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专题01 平面向量的概念（四大考点）-【寒假自学课】（人教A版2019）
专题01 平面向量的概念
思维导图
核心考点聚焦
考点一、向量的基本概念
考点二、向量的表示方法
考点三、利用向量相等或共线进行证明
考点四、向量知识在实际问题中的简单应用
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量.
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素.
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）.如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）.
知识点诠释：
（1）向量的模.
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小.
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的.
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同.
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.
向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）.
规定：与任一向量共线.
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量.
考点剖析
考点一：向量的基本概念
例1.
（2024·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考）
1．下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
例2.
（2024·高一课时练习）
2．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
例3.
（2024·高一课时练习）
3．下列各式中不表示向量的是（　　）
A． B． C． D．，，且
变式1.
（2024·黑龙江·高二统考学业考试）
4．下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
考点二：向量的表示方法
例4.
（2024·全国·高一随堂练习）
5．用有向线段表示下列物体运动的速度．
(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．
例5.
（2024·全国·高一随堂练习）
6．用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．
例6.
（2024·全国·高一随堂练习）
7．在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．
变式2.
（2024·全国·高一随堂练习）
8．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例7.
（2024·高一课时练习）
9．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
例8.
（2024·全国·高一课堂例题）
10．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
例9.
（2024·高一校考课时练习）
11．如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个
变式3.
（2024·高一课时练习）
12．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量，使；
(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例10.
（2024·全国·高一随堂练习）
13．如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

例11.
（2024·高一课时练习）
14．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
例12.
（2024·高一课时练习）
15．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
变式4.
（2024·高一课时练习）
16．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
过关检测
一、单选题
（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）
17．下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
（2024·陕西西安·高一校考阶段练习）
18．下列各命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
（2024·高一校考课时练习）
19．如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（ ）
A．正方形 B．圆 C．线段 D．点
（2024·高一课时练习）
20．在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．，，则
（2024·高一课时练习）
21．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
（2024·河南·高三校联考阶段练习）
22．已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
（2024·陕西渭南·高一统考期末）
23．设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2024·全国·高三专题练习）
24．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
二、多选题
（2024·四川眉山·高一校考）
25．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
C．若与同向，且，则；
D．为实数，若，则与共线.
（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考）
26．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A．
B．零向量与任意向量平行
C．是的充分不必要条件
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
（2024·广西贺州·高一统考期末）
27．以下选项中，能使成立的条件有（ ）
A． B．或
C． D．与都是单位向量
三、填空题
（2024·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）
28．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．
（2024·高一课时练习）
29．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

（2024·高一课时练习）
30．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.

（2024·高一课时练习）
31．某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ．
四、解答题
（2024·全国·高一随堂练习）
32．在矩形中，，点、分别为和的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？
（2024·高一课时练习）
33．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
（2024·高一课时练习）
34．如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
2．A
【分析】根据向量的概念，即可得出答案.
【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
3．C
【分析】根据题意，依次分析选项是否表示向量，即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，是向量的数乘运算结果仍为向量；
对于B，，是向量的加法，结果是向量，
对于C，是向量的模，是实数，不是向量；
对于D，向量的数乘运算结果仍为向量；
故选：C．
4．B
【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
5．(1)答案见解析．
(2)答案见解析．
【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段；
（2）以为起点，向下作长度为的有向线段．
【详解】（1），
以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，

（2），时，，
以为起点，向下作有向线段，长度为：

6．答案见解析．
【分析】根据有向线段的定义作图．
【详解】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力，
7．答案见详解
【分析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可.
【详解】
如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移.
8．(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)答案见详解
【分析】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点； 接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可.
【详解】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，

（2）根据的比例尺，即图上，作图如下，

（3）根据的比例尺，即图上，作图如下，

9．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【分析】(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
10．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
11．(1)11
(2)4
【分析】（1）根据平面向量的概念即可得出结论；
（2）由共线向量的概念即可得出结论.
【详解】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.
因此题图中所示的向量中与 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11个.
（2）由题知，图中所示的向量中与 共线的向量有，、、，共4个.
12．(1)图见解析
(2)图见解析，终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）（2）根据相等向量与向量模的几何意义，画出向量，即可得解；
【详解】（1）解：根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等．
图如下所示：
（2）解：由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
13．2 n mile．
【分析】在直角三角形中求得向量的长度．
【详解】由题意，
所以向量的长度为2 n mile．
14．答案见解析.
【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可.
【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，
则向量，和如下所示：
.
15．（1）作图见解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知，易知为平行四边形，即可求.
【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
16．答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，

为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
17．D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
18．C
【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
19．B
【分析】由单位向量的概念即可得出结论.
【详解】把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆.
故选：B.
20．D
【分析】根据平面向量的概念，举例即可得出答案.
【详解】对于A项，若，则，故A项错误；
对于B项，根据向量的模的概念，可知B项错误；
对于C项，若，则方向不确定，故C项错误；
对于D项，根据向量的概念，可知D项正确.
故选：D.
21．D
【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】
对于A项，，不共线，故A项错误；
对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.
又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.
故选：D.
22．A
【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可.
【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；
选项，如图

，但是四边形不是矩形，错误；
选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.
故选：A
23．B
【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
24．D
【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项.
【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
25．ACD
【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可
【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，
对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，
所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，
对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，
对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，
故选：ACD
26．AB
【分析】利用相反向量的定义判断选项A；利用规定：零向量和任意向量平判断选项B；利用相等向量的定义判断选项C；利用平行四边形可判断选项D.
【详解】对A，，A正确；
对B，我们规定：零向量与任意向量平行，B正确；
对C，由只能确定长度相等，不等确定方向，
所以推不出，
又由可得，
所以是的必要不充分条件，C错误；
对D，在平行四边形中，向量与向量是共线向量，
但点A，B，C，D不在同一条直线上，D错误；
故选:AB.
27．BC
【分析】对于A、D：取特殊向量分别为x、y轴上的单位向量，否定结论；
对于B：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C：由向量平行的判定定理即可判断.
【详解】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；
对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确.
故选：BC
28．②③④
【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.
【详解】由零向量的定义可知，①正确；
时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；
两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；
当时，满足，，但不能得到，④错误.
故答案为：②③④
29．3
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.
【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
30．2
【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.
【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
31．
【分析】根据向量共线，且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案.
【详解】如图示，由题意可得向量共线，且，

则四边形为平行四边形，故，
故答案为：
32．对
【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出相等的向量共有多少对．
【详解】在矩形中，，点、分别为和的中点，
所以和为边长相等的正方形，
如图所示，
由题意得，，有3对（即、、）；
，有6对（即、、、、、）；
，有1对；
，有1对，有1对，共有对；
加上它们的方向相反的向量也有12对，
所以总共有对．
33．(1)图见解析
(2)点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）根据相等向量的定义，即可画出向量；
（2）根据模长，画出向量，在判断轨迹.
【详解】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；

（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.

34．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；
（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴.
故与向量相等的向量是，.
（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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