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专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）
1．一元线性回归模型
把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称
为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.
2．线性经验回归方程与最小二乘法
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.
通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线
y=bx+a的“整体接近程度”.
当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方
程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.
经验回归直线一定过点(,).
3．残差分析
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减
去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
4．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称
为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.
(2)残差平方和法
残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.
(3)利用刻画拟合效果
=.
越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.
(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用
相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：
（其中，，，和，，，的均值分别为和）.
①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.
【题型1 一元线性回归模型】
【方法点拨】
根据一元线性回归模型的定义，结合具体题目条件，进行求解即可.
【例1】（2022·高二单元测试）根据如下样本数据，得到线性回归方程为，若样本点的中心为，则当X每增加1个单位时，Y平均（ ）
X 3 4 5 6 7
Y 4.0 -0.5 0.5
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
【解题思路】根据已知条件解出m和n,得到线性回归方程，即可得到答案.
【解答过程】样本点的中心为，则，故，且，
解得，，则，可知当X每增加1个单位时，
Y平均减少1.4个单位．
故选：B．
【变式1-1】（2022春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心
B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1
C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变
D．在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位
【解题思路】A中，根据回归直线方程的特征，可判定是否正确；B中，根据相关系数的意义，可判定是否正确；C中，根据方差的计算公式，可判定是否正确；D中，根据回归系数的含义，可判定是否正确.
【解答过程】对于A中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确；
对于B中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，
则相关系数就越接近1，所以是正确的；
对于C中，根据平均数的计算公式可得，
根据方差的计算公式，所以是不正确的；
对于D中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，
当解释变量增加一个单位时，
预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.
故选：C.
【变式1-2】（2022春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回归直线方程为，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（ ）
A．x与y正相关，x与z正相关 B．x与y正相关，x与z负相关
C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【解题思路】根据变量x和y的回归直线方程判断.
【解答过程】解：因为变量x和y的回归直线方程为，且，
所以变量x与y正相关，
又变量y与z负相关，
所以x与z负相关，
故选：B.
【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：
得到线性回归方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据与负相关且样本点集中在第一象限可判断出结果.
【解答过程】由样本数据知：与负相关，；
又样本点位于第一象限，在轴截距为正，.
故选：B.
【题型2 残差的计算】
【方法点拨】
根据题目条件，得出经验回归方程，再进行残差的计算.
【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7
高度y/cm 1 4 6 9 11 12 13
由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为，则第7天的残差为（ ）
A．1.12 B．2.12 C． D．
【解题思路】依题意求出、，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归直线方程，再根据残差公式计算可得；
【解答过程】解：通过表格计算得，，，
因为经验回归直线过点，所以，
所以关于的经验回归方程为．
所以回归模型第天的残差．
故选：C．
【变式2-1】（2023春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
月份代号x 1 2 3 4 5 6 7
在线外卖规模y（百万元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
【解题思路】根据给定条件，求出，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.
【解答过程】依题意，，而，于是得，
而当时，，即，联立解得，
所以.
故选：B.
【变式2-2】（2022春·河南许昌·高二期末）为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：
x 5.5 6.5 7 7.5 8.5
y 9 8 6 4 3
若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为1.1的样本点是（ ）A．（5.5，9） B．（6.5，8） C．（7，6） D．（7.5，4）
【解题思路】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断.
【解答过程】由题意可知，，，
所以回归方程的样本中心点为，
因此有，
所以，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故选：B.
【变式2-3】（2022春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：
4 8 10 12
1 2 3 5 6
由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本数据中，残差的绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．和
【解题思路】根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出，分别计算出三个样本数据的残差的绝对值，比较得到结果.
【解答过程】，，
因为样本中心点一定在上，代入解得：
，
当时，，；
当时，，，
当时，，，
因为，
所以残差的绝对值最小的是
故选：B.
【题型3 刻画回归效果的方式】
【方法点拨】
根据刻画回归效果的三种方式，结合具体题目条件，选取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.
【例3】（2022秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（ ）
(1)在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
(4)在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位
A．2 B．3 C．4 D．1
【解题思路】根据残差分析的性质判断(1)，(3)选项，由概率的意义判断(2)选项，根据回归直线方程的意义判断(4).
【解答过程】解：对(1)，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故错误;
对(2)，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误;
对(3)，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故正确;
对(4)，在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故正确.
