资源简介 专题4.1 数列的概念(重难点题型精讲)1.数列的概念数列的定义一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.2.数列的分类3.数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列,必须给出:基础——数列{}的第1项(或前几项);递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用等式来表示.5.数列表示方法及其比较6.数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{}的前n项和,记作,即=+++.如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.=.7.数列的性质(1)单调性如果对所有的,都有>,那么称数列{}为递增数列;如果对所有的,都有<,那么称数列{}为递减数列.(2)周期性如果对所有的,都有= (k为正整数),那么称{}是以k为周期的周期数列.(3)有界性如果对所有的,都有,那么称{}为有界数列,否则称{}为无界数列.【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法:首先从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特征;(2)各项能否分拆;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】(2022·甘肃·高二期中)数列的一个通项公式为( )A. B.C. D.【变式1-1】(2022·重庆高二阶段练习)数列的一个通项公式为( )A. B.C. D.【变式1-2】(2022·浙江·高二开学考试)已知数列的前4项为:1,,,,则数列的通项公式能为( )A. B. C. D.【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是( )A. B.C. D.【题型2 判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件,结合数列的通项公式,判断所给的数是否满足数列的通项公式,求出该数所对应的项数n,即可得解.【例2】(2022·福建·高二阶段练习)若一数列为1,,,,…,则是这个数列的( ).A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项【变式2-1】(2022·广东佛山·高二期末)已知数列的通项公式为.则12是该数列的第( )项.A.2 B.3 C.4 D.5【变式2-2】(2022·四川省高一阶段练习(理))已知数列的通项公式为那么是它的( )A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第10项【变式2-3】(2021·河北保定·高二期中)已知数列的通项公式为,则下列不是数列的项的是( )A.2 B.4 C.8 D.16【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式,分析数列之间的规律关系,转化求解即可.【例3】(2022·陕西·高一期末(理))已知数列满足,,则数列的通项公式是( )A. B.C. D.【变式3-1】(2022·甘肃·二模(文))数列满足,且,则( )A.4043 B.4044 C.2021 D.2022【变式3-2】(2022·全国·高二课时练习)已知数列满足,则( )A. B. C. D.【变式3-3】(2022·全国·高三专题练习)已知数列满足,则数列第2022项为( )A. B. C. D.【题型4 数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法:①转化为函数,借助函数的单调性,如基本初等函数的单调性等,研究数列的单调性.②利用定义判断:作差比较法,即作差比较与的大小;作商比较法,即作商比较与的大小,从而判断出数列{}的单调性.【例4】(2022·浙江·高二期中)在数列中, , ,则( )A.数列单调递减 B.数列单调递增C.数列先递减后递增 D.数列先递增后递减【变式4-1】(2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习)下列数列中,为递减数列的是( )A. B. C. D.【变式4-2】(2022·天津·高三期中)数列的通项公式为,则“”是“为递增数列”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【变式4-3】(2022·浙江·高二期中)已知数列满足:(),且数列是递增数列,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【题型5 数列的周期性】【方法点拨】结合具体条件,分析数列的前几项,得出数列的周期,进行转化求解即可.【例5】(2022·福建·高二期中)在数列中,,,则( )A. B. C. D.3【变式5-1】(2022·江苏·高二期中)若数列满足,,,则的值为( )A.-3 B.-2 C.-1 D.2【变式5-2】(2022·河南·高二阶段练习)已知数列满足,,则( )A. B. C. D.【变式5-3】(2022·贵州·高三阶段练习(文))已知数列满足,,则( )A. B. C. D.【题型6 求数列的最大项、最小项】【方法点拨】利用数列的单调性或构造函数,利用函数的单调性,进行转化求解即可.【例6】(2022·山西·高三期中)已知数列满足,,则数列( )A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项【变式6-1】(2022·全国·高二课时练习)已知数列的通项公式为,则中的最大项为( )A.第6项 B.第12项 C.第24项 D.