式的值为零的条件．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
51．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠20元，若该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，设A商家每张课桌的售价为x元，则可列方程为 ．
【分析】】设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为（x+20）元，由题意：该校花费1500元采购款在A商家购买课桌的数量与花费2500元采购款在B商家购买课桌的数量一样多，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为（x+20）元，
根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
52．若（A、B为常数），则A B的值为 7 ．
【分析】通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，则易求A B的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴A B＝7×1＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．
53．已知，，，则的值为 ．
【分析】先把所给的三个条件式相加求出，再将所求式子变形为，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确求出是解题的关键．
54．当m＝ 6 时，解分式方程会出现增根．
【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．
【详解】解：分式方程会出现增根，
则2x﹣1＝0即，
，
去分母得，2x﹣1+m＝6，
将代入得m＝6，
即当m＝6时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．
55．已知：①可转化为，解得x1＝1，x2＝2，②可转化为，解得x1＝2，x2＝3，③可转化为，解得x1＝3，x2＝4，…，根据以上规律，关于x的方程（m为常数）的解为 x1＝m+1，x2＝m﹣7 ．
【分析】根据已知数列找出规律进而得出的解．
【详解】解：∵①可转化为，解得x1＝1，x2＝2，
②可转化为，解得x1＝2，x2＝3，
③可转化为，解得x1＝3，x2＝4，
∴规律为：，其解为：x1＝m，x2＝n，
∴关于x的方程（m为常数），
∴，
，
∴x1+5＝m﹣2，x2+5＝m+6，
∴x1＝m+1，x2＝m﹣7，
故答案为：x1＝m+1，x2＝m﹣7．
【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键．
56．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣2 ．
【分析】先解关于x的不等式组及该不等式组的解集为x＜﹣2，得﹣2≤2a+4，故a≥﹣3．再解关于y的分式方程3，得y＝﹣2．由关于y的分式方程3的解为负数，得a＜4且a≠2，进而解决此题．
【详解】解：∵，
∴去分母，得3x+6＜2x+4．
∴移项、合并同类项，得x＜﹣2．
∵2（x﹣a）≤x+4，
∴去括号，得2x﹣2a≤x+4．
∴移项、合并同类项，得x≤2a+4．
∵数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，
∴2a+4≥﹣2．
∴a≥﹣3．
∵3，
∴去分母，得1﹣y﹣a＝﹣3（y+1）．
∴去括号，得1﹣y﹣a＝﹣3y﹣3．
∴移项、合并同类项，得y＝﹣2．
∵关于y的分式方程3的解为负数，
∴﹣20且﹣21．
∴a＜4且a≠2．
∴﹣3≤a＜4且a≠2．
∵a为整数，
∴a＝﹣3或﹣2或﹣1或0或1或3．
∴﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及解一元一次方程组，熟练掌握解分式方程以及解一元一次方程组是解决本题的关键．
57．下表所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则表中被污染掉的x的值是 4 ．
问题：先化简，再求值：1，其中x＝． 解：原式 （5﹣x）+（5﹣x）① ＝x﹣4+5﹣x ＝1
【分析】先根据分式的加法运算法则化简分式，再根据计算结果确定x值即可．
【详解】解：
，
由题意，，
∴5﹣x＝1，
解得x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的根，且符合题意，
故答案为：4．
【点睛】本题考查分式的加法、解分式方程，熟练掌握分式的加法运算法则，正确得到化简结果是解答的关键．
58．如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为 （结果保留π）．
【分析】求出圆形总面积和长方形的面积，求出圆形总面积与长方形面积的比即可．
【详解】解：圆形总面积为，长方形面积为la，
∴长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式运算的应用，根据题意得到圆形总面积是解题的关键．
59．定义一种新的运算：a*b，例如：3*5，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 m≤3且m≠0 ．
【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
∴m＝﹣6x+3，
∴，
∵关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，
∴，2x﹣1≠0，
解得：m≤3，m≠0，
∴m的取值范围为：m≤3且m≠0，
故答案为：m≤3且m≠0．
【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键．
60．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
【分析】设第二天每棵树苗售价为x元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【详解】解：设第二天每棵树苗售价为x元，
根据题意，得，
解得x＝85，
经检验，x＝85是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
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