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专题03 椭圆13种常见考法归类（1）
专题03 椭圆13种常见考法归类（1）
思维导图
核心考点聚焦
考点一、求椭圆的标准方程
考点二、点与椭圆的位置关系
考点三、椭圆的定义及其应用
（一）根据椭圆的方程求参数的范围
（二）椭圆的焦点三角形问题
考点四、求椭圆的离心率
（一）求椭圆的离心率
（二）求椭圆的离心率的取值范围
（三）由椭圆的离心率求参数（范围）
考点五、与椭圆有关的轨迹问题
考点六、直线与椭圆的位置关系
考点七、弦长及中点弦问题
（一）弦长问题
（二）中点弦问题
考点八、求椭圆的参数或范围问题
考点九、求椭圆的最值问题
考点十、椭圆的定点、定值问题
考点十一、椭圆中的向量问题
考点十二、椭圆的实际应用问题
考点十三、与椭圆有关的综合问题
知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
（1）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
（2）常数（2a）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形
知识点2 椭圆的方程及简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1（－a，0），A2（a，0），_ B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0）
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心（0，0）
离心率 e＝ （0知识点3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆＋＝1（a>b>0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
（1）椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a．
（2）余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ．
（3）面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc．
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）
（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）．
（5）在椭圆C：＋＝1（a>b>0）中，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大．
知识点4　点与椭圆的位置关系
点P（x0，y0）与椭圆＋＝1（a>b>0）的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1；点P在椭圆内部 ＋<1；点P在椭圆外部 ＋>1．
知识点5　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a>b>0）的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点6　直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则弦长公式为：
|AB|＝·＝·．
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
（1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
（2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a（2a>|F1F2|），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
（2）直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）．
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
（1）直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p（M）}直接翻译成x，y的形式，即F（x，y）＝0，然后进行等价变换，化简为f（x，y）＝0．
（2）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
（3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数．列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
5、点P（x0，y0）与椭圆＋＝1（a>b>0）的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1；点P在椭圆内部 ＋<1；点P在椭圆外部 ＋>1．
6、求椭圆离心率及范围的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
7、判断直线与椭圆的位置关系
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0 直线与椭圆相交；Δ＝0 直线与椭圆相切；Δ<0 直线与椭圆相离．
8、解决椭圆中点弦问题的两种方法
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆＋＝1（a>b>0）上的两个不同的点，M（x0，y0）是线段AB的中点，
则
由①－②，得 （x－x）＋ （y－y）＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－．
9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
（1）定义法：利用定义转化为几何问题处理．
（2）数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
（3）函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
10、解决和椭圆有关的实际问题的思路（数学抽象）
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
（3）用解得的结果说明原来的实际问题．
考点剖析
考点一、求椭圆的标准方程
1．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆过点，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点二、点与椭圆的位置关系
7．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系
8．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
考点三、椭圆的定义及其应用
（一） 根据椭圆的方程求参数的范围
10．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A．且 B．且
C． D．
13．若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
14．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
（二） 椭圆的焦点三角形问题
15．已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
16．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
17．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（ ）．
A． B． C． D．
18．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
19．设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（ ）
A． B． C．0 D．1
20．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1 B． C． D．2
考点四、求椭圆的离心率
（一） 求椭圆的离心率
21．设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为 .
22．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左 在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（二） 求椭圆的离心率的取值范围
26．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（三） 由椭圆的离心率求参数（范围）
29．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
30．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．设椭圆的离心率为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
32．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
考点五、与椭圆有关的轨迹问题
33．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
34．在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
35．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
36．已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
37．已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得，
所以，，则，所以椭圆的方程为.
故选：A.
2．A
【分析】把已知两点坐标代入求出后即得．
【详解】由已知，解得，所以椭圆方程为．
故选：A.
3．B
【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案.
【详解】由，令，解得；令，，
由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为.
故选：B.
4．B
【分析】根据题意可设椭圆的方程为，由题中条件得出,
再将点代入椭圆方程，同时根据可求解出参数，进而得出答案.
【详解】设椭圆的方程为，根据题意知
又椭圆过点，所以，且
计算得
所以椭圆的方程为，选项B正确.
故选：B.
5．D
【分析】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上,代入椭圆方程求出即可.
【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上.
将,代入椭圆方程得:
,
解得,
椭圆C的标准方程为.
故选:D.
6．C
【分析】由题意设椭圆方程为，再将代入椭圆方程求出，则有，再结合可求出，从而可得椭圆方程.
【详解】由题意设椭圆方程为，则，
当时，，则，
因为，所以，得，所以，
所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以椭圆方程为，
故选：C
7．C
【分析】根据椭圆的对称性可判断.
【详解】点与点关于原点对称，
点与关于轴对称，
点与关于轴对称，
若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，
故选：C
8．B
【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
故选：B.
9．
【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解.
【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点，
直线与椭圆恒有公共点，
即点在椭圆内或椭圆上，，即，
又，否则是圆而非椭圆，
或，即实数的取值范围是.
故答案为：
10．B
【分析】先求出“方程表示椭圆”的充要条件，即可判断.
【详解】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且.
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
11．A
【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立；
反例：当时，表示的是圆，即不成立；
即p是成立的充分不必要条件，
故选：A.
12．B
【分析】根据椭圆的标准方程可得，即得.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，
解得且.
故选：B.
13．D
【分析】根据椭圆焦点在轴上,可得,解出范围即可.
【详解】解:由题知表示焦点在轴上的椭圆,
则有: ,
解得:或.
故选:D
14．C
【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.
故选：C
15．A
【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.
【详解】
由题意得，，于是，
即为△的外心，以为直径的圆经过，于是，
记，根据椭圆定义和勾股定理：，
于是.
故选：A
16．C
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，

