资源简介 专题5.1 导数的概念及其意义(重难点题型精讲)1.瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t),则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.②一般地,当t无限趋近于0时,无限趋近于某个常数v,我们就说当t趋近于0时,的极限是v,这时v就是物体在t=时的瞬时速度,即瞬时速度v==.2.抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x),则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地,在二次函数y=f(x)中,当x无限趋近于0时,无限趋近于某个常数k,我们就说当x趋近于0时,的极限是k,这时k就是抛物线在点处切线的斜率,即切线的斜率k==.3.函数的平均变化率函数平均变化率的定义对于函数y=f(x),设自变量x从变化到+x,相应地,函数值y就从f()变化到f(+x).这时,x的变化量为x,y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值,即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4.函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时,割线P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率,即==f'().这就是导数的几何意义.相应地,切线方程为y-f()=f'()(x-).5.导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到,当x=时,f'()是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.【题型1 瞬时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】(2022·全国·高二专题练习)已知物体做直线运动对应的函数为,其中S表示路程,t表示时间.则=10表示的意义是( )A.经过4s后物体向前走了10mB.物体在前4秒内的平均速度为10 m/sC.物体在第4秒内向前走了10mD.物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【解题思路】根据导数的物理意义可知,函数的导数即是t时刻的瞬时速度.求解即可.【解答过程】∵物体做直线运动的方程为,根据导数的物理意义可知,函数的导数是t时刻的瞬时速度,∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s.故选:D.【变式1-1】(2022·全国·高二课时练习)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数表示,则该物体在s时的瞬时速度为( )A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s【解题思路】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.【解答过程】该物体在时间段上的平均速度为,当无限趋近于0时,无限趋近于3,即该物体在s时的瞬时速度为3m/s.故选:D.【变式1-2】(2022·广东广州·高二期末)在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度(单位:m/s)为( )A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5【解题思路】先对函数求导,然后把代入即可求解.【解答过程】解:因为,所以,令,得瞬时速度为.故选:D.【变式1-3】(2022·河南·高二阶段练习(理))一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为,设其在内的平均速度为,在时的瞬时速度为,则( )A. B. C. D.【解题思路】直接运用导数的运算法则,计算即可【解答过程】,,所以,所以.故选:A.【题型2 平均变化率】【方法点拨】根据题目条件,结合函数的平均变化率的定义,即可得解.【例2】(2022·江苏省高二阶段练习)已知函数,则该函数在区间上的平均变化率为( )A. B. C. D.【解题思路】根据平均变化率的定义直接求解.【解答过程】因为函数,所以该函数在区间上的平均变化率为,故选:A.【变式2-1】(2022·辽宁·高二阶段练习)函数在区间上的平均变化率为( )A.3 B.2 C. D.【解题思路】根据平均变化率的定义计算即可【解答过程】由题,函数在区间上的平均变化率为故选:D.【变式2-2】(2022·陕西·高二阶段练习(理))若函数,当时,平均变化率为2,则m等于( )A. B.2 C.3 D.1【解题思路】直接利用平均变化率的公式求解.【解答过程】由题得,所以故选:D.【变式2-3】(2022·陕西安康·高二期末(文))为了评估某种治疗肺炎药物的疗效,有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是( )A.在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同;B.在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同;C.在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;D.在,两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同.【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析,从而确定正确选项.【解答过程】A选项,根据图象可知,在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同,A选项结论正确.B选项,根据图象以及导数的知识可知,在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同,B选项结论正确.C选项,根据图象可知,在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同,C选项结论正确.D选项,根据图象可知,在这个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在这个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论错误.故选:D.【题型3 利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义,转化求解即可.【例3】(2022·新疆·高二阶段练习(理))已知函数在处的导数为2,则( )A.0 B. C.1 D.2【解题思路】根据极限与导数的关系直接求解.【解答过程】根据极限与导数的关系可知,故选:D.