资源简介

2009年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明
(理科课程标准实验版)
目 录
Ⅰ．命题指导思想 2
Ⅱ．考试形式与试卷结构 5
一、考试形式 5
二、试卷结构 5
三、关于考试形式与试卷结构的说明 5
Ⅲ．考试目标与要求 7
一、知识要求 7
二、能力要求 8
三、数学思想方法 29
四、个性品质要求 41
Ⅳ．考试内容 41
一、考试内容及要求 41
二、若干问题的说明 55
Ⅴ．参考试卷 69

Ⅰ．命题指导思想
普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试． 2009年福建省高考数学（理科）的命题应以教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、《2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版·理科数学）》、《福建省普通高中新课程教学要求（数学）》为指导，以《2009年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明》(理科课程标准实验版)为依据，并结合我省普通高中数学教学的实际进行．命题应有利于高校科学公正地选拔人才，有利于推进普通高中新课程，实施素质教育．命题应体现《普通高中数学课程标准（实验）》的理念，体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求，坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能．命题应遵循以下命题原则：
一、贯彻新课程理念，促进素质教育的有效实施
命题要立足于《普通高中数学课程标准（实验）》，体现普通高中新课程的理念，准确理解和把握新课程标准的内涵与要求，考查对基础知识、基本技能的掌握程度和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．重视数学素养的考查，关注科学技术和社会经济的发展，注重时代性和实践性，有利于高校科学公正地选拔人才；有利于激发学生学习数学的兴趣，促进素质教育的实施；有利于促进学生学习方式的转变，发挥高考命题对中学数学教学的正确导向作用，扎实推进我省普通高中新课程的顺利实施．
二、强化基础知识，注重试卷的整体设计
考查考生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一．对数学基础知识的考查，要求既全面，又突出重点．对于支撑数学知识体系的主干知识——函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．对数学知识的考查要求全面，但不刻意追求知识点的百分比、知识内容的覆盖面，而是强调试题的综合性，注重学科的内在联系和知识的综合．
高考命题应从学科整体意义的高度去考虑问题，强调知识之间的交叉、渗透和综合，体现综合性，以检验考生是否具备一个有序的网络化的知识体系，并能从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题．命题应继承和发扬我省自行命题的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，适度创新，注重试题的多样性和选择性．命题应科学设置探究性和开放性试题，体现对不同层次的考生的选拔．命题应合理分配必考、选考内容的比例，既考查考生的共同基础，又满足不同考生的选择需求．对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，难度基本等值．试卷应具有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度．
鉴于我省新课程教材使用的多样性，命题务必充分体现公平性，试题必须适用于不同版本的教材．试题可以是取材于教材或课外参考资料中经过实质性改造后的问题，但切忌照搬任何教材或课外参考资料的原题或未经实质性改造过的题目．所设置的试题，特别是区分学生学习能力的把关试题应当关注解法的多样性，充分尊重学生在学习数学方面的差异，力求使得不同思维方式、思维层次的学生都能得到科学的评价．整份试卷的设计应合理，注重整体效应．
三、淡化特殊技巧，强调数学思想和方法
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
一般认为，中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质思想．中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想等．数学基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等．数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法，对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行．
四、强调能力立意，突出分析和解决问题能力
“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的．高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，因此命题中应尽量避免编制刻板、繁难和偏怪的试题，避免编制死记硬背的内容和繁琐计算的试题，力图通过数学科的考试，不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测考生已有的和潜在的学习能力．命题应突出能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工，寻找解决问题的办法．
高考对能力的考查，应以抽象概括能力、推理论证能力为重点，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际．运算求解能力是推理论证能力和运算技能的结合，它包括数的运算、式的运算；包括精算、近似计算与估算．对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和推理论证能力的考查．空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合．数据处理能力主要是指能对收集到的相关数据，采用适当的方法进行整理、归纳、分析、解决问题．分析问题和解决问题的能力是上述几种基本数学能力的综合体现，对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础，加强思维品质的考查．
五、强化应用意识，关注应用能力
加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的．应用性问题主要是考查数学知识的实际应用．应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义．
应用问题考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我省中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识．
六、提倡开放探索，关注创新意识
高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识．因此，高考中可适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神．考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力．
考查创新意识的创新性试题可重点体现在情景、设问等方面．在设计考查创新意识的试题时，一方面，要积极探索，大胆实践；另一方面，应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系，处理好试题创新与试题难度的关系，做到“新题不难、不怪”．
七、体现层次要求，控制试卷难度
高考在考试目的、考试性质、考试内容和考试要求方面均不同于数学竞赛和普通高中学生学业基础会考．高考是要选拔部分合格高中毕业生升入高等院校深造，命题时应以知识为基础，多层次、多角度考查各种能力，试卷难度要适中，既要使一般考生都能得到基本分，又要使优秀学生的水平得以充分显现．根据我省高考的实际情况，整卷难度值应控制在0.6左右．试卷中各个试题的难度值一般控制在0.2～0.8之间，整份试卷中各种难度的试题分数的分布也应该适当．每种题型中都应编拟一些较易试题，使大部分考生都能得到一定的基本分；每种题型中也应编拟一些有一定难度的试题，以实现选拔的目的．
Ⅱ．考试形式与试卷结构
一、考试形式
考试采用闭卷、笔试形式．考试时间为120分钟，全卷满分150分，考试不使用计算器．
二、试卷结构
考试内容包括必考内容和选考内容两部分．
必考内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程和选修课程系列2的内容．选考内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题的内容．
试卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为10个选择题，全部为必考内容；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分，必考部分由5个填空题和5个解答题组成；选考部分安排在第21题，作为解答题出现，由选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题各命制1小题，考生从3小题中任选2小题作答，如果多做，则按所做的前两小题记分．
选择题共10题，每题5分，共计50分；填空题共5题，每题4分，共计20分；解答题共6题，其中必考题5题，选考1题（包含3小题，每小题7分，考生从中任选2小题作答，满分14分），共计80分．
选择题为四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
试卷应由容易题、中等题和难题组成，难度值在0.7以上的试题为容易题，难度值在0.4~0.7的试题为中等题，难度值在0.4以下的试题为难题，易、中、难试题的比例约为4：4：2，全卷难度值控制在0.6左右．
三、关于考试形式与试卷结构的说明
1.注重试卷整体设计，发挥结构效应