故选:A.
【变式3-1】（2022春·山东菏泽·高二期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好
C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小
【解题思路】根据线性回归的性质判断即可
【解答过程】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；
对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；
对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确；
对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误；
故选：D.
【变式3-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，…，则下列说法不正确的是（ ）
A．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有较强的线性相关关系
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用决定系数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
【解题思路】变量和之间的相关系数为越大，则变量和之间具有较强的线性相关关系可判断A；
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断B；用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好可判断 C；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高可判断D.
【解答过程】变量和之间的相关系数为越大，则变量和之间具有较强的线性相关关系，故A正确；
残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；
用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好，故C错误；
在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D正确.
故选：C.
【变式3-3】（2022春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本中心点；
②相关系数的绝对值越大，拟合效果越好；
③相关指数越接近1拟合效果越好；
④残差平方和越小，拟合效果越好.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据回归直线方程的性质，相关系数、相关系数及残差平方和的意义判断各项的正误即可.
【解答过程】对于①，回归直线一定经过样本中心点，故正确；
对于②，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，故错误；
对于③，相关指数越接近1拟合效果越好，故正确；
对于④，残差平方和越小，拟合效果越好，故正确.
故选：C.
【题型4 代入法求线性经验回归方程】
【方法点拨】
经验回归直线一定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母.
【例4】（2023秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组，的样本数据如下表所示：
1 2 3 4 5
0.5 0.6 1 1.4 1.5
根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出，，由回归直线必过样本中心，将点（，）依次代入各项检验是否成立可得结果.
【解答过程】∵，
∴回归直线必过样本中心（3,1），
而A、B、D项中的回归直线方程不过点（3,1），C项的回归直线方程过点（3,1），
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·陕西榆林·高二期中）已知，的取值如下表所示：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若与线性相关，且，则（ ）
A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6
【解题思路】利用平均数可得样本的中心点为，将中心点对应的值代入题目中的等式即可求出的值.
【解答过程】由表格，得，
，
线性回归直线过样本中心点，
所以，所以.
故选：D.
【变式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
广告费用x（万元） 3 4 5 6
销售额y（万元） 25 30 40 45
根据如表可得回归方程中的为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（ ）万元A．63.6 B．75.5 C．73.5 D．72.0
【解题思路】线性回归方程．根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将代入，即可得到预报销售额．
【解答过程】解：由题意，，，
由回归方程中的为7可得，，解得，
所以，回归方程为，
所以时，元．
故选：C．
【变式4-3】（2023秋·四川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（ ）
周数（x） 1 2 3 4 5
治愈人数（y） 5 15 35 ？ 140
A． B． C． D．
【解题思路】设第4周的治愈人数为，表示出样本中心点，代入到回归方程中，进而可求出答案.
【解答过程】根据题意，设第4周的治愈人数为，
则有，，
所以样本中心点为，代入到回归方程中，
得，
故选：B.
【题型5 经验回归模型的应用】
【方法点拨】
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；
(2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
(3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性经验回归方程)；
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数；
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异
常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（千万元） 2 3 3 4 5
(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（参考公式，）
(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少
【解题思路】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和回归直线方程的公式，即可求解.
（2）将代入回归直线方程中，即可求解.
【解答过程】（1）由表中的数据可得，，，
，，
故利润额y对销售额x的回归直线方程为．
（2）∵该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，即0.8千万，
∴，解得，故预计销售额需要达到8百万．
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）目前手机已经成为人们生活中的必需品，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2021年某市手机总体出货量（单位：万部）统计表．
年份 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5 6
手机总体出货量/万部 5.6 4.9 4.1 3.9 3.2 3.5
(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)预测2022年该市手机总体出货量．
附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
【解题思路】（1）根据题中所给数据，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）将代入（1）中回归方程，即可得解.
【解答过程】（1）由题中统计表得，
，
所以 ，
，
则，
，
所以y关于x的线性回归方程为；
（2）由题意得2022年对应的年份代码，
代入，得，
所以预测2022年该市手机总体出货量为2.63万部．
【变式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：
销售网点数x（单位：个） 17 19 20 21 23
售卖出的产品件数y（单位：万件） 21 22 25 27 30
假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，
(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；
(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.
参考公式：，.
