资源简介 专题5.4 导数的运算(重难点题型检测)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2021·宁夏·高二期中(文))设函数,,则( )A.0 B.1 C.2 D.3【解题思路】根据幂函数的求导公式求导即可.【解答过程】∵,∴,解得.故选:B.2.(3分)(2022·上海市高二期末)下列求导错误的是( )A. B.C. D.【解题思路】根据求导公式直接求导可得.【解答过程】,A正确;,B正确;,C正确;,D错误.故选:D.3.(3分)(2021·河南·高二期末(文))曲线在处的切线方程为( )A. B. C. D.【解题思路】先对函数求导,根据导数的几何意义求出切线斜率,然后利用点斜式可写出直线方程.【解答过程】,则,根据导数的几何意义,切线的斜率为:,又,即切线过点,根据点斜式方程,切线为:,即.故选:D.4.(3分)(2022·四川省模拟预测(文))已知曲线在点处的切线方程为, 则( )A. B. C. D.【解题思路】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.【解答过程】根据导数的运算公式,当时,,,即.满足方程,即,.故选:A.5.(3分)(2022·河南·高三开学考试(文))已知,为的导函数,则的图象大致是( )A. B.C. D.【解题思路】首先对求导,再利用奇偶性排除B、D,然后通过取特殊值排除C即可.【解答过程】因为,则,又因为,所以为奇函数,由此可排除B、D;,说明的图像在区间上函数值存在负数,由此C不满足,故A正确.故选:A.6.(3分)(2023·山东潍坊·高三期中)函数与的图像有且只有一个公共点,则实数的取值范围为( )A. B.C.或 D.或或【解题思路】直线过定点,利用导数求切线斜率并结合图象分析判断.【解答过程】∵过定点,且在上,又∵,则,∴在处的切线斜率为,结合图象可得:当时,与的图像有且只有一个公共点,则符合题意;当时,与的图像有两个公共点,则不符合题意;当时,与的图像有且只有一个公共点,则符合题意;当时,与的图像有两个公共点,则不符合题意;综上所述:实数的取值范围为或.故选:C.7.(3分)(2022·北京·高三阶段练习)已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直,那么的最小值是( )A. B. C. D.【解题思路】求出,根据导数的几何意义得到,根据余弦函数的最值可得且,或且,分两种情况求出,然后求出其最小值即可.【解答过程】因为,所以,依题意可得,所以,所以且,或且,当且时,,,,,所以,,,所以,,,所以当或时,取得最小值.当且时,,,,,所以,,,所以,,,所以当或时,取得最小值.综上所述:的最小值是.故选:B.8.(3分)(2021·全国·高二课时练习)函数的导函数为,若对于定义域为任意,有恒成立,则称为恒均变函数.给出下列函数:①;②;③;④其中为恒均变函数的序号是( )A.①③ B.①② C.①②③ D.①②④【解题思路】针对每一个函数,分别计算出与,检验两者是否恒相等,即可得解.【解答过程】对于①,,,满足,故①为恒均变函数;对于②,,,满足,故②为恒均变函数;对于③,当,时,,即此时,故③不为恒均变函数;对于④,当,时,,,即此时,故④不为恒均变函数.故选:B.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·广东·高三开学考试)下列函数的求导正确的是( )A. B. C. D.【解题思路】对每一选项的函数分别求导即得解.【解答过程】解:A. ,所以该选项错误;B. ,所以该选项正确;C. ,所以该选项正确;D. ,所以该选项错误.故选:BC.10.(4分)若曲线(e为自然对数的底数)有两条过坐标原点的切线,则a的取值可以是( )A. B. C.0 D.1【解题思路】设切点为,求导得出斜率,利用点斜式得到切线方程,因为切线过坐标原点,可得到,有两条切线转化为有两个不等的实根,即可求出a的取值范围,进而得到正确选项.【解答过程】设切点为,,所以切线的斜率,则此曲线在P处的切线方程为 ,又此切线过坐标原点,所以,由此推出有两个不等的实根,所以,解得或,故选:AD.11.(4分)(2022·广东·高三阶段练习)设定义在上的函数与的导数分别为与,若,,且,则( )A. B.的图像关于点对称C.的图像关于直线对称 D.的周期为4【解题思路】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可.【解答过程】解:,令,得,故A错误;,,,∵,,,令,得,,关于直线x=2对称,,∴ 函数的图像关于点对称,故B、C正确;,,,,,即,,的周期,故D正确.故选:BCD.12.(4分)(2022·全国·高二课时练习)定义在区间上的连续函数的导函数为,若使得,则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是( )A. B. C. D.【解题思路】考查新定义题型,通过对题中新定义的理解,逐一验证选项是否符合定义要求即可.【解答过程】对于A,,,又,由,得成立,解得,所以A符合.对于B,,,,又,对于 ,使得,则恒成立,所以B符合.对于C,,,,又,对于 ,使得,则,根据指数函数单调性性可知,此方程只有一解,所以C不符合.对于D,,,,又,对于 ,使得,则,,所以D符合.故选:ABD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·陕西·高三阶段练习(理))已知函数的导函数为,若,则 .【解题思路】求导,得到,代入,求出,得到导函数解析式,再代入求出答案.【解答过程】,故,即,解得:,则,故.故答案为:.14.(4分)已知直线与曲线相切,则实数的值为 .