为发挥学科特点，体现高考的选拔功能，发挥整份试卷的区分作用，命题应注重试卷的整体设计．试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应，而不仅仅是个别试题产生的效应，因此设计一份好的试卷不仅要编制好的试题，而且要注意试卷的整体结构，发挥整体效应．
试卷应兼顾数学知识和能力等方面，要有合理的知识结构和能力层次结构．知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例，在编制双向细目表时，应根据各部分内容的教学时数和高考对考生知识结构的要求，综合平衡试卷中各部分知识内容的分值比例．试卷对能力要求的层次和比例，反映着考查的性质和要求．在高考中，应既考查数学能力，又考查一般认识能力，如观察力、注意力、记忆力等．由于新课程高考考试目标还包括基本数学方法以及按照一定程序与步骤进行运算、处理数据，绘制图表等基本技能的内容，因此还应注意结合各项知识考查数学方法与技能．将数学知识和能力有机结合，并融入具体试题，以便有效地全面检测考生的素质和潜能．同时应使试题编排合理，体现人性化和选拔功能的和谐统一．
2.合理确定试题梯度，体现试卷较好的区分度
根据我省高中发展和高校招生的实际情况，确定本学科试卷难度值为0.6左右．为使考生产生良好的心理效应，应充分发挥各种题型的功能．试卷中必考内容的难度按两级坡度设计，整卷是一个大坡度，而每种题型由易到难又是一个坡度．各种题型中起点试题的难度都应比较低，特别是在选择题部分，起点题水平应相当于普通高中学生学业基础会考的水平，其目的是测量全体考生对基础知识的掌握情况，为教学评价提供参考．选择题最后几题的备选项应有较大的迷惑性，以此来区分考生对基础知识掌握的深度和熟练运用的程度．解答题变一题把关为多题把关，解答题中必考部分的最后两题应分别考查不同的内容并设置一定的关卡，区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力．由于选修课程系列4中的《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》是我省第一次作为选考内容进入高考试卷，应注意与实际教学相适应，控制好难度．难度定位为中等偏易．同时各选考专题的试题的分值应相等，并力求做到难度基本等值，体现考试的公平性．
在命题中应适当控制新颖试题的比例，要充分估计考生对试题的适应程度，有效地控制整卷难度，避免因为考生对新颖试题的不适应而导致发挥失常．同时还应控制试题的综合程度，适当降低起点试题的难度．试题的表述应注意运用考生熟悉的语言和表述方式，同时采用文字语言、图表、数学符号等多种数学语言，简明直观，有利于考生的阅读理解；试题背景应贴近考生的生活实际，让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中，增强解题信心．要控制计算量，避免繁琐运算，一些貌似有较长运算过程的试题要有不同的解题思维层次，以保证考生有较多的时间和精力思考问题．
3.发挥各种题型的功能，充分体现新课程理念
今年的高考是我省实施普通高中新课程的首次高考，试题应体现新课程理念，在命题时应当注意教材的多样性，讲究取材，以确保试题的公平性．应适当顾及新增课程内容在试卷中的比例，重视“探究”与“思考”问题，让新课程中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力”等基本理念得到有效落实．
从考查目标来看，高考强调在考查知识的基础上考查能力，因此需要一定数量的选择题和填空题以考查基础知识和基本技能，提高知识考查的覆盖面，考查考生敏锐地捕捉题设信息，迅捷地寻找合理的解题途径的解决问题能力，同时也增加考试的信度和效度．
解答题包括计算题、证明题和应用题等，能比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合以及推理运算、文字表达等高层次能力的考查．
4.合理控制卷面字数和计算量
卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和．为使考生能尽快、无误地获取信息，题目叙述应简单明了，字母、符号、标点等都应正确运用并发挥其作用，在文字语言不能简明叙述或不能清楚表达时，应注意各种符号和图形的运用，减少生活语言对数学语言的干扰，合理控制卷面字数．高考应以考查能力、检测素养为主，试题应尽量避免繁、难的运算，控制各题的计算量，排除由于计算过多过繁造成耗时较多，或由计算错误而造成全题失分的现象，以便更好地考查考生的各种能力．
数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题，而计算量的大小是和全卷的工作量的大小密切相关的．实际上，控制全卷工作量的大小主要是由高考的性质决定的，一般来说应以50％的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准．这里所谓完成，不含复核时间，由于数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象，同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次，考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异．计算量的估计应以一般通用解法为准．
Ⅲ．考试目标与要求
一、知识要求
知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.
对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解、掌握，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．
1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它．
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.
2．理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.
这一层次所涉及的主要行为动词有：理解，描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等.
3．掌握：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.
这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.
二、能力要求
高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查.数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想.试题包括立意、情境和设问三个方面．以能力立意命题，就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适宜的考查内容，设计恰当的设问方式．根据以能力立意命题的指导思想，命题应把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量学生的发展性学力和创造性学力着手进行，突出能力考查，发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用.
能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.
1．空间想像能力
空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.
空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志．对图形的想像，是指能根据图形想像出空间图形直观形象，包括对空间基本图形的识记、再现和思考；能从复杂的图形中区分出基本的图形，正确地分析出图形中基本元素及其相互关系.
立体几何是考查空间想像能力的主要载体，立体几何问题的解法一般有几何法与代数法两种，它们从不同的角度解决立体几何问题.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是联系几何与代数的桥梁.用空间向量处理空间问题，空间元素间的位置关系转化为数量关系，形式逻辑证明转化为数值计算.由于思路清晰，降低了思维的难度,因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法．
　　 下面从识图与画图的结合、概念与推理的结合、对图形的处理等三个方面进行讨论．
（1）识图与画图的结合．在立体几何中，强调对空间图形的整体认识和把握，从实物到图形，从三视图、直观图想像空间几何体，再从空间几何体的整体来把握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，因此识别图形就相当重要了．一方面，对基本的几何图形（平面或立体）要非常熟悉，能正确画图；另一方面，能正确识别图形，了解三视图和直观图的关系，分析几何图形中各元素在空间中的形状、大小和位置关系，突破习惯看平面图形的思维定势．
【例1】（2007年高考海南与宁夏卷·理)
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
本题以几何体的三视图为载体，考查空间想像能力.由题目给出的三视图，通过想像，可得出几何体是四棱锥，其底面是边长为20 cm的正方形，高是20 cm，故求出几何体的体积是. 选B.
能根据给出的三视图，通过画图、分析，想像出空间几何体，并找出两者的联系，是解题的关键.
（2）概念与推理的结合.概念是抽象思维与逻辑思维的基本形式、基本元素.立体几何是通过概念、公理来演绎的，对概念的理解是解题的基础. 因此，考生要理解概念的本质，能够根据概念画出图形，借助图形来思考，分解出解题所需要的要素，从而进行推理和运算．
在考题中，一般只给出最简单的图形及最基本的条件．在解答时，考生需要以此为依托，根据定义和性质画出所需要的线、面、角等几何要素，对照图形，将概念、性质灵活应用于图形．
【例2】(2007年高考四川卷·理)
如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A. BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1 D. 异面直线AD与CB1所成的角为60°
本题依托正方体，通过考查有关线面平行、垂直的判定，线线垂直与线线成角的概念，考查空间想像能力与推理论证能力． BD∥平面CB1D1 , A成立； AC1⊥BD， B成立； ∴AC1⊥平面CB1D1 ，C成立；异面直线AD与CB1所成的角转化为BC与CB1所成的角，而BC与CB1所成的角为45°,故D错误. 选D.