【解题思路】（1）由参考公式可算出销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；
（2）将代入由（1）算得的回归方程可得答案.
【解答过程】（1）由题，可得，
，
，
.
则，.
故回归方程为：.
（2）将代入回归方程，则.
故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约万件.
【变式5-3】（2023·山东·模拟预测）我国技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．
月份 1 2 3 4 5
售价x（元/件） 60 56 58 57 54
月销售量y（千件） 5 9 7 10 9
(1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
(2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？
(3)若每件商品的购进价格为元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：．
【解题思路】（1）根据数据计算，从而分别代入计算出，，，由公式计算相关系数并判断相关性；
（2）代入公式求解，，从而写出回归方程，再代入，计算；
（3）设每月的利润为元，写出关于的函数解析式，根据二次函数的性质，求解对称轴即可.
【解答过程】（1）由已知数据可得，
，
，
，
所以相关系数，
因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合．
（2）由于，
，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
故当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为千件．
（3）设每月的利润为元，则，
当时，Z取得最大值．
即当商品售价为元/件时，可使得该商品的月利润最大．
【题型6 非线性经验回归方程的求法】
【方法点拨】
(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，
粗略估计使用哪个函数拟合.
(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后按照线性检验回归方程的求解步骤
进行求解.
(3)分析模型的拟合效果，得出结论.
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 3 6 13 25 45 100
(1)判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，
3.50 32 2.85 17.5 307 12.12
（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【解题思路】（1）根据给定数据作出散点图，再借助散点图即可判断作答.
（2）（ⅰ）由（1）选定的回归方程类型，取对数即可得关于x的直线方程作答；（ⅱ）由（ⅰ）的结果，利用最小二乘法求解作答.
【解答过程】（1）作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，如图，
观察散点图知，样本点分布在一条指数型曲线周围，
所以更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型.
（2）（ⅰ）由（1）知，（为常数，且），又，
因此，令，即有为常数，
所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系.
（ⅱ），，由（ⅰ）知，
，
，因此，
所以y关于x的回归方程为.
【变式6-1】（2023·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5 6
紫皮石斛产量y（吨） 3200 3400 3600 4200 7500 9000
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；
3.5 5150 8.46 17.5 20950 3.85
其中．
(3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：）
附：，．
【解题思路】（1）根据判断即可；
（2）根据表中数据和参考数据，利用公式求解即可；
（3）根据（2）中所得的回归方程即可预测到2025年底该目标值，从而即可判断．
【解答过程】（1）由散点图可知，更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型．
（2）对两边取自然对数，得．
令，所以．
因为，
所以．
所以，
所以．
所以龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程为．
（3）当时，，
故预测该目标可以完成．
【变式6-2】（2023·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．
年份代码x 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模y 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
1.94 33.82 1.7 1.6
其中，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【解题思路】（1）由得，由回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求得，从而求得y关于x的回归方程.
（2）两年的年平均增长率为0.3，故2024年的中国车载音乐市场规模为
【解答过程】（1）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，设，
因为，所以
，
所以
所以
所以
（2）由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率，
2022年中国车载音乐市场规模为1.7，
故预测2024年的中国车载音乐市场规模（十亿元）.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：
14.5 0.08 665 0.04 -450 4
表中，．
若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．
(1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
【解题思路】（1）根据已知，根据的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；
（2）与可用线性回归来拟合，有，求出系数，得到回归方程，即可得到成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，代入，即可求出结果.
【解答过程】（1）应该选择模型②.
由题意可知，，则模型②中样本数据的残差平方和比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.
（2）由已知，成本费与可用线性回归来拟合，有.
由已知可得，，
所以，
则关于的线性回归方程为.
成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，
当（吨）时，（万元/吨）.
所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）
1．一元线性回归模型
把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称
为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.
2．线性经验回归方程与最小二乘法
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.
通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线
y=bx+a的“整体接近程度”.
当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方
程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.
经验回归直线一定过点(,).
3．残差分析
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减
去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
4．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称
为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.
(2)残差平方和法
残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.
(3)利用刻画拟合效果
=.
越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.
(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用
相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：
（其中，，，和，，，的均值分别为和）.
①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.
【题型1 一元线性回归模型】
【方法点拨】
根据一元线性回归模型的定义，结合具体题目条件，进行求解即可.
