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专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲）
1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想
的一种方法.
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围
【题型1 数学归纳法的证明步骤】
【方法点拨】
结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.
【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　）
A．时不等式成立 B．时不等式成立
C．时不等式成立 D．时不等式成立
【解题思路】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．
【解答过程】若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案.
【解答过程】将代入等式，观察左边最后一项为 ，
则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为 ，
故选：D.
【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式 ，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.
【解答过程】当时,左边等于;
当时,左边等于
，
即左边等于；
所以左边增乘的项为，
故选：B.
【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【解答过程】当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】
【方法点拨】
数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命
题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
【解题思路】先验证时，等式成立，再假设时，，由此需推出时，等式也成立，由此可得结论成立.
【解答过程】证明：①当 时，，，等式成立；
②假设 时，，
则时，
，
即时，等式成立，
综合①②可知，（，）．
【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．
【解题思路】根据数学归纳法的步骤即可完成证明
【解答过程】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可.
【解答过程】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1) [2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立.
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，其中.
【解题思路】首先假设首项成立，再假设时，等式成立，在利用归纳推理证明时也成立，即可证明.
【解答过程】（1）当时，左边，
右边，
所以左边=右边，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
.等式成立
综上，对任何，等式都成立.
【题型3 用数学归纳法证明不等式】
【方法点拨】
1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行
证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻
求变量的取值范围.
2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证
明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.
【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
【解题思路】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.
【解答过程】(1)当n＝1时，左边右边，
即当n＝1时，原不等式成立，
(2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立，
即1+++…+≤+ k，
则当n=k+1时，
1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，
即当n=k+1时，不等式成立，
综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立.
【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：.
【解题思路】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可.
【解答过程】(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立，
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即，
则当n=k+1时，
左边=
=右边，
因此，当n=k+1时，原不等式成立，
综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
【变式3-2】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
【解题思路】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可.
【解答过程】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，
当n＝k＋1时，
，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上，原不等式对任意n∈N*都成立．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）证明：不等式，恒成立.
【解题思路】用数学归纳法证明，由时成立，再假设 时，不等式成立，然后论证时成立即可.
【解答过程】当时，成立，
假设时，不等式成立，
那么时，
，
，，，，
，
即时，该不等式也成立，
综上：不等式，恒成立.
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
【解题思路】用数学归纳法证明即可.
【解答过程】证明:（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立.
（2）假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立.
即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个.
现在考虑n＝k＋1时的情形.
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立.
由（1）和（2），可知原结论成立.
【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.
【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．
【解答过程】证明：（1）当时，两条直线的交点只有一个，又，
当时，命题成立．
（2）假设，且时，命题成立，即平面内满足题设的任何条直线交点个数，
那么，当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点个数为，与其他条直线交点个数为，从而条直线共有个交点，
即，
这表明，当时，命题成立．
由（1）、（2）可知，对命题都成立．
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．
【解题思路】利用数学归纳法进行证明.
【解答过程】当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立，
假设当时，个圆将平面分为个区域，
当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分，
因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，
即，
即当时，命题成立，
根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域.
【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．
（1）求ak的表达式；
（2）利用数学归纳法证明，并求出Sn的表达式；
【解题思路】（1）第k个矩形的高为，然后直接求出第k个矩形的面积；
（2）先用数学归纳法证明，然后由求出Sn．
【解答过程】解：（1）由题意第k个矩形的高是，
∴；
（2）（i）当n＝1时，，命题成立，
（ii）设n＝k时命题成立，即，
则n＝k+1时，
，
∴n＝k+1时命题成立，
综上，n∈N*时，命题为真，即，
∴
．
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.
【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当时，能被64整除．
【解题思路】运用数学归纳法进行证明即可.
【解答过程】（1）当时，能被64整除．
（2）假设当时，能被64整除，
则当时，．
故也能被64整除．
综合（1）（2）可知当时，能被64整除．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
【解题思路】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可．
【解答过程】
时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
证明：（1）当时，，命题显然成立；
（2）假设当时，能被6整除．
当时，，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，
由假设知能被6整除,
故，，6分别能被6整除，
所以当时，命题也成立．
据（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然数6,，1，2，3整除.
【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：能够被6整除．
【解题思路】利用数学归纳法即可证明.
【解答过程】解：⑴当时，，显然能够被6整除，命题成立；
⑵假设当时，命题成立，即能够被6整除，
当时，
，
由假设知：能够被6整除，
而为偶数，故能够被6整除，
故能够被6整除，
即当时，命题成立，
由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除．
【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：能被整除.
【解题思路】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立.
【解答过程】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立；
（2）假设当时结论成立，即能被整除．
则当时，
，
因为能被整除，能被整除，
所以，能被整除，即即时结论也成立．
由（1）（2）知命题对一切都成立．
【题型6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】
【方法点拨】
在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然
后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥
梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.
【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
【解题思路】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.
（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.
【解答过程】(1)
因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)
①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，且.
（1）求、、；
（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解题思路】（1）由，分别令，，求解：
（2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可.
【解答过程】（1），
当时，，解得，即有；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为.
下面运用数学归纳法证明.
①当时，由（1）可得成立；
②假设，成立，
当时，，
即有，
则，
当时，上式显然成立；
当时，，即，
则当时，结论也成立.
由①②可得对一切，成立.
【变式6-2】已知数列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
【解题思路】（I）利用数列递推式，代入计算，即可求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}通项公式，利用数学归纳法即可证明．
【解答过程】解：（Ⅰ）a1＝1且an+1，
∴a2，a3，a4；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可猜想数an，
证明如下：①当n＝1时，等式成立，
假设当n＝k时等式成立，即ak，
那么当n＝k+1时，ak+1，
所以当n＝k+1时，等式成立，
由①②，对于任何n∈N*，an．
【变式6-3】（2022·广西·高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解题思路】（1）选择条件①，分别令，3，4，能够求出，，．
选择条件②，分别令，2，3，能够求出，，．
（2）由（1）猜想数列的通项公式：，检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立．
【解答过程】(1)
解：选择条件①，
当 时，，即，
当 时，，所以，即，
当 时，，即，
故分别为3，5，7.
选择条件②，
当 时，，
当 时，.
当 时，
故分别为3，5，7.
(2)
解：猜想，理由如下：
选择条件①
时，由题知，，猜想成立，
假设时，，
则，所以
两式相减得：
即
所以，时成立，
综上所述，任意，有．
选择条件②
时，由题知，，猜想成立，
假设时，
则
所以，时成立，
综上所述，任意，有．专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲）
1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想
的一种方法.
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围
【题型1 数学归纳法的证明步骤】
【方法点拨】
结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.
【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　）
A．时不等式成立 B．时不等式成立
C．时不等式成立 D．时不等式成立
【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式 ，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　）
A． B．
C． D．
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】
【方法点拨】
数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命
题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，其中.
【题型3 用数学归纳法证明不等式】
【方法点拨】
1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行
证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻
求变量的取值范围.
2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证
明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.
【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：.
【变式3-2】证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）证明：不等式，恒成立.
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．
【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．
（1）求ak的表达式；
（2）利用数学归纳法证明，并求出Sn的表达式；
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.
【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当时，能被64整除．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：能够被6整除．
【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：能被整除.
【题型6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】
【方法点拨】
在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然
后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥
梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.
【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，且.
（1）求、、；
（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【变式6-2】已知数列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
【变式6-3】（2022·广西·高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

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