（3）对图形的处理. 为了使解题过程变得直观、简捷，我们常常需要对图形进行适当的构造与处理. 对图形常见的处理有：分割、补形、展开、平移和对称；添加辅助线、辅助面；将立体几何问题转化为平面问题等．通过处理，使得复杂图形简单化、非标准图形标准化．对空间图形的处理能力是空间想像能力深化的标志，是高考从深层次上考查空间想像能力的主要方面．
【例3】（2008年高考海南与宁夏卷·理）
某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为
A. B. C. 4 D.
本题以三视图为载体，考查考生对空间基本的几何图形（平面图形或立体图形）的熟悉程度，考查空间想像能力．解答本题，必须想像出图形，借助图形思考.为了使得思考直观、简捷，我们需要对图形进行适当的构造，不妨构造一个长方体，其一条对角线长为，其三个相邻面的对角线长分别为、a和b． 设过长方体同一顶点的三条棱长分别是、、，则，结合基本不等式得：.选C.
本题在如何构造图形上是开放的，因此，构造的图形是否突出问题的本质，达到直观、简捷，体现了空间想像能力的差异．
【例4】（2008年高考浙江卷·理)
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=, AD=,EF=2.
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
本题主要考查空间线面关系、空间向量的运算等基础知识，同时考查空间想像能力和推理论证能力．第（Ⅰ）问由矩形ABCD得，推出平面．由 BE//CF得平面．所以平面平面．从而平面．第（Ⅱ）问，如图，建立空间直角坐标系，设，得，，由，，得．进而求得平面的一个法向量．又因为平面，所以，解得．所以当＝时，二面角的大小为．
用向量方法解空间几何问题，绝不能脱离图形，依然需要对图形进行观察、思考、推理、判断，做到“眼里有图，脑中有图”，能把图形和概念联系起来，用图形思考问题.在思考过程中，空间想像是前提，代数运算是关键．
2．抽象概括能力
抽象概括能力：对具体、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，从给定的大量信息中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.
抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质属性的思维过程；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象是一步一步逐级进行的，具有层次性的，而且往往是将前一层次看作后一层次的“具体”. 通过抽象，揭示本质，发现规律，这是科学研究工作必须具备的基本修养，是数学学习过程中要培养的一种能力.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象与概括又是有区别的，其主要区别在于：概括过程中的对象保持不变，但对象的范围扩展了，并推广到同类的全体事物；而在抽象过程中，对象由具体的变为形式化的、一般化的.
高考主要从数学语言、数学模式与数学模型两方面对抽象概括能力进行考查.
（1）数学语言．在逐次抽象的过程中，牢固的数学基础知识、必要的逻辑知识、数学语言是必不可少的工具. 因此，使用数学语言与符号的能力，是抽象概括能力的重要体现.
数学语言是数学化了的自然语言，是数学特有的形式化的符号体系．语言是思维的载体，思维需要用语言或文字表达．依靠数学语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来．数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言．在高考数学试题中，主要是用文字语言和符号语言，辅之以图形语言表述、呈现试题内容．高考中考查的重点是文字语言，并要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间的转换．对语言的考查包括两方面的要求：一是要求考生读懂题目的叙述，把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑，以便于大脑加工；二是要求考生有一定的语言表达能力，能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并要求表达条理清晰，层次分明，没有逻辑错误，能准确规范地使用各种数学名词、术语和数学符号．
【例1】 (2007年高考湖南理)
设集合，，，
（Ⅰ）的取值范围是 ；
（Ⅱ）若，且的最大值为9，则的值是 ．
本题以数学符号语言为载体，重点考查三种语言的相互转化，考查抽象概括能力．第（Ⅰ）问要能读懂有关集合的符号语言，理解集合A、B表示的区域.把A、B对应的区域用图形表示出来，即把数学符号语言转化为图形语言：先画区域A，以及b=0时B表示的区域，把折线上下平移,通过观察，易得时满足.第（Ⅱ）问，令，由线性规划知识知，直线过点时，的最大值为9，所以.
（2）数学模式与数学模型.不论是把实际问题转化为数学问题，还是单纯解数学题，都离不开把问题和解决问题的方法进行比较分类，抽象概括出一种数学结构形式，然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题和数学问题，从这个意义上讲，数学模型是数学抽象概括的结果.因此，抽象概括能力还包括对模式和方法的概括能力，以及从现实问题中概括出具体的数学模型的能力.
解数学问题有常用的数学思想方法，应在夯实＂双基＂的同时，认识各种思想或方法的适应性，抽象概括出解决问题的有效的数学思想与方法，这样，可以提高解决问题的能力.如果抽象概括能力差，对平时所学的知识就无法形成知识网络，无法形成能力，无法从纷繁复杂的题目中发现问题的本质，找到正确的解题思路.因此，在考试中能否快速识别模式，进而正确选择解题方法，体现了抽象概括能力的差异.
【例2】（2008年高考江苏卷）
设函数，若对于任意，都有≥0 成立，则实数的值为 ．
本题以不等式恒成立的问题为载体，反映了对抽象概括能力的考查.本题考虑用分离变量来解决．当x=0时，无论a取何值，成立；恒成立.令则转化为研究的最大值与的关系.令.当可知取最大值4，所以；恒成立.令，则转化为研究的最小值与的关系.由 得是增函数，所以，所以
综上，
本题考查了一些常见的解题规律或模式, 如：“恒成立问题”一般转化为研究的最小值与的关系问题．
从现实问题中概括出具体的数学模型，需要抽象概括能力，最典型的是解应用题. 我们知道，应用题一般都有模型，如“指数型函数”是重要的数学模型，在细胞分裂、生物繁殖、人口增长、劳动生产率、银行利息等问题上经常用到．解决应用题的关键是建立数学模型,即把生产或生活中遇到的实际问题，抽象为一个数学问题来解决.从杂乱无章的现实世界中，由表及里，去伪存真，将生活问题提炼、抽象为一个数学问题来解决，体现了我们常说的“分析问题和解决问题的能力”，体现了抽象概括能力.
【例4】(2000年春季高考上海卷理)
　　有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.曱商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买二台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
本题以实际应用问题为载体，在将实际问题转化为数学模型的过程中，考查了抽象概括能力.要确定去哪家商场购买，关键是要建立两商场影碟机的销售价与购买台数的函数关系，并利用不等式知识确定购买方案．设某单位需购买ｎ台影碟机，甲商场每台单价为元，乙商场每台单价为元．则，令，解得．于是建立出数列模型：接着比较与的大小. 当因为时去甲处购买；当时，令，得，解得，所以时去甲处购买；时去甲处或乙处购买；时去乙处购买.
综上，时去甲处购买；时去甲处或乙处购买；时去乙处购买.
3．推理论证能力
推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.
推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.
