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22.3 实际问题与二次函数应用题 期末综合练习
一、解答题
1．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．

(1)要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？
(2)围成养鸡场的面积能否达到？请说明理由．
(3)若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．
2．一个抛物线形拱桥，桥底水平面宽度（跨度）是12米，拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是4米，如图，以水平直线为x轴，以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为y轴，坐标原点为O建立直角坐标系．一艘货船宽度为5.8米，装载集装箱后高出水面2米．一场大雨后，水面比下雨前上升了1米，此时这艘货船还可以安全通过拱桥吗？请通过计算进行说明．
3．某网店同时采取线上和线下两种方式销售一款北京冬奥会特许商品，进价为每件20元调查发现，这款商品线下销售单价为30元时，每周线下卖出件，如果该商品线下每涨价1元，则线下每周少卖出10件．现网店决定将该商品涨价销售，设线下销售单价为x元，线下周销售量为y件．
(1)直接写出y（件）与x（元）之间的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜5元，并且线上的周销售量始终为180件．
①求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润为4700元？
②求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大？最大总利润为多少元？
4．某农户要改造部分农田种植蔬菜.经调查，改造农田费用（元）与改造面积（亩）成正比，比例系数为900，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元.这项费用每年均需再投入．除上述费用外，没有其他费用.设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为m元．
(1)设改造当年收益为y元，用含x，m的式子表示y；
(2)按前三年计算，若，是否改造面积越大收益越大 改造面积为多少时，可以得到最大收益？
(3)按前三年计算，若，当收益不低于43200元时，求改造面积x的取值范围？
(4)若，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求m的取值范围，注：收益=销售额-（改造费+辅助设备费+种子、人工费）．
5．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
6．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2020年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2020年在2023年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从202020年到2023年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2023年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
7．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．
(1)的值为__________；
(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
8．如图，在矩形中，cm，cm，动点P从点A开始沿折线以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边以1cm/s的速度运动，点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时也随之停止运动，设动点的运动时间为ts．
(1)求当t为何值时，四边形是矩形；
(2)直接写出当t为何值时，图中存在的矩形的个数最多，最多是几个；
(3)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
9．如图（1）所示，濮阳湿地公园中，金堤河大桥是一座非常有艺术性造型的大桥．桥身是由两条抛物线钢架建造．如图（2）所示，两条抛物线有共同的对称轴，已知，过原点，两抛物线最高点的距离为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)①求主桥长为多少米？
②过点与轴平行的直线为河面的水平线，，若要在与水面的交点、处建造两个桥墩，其中一个桥墩到岸边（轴）的距离是多少米？（说明：题中个单位长为米）
10．某水果批发商记录了五月份前天某时令水果的销售量和销售单价，统计发现：销售单价元千克与时间第天为整数之间满足函数关系：，日销售量千克与时间第天为整数之间满足如图所示的函数关系：

(1)请直接写出与的函数关系式；
(2)这天中，哪一天该水果的日销售额最大？最大日销售额是多少元？
(3)这天中，该水果的日销售额低于元的时间共有多少天？
11．比萨斜塔（图①）是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：如图②，某建筑的高度为，将一个小铁球（看成一个点）从处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是，在竖直方向物体的下落高度与下落时间之间的函数表达式为．求小铁球从建筑物上下落到地面时，距离抛出点的水平距离．