【解题思路】首先求出函数的导函数,设切点为,即可得到方程组,解得即可;【解答过程】∵,∴,设切点为,则,解得.故答案为: .15.(4分)(2022·河南郑州·高三阶段练习(理))已知是函数y=f(x)的导函数,定义为的导函数,若方程=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的拐点,经研究发现,所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有拐点,且都有对称中心,其拐点就是对称中心,设f(x)=x3﹣3x2﹣3x+6,则f()+f()+……+f()= 4037 .【解题思路】对f(x)=x3﹣3x2﹣3x+6,求导得=3x2﹣6x﹣3=3(x2﹣2x﹣1),再对求导得=6x﹣6,并令=6x﹣6=0,求得对称中心,再利用对称性求解.【解答过程】∵f(x)=x3﹣3x2﹣3x+6,∴=3x2﹣6x﹣3=3(x2﹣2x﹣1),=6x﹣6,由=6x﹣6=0可得x=1,而f(1)=1,根据已知定义可知,f(x)的对称中心(1,1),从而有f(2﹣x)+f(x)=2,所以f()+f()+……+f()=24037.故答案为:4037.16.(4分)(2022·全国·高二单元测试)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义:函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上的“严格凸函数”,称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 ①② .①函数在上为“严格凸函数”;②函数的“严格凸区间”为;③函数在为“严格凸函数”,则的取值范围为.【解题思路】根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.【解答过程】的导函数,,故在上恒成立,所以函数在上为“严格凸函数”,所以①正确;的导函数,,由可得,解得,所以函数的“严格凸区间”为,所以②正确;的导函数,,因为为上的“严格凸函数”,故在上恒成立,所以在上恒成立,即在上恒成立,故,所以③不正确.所以正确命题为:①②.故答案为:①②.四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2023·全国·高三专题练习)下列函数的导函数(1);(2);(3);(4).【解题思路】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出(1)(3)(4)的导数;利用二倍角公式化简(2)中的函数解析式,再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.【解答过程】(1)因为,所以;(2)因为,所以;(3)因为,所以;(4)因为,所以.18.(6分)(2022·陕西·高二阶段练习)已知二次函数,其图象过点,且.(1)求、的值;(2)设函数,求曲线在处的切线方程.【解题思路】(1)利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组,可求得实数、的值;(2)求出切点坐标和切线斜率,利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【解答过程】(1)解:因为,则,所以,,解得.(2)解:因为的定义域为,且,所以,,,故切点坐标为,所以,函数在处的切线方程为.19.(8分)(2022·全国·高二课时练习)已知函数.(1)求导函数;(2)若曲线在点处的切线方程为,求a,b的值.【解题思路】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导;(2)利用切点与切线及曲线的关系,再借助导数的几何意义即可计算得解.【解答过程】(1)由,得 ;(2)因为切点既在曲线上,又在切线上,于是将代入切线方程,得,又,则,解得,而切线的斜率为,即,又,则,解得,所以,.20.(8分)如图,函数的图象与轴交于点,且在该点处切线的斜率为.(1)求和的值;(2)已知,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.【解题思路】(1)结合导数以及求得的值.(2)求得点的坐标并代入解析式,从而求得.【解答过程】(1),由于,所以..所以.(2)因为点,是的中点,,所以点的坐标为.又因为点在的图象上,所以.因为,所以,从而得或.即或.21.(8分)(2022·山西·高三阶段练习)对于三次函数,定义:设是函数的导函数的导数,若有实数解,则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题:(1)求函数的“拐点”A的坐标;(2)求证:的图像关于“拐点”A对称,并求的值.【解题思路】(1)根据“拐点”的定义求出的根,然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标.(2)设出点的坐标,根据中心对称的定义即可证明,利用对称性可得结果.【解答过程】(1)∵,,∴令,得.有,∴“拐点”A为.(2)证明:设,是图像上任意一点,则.,是关于“拐点”的对称点为.把点坐标代入得左边,右边,∴左边=右边.∴点在的图像上.∴关于“拐点”A对称.由对称性可得.22.(8分)(2022·江苏·高二专题练习)记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.(1)求与的“Q点”;(2)若与存在“Q点”,求实数a的值.【解题思路】(1)对与进行求导,由和,结合新定义,即可求出与的“”点;(2)对与分别求导,根据新定义列式,求出a的值.