（1）演绎推理．演绎推理是从定义、定理出发进行分析、推理、论证，其重点是三段论推理，是进行数学证明的有力工具.它把一般前提下蕴含的性质揭露出来，使这些性质间的内在联系更清楚，对数学的形成和发展有重要的作用，因此演绎推理能力是数学能力的一个重要方面．高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上，试卷中考查演绎推理的题型，既可使用选择题、填空题的形式，也可使用解答题的形式进行重点考查．
【例1】（2007年高考上海卷理）
设是定义在正整数集上的函数，对于定义域内任意的k，若成立，则成立．下列命题成立的是
Ａ．若成立，则对于任意，均有成立
Ｂ．若成立，则对于任意，均有成立
Ｃ．若成立，则对于任意，均有成立
Ｄ．若成立，则对于任意，均有成立
本题以新定义的命题为载体，通过对给定命题真假的判断，考查了推理论证能力.判断命题是否成立，要从阅读理解题意开始．对于A,只能推出当时，均有成立，故A错；同理B也错；对于C，只能推出时，均有， 故C错. 选D.
本题中，已知大前提，小前提，要判断命题是否成立，属于典型的演绎推理.学生要在阅读理解的基础上，以给出的命题为大前提，收集信息，对信息进行加工提炼，才能正确解题.
数学归纳法也是演绎推理的一种，典型地用于证明与正整数n有关的数学命题. 数学上研究与正整数n有关的命题时，通常是通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明.
【例2】 (2008高考辽宁卷理)
在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）略．
第（Ⅰ）问主要以等差数列、等比数列为载体，考查推理论证能力．由条件得,进而求得:,．由此猜测．用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，，故猜想成立．
②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
本题从数列前几项出发，分析共性，发现通项公式，而后再用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，既考查了归纳推理，又考查了演绎推理.
（2）合情推理. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实践和实验的结果，以及个人的经验和直觉等猜测某些结果的推理过程.归纳和类比均属于合情推理.在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于验证结论的正确性.表面上看，学生在解决问题时的合情推理是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的思维表现形式.
【例3】(2004年高考广东卷)
由图(1)有关系，则由图(2)有关系 ．
本题以空间图形为载体，通过比较、分析、判断、类比，考查了推理论证能力. 利用图(1)的结论，通过将线段、的长度分别与、的面积类比，将、的面积分别与三棱锥，的体积类比，将平面上的结论推广至空间，就可以得到图(2)的结论为.
在上述推理过程中，直觉和顿悟发挥了很大的作用.事实上，直觉和顿悟是数学发现的重要因素.首先，直觉和顿悟在发现有价值的研究对象和问题时具有重要作用.其次，在研究的思路同时存在几种可能时，直觉和顿悟能帮助人们快速地从中作出抉择；再次，当解决问题的逻辑通道阻塞，思路发生中断时，直觉和顿悟能够帮助人们打破僵局，另辟全新思路.因此，合情推理的关键是直觉和顿悟.
数学既需要严密的逻辑证明，也需要合情猜想与合情推理.“猜”是直觉思维的产物，是发明创造的基础，是人的素质的标志.科学、合理的猜测是数学能力的体现. 正如数学教育家波利亚所说：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来更象一门试验性的归纳科学.
4．运算求解能力
运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.
运算求解能力是中学数学中要求培养的重要能力，运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．
对运算求解能力的考查不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和推理论证的考查．对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等．运算结果具有存在性、确定性和最简性．
运算求解能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何、概率与统计等方面都有所体现．在高考中多数题目的解决需要运算，运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明．运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力．高考对运算求解能力的考查应注重算理和符号运算考查，合理控制计算量，注意精确计算与合理估算结合.
（1）运算的合理性．运算的合理性是运算能力的核心．一般一个较复杂的运算，往往是由多个简单的运算组合而成的．能正确确定运算目标，将各部分有机地联系在一起，这是运算合理性的主要标志，是提高运算求解能力的重要因素．运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现．运算过程包含着思维过程，运算离不开思维．随着计算机和计算器技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机就能够完成相应的计算，而且高效、快捷、准确．因此时，运算求解能力的考查重点应考查算理．
运算的合理性首先表现在运算目标的确定上．运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时还是完成推理和判断的工具．对一些比较直接、简单的运算目标一般比较容易把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过多步运算才能得到最终结果，学生一般都感到困难．如在进行三角恒等变形时，变形的目的性不明确，滥用公式，把有关的三角公式都写上，分辨不出用公式的目的；研究函数的单调性时，不懂得先对函数求导，然后考察导函数的正负取值，特别地，当含有参数时不懂得对参数进行讨论；在求曲线的轨迹方程时，对如何消去方程组中的参数，确定运算目标问题把握不准等．运算的合理性还表现在运算途径的选择上．合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证. 运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也就越大．因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键．灵活地运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，善于通过观察、分析、比较，将有助于作出合理的选择．因此，对运算求解能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质(如思维的灵活性、敏捷性、深刻性)的考查．
【例1】 (2005年高考全国卷Ⅰ理)
当时，函数的最小值为
A． 2 B． C． 4 D．
本题以三角函数的知识为载体，着重考查了运算求解能力.先化简得，再由知tanx>0，所以，即的最小值为4．选C.
本题把函数式化为，可借助基本不等式求解．如果使用二倍角公式，可得，后续的解题计算量大，技巧性高，不是理想的选择. 解题过程应关注运算的合理性，注意合理选择运算公式，合理确定运算的方向，如果运算较繁，及时调整方向就显得十分必要.
通过以上分析可以看出，运算的目标，变形的方向，运算的路径，它们之间是密切相关的．要从运算的目标出发，研究变形方向，最终作出判断，确定运算路径．这一系列的活动都是运算过程中的思维活动，是运算合理性的表现．
（2）运算的准确性．运算的准确性是运算求解能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算．影响运算准确的因素是多方面的，数学中的定义、公理、定理、公式、法则和定律等是运算的依据，只有准确地理解概念，熟练地掌握运算法则和运算定律，才能使运算顺利进行．只要在运算过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误，因此，在运算过程中使用的概念、公式、法则等都要准确无误，才能保证运算结果的准确性．
【例2】 (2007年高考四川卷理)
已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于
A．3 B．4 C． D．
本题以抛物线弦长的计算为载体，在运算的准确性、熟练性上考查了运算求解能力．本题的解决有以下两种思路：其一，设点，则.①－②得：因为所以，得AB的中点坐标，进而求出AB方程，求得AB=.选C. 其二，设直线AB的方程为代入，得：，所以 ，以下解法同方法一.
