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专题5.3 导数的运算（重难点题型精讲）
1．基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
3．复合函数的导数
(1)复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
(2)复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
【题型1 求函数的导数的方法】
【方法点拨】
1.总原则：先化简解析式，再求导.
2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，
再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.
【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C．4 D．
【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 复合函数的求导方法】
【方法点拨】
(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
(3)相乘：把上述求导的结果相乘；
(4)变量回代：把中间变量回代.
【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 求曲线的切线】
【方法点拨】
求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.
(1)若“在”，则该点为切点.
(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.
【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0 B． C． D．
【题型4 已知切线方程求参数】
【方法点拨】
当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：
(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.
【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数在处切线方程为，则实数（ ）
A． B． C．2 D．0
【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B． C．26 D．28
【题型5 函数图象的应用】
【方法点拨】
结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.
【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为(　　)
A．2 B． C．－ D．－
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数的导函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 与导数有关的新定义问题】
【方法点拨】
与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为
所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.
【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程的实数解叫做函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．专题5.3 导数的运算（重难点题型精讲）
1．基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
3．复合函数的导数
(1)复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
(2)复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
【题型1 求函数的导数的方法】
【方法点拨】
1.总原则：先化简解析式，再求导.
2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，
再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.
【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.
【解答过程】，A项错误；因为是个常数，所以，B项错误；
，C项错误； ，D项正确.
故选：D.
【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【解题思路】由基本函数求导公式，依次对四个选项求导验证，只有C正确，故答案为C.
【解答过程】根据基本函数求导公式，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C．4 D．
【解题思路】将求导，将1代入导数得的值，再将代入导数就可计算出的值.
【解答过程】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以
，所以 .
故选：C.
【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本初等函数求导公式，可得答案.
【解答过程】由题意，，
故选：A.
【题型2 复合函数的求导方法】
【方法点拨】
(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
(3)相乘：把上述求导的结果相乘；
(4)变量回代：把中间变量回代.
【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.
【解答过程】对于A，，故A不正确；
对于B，，B错误.
对于C，，C正确
对于D，，D错误.
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可求解.
【解答过程】解：，选项A错误；，选项B正确；，选项C错误；，选项D错误.
故选：B.
【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据导数的运算法则和导数基本公式对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由导数的求导法则及复合函数的导数依次判断即可.
【解答过程】对于A，，A错误；对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C.
【题型3 求曲线的切线】
【方法点拨】
求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.
(1)若“在”，则该点为切点.
(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点.
【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．
【解答过程】的导数为，在点处的切线斜率为，
即有在点处的切线方程为，即.
故选：C.
【变式3-1】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求导，再求出和的值，最后利用点斜式求出切线方程即可.
【解答过程】因为，所以.因为，，所以所求切线方程为，即.
故选：B.
【变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求导，切线斜率等于切点处的导函数值，点斜式求解即可.
【解答过程】由题知，，
所以，，
当时，，，
所以切点为，
所以切线方程为，即.
故选：A.
【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）
A．0 B． C． D．
【解题思路】由导数的几何意义求解即可
【解答过程】由，
可知，
所以，
故选：D．
【题型4 已知切线方程求参数】
【方法点拨】
当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：
(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.
【例4】（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于的方程，可求出的值.
【解答过程】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选：B.
【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数在处切线方程为，则实数（ ）
A． B． C．2 D．0
【解题思路】求导，利用导数的几何意义得到，求出，得到切点坐标，代入切线方程中，求出.
【解答过程】，则，解得：，
所以，，
所以切点坐标为，将其代入中，
故，解得：.
故选：B.
【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【解题思路】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.
【解答过程】解：函数的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
因为在点处的切线方程是，
所以，，
解得，，
所以
故选：C.
【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B． C．26 D．28
【解题思路】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案.
【解答过程】设直线与曲线切于点，
与曲线切于点．
对于函数，则，
解得或（舍去）．
所以，即．
对于函数，
则，
整理得，所以，故．
故选：C.
【题型5 函数图象的应用】
【方法点拨】
结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.
【例5】（2022·江西·高三开学考试（理））已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对函数求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将代入导函数即可解得答案.
【解答过程】解：∵，
∴，
∴
∴
∴是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
将代入得：，排除C．
故选：A．
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】求出函数，再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.
【解答过程】依题意，，求导得 ，
观察的图像得：，即，的另一个零点为，即，
所以有，.
故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为(　　)
A．2 B． C．－ D．－
【解题思路】求出函数的导函数，利用导函数的周期π，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（，-1），求出φ，得到函数的解析式，进而求得f（）
的值.
【解答过程】依题意得 f ′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f ′(x)的图象，则T＝＝4（-）＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.
∵f ′（）＝cos（＋φ）＝－1，且0<φ<π，∴<＋φ<，∴＋φ＝π，即φ＝，f(x)＝sin（2x+），所以f（）＝sin（π+）＝－×＝－.
故选D.
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数的导函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求导得到，根据函数为奇函数排除B，证明时，恒成立，排除CD，得到答案.
【解答过程】，则，，
导函数为奇函数，排除B；
当时，；
当时，，
故时，恒成立，排除CD.
故选：A.
【题型6 与导数有关的新定义问题】
【方法点拨】
与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为
所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.
【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出每一个函数的二阶导数，判断是否在定义域上恒成立,从而得到答案.
【解答过程】对于A选项，，则，不是凸函数；
对于B选项，，则，不是凸函数；
对于C选项，，则在R上不恒成立，不是凸函数；
对于D选项，，则，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程的实数解叫做函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据逐个答案进行分析求解即可.
【解答过程】对于A选项，，则，由，
即，，因此，不存在“自足点”，故A不满足易于题意；
对于B选项，，则，由，
得，又，所以无解，所以不存在“自足点”，故B不满足题意；
对于C选项，，则，其中，所以，
又，故函数存在“自足点”，C选项满足题意；
对于D选项，，则，
由，得，
所以，即，
因为，，
所以无解，D选项不满足题意.
故选：C.
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【解题思路】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于，两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可．
【解答过程】①，而显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；
②，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
③，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；
④，而，故有两个“中值点”，符合题设；
故选:A．
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定，，的值或所属区间即可得解.
【解答过程】由得，解方程，即，得，即；
由得，解方程，即，令，显然在单调递增，
，则存在，使得，即；
由得，解方程，即，得，即，
所以.
故选：B.

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