资源简介

专题05 抛物线8种常见考法归类（1）
专题05 抛物线8种常见考法归类（1）
思维导图
核心考点聚焦
考点一、求抛物线的标准方程
考点二、抛物线定义的应用
(一)利用抛物线的定义求距离或点的坐标
(二)与抛物线定义有关的最大(小)值问题
考点三、抛物线的轨迹问题
考点四、直线与抛物线的位置关系
考点五、直线与抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题
(一)弦长问题
(二)焦点弦问题
(三)中点弦问题
考点六、抛物线中的参数范围及最值问题
考点七、抛物线的定值、定点、定直线问题
(一)定值问题
(二)定点问题
(三)定直线问题
考点八、抛物线的实际应用
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
知识点2　抛物线的方程及简单几何性质
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图象
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
知识点3 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
（1）若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
（2）若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
（2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
（3）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
知识点4 焦点弦问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：（1）x1·x2＝.
（2）y1·y2＝－p2.
（3）|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
（4）＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
1、求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
3、抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
（2）解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　
4、直线与抛物线的位置关系
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解.
5、求抛物线实际应用的五个步骤
6、求轨迹问题的两种方法
（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
（2）定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
考点剖析
考点一、求抛物线的标准方程
1．若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 .
3．以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
考点二、抛物线定义的应用
(一) 利用抛物线的定义求距离或点的坐标
7．若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
9．已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（ ）
A．2 B． C． D．
（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
10．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．5
13．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
14．设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
16．已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
考点三、抛物线的轨迹问题
17．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
20．已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当时，点的轨迹为抛物线
D．当时，点的轨迹为一条直线
21．设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
22．已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．
考点四、直线与抛物线的位置关系
23．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
25．已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
27．在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由已知条件可得，求出，从而可求出抛物线的方程.
【详解】因为抛物线：的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线方程为，
故选：D
2．
【分析】设出抛物线解析式，通过准线求出的值，即可求出此抛物线的方程.
【详解】由题意，
抛物线的顶点是原点，准线为直线，
∴设抛物线的方程为，
∴，解得：，
∴此抛物线的方程为：，
故答案为：.

3．D
【分析】直线与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出，可得答案.
【详解】直线与坐标轴的交点为，
当抛物线的焦点为时，其标准方程为；
当抛物线的焦点为时，其标准方程为.
故选：D.
4．C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆可得，
所以左焦点坐标为，
所以以为焦点的抛物线的标准方程为，
故选：C.
5．C
【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值.
【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程，
点到准线的距离为，解得，
所以抛物线方程为；
当时，抛物线开口向下，准线方程，
点到准线的距离为，解得或（舍去），
所以抛物线方程为．
所以抛物线的方程为或．
故选：C
6．D
【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可.
【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6，
所以点M的横坐标是.
所以点M的坐标为，
又因为点M在抛物线上，
所以32=2p，解得p=8或p=4，
故该抛物线的标准方程为或.
故选：D.
7．D
【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.
【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为
设，根据抛物线定义有有，∴，
∴点到原点的距离为.
故选：D.
8．B
【分析】根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），
设准线与纵轴的交点为，
由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.
故选：B.
9．C
【分析】设，分别表示出，，再分类讨论即可求解.
【详解】由抛物线的解析式，可知，准线，设，
由抛物线的定义可知，
又，.
当时，即，解得，此时点与点重合，不符合题意；
当时，即，解得或（舍），此时点A的横坐标为；
当时，即，解得，此时点A的横坐标为.
只有选项C符合题意.
故选：C
10．C
【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
11．B
【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可.
【详解】
如图，为点在准线上的投影，
根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为.
故选：B.
12．B
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.
【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，
由消去y并整理得：，设，，则，
弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，
令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，
即有，，
当且仅当点与P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
13．C
【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值．
【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.
过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为
抛物线的焦点
过作于，和抛物线的交点就是，
∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）
点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，
最小值．
故选：C．
14．B
【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆:,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点向作垂线垂足为,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,
.
故选:B
15．A
【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.
【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
16．D
【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值.
【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时.
故选：D
17．D
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以的轨迹为抛物线，，
所以点的轨迹方程为.
故选：D
18．D
【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
19．D
【分析】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线.
故选：D.
20．AB
【分析】设出，直接法求出轨迹方程，注意去掉不合题意的点，从而判断轨迹为哪种曲线，判断ABC选项，D选项，结合，得到轨迹为去掉一个点的直线，故D错误.
【详解】设，
A选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；
B选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；
C选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；
D选项，，即，变形为，且，
故点的轨迹为除去点的直线，D错误；
故选：AB
21．A
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.
【详解】解：
设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
22．
【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案.
【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，，
因为，所以，，
可得，，
代入得，整理得，
所以动点Q的轨迹方程为．
23．D
【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.
【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，
符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，
故选：D
24．A
【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
25．A
【分析】由题意，联立方程求解，根据一元二次方程的求解公式，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.
【详解】由题意，联立可得，消去整理可得：，
则恒成立，则直线与抛物线必定有两个交点，
则显然成立，不成立，
故选：A.
26．A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，将数量积用表示，再由建立方程，即可求解．
【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）根据题意可设直线的方程为，

联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