考查运算求解能力是以考查运算的准确性为前提的，本题作为选择题，只看结果不看过程，运算过程中，无论是公式记错了，还是运算错了，都会由一步的错误引发全题解答的错误. 因此，强调运算的准确性是十分必要的．
（3）运算的熟练性．运算的熟练性是对考生思维敏捷性的考查．思维敏捷性是在诸多思维特征中具有创新意义的一个重要思维特征，也是思维个性品质的一个重要层面．在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过合理控制题目数量、控制每题的运算量，增加思考强度和思维深度来实现的．控制题目数量和每题的运算量，可以给考生以充裕的时间去思考如何进行计算，而不是把时间花在冗长的计算过程和运算符号、文字的书写上．过难、过繁的计算将消耗考生的时间和精力，影响对基本概念、方法，特别是思维能力的考查．
（4）运算的简捷性．运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省．运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求．
高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用等．其中数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想，换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用．运算的简捷性是对考生思维深刻性、灵活性的考查．
【例3】(2005年高考全国卷Ⅲ理)
设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
本题以椭圆的离心率为载体，通过考查运算的简捷性，思维深刻性、灵活性，考查了运算求解能力.本题的解决有以下三种思路：其一，如图，设椭圆方程为：，因为点P是过焦点F2作x轴的垂线与椭圆的交点，所以P(c,y)．将点P的坐标代入椭圆方程，可得．又|F1F2|=|PF2|，则，化为，解得或(舍去) ，即．选D. 其二，在等腰直角三角形PF1F2中，|F1F2|=|PF2|=2c，|PF1|=，|PF1|+|PF2|=2a， 即 ，所以 ，即．其三，由|PF2|=|F1F2|=2c，可得点P(c,2c)，由点P在椭圆上，得：，又b2=a2－c2，消去b，得，化为，可整理成关于离心率e的四次(双二次)方程，而后解出．
通过比较不难发现，不同的运算途径，所获得方程不同，虽然都能达到运算的目标，但计算的难易程度及相应的计算量的差异较大．思路二是灵活利用椭圆的定义解题，要比其他方法简捷得多．思路三的计算量偏大，可能导致计算结果出错，或计算到中途放弃.
5．数据处理能力
数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.
数据是由实验、观测或其它方法所收集得到，而收集的数据通常是分散的，一般缺乏系统和次序，它们所遵循的规律往往不能一目了然，因此，必须去粗取精，去伪存真，对数据作科学的整理和归纳，方能显露出这一批数据所遵循的规律.
对现实生活的许多问题的研究，一般先获取数据，并对数据用列表或作图等方法进行分析，再结合数学、物理、化学等自然科学的知识，采用某个数学模型来刻画它，通过对该模型的研究，发现该类问题具有的属性，并对它作出决策和判断.
数据处理一般需要以下三步：
第一步： 将收集到的数据资料加以整理和归纳，用列表、作图等方法，并借助于少数几个简单的特征数字，把这些数据的主要特点表现出来；
第二步：将整理、归纳后所得到的数据资料加以分析，发掘这些数据资料所遵循的规律；
第三步：依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.
【例1】(2008年高考海南与宁夏卷·理）
从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：
271
273
280
285
285
287
292
294
295
301
303
303
307
308
310
314
319
323
325
325
328
331
334
337
352
乙品种：
284
292
295
304
306
307
312
313
315
315
316
318
318
320
322
322
324
327
329
331
333
336
337
343
356
由以上数据设计了如下茎叶图：
甲
乙
3
1
27
7
5
5
0
28
4
5
4
2
29
2
5
8
7
3
3
1
30
4
6
7
9
4
0
31
2
3
5
5
6
8
8
8
5
5
3
32
0
2
2
4
7
9
7
4
1
33
1
3
6
7
34
3
2
35
6
根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①
；
②
.
本题借助茎叶图，考查数据处理能力.利用平均数、众数、中位数等统计量解释结果的实际意义，可写出符合题目要求的结论.以下提供四个结论作为参考：
①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. （或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）. 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.
③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm.
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）. 甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.
【例2】(2008年高考江苏卷）
某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机地选择了50位老人进行调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
序号
（i）
分组
睡眠时间
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1
[4，5）
4.5
6
0.12
2
[5，6）
5.5
10
0.20
3
[6，7）
6.5
20
0.40
4
[7，8）
7.5
10
0.20
5
[8，9]
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，
则输出的S的值是　　　　．
本题借助对频率分布表的分析，考查数据处理能力.根据频率分布表所提供的数据，利用算法流程图进行处理，计算出加权平均数4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42.
【例3】(2008年福建省普通高中学生学业基础会考卷）
某商场为经营一批每件进价是10元的小商品，对该商品进行为期5天的市场试销．下表是市场试销中获得的数据.
销售单价/元
65
50
45
35
15
日销售量/件
15
60
75
105
165
根据表中的数据回答下列问题：
（Ⅰ）试销期间，这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少？
（Ⅱ）试建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；
（Ⅲ）如果在今后的销售中，该商品的日销售量与销售单价仍然满足（Ⅱ）中的函数关系，试确定该商品的销售单价，使得商场销售该商品能获得最大日销售利润，并求出这个最大的日销售利润.
提示：必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析.
本题通过对图表数据的分析，借助散点图，抽象出函数模型，着重考查数据处理能力.第（Ⅰ）问利用数据处理的统计知识，易求得平均日销售利润是 1860元；第（Ⅱ）问通过表中提供的数据画出散点图，根据点的分布特征，可考虑以y=kx+b作为刻划日销售量与销售单价之间关系的函数模型，取其中的两组数据（45，75），（65，15）可以得到一个函数模型为y=-3x+210(10≤x≤70), 将其它已知数据代入上述解析式验证，它们也满足这个解析式，这说明所求的函数解析式能较好地反映销售量与销售单价之间的关系；第（Ⅲ）问，设经营此商品的日销售利润为P元，由（Ⅱ）知，所以 P有最大值2700. 即当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元.
6．应用意识
应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.
应用意识是将客观事物数学化的意识，是指从语言叙述的现实问题出发，经过数学思考，提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，并通过构造数学模型，综合应用所学的中学数学知识、思想和方法加以解决的意识．应用的背景、范围包括数学自身的应用，数学在物理、化学、生物等相关学科中的应用，以及在生产、生活中的简单应用.
对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式,要求考生能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题，并加以验证；能用数学语言正确地表述和说明．应用题的命制要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的命题原则，即设计的应用问题要考虑考生的年龄特点、实践经验、地区差别，要符合中学数学教学的实际情况，不宜太难．
由于应用题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客体的展示，也就是说，考查时所提出的问题，通常是已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂、看懂．因此，对阅读数学材料的能力有较高的要求，包括普通语言的阅读理解能力和数学语言的文字表达能力，特别是普通生活语言的理解、抽象和转化为数学语言的能力．
发展数学应用意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断，是时代发展的需要，是教育改革的需要，同时也是数学学科的特点所决定的．随着科技的发展和社会的进步，数学这门学科得到了越来越广泛的应用.无论在科学、工程、经济乃至现实生活的各个领域，人们到处都可以发现数学不可低估的重要作用.因此，数学能力将是人的素质的极其重要的组成部分．高考作为培养未来人才的选拔性考试，应当面对社会现实．正是这个深层次的原因，使得高考强调、重视数学应用．
　　在考查应用意识时，应注意如下若干问题：
①导向性：数学应用不能单纯满足于课本应用问题的变形，应当让应用问题更加贴近现实的生活实际，引导考生置身于现实社会生活之中，关心自己身边的数学问题，关心社会的发展和进步．数学科高考应重视考查有着深刻现实背景的应用问题，选编的数学应用问题，应在思想内容上富有时代信息，有教育价值，并注重科学性，有助于中学素质教育．
②有效性:要密切结合学生生活实际，立足本学科的重点内容，突出学科本质，突出数学在解决实际问题时的应用价值．试题是以问题为中心，而不是以知识为中心，要有适当的难度和计算量，对处理问题的灵活性和机敏性有一定的考查要求，能够考查考生分析问题解决问题的能力．
③综合性:问题所涉及的数学知识和方法要有一定的深度和广度，具有综合性，解答时从分析、思考到求解，需要综合应用所学数学知识、思想和方法.