【变式3-1】(2022·上海市高二期末)已知是定义在R上的可导函数,若,则=( )A. B. C.1 D.【解题思路】根据极限与导数的定义计算.【解答过程】故选:A.【变式3-2】(2022·湖北襄阳·高二期末)若函数在处的导数为1,则( )A.2 B.3 C.-2 D.-3【解题思路】利用导数的定义和几何意义即可得出.【解答过程】解:若函数在处的导数为1,.则 .故选:B.【变式3-3】(2022·全国·高二专题练习)已知函数的定义域为,若,则( )A. B. C. D.【解题思路】利用导数的定义可求得的值.【解答过程】由导数的定义可得.故选:D.【题型4 导数的几何意义】【方法点拨】根据导数的几何意义,求解曲线在某点处的斜率或切线方程.【例4】(2023·上海·高三专题练习),在处切线方程为( )A. B.C. D.【解题思路】根据已知条件,结合导数的几何意义,求出再结合直线的点斜式公式,即可求解.【解答过程】由已知,,令,∴=,解,∴在处切线方程为,即.故选:B.【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数的图像在点处的切线方程是,则的值为( )A.1 B.2 C.3 D.5【解题思路】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解.【解答过程】由点处的切线方程是可得:,时,,故,,故选:B.【变式4-2】(2022·河南·高三阶段练习(文))设函数在点处的切线方程为,则( )A.4 B.2 C.1 D.【解题思路】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率,得,再根据可求解.【解答过程】函数在点处的切线方程为,则.故选:C.【变式4-3】(2022·浙江·高二期中)如图,函数的图象在点处的切线方程是,则( )A. B. C. D.【解题思路】依题意可知切点坐标,由切线方程得到,利用导数的概念解出即可.【解答过程】依题意可知切点,函数的图象在点处的切线方程是,,即又即故选:D.【题型5 函数图象与导函数的关系】【方法点拨】结合具体条件,根据函数图象、导函数图象与导函数的关系,进行转化求解即可.【例5】(2022·全国·高二课时练习)已知是的导函数,的图象如图所示,则的图象只可能是( )A. B.C. D.【解题思路】由导数的几何意义可知,原函数先增长“迅速”,后增长“缓慢”.【解答过程】由题中的图象可以看出,在内,,且在内,单调递增,在内,单调递减,所以函数在内单调递增,且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选:D.【变式5-1】若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是A. B.C. D.【解题思路】根据函数图象与导函数之间的关系,进行求解即可.【解答过程】∵函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,∴对任意的a<x1<x2<b,有,也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的.∴A满足上述条件,对于B,存在使,对于C,对任意的a<x1<x2<b,都有,对于D,对任意的x∈[a,b],不满足逐渐递增的条件,故选A.【变式5-2】(2022·北京高二期末)已知函数,其导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( )A. B.C. D.【解题思路】由导函数的图像分析原函数切线斜率,结合选项依次判断即可.【解答过程】由导函数图像可知,原函数在区间的切线斜率逐渐减小,在处的切线斜率为1,在区间的切线斜率逐渐增大,结合选项可知,A、B选项不满足在处的切线斜率为1,排除;C选项在区间的切线斜率先减小再增大,排除;D选项满足要求.故选:D.【变式5-3】(2022·河南高二阶段练习(理))已知函数的导函数为,若的图象如图所示,则函数的图象可能是( )A. B.C. D.【解题思路】根据导函数大于,原函数单调递增;导函数小于,原函数单调递减;即可得出正确答案.【解答过程】由导函数得图象可得:时,,所以在单调递减,排除选项A、B,当时,先正后负,所以在先增后减,因选项C是先减后增再减,故排除选项C,故选:D.【题型6 导数的几何意义的应用】【方法点拨】曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件,利用导数的几何意义,进行转化求解即可.【例6】(2022·河南·高三开学考试(文))已知函数的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( )A.B.C.D.【解题思路】利用导数的几何意义和直线的斜率公式,结合图象得出答案.【解答过程】和分别表示函数在和处的切线斜率,结合图象可得,而,表示过和两点的直线斜率,则故选:D.【变式6-1】(2022·陕西·教学研究室一模)已知函数的部分图象如图所示,其中为图上三个不同的点,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.【解题思路】结合函数图形及导数的几何意义判断即可;【解答过程】解:由图可知函数在点的切线斜率小于,即,在点的切线斜率等于,即,在点的切线斜率大于,即,所以;故选:B.【变式6-2】(2022·广东·高二期中)如图,函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )A. B.C. D.【解题思路】根据图象的变化趋势以及导数的几何意义,即可得到结果.【解答过程】由图象可知,函数在区间上为增函数,但增长的越来越慢;函数在区间上为减函数,但递减的越来越快;又分别表示在处切线的斜率,所以.故选:B.【变式6-3】(2022·河南·高二阶段练习(理))已知函数,,,,它们在平面直角坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小关系是( )A.B.C.D.【解题思路】根据导数的几何意义,画出各个函数图象在处的切线,根据切线的斜率来判断即可.【解答过程】依次作出,,,在的切线,如图所示:根据图形中切线的斜率可知.故选:A.专题5.1 导数的概念及其意义(重难点题型精讲)1.瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t),则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.②一般地,当t无限趋近于0时,无限趋近于某个常数v,我们就说当t趋近于0时,的极限是v,这时v就是物体在t=时的瞬时速度,即瞬时速度v==.2.抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x),则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地,在二次函数y=f(x)中,当x无限趋近于0时,无限趋近于某个常数k,我们就说当x趋近于0时,的极限是k,这时k就是抛物线在点处切线的斜率,即切线的斜率k==.3.函数的平均变化率函数平均变化率的定义对于函数y=f(x),设自变量x从变化到+x,相应地,函数值y就从f()变化到f(+x).