12．如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米，如图建立坐标系．
（1）求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
（4）在直线OB上有一点D（靠点B一侧），BD＝0.5米，竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让水落入桶内，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.2米（圆柱形桶的厚度忽略不计）
①如果竖直摆放5个圆柱形桶时，水能不能落入桶内？②直接写出当竖直摆放圆柱形桶多少个时，水可以落入桶内？
13．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
14．如图，在中，，，点D为边上一点，且，动点E从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，运动时间为．作，与边相交于点F．设长为．
(1)当________s时，；
(2)求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长；
(3)当为等腰三角形时，求x的值．
15．华联商场以每件10元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于20元/件，试销中发现每天的销售量y(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
销售价(x元) 10 15 18 20
销售量(y件) 30 25 22 20
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
参考答案：
1.（1）解：设养鸡场垂直于墙一面的宽为，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为；
（2）解：设养鸡场垂直于墙一面的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到；
（3）解：设养鸡场垂直于墙一面的宽为，根据题意得：，
时，y有最大值，最大值为．
2．解：能安全通过拱桥，理由如下：
根据题意，作图如下，
设二次函数解析式为，已知抛物线过，
∴二次函数解析式为，
一场大雨后，水面比下雨前上升米，
∴即令时，则，
解得，，
∴下雨后水面的宽度为：，此时水面离桥顶的距离为，
∴这艘货船能安全通过拱桥．
3．（1）解：根据题意得：
．
（2）①根据题意得，，
解得，，
答：当线下销售单价是40元或48元时，该网店每周销售总利润为4700元．
②设每周线上、线下的销售总利润为元，根据题意得：
，
∵，
∴时，
，
答：当线下销售单价是44元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大，最大利润为4860元．
4．（1）由题意可得，，
即；
（2）设这三年的收益为，
，
∵，
∴开口向下，且当时，z有最大值．
∴不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时，可以得到最大收益；
（3）解方程：，
解得，，
∴当收益不低于43200元时，；
（4）由题意可得，
，
∵，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，
∴，
解得，
即的取值范围是．
5．（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
6．（1）设从2020年到2023年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得:，（舍去）.
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.
根据题意，得:，
解得:，
，
∵，
∴随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当时，最小，最小值为（万元）.
此时，.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
7．（1）解：把点代入得，，
故答案为：1；
（2）解：设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
抛物线的解析式为，
即，
坡地经过点，
的解析式为，
如解图，
设抛物线上一点，过点作轴交于点，
则，的长为，
，
函数图象开口向下，有最大值，最大值为，
水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
（3）解：不能；
理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为．
将代入抛物线解析式，得，
将代入直线解析式，得，
，
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
8．（1）解：根据题意可知：，，
在矩形中，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴当t为4时，四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，当t为4时，图中存在的矩形的个数最多，最多是个
（3）解：①当点P在上时，，
②当点P在上时，，
根据题意可知：
∴
③当点P在上时，点Q也在上，
∴不是四边形，不符合题意，
综上所述：S与t的函数关系式为：．
9．（1）解：由题知：
则抛物线对称轴为，最高点
∵过原点，两抛物线最高点的距离为．
∴设抛物线的解析式为
把点代入得
∴抛物线的解析式为
（2）①令，则
解得，，
∴
答：主桥长为米
②由题知：令，则
解得：或（舍去），
，
答：其中一个桥墩E到岸边（轴）的距离是米
10．（1）解：由图象可知：与的函数关系是一次函数，
当时，设解析式为：，
把和代入得：
，
解得：，
为正整数，
（2）解：设日销售额为元，
①当时，，
该函数的图象是一个开口向下的抛物线，对称轴为，
当时，随的增大而增大
时，，
②当时，，
该函数图象是随增大而增大的直线
当时，，
第天的销售额最大，最大日销售额是元；
（3）解：根据（2）可知，①当时， ，
依题意得： ，
解得：
日销售额低于有天；
②当时，，
依题意得：，
解得：，
日销售额低于有天．
综上，日销售额低于元得时间共有天．
11．解：依题意得：当时，，
解得：或（舍去）．
所以小球从抛出到落地所需的时间为．
所以当时，（）．
答：小球从建筑物上下落到地面时，距离抛出点的水平距离为．
12．解：（1）∵顶点为（1，2.25），
∴设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25
∵函数过点（0，1.25）
∴代入解析式解得a＝﹣1
∴解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25
（2）由（1）可知：y＝﹣（x﹣1）2+2.25
令y＝0，则﹣（x﹣1）2+2.25＝0，解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）
所以花坛的半径至少为2.5m
（3）依题意，设y＝﹣x2+bx+c，把点（0，1.25），（3.5，0）代入得
，解得
则y＝﹣x2+
故水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达m
（4）①当x＝2时，y＝1.25；当x＝时，y＝2；即（2，1.25），（，2）在抛物线上
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝0.2×5＝1
∵1＜2且1＜1.25
∴水不能落入桶内
②设竖直摆放圆柱形桶m个时水可以落入桶内
由题意，得1.25≤0.2≤2，解得6.25≤m≤10
∵m为整数，
∴m的值为7，8，9，10
∴当竖直摆放圆柱形桶7，8，9，10时，水可以落入桶内
13．（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%；
（2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元，
理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元），
∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元．
14．（1），，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
（2）在中，，．
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是，
点运动路程为，
答：在点运动过程中，与之间的函数关系式是，点运动路线的长为．
（3）这里有三种情况：
①如图，若，则，
又，
，
，
，
动点的速度为，
此时；
②如图，若，则；
又，
，
，
，
动点的速度为
此时；
③如图，若，则；
又，
，
，
动点的速度为，
此时．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或3．
答：的值为或或3．
15．（1）解：设与之间的函数关系式为，
把代入得：
，解得：，
∴与之间的函数关系式为，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，
∴；
（2）根据题意可得：
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，此时，
∴每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元

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