则的周长为，
故选：C.
17．B
【分析】设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，在中由余弦定理可得，从而可得，再利用计算即可.
【详解】解：设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，
由椭圆的定义可知，
又因为，
在中由余弦定理可得：，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
18．B
【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解
【详解】法一：设，，则，
，∴．
又，∴，解得．
法二：由焦点三角形面积公式得
故选：B
19．B
【分析】根据焦点三角形面积公式可知，当为上下顶点时，面积最大，再利用数量积公式即可求得.
【详解】根据对称性，可设点，,则的面积为，则当面积最大时，即最大，此时为上顶点时，即时最大.此时.又，则、.
则，.
故选：B
20．C
【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆中，，，则，∴，，
∴．∵，，∴，
∵，∴，
解得．
故选：C．
21．##0.625
【分析】分别表示出、，在中由计算可得结果.
【详解】如图所示，

由图知，
所以，，
又因为，，
所以，
所以在中，由得，
解得：，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：.
22．A
【分析】先根据题意求出；再根据及椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案.
【详解】如图所示，

由题意得：.
因为，把代入椭圆方程可得，解得.
取.
则在中，.
因为，
所以，
由椭圆定义可得：，整理得：，
所以，即.
则椭圆的离心率 ．
故选：A．
23．C
【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为椭圆C：的左 右顶点分别为，，
因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，
又该圆与直线相切，如图，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
因此，即，
所以离心率为.
故选：C.
24．B
【分析】记上焦点为，圆心为，由线段成比例得出，且，于是有，然后由椭圆定义和垂直得出关于齐次等式，化简后可求得离心率．
【详解】如图，记上焦点为，圆心为，则，连接，，
，，又，则，
所以，，
，则，
由椭圆定义，
又，所以，所以，
，即，，
，所以．
故选：B
25．B
【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可．
【详解】设直线与椭圆相交于，两点，
因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在，
则，，直线的斜率．
由，得，
，，
故椭圆的离心率．
故选：B．
26．C
【分析】根据椭圆的定义结合几何关系求出，并利用点到直线的距离关系求得，进而可求离心率的取值范围.
【详解】
如图，设为椭圆的左焦点，连接,
由对称性可得为中点，且为中点，
则四边形为平行四边形，
所以，所以，
取，因为点M到直线l的距离不小于，
所以，解得，
所以，
又因为，
所以椭圆E的离心率的取值范围是.
故选：C.
27．D
【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围．
【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，消去整理得：
，解得(舍去)或，
同得，所以，即，
若，则，又，消去整理得：
，解得或，
舍去．
所以，所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
故选：D．
28．B
【分析】设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围．
【详解】设，则，，
由 ，，
化为，，整理得，
，，解得．
29．D
【分析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.
【详解】因为，则，所以.
故选：D
30．C
【分析】分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．
【详解】当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
31．B
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.
【详解】当时，则；当时，则；
所以推不出，充分性不成立；
当时，则，必要性成立；
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
32．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
33．A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
34．A
【分析】先利用正弦定理化角为边，从而可得，再结合题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，即可得解.
【详解】解：在中，因为，
所以，
又，则，
所以，即，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，
由，
所以顶点的轨迹方程是.
故选：A.
35．D
【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
36．C
【分析】根据几何关系，找到点满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可.
【详解】根据题意，作图如下：
易知，则，即，
故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为，则，则，
故，则椭圆方程为：.
故选：C.
37．D
【分析】设，根据得，再结合圆的方程求解即可.
【详解】设 ,则由得 ,因为 所以,即.
故选：D.
答案第1页，共2页
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