【例1】（2022·高二单元测试）根据如下样本数据，得到线性回归方程为，若样本点的中心为，则当X每增加1个单位时，Y平均（ ）
X 3 4 5 6 7
Y 4.0 -0.5 0.5
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
【变式1-1】（2022春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心
B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1
C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变
D．在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位
【变式1-2】（2022春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回归直线方程为，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（ ）
A．x与y正相关，x与z正相关 B．x与y正相关，x与z负相关
C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：
得到线性回归方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 残差的计算】
【方法点拨】
根据题目条件，得出经验回归方程，再进行残差的计算.
【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7
高度y/cm 1 4 6 9 11 12 13
由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为，则第7天的残差为（ ）
A．1.12 B．2.12 C． D．
【变式2-1】（2023春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
月份代号x 1 2 3 4 5 6 7
在线外卖规模y（百万元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
【变式2-2】（2022春·河南许昌·高二期末）为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：
x 5.5 6.5 7 7.5 8.5
y 9 8 6 4 3
若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为1.1的样本点是（ ）A．（5.5，9） B．（6.5，8） C．（7，6） D．（7.5，4）
【变式2-3】（2022春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：
4 8 10 12
1 2 3 5 6
由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本数据中，残差的绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．和
【题型3 刻画回归效果的方式】
【方法点拨】
根据刻画回归效果的三种方式，结合具体题目条件，选取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.
【例3】（2022秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（ ）
(1)在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
(4)在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位
A．2 B．3 C．4 D．1
【变式3-1】（2022春·山东菏泽·高二期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好
C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小
【变式3-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，…，则下列说法不正确的是（ ）
A．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有较强的线性相关关系
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用决定系数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
【变式3-3】（2022春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本中心点；
②相关系数的绝对值越大，拟合效果越好；
③相关指数越接近1拟合效果越好；
④残差平方和越小，拟合效果越好.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4 代入法求线性经验回归方程】
【方法点拨】
经验回归直线一定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母.
【例4】（2023秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组，的样本数据如下表所示：
1 2 3 4 5
0.5 0.6 1 1.4 1.5
根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022秋·陕西榆林·高二期中）已知，的取值如下表所示：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若与线性相关，且，则（ ）
A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6
【变式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
广告费用x（万元） 3 4 5 6
销售额y（万元） 25 30 40 45
根据如表可得回归方程中的为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（ ）万元A．63.6 B．75.5 C．73.5 D．72.0
【变式4-3】（2023秋·四川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（ ）
周数（x） 1 2 3 4 5
治愈人数（y） 5 15 35 ？ 140
A． B． C． D．
【题型5 经验回归模型的应用】
【方法点拨】
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；
(2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
(3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性经验回归方程)；
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数；
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异
常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（千万元） 2 3 3 4 5
(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（参考公式，）
(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）目前手机已经成为人们生活中的必需品，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2021年某市手机总体出货量（单位：万部）统计表．
年份 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5 6
手机总体出货量/万部 5.6 4.9 4.1 3.9 3.2 3.5
(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)预测2022年该市手机总体出货量．
附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．
【变式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：
销售网点数x（单位：个） 17 19 20 21 23
售卖出的产品件数y（单位：万件） 21 22 25 27 30
假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，
(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；
(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.
参考公式：，.
【变式5-3】（2023·山东·模拟预测）我国技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．
月份 1 2 3 4 5
售价x（元/件） 60 56 58 57 54
月销售量y（千件） 5 9 7 10 9
(1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
(2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？
(3)若每件商品的购进价格为元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：．
【题型6 非线性经验回归方程的求法】
【方法点拨】
(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，
粗略估计使用哪个函数拟合.
(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后按照线性检验回归方程的求解步骤
进行求解.
(3)分析模型的拟合效果，得出结论.
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 3 6 13 25 45 100
(1)判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，
3.50 32 2.85 17.5 307 12.12
（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【变式6-1】（2023·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5 6
紫皮石斛产量y（吨） 3200 3400 3600 4200 7500 9000
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；
3.5 5150 8.46 17.5 20950 3.85
其中．
(3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：）
附：，．
【变式6-2】（2023·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．
年份代码x 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模y 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
1.94 33.82 1.7 1.6
其中，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：
14.5 0.08 665 0.04 -450 4
表中，．
若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．
(1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

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