④恰当性：要注意应用题的难度控制．数学应用题从易到难，大致可分为以下四个不同的层次：(a) 数学模型已给出，可直接套公式计算；(b) 数学模型没有给出，但可以利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析；(c) 数学模型没有给出，但问题是已经过加工提炼、数学量已确定，已知量、未知量比较清楚的实际问题；(d)原始的实际问题．对于以上四个层次，直接套用公式计算与实际背景关系不大，达不到考查应用的目的；而直接面对原始的实际问题则又要求过多的实际经验与其他方面的专门知识，以致数学的应用反降为次要，也达不到考查应用的目的．我们认为应用问题不完全等同于实际问题，在解决应用问题或将实际问题抽象为数学问题的过程中所涉及的有关知识和方法应该是考生已经学过的.因此，宜以上述(b)、(c)两个层次来设计应用题，以避免脱离当前的教学实际．
⑤公平性：背景公平、评分客观.为保证考试的公平性，应用题叙述应简明易懂，所涉及的实际问题情境对所有考生都应是公平的.在编拟应用题时应注意：一方面在考场上，考生的思考时间是有限的；另一方面为了表述清楚应用情境，便于考生理解抽象的数学关系，通常应用问题的叙述较长，考生需要较长时间理解题意．因此题目的叙述应当明确，避免歧义，便于考生理解．
应用问题都有一定的实际背景，因此需要考虑的条件较多，解决问题的方法一般也是在综合考虑各方面的限制条件后的结果，解决的方法一般不唯一．为保证评卷客观、公正，便于操作，控制评分误差，命题时应适当地限制一些条件，且有明确的评分标准．
【例1】(2008年高考江苏卷）
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO，设排污管道的总长度为ykm.
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
（i）设∠BAO=θ(rad)，将y表示为θ的函数；
（ii）设OP=x(km)，将y表示为x的函数；
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短.
本题以三角函数的知识、导数的知识为载体，要求用两种不同的形式进行建模，考查考生的应用意识．第（Ⅰ）问，（i）延长PO交AB于Q,则 PQ垂直平分AB，由∠BAO=θ(rad)，得，故，又tan，所以 即为所求.（ii）若OP=x(km)，则，所以即为所求. 第（Ⅱ）问，选择函数模型（i），则，令得 ，易得当时， y取最小值，此时O点在AB的中垂线上，且与AB的距离是 km.
【例2】(2004年高考湖北卷·理）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
本题依托概率、数学期望的概念,相互独立事件和对立事件等概率的计算，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查应用意识. 若不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综上可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
概率型的应用题，构思新颖，不落俗套．在生活中常见的问题有投资、利润、风险、降价等，尽管考生对问题的理解并不太困难，但解题方法却不是熟悉的套路，不能沿用“对号入座”的解题习惯，考生必须临场发挥，对应用意识、综合能力的考查是真实可靠的．
【例3】(2005年高考湖南卷·理）
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
　 （Ⅲ）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
本题借助正比例函数、反比例函数的概念、数列的递推式及数学归纳法等知识，考查考生用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查应用意识. 第（I）问 从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为，. 第（II）问 若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. 第（Ⅲ）问若b的值使得xn>0，n∈N*，由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0以下用数学归纳法证明：当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*．
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2，所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
本题考查的背景是考生熟悉的，公平的．根据考生所学到的数学知识，把生活中遇到的一些问题，通过构造数学模型，然后再用数学知识解决，体现了数学就在自己身边与现实生活中，较好地引导学生用数学眼光看世界．
7．创新意识
创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．
创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识越强.
数学教育的目的不只是让学生掌握一些知识，也不是把每个人都培养成数学家，而是把数学作为探索自然现象、社会现象的基本规律的工具和语言，通过数学的学习和训练，在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质，形成科学的世界观和方法论．因此，高考对创新意识的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题．高考对应用意识和创新意识的考查，其意义已超出了数学学习，对提高考生的学习能力、工作能力和数学素养都有重要的意义．
具有创新性质的思维活动表现为：
①能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解(或求证)中考虑需要的信息．
②能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决问题的依据，推动①中信息的延伸．
③将①，②中获得的信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”——一个固有的或确定的数学关系．
④将③中的思维过程整理，形成一个从条件到结论的行动序列．
高考中对创新意识的考查要求考生能够将能力要素进行有机的组合．能力要素的有机组合首先是各种能力的综合，但又不是所有能力要素的综合，是解题所需的能力要素的组合．它包括观察能力、记忆能力、理解能力、分析能力和运用知识的能力等，以及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力的综合运用．
对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查，在考试中常常通过创设一些比较新颖的问题情境，构造一些具有一定深度和广度、能体现数学素质的数学问题，着重考查数学主体内容．这类问题一般都注重问题的多样化，体现思维的发散性，反映数、形运动变化的特点.
当然，高考对创新意识的考查必须控制在一定的范围和层次上，以避免脱离当前的教学实际．这主要体现在以下两点：首先，所设计的试题应是能使用中学数学知识和高中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关问题；其次，问题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客体的展示，也就是说，考查时所提出的问题，通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂、看懂．因此，对阅读、理解数学材料的能力有较高的要求．
【例1】(2007年高考广东卷·理）
右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A．18 B．17 C．16 D．15
本题以“调配”为背景，属于运筹问题，情景新颖，考查创新意识.凭直觉思维，可以从B处调配4件到C处，调配1件到A处，再从A处调配11件到D处，调动件次16为最小．事实上可以利用函数的最值加以证明，设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得, , , ,从而,,,故调动件次,画出图象(或根据绝对值的几何意义)可得最小值为16.选C.
【例2】(2008年高考陕西卷·理）
为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
本题是一道阅读量大但计算量小的信息题，考查创新意识.要仔细阅读题目、理解题意，读懂新规定“”运算规则. 若收到信息10111是无误，则对应的原信息是011，由约定计算h=1, h=0, 此时传输信息为10110与收到信息10111矛盾 .选C.