【解答过程】(1)因为,设为函数与的一个“”点.由且得,解得.所以函数与的“”点是2.(2)因为,设为函数与的一个“”点.由且得,由②得代入①得,所以.所以.专题5.4 导数的运算(重难点题型检测)【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间:60分钟;满分:100分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分100分,限时60分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本节内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2021·宁夏·高二期中(文))设函数,,则( )A.0 B.1 C.2 D.32.(3分)(2022·上海市高二期末)下列求导错误的是( )A. B.C. D.3.(3分)(2021·河南·高二期末(文))曲线在处的切线方程为( )A. B. C. D.4.(3分)(2022·四川省模拟预测(文))已知曲线在点处的切线方程为, 则( )A. B. C. D.5.(3分)(2022·河南·高三开学考试(文))已知,为的导函数,则的图象大致是( )A. B.C. D.6.(3分)(2023·山东潍坊·高三期中)函数与的图像有且只有一个公共点,则实数的取值范围为( )A. B.C.或 D.或或7.(3分)(2022·北京·高三阶段练习)已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直,那么的最小值是( )A. B. C. D.8.(3分)(2021·全国·高二课时练习)函数的导函数为,若对于定义域为任意,有恒成立,则称为恒均变函数.给出下列函数:①;②;③;④其中为恒均变函数的序号是( )A.①③ B.①② C.①②③ D.①②④二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·广东·高三开学考试)下列函数的求导正确的是( )A. B. C. D.10.(4分)若曲线(e为自然对数的底数)有两条过坐标原点的切线,则a的取值可以是( )A. B. C.0 D.111.(4分)(2022·广东·高三阶段练习)设定义在上的函数与的导数分别为与,若,,且,则( )A. B.的图像关于点对称C.的图像关于直线对称 D.的周期为412.(4分)(2022·全国·高二课时练习)定义在区间上的连续函数的导函数为,若使得,则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是( )A. B. C. D.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·陕西·高三阶段练习(理))已知函数的导函数为,若,则 .14.(4分)已知直线与曲线相切,则实数的值为 .15.(4分)(2022·河南郑州·高三阶段练习(理))已知是函数y=f(x)的导函数,定义为的导函数,若方程=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的拐点,经研究发现,所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有拐点,且都有对称中心,其拐点就是对称中心,设f(x)=x3﹣3x2﹣3x+6,则f()+f()+……+f()= .16.(4分)(2022·全国·高二单元测试)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义:函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上的“严格凸函数”,称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .①函数在上为“严格凸函数”;②函数的“严格凸区间”为;③函数在为“严格凸函数”,则的取值范围为.四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2023·全国·高三专题练习)下列函数的导函数(1);(2);(3);(4).18.(6分)(2022·陕西·高二阶段练习)已知二次函数,其图象过点,且.(1)求、的值;(2)设函数,求曲线在处的切线方程.19.(8分)(2022·全国·高二课时练习)已知函数.(1)求导函数;(2)若曲线在点处的切线方程为,求a,b的值.20.(8分)如图,函数的图象与轴交于点,且在该点处切线的斜率为.(1)求和的值;(2)已知,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.21.(8分)(2022·山西·高三阶段练习)对于三次函数,定义:设是函数的导函数的导数,若有实数解,则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题:(1)求函数的“拐点”A的坐标;(2)求证:的图像关于“拐点”A对称,并求的值.22.(8分)(2022·江苏·高二专题练习)记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.(1)求与的“Q点”;(2)若与存在“Q点”,求实数a的值. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 高中数学培优讲义练习(人教A版2019选择性必修二)专题5.4 导数的运算(重难点题型检测) Word版含解析.docx 高中数学培优讲义练习(人教A版2019选择性必修二)专题5.4 导数的运算(重难点题型检测)(学生版).docx