第36项【变式6-2】(2022·福建省高二阶段练习)已知数列满足,则数列的最大项为( ).A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项【变式6-3】(2022·全国·高二课时练习)已知,则数列的前50项中,最小项和最大项分别是( )A., B., C., D.,专题4.1 数列的概念(重难点题型精讲)1.数列的概念数列的定义一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.2.数列的分类3.数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.②递推公式是给出数列的一种方法.事实上,递推公式和通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列,必须给出:基础——数列{}的第1项(或前几项);递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用等式来表示.5.数列表示方法及其比较6.数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{}的前n项和,记作,即=+++.如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.=.7.数列的性质(1)单调性如果对所有的,都有>,那么称数列{}为递增数列;如果对所有的,都有<,那么称数列{}为递减数列.(2)周期性如果对所有的,都有= (k为正整数),那么称{}是以k为周期的周期数列.(3)有界性如果对所有的,都有,那么称{}为有界数列,否则称{}为无界数列.【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法:首先从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特征;(2)各项能否分拆;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】(2022·甘肃·高二期中)数列的一个通项公式为( )A. B.C. D.【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.【解答过程】解:由题意,在数列中,分母是以2为首项,2为公比的等比数列分子是以3为首项,2为公差的等差数列,∵数列的奇数项为正数,偶数项为负数,∴比例系数为∴数列的一个通项公式为:,故选:C.【变式1-1】(2022·重庆高二阶段练习)数列的一个通项公式为( )A. B.C. D.【解题思路】令,代入各选项直接得出答案.【解答过程】由题意得,令,A选项:,不合题意;B选项:,不合题意;C选项:,不合题意;D选项:,符合题意故选:D.【变式1-2】(2022·浙江·高二开学考试)已知数列的前4项为:1,,,,则数列的通项公式能为( )A. B. C. D.【解题思路】分母与项数关系是是,分子都是1,正负号相间出现,依此可得通项公式.【解答过程】正负相间用表示,∴.故选:D.【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是( )A. B.C. D.【解题思路】根据0.3,0.33,0.333,0.3333,…与9,99,999,9999,…的关系,结合9,99,999,9999,…的通项公式求解即可.【解答过程】数列9,99,999,9999,…的一个通项公式是,则数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的一个通项公式是,则数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是.故选:C.【题型2 判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件,结合数列的通项公式,判断所给的数是否满足数列的通项公式,求出该数所对应的项数n,即可得解.【例2】(2022·福建·高二阶段练习)若一数列为1,,,,…,则是这个数列的( ).A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项【解题思路】根据给定的4项,写出数列的一个通项公式即可计算作答.【解答过程】因,因此符合题意的一个通项公式为,由解得:,所以是这个数列的第15项.故选:D.【变式2-1】(2022·广东佛山·高二期末)已知数列的通项公式为.则12是该数列的第( )项.A.2 B.3 C.4 D.5【解题思路】利用通项公式直接求解.【解答过程】令,解得:(舍去).故选:B.【变式2-2】(2022·四川省高一阶段练习(理))已知数列的通项公式为那么是它的( )A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第10项【解题思路】由已知条件,根据通项公式求出即可得答案.【解答过程】因为数列的通项公式为,令,解得,所以9是数列的第3项,故选:C.【变式2-3】(2021·河北保定·高二期中)已知数列的通项公式为,则下列不是数列的项的是( )A.2 B.4 C.8 D.16【解题思路】根据数列的通项公式,判断是否存在使得成立,可得答案.【解答过程】由于数列的通项公式为,故令,则 ,与 不符,故2不是数列的项;令,令,令,即4,8,16是数列的项,故选:A.【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式,分析数列之间的规律关系,转化求解即可.【例3】(2022·陕西·高一期末(理))已知数列满足,,则数列的通项公式是( )A. B.C. D.【解题思路】由题意可得数列为首项为3的常数列,从而可得出答案.【解答过程】由题意得,即所以数列是以首项为的常数列,则,得.故选:A.【变式3-1】(2022·甘肃·二模(文))数列满足,且,则( )A.4043 B.4044 C.2021 D.2022【解题思路】由,可得,即为常数列,进而可得,从而即可求解.