【例3】(2007年高考上海卷·理）
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
（Ⅰ）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（Ⅱ）当时，求的取值范围；
（Ⅲ）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
本题以考生熟悉的知识为载体，通过对这些知识的重新整合，构造新的知识情境，较好地考查了考生在新的情境中利用已有知识解决问题的能力，实现了对考生创新意识的考查．第（Ⅰ）问根据两个半椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距间的数量关系，易得所求“果圆”的方程为 ，．第（Ⅱ）问由题意，得 ，即．，得． 又． ．第（Ⅲ）问设“果圆”的方程为，．记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是．所以的中点满足 消去t得 ．又，可知 ．综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．由此，在直线右下方，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上； 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
三、数学思想方法　
1．函数与方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质（定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等），使问题得到解决．函数思想贯穿高中代数的全部内容，它的形成是建立在初中学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上，通过高中幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的学习得以逐步提高，并在解决实际问题中得到深化，且在研究方程、不等式、数列、解析几何中发挥重要作用．
方程思想是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决．
函数与方程是相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化，如解方程就是求函数的图象与轴交点的横坐标；方程的解就是函数与的图象交点的横坐标．函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征，运用函数思想解题，重在对问题中的变量的动态研究，从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路；而方程思想则是动中求静，研究运动中的等量关系．函数思想与方程思想常常是相辅相成的，函数的研究离不开方程．列方程（组）、解方程（组）和研究方程（组）的特性，都是应用函数与方程思想时需要重点考虑的．
高考对函数与方程思想的考查，通常使用选择题和填空题考查函数与方程思想的简单应用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力综合的角度进行较为深入的考查．
【例1】（2007年高考海南与宁夏卷·理）
已知是等差数列，，其前10项和，则其公差
A． B． C． D．．
本题以数列为载体，主要考查方程思想．设首项为，公差为，通过列方程组解得 选D．
【例2】（2008年高考江苏卷）
满足条件的三角形的面积的最大值是 ．
本题以三角形面积为载体，主要考查函数思想．可设BC＝，则AC＝ ，根据面积公式得=， 由余弦定理计算得，代入上式得=．由 得．
故当时，最大值为．
解题的关键是把面积表示为x的函数，由三边关系得到函数的定义域，由解析式和定义域求得最值．
此外，本题也可建立直角坐标系，求得点C的轨迹方程，进而求得△边AB的高的最大值为，所以最大值为，本解法体现了方程思想．
【例3】（2007年高考山东卷·理）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
本题以函数、不等式为载体，主要考查函数思想．第（Ⅰ）问，由的特点，可利用导数研究，的定义域为，，当时，，故函数在定义域上单调递增．第（Ⅱ）问，根据不同情况，对取值分析，可得极值情况，当时，函数无极值点；当时，有两个相同的解，所以函数在上无极值点；当时，有两个不同解，，，当时，有一个极大值和一个极小值点；当时，有唯一极小值点．
第（Ⅲ）问，由不等式特点构造函数，则，当时，函数单调递增，所以时，恒有，即恒成立，从而恒成立．对任意正整数，取，则有．
第（Ⅰ）（Ⅱ）问是函数单调性和极值问题，应注意导数为0的点并不一定是极值点；第（Ⅲ）问貌似不等式证明问题，实质可通过构造函数，利用函数在区间上单调递增的性质解决问题，这种通过构造函数再利用函数的单调性（或最值）证明不等式是函数与方程思想的一种体现．
函数思想不仅仅是使用函数的方法研究解决函数的问题，更重要的是构建函数关系，用函数的方法研究解决非函数问题．因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，利用函数的有关性质解决问题．
2．数形结合思想
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．
数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.
实现数形结合，通常有以下途径：①实数与数轴上的点的对应关系；②有序数组与坐标平面（空间）上的点的对应关系；③函数与图象的对应关系；④曲线与方程的对应关系；⑤以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、复数、三角函数等；⑥所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．
运用数形结合研究数学问题，加强了知识的横向联系和综合应用，对于沟通代数与几何的联系，具有指导意义．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.
【例1】（2008年高考山东卷·理）
设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x－a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为
A．3 B．2 C．1 D．－1
本题以函数图象为载体，主要考查数形结合思想．由f(x)的图象特征及该函数图象关于x=1对称，易知，所以a=3．选A．
本题由图象的直观性得到解题灵感，见数想图，“以形助数”，简化计算．
【例2】（2008年高考山东卷·理）
设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
A．[1,3] B．[2,] C．[2,9] D．[,9]
本题以线性约束条件、指数函数图象为载体，主要考查数形结合思想．先在直角坐标平面上画出区域M，三个顶点坐标是（3，8），（2，10），（1，9），结合图形可知．选C．
数形结合思想除了在解选择题、填空题中能显其优越，对一些解答题，通过画图，往往能激发解题灵感．如函数的解答题，在解答书写的过程中，一般不必画出函数图象，但解题思路又必须依赖于函数图象，这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式．
3．分类与整合思想
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况；解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．
分类与整合思想不仅是解决数学问题的常用方法，也是其他自然科学和社会科学研究的基本逻辑方法．高考把对分类与整合思想的考查放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查．分类与整合思想通常以概念的划分、集合的分类为基础．对分类与整合思想的考查，主要有以下几个方面：一是分类意识，即什么情况下需要分类；二是如何分类，即要科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；三是分类之后如何科学地研究；四是如何合理地整合.
培养分类意识，应知道哪些问题需要分类，在什么情况下应该分类，以提高思维的逻辑性和严密性．在考虑分类时，通常应关注以下几点：
①有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念等．
②有的运算法则和定理、公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为和两种情况；指数、对数函数的单调性就分为，两种情况；求一元二次不等式的解又分为，及，，几种情况；等等．
③图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧、异侧，二次函数图象的对称轴相对于定义域区间的不同位置等．
④一些题目（如排列组合的计数问题、概率问题等），要按题目的特殊要求，分成若干情况研究．
【例1】（2008年高考湖北卷·理）
将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A.540 B.300 C.180 D.150
本题以排列、组合知识为载体，着重考查分类与整合思想．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，从分到场馆的人数的角度考虑，可分为两类：3，1，1和2，2，1．总的方案总数为．选D．
【例2】（2007年高考海南与宁夏卷·理）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
本题以导数、函数极值的知识为载体，主要考查分类与整合思想．分析函数特征，用导数求解．第（Ⅰ）问，由，得，从而．对的正负取值讨论得到单调区间，又的定义域为，当或时，；当时，；从而，分别在区间单调递增，在区间单调递减．第（Ⅱ）问，的定义域为，，分子为关于x的二次函数，可对其判别式分类讨论：若，即，在的定义域内，故无极值；若，即或，则有两个不同的实根，，当时，，所以无极值；当时，，，故在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为，的极值之和为
．
本题第（Ⅰ）问利用导函数值的正负分类，求得单调区间；第（II）问中因为导函数分母为正，由导函数特征，结合判别式分类讨论即可知道极值情况．
4．化归与转化思想
化归与转化思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．数学题中的条件与条件、条件与结论之间存在着差异，差异即矛盾，解题过程就是有目的地不断转化矛盾，最终解决矛盾的过程．