这时,x的变化量为x,y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值,即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4.函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时,割线P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率,即==f'().这就是导数的几何意义.相应地,切线方程为y-f()=f'()(x-).5.导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到,当x=时,f'()是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.【题型1 瞬时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】(2022·全国·高二专题练习)已知物体做直线运动对应的函数为,其中S表示路程,t表示时间.则=10表示的意义是( )A.经过4s后物体向前走了10mB.物体在前4秒内的平均速度为10 m/sC.物体在第4秒内向前走了10mD.物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【变式1-1】(2022·全国·高二课时练习)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数表示,则该物体在s时的瞬时速度为( )A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s【变式1-2】(2022·广东广州·高二期末)在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度(单位:m/s)为( )A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5【变式1-3】(2022·河南·高二阶段练习(理))一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为,设其在内的平均速度为,在时的瞬时速度为,则( )A. B. C. D.【题型2 平均变化率】【方法点拨】根据题目条件,结合函数的平均变化率的定义,即可得解.【例2】(2022·江苏省高二阶段练习)已知函数,则该函数在区间上的平均变化率为( )A. B. C. D.【变式2-1】(2022·辽宁·高二阶段练习)函数在区间上的平均变化率为( )A.3 B.2 C. D.【变式2-2】(2022·陕西·高二阶段练习(理))若函数,当时,平均变化率为2,则m等于( )A. B.2 C.3 D.1【变式2-3】(2022·陕西安康·高二期末(文))为了评估某种治疗肺炎药物的疗效,有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是( )A.在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同;B.在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同;C.在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;D.在,两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同.【题型3 利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义,转化求解即可.【例3】(2022·新疆·高二阶段练习(理))已知函数在处的导数为2,则( )A.0 B. C.1 D.2【变式3-1】(2022·上海市高二期末)已知是定义在R上的可导函数,若,则=( )A. B. C.1 D.【变式3-2】(2022·湖北襄阳·高二期末)若函数在处的导数为1,则( )A.2 B.3 C.-2 D.-3【变式3-3】(2022·全国·高二专题练习)已知函数的定义域为,若,则( )A. B. C. D.【题型4 导数的几何意义】【方法点拨】根据导数的几何意义,求解曲线在某点处的斜率或切线方程.【例4】(2023·上海·高三专题练习),在处切线方程为( )A. B.C. D.【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数的图像在点处的切线方程是,则的值为( )A.1 B.2 C.3 D.5【变式4-2】(2022·河南·高三阶段练习(文))设函数在点处的切线方程为,则( )A.4 B.2 C.1 D.【变式4-3】(2022·浙江·高二期中)如图,函数的图象在点处的切线方程是,则( )A. B. C. D.【题型5 函数图象与导函数的关系】【方法点拨】结合具体条件,根据函数图象、导函数图象与导函数的关系,进行转化求解即可.【例5】(2022·全国·高二课时练习)已知是的导函数,的图象如图所示,则的图象只可能是( )A. B.C. D.【变式5-1】若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是A. B.C. D.【变式5-2】(2022·北京高二期末)已知函数,其导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( )A. B.C. D.【变式5-3】(2022·河南高二阶段练习(理))已知函数的导函数为,若的图象如图所示,则函数的图象可能是( )A. B.C. D.【题型6 导数的几何意义的应用】【方法点拨】曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件,利用导数的几何意义,进行转化求解即可.【例6】(2022·河南·高三开学考试(文))已知函数的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( )A.B.C.D.【变式6-1】(2022·陕西·教学研究室一模)已知函数的部分图象如图所示,其中为图上三个不同的点,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.【变式6-2】(2022·广东·高二期中)如图,函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )A. B.C. D.【变式6-3】(2022·河南·高二阶段练习(理))已知函数,,,,它们在平面直角坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小关系是( )A.B.C.D. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 高中数学培优讲义练习(人教A版2019选择性必修二)专题5.1 导数的概念及其意义(重难点题型精讲) Word版含解析.docx 高中数学培优讲义练习(人教A版2019选择性必修二)专题5.1 导数的概念及其意义(重难点题型精讲)(学生版).docx