【解答过程】解:因为,所以,所以,即为常数列,又,所以,所以,解得,故选:A.【变式3-2】(2022·全国·高二课时练习)已知数列满足,则( )A. B. C. D.【解题思路】利用与的关系即得.【解答过程】①,当时,②,则①-②得,,故.当时,,也符合.故选:D.【变式3-3】(2022·全国·高三专题练习)已知数列满足,则数列第2022项为( )A. B. C. D.【解题思路】由题中条件可得到偶数项得关系,再进行累加即得.【解答过程】,所以,,,累加得,故选:C.【题型4 数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法:①转化为函数,借助函数的单调性,如基本初等函数的单调性等,研究数列的单调性.②利用定义判断:作差比较法,即作差比较与的大小;作商比较法,即作商比较与的大小,从而判断出数列{}的单调性.【例4】(2022·浙江·高二期中)在数列中, , ,则( )A.数列单调递减 B.数列单调递增C.数列先递减后递增 D.数列先递增后递减【解题思路】由数列递推式求出,可判断,将两边平方得,判断与 同号,结合,可判断,即得答案.【解答过程】由 ,,得 , ,且可知 .再由,两边平方得 ①,则 ②,②﹣①得: ,∴ ,∵,∴与 同号,由 ,可知, ,即 ,可知数列单调递减.故选:A.【变式4-1】(2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习)下列数列中,为递减数列的是( )A. B. C. D.【解题思路】利用第项与第项的差来确定数列的单调性即可得到结果.【解答过程】对于A,,数列为递增数列,A错误;对于B,,当时,数列递增;当时,数列递减,B错误;对于C,,数列为递增数列,C错误;对于D,,数列为递减数列,D正确.故选:D.【变式4-2】(2022·天津·高三期中)数列的通项公式为,则“”是“为递增数列”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【解题思路】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答过程】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立,即对任意恒成立,故,所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件,故选:A.【变式4-3】(2022·浙江·高二期中)已知数列满足:(),且数列是递增数列,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【解题思路】仿照分段函数的单调性求解,同时注意.【解答过程】由题意,解得.故选:C.【题型5 数列的周期性】【方法点拨】结合具体条件,分析数列的前几项,得出数列的周期,进行转化求解即可.【例5】(2022·福建·高二期中)在数列中,,,则( )A. B. C. D.3【解题思路】根据数列的递推式,计算数列的项,可推得数列为周期性数列,利用其周期即可求得答案.【解答过程】由题意可得,,∴,,,,∴该数列是周期数列,周期,又 ,∴ ,故选:B.【变式5-1】(2022·江苏·高二期中)若数列满足,,,则的值为( )A.-3 B.-2 C.-1 D.2【解题思路】由得,依次列举可得数列是以6为最小正周期的数列,则.【解答过程】由得,故有,,,,,,,,故数列是以6为最小正周期的数列,由得.故选:C.【变式5-2】(2022·河南·高二阶段练习)已知数列满足,,则( )A. B. C. D.【解题思路】根据递推公式可验证知数列是周期为的周期数列,则由可求得结果.【解答过程】,,,,,……,以此类推,可知数列是周期为的周期数列,.故选:A.【变式5-3】(2022·贵州·高三阶段练习(文))已知数列满足,,则( )A. B. C. D.【解题思路】根据已知条件及递推关系,结合数列的周期性即可求解.【解答过程】由可知,得因为,所以,,,,,所以是以3为周期的数列,则故选:A.【题型6 求数列的最大项、最小项】【方法点拨】利用数列的单调性或构造函数,利用函数的单调性,进行转化求解即可.【例6】(2022·山西·高三期中)已知数列满足,,则数列( )A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项【解题思路】根据递推公式求得,再根据的单调性,即可判断和选择.【解答过程】因为,,所以当时,;当时,,故 ,因为函数在区间上单调递减,所以当,时,是递减数列.又,所以,且,故数列的最小项为,最大项为.故选:A.【变式6-1】(2022·全国·高二课时练习)已知数列的通项公式为,则中的最大项为( )A.第6项 B.第12项 C.第24项 D.第36项【解题思路】作商当时,;反之.解出的值即可.【解答过程】因为令,得,解得.所以当时,,即,当时,,即,因此当时,最大.故选:C.【变式6-2】(2022·福建省高二阶段练习)已知数列满足,则数列的最大项为( ).A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项【解题思路】用不等式法求出最大项的项数.【解答过程】假设第n项最大(),有,又,所以,即数列的最大项为第7项.故选:D.【变式6-3】(2022·全国·高二课时练习)已知,则数列的前50项中,最小项和最大项分别是( )A., B., C., D.,【解题思路】先对数列的通项公式进行变形,然后判断单调性,结合单调性可求最值.【解答过程】,∵,,∴当时,数列单调递减,且;当时,数列单调递减,且.∴在数列的前50项中,最小项和最大项分别是,.故选:D. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 高中数学培优讲义练习(人教A版2019选择性必修二)专题4.1 数列的概念(重难点题型精讲) Word版含解析.docx 高中数学培优讲义练习(人教A版2019选择性必修二)专题4.1 数列的概念(重难点题型精讲)(学生版).docx