化归与转化思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法，其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的．解题过程具有灵活性与多样性的特点．化归变换原则的结构中蕴含着三个基本要素，即变换的对象、目标和方法．变换的对象就是待解决问题中需要变更的问题，变换的目标是指所要达到的规范问题，变换的方法就是规范化的手段、措施和技术．变换的方法是实现变换的关键．一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的关系是可变的，但寻求变形的方法并不唯一．所以，应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循，需要我们依据问题本身所提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行选择，做到生疏变换成熟悉、复杂变换成简单、抽象变换成直观、含糊变换成明朗．
高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉数学变换的思想，在变换思想指导下，针对面临的数学问题，实施或变换问题的条件，或变换问题的结论，或变换问题的内在结构，或变换问题的外部表现形式去灵活解决有关的数学问题．高考中重点考查一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，命题的等价转化，空间图形与平面图形的转化，数与形的转化等等．
【例1】（2006年高考福建卷·理）
已知∈(,)，sin=,则tan()等于
A. B.7 C.－ D.－7
本题以三角函数知识为载体，考查了化归与转化思想．由可得，对tan()进行恒等变形化为，把代入计算得．选A．
【例2】（2008年高考江苏卷）
设为正实数，满足，则的最小值是 ．
本题是条件最值问题，主要考查化归与转化思想．由得，代入得，当且仅当＝3时等号成立．
本题通过等式把三元变量转化为二元变量，再利用基本不等式求得最小值．
【例3】（2008年高考海南与宁夏卷·理）
如图，已知点P在正方体ABCD－的对角线上，∠PDA=60°．
（Ⅰ）求DP与所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面所成角的大小．
本题以正方体为载体，主要考查转化与化归思想．如图，以为原点建立空间直角坐标系. 延长DP 交于，设DA=1，由∠PDA=60°，求得．第（Ⅰ）问计算可得，得与所成的角为．第（Ⅱ）问，平面的一个法向量是，又因为，所以，可得与平面所成的角为．
本题通过建立空间直角坐标系，借助空间向量将立体几何中的平行、垂直、夹角等问题转化为向量的坐标运算，是解决立体几何问题的一种重要途径．
5．特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的．通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程．但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程．于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一．数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想．
在数学学习过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过归纳总结得出结论，经过证明后，又利用它们来解决相关的数学问题．在数学学习中经常使用归纳、演绎等方法分析、探索数学问题中的规律和结论，这些方法就是特殊与一般思想方法的集中体现，也是高考考查的重点之一．在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，如曾设计过利用归纳的方法进行猜想的试题；设计过由平面到空间、由空间到平面，通过特殊和一般进行类比猜想的试题；选择题中还特别着重考查特殊与一般思想，突出体现特殊化方法的作用．通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等．
【例1】(2006年高考福建卷·理）
已知︱︱=1，︱︱=,=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
=m+n(m、n∈R)，则等于
A. B.3
C. D.
本题以向量的运算为载体，反映了对特殊与一般思想的考查.根据已知条件，画出图形（如图所示），发现点C在射线OC上运动，而从选项来看，都是定值，因此可以用特殊化的方法来求解．令，则.在OBC中，=3，而，所以，.选B．
【例2】（2006年高考全国卷Ⅱ·理）
设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）求｛an｝的通项公式．
本题依托数列、方程等基本知识，主要考查特殊与一般的思想.第（Ⅰ）问将
代入方程x2－anx－an＝0，可得（*），将n=1和n=2代入上式可得，．、求解过程实际上是根据（*）式，通过取特殊值，写出数列的前几项，体现了从一般到特殊的过程．对于第（Ⅱ）问，当n≥2时，将an＝Sn－Sn－1代入第（Ⅰ）问的（*）式，得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0（**），由S1＝a1＝，根据（**）式可计算得S1＝，S2＝，S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝．当n＝k＋1时，由（**）式得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．　
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．
第（Ⅱ）问的解决过程中，采用第（Ⅰ）问的方法求出，由的结构特点归纳猜想｛Sn｝的通项公式，然后用数学归纳法证明，这其中体现了从特殊到一般的过程.
【例3】（2007年高考安徽卷·理）
在正方体上任意选择4个顶点， 它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.
①矩形；② 不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
本题以正方体为载体，考查了特殊与一般思想.考察正方体ABCD-A1B1C1D1， ①显然正确；②显然不正确；对于③，如四面体A1-ABD即是一个有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体，因此③正确；对于④，只要找到一个特殊情况能成立即可，如A1C1BD即是一个每个面都是等边三角形的四面体，因此④正确；对于⑤一样可找到一个特殊情况，如D1ABD即是一个每个面都是直角三角形的四面体，综上所述，所有正确结论的编号是①③④⑤．
为了判断命题的真假，只要能找出一种特殊情况，也即“有可能是”，结论即是正确；反之，对一般情况都不成立，也就对“有可能是”进行了否定．此题很好地体现了特殊与一般思想．
6．有限与无限思想
有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并可以积累一定的经验．而对无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想．
在数学学习过程中，虽然开始学习的数学都是有限的数学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究．在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的，以上数集都是无限集．对图形的研究，知道直线和平面都是可以无限延伸的．利用导数研究函数的有关问题、双曲线的渐近线等，都渗透了有限与无限思想．
高考中对有限与无限思想的考查，既可单独考查，亦可在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想．例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的转化思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的也是有限与无限思想，等等．
【例1】(2008年高考福建卷·理）
若实数x、y 满足则的取值范围是
A. (0,1) B. (0, C. (1,+∞) D. [1, +∞
本题以线性约束条件知识为载体，着重考查有限与无限思想. 由于x、y 满足约束条
件其可行域如图阴影部分（不包含y轴）. 可设=k，欲求的取值范围，则转化为求可行区域内的任意点P（x，y）与原点连线OP的斜率k的取值范围.由于点P可无限靠近y轴，则K趋近；若点P在直线y=x+1上，并沿该直线向右上方无限延伸，k逐渐减小，无限趋近于1，则k >1.选C. 可见数学中变量的变化趋势是无限变化和有限变化之间的关系，从有限中认识无限，从量变中认识质变，其问题的解决，始终蕴涵着有限与无限思想.
【例2】(2006年福建卷·理)
已知函数f(x)=－x+8x，g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t, t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查了有限与无限思想. 第（I）问利用二次函数的图象和性质，可以写出函数f(x)在区间[t, t+1]上的最大值h(t)，h(t)=第（II）问研究函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象的交点个数，即研究函数g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴的交点个数. 构造函数x2－8x+6lnx+m, 由 可知：若函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点. 当x∈(0,1)时，，是增函数；当x∈(1,3)时，，是减函数；当x∈(3,+∞)时，，是增函数；当x=1，或x=3时，；所以极大值==,极小值==m+6ln 3-15. 因为当x充分接近0时，<0；当x充分大时，>0，所以要使的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即7 本题是从求函数的导数，判断函数的单调性，确定函数在某一区间的根的个数考查有限与无限的思想．尤其是研究函数的极值，在极值的定义中对极值的描述从另一个角度体现了有限与无限的关系：“一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近除x0外的所有的点x，都有f(x)7．必然与或然思想
世间万物是千姿百态、千变万化的，人们对世界的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的，人们发现事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的，或随机的．为了了解随机现象的规律性，便产生了概率论的数学分支．概率是研究随机现象的学科，随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果未必相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果；二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近．了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率．知道这两点就说明对这个随机现象研究

展开更多......

收起↑