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专题6.5 二项式定理（重难点题型精讲）
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.
③每一项中a和b的幂指数之和为n.
2．二项式系数的性质
(1)杨辉三角——二项式系数表
当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：
从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结
果，由此我们可以发现以下性质：
①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的
二项式系数相等.
②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，，
第n行的(n+1)个数之和为.
(2)二项式系数的性质
【题型1 求展开式的特定项或特定项的系数】
【方法点拨】
二项展开式的通项的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含(或)的
项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一般根据通项，找出未知数的指数，令其为整数，再根据
整数的整除性求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算.
【例1】（2023·北京·高三专题练习）二项式的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
【解题思路】求出展开式的通项，再令的指数等于0，即可得出答案.
【解答过程】解：二项式的展开式的通项为，
令，则，
所以常数项为.
故选：B.
【变式1-1】（2023·广西桂林·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
【解题思路】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【解答过程】的展开式的通项，
令，解得，
所以，所以项的系数为，
故选：A.
【变式1-2】（2022春·湖南邵阳·高二期末）的展开式中的常数项为-160，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【解题思路】由已知，根据二项式列出其展开式的通项，根据要计算的常数项，先计算出，然后根据其常数项的系数列出关于a的方程，解方程即可完成求解.
【解答过程】由已知，展开式的通向为，
所以其展开式的常数项即，，
所以常数项为，解得.
故选：A.
【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）展开式中第5项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】区分二项式系数和项的系数的区别，并求出展开式中项对应的系数，即可求解
【解答过程】展开式中第5项为.
故选：B.
【题型2 用赋值法求系数和问题】
【方法点拨】
赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.根据题目要求，灵活赋值是解题的关键.
【例2】（2022秋·广西梧州·高三期中），则（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【解题思路】根据展开式，利用赋值法取即得.
【解答过程】因为，
令，可得.
故选：C.
【变式2-1】若，则的值为（ ）
A．0 B．32 C．64 D．128
【解题思路】先利用赋值法求得和的值，进而求得的值.
【解答过程】，时，，
，时，，
，
故选：A.
【变式2-2】（2022春·陕西延安·高二阶段练习）若，则的值是（ 　 ）
A． B．127 C．128 D．129
【解题思路】利用赋值法计算可得.
【解答过程】解：因为，
令，可得，
令，可得，
所以；
故选：D.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用组合数的性质可求得的值，再利用赋值法可求得和的值，作差可得出所求代数式的值.
【解答过程】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，即.
令，得，
所以，
故选：D.
【题型3 多项式积的展开式中的特定项问题】
【方法点拨】
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注
意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
【例3】（2023·湖南长沙·统考一模）的展开式中，常数项为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出展开式的通项公式，然后求出其一次项系数和常数项，从而可求得结果.
【解答过程】展开式的通项公式为，
所以的展开式中，常数项为
，
故选：D.
【变式3-1】（2022·四川绵阳·校考二模）的展开式中含项的系数为（ ）
A．10 B．12 C．4 D．5
【解题思路】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.
【解答过程】的二项展开式的通项为，
当时，的展开式中含项为；
当时，的展开式中含项为；
所以的展开式中含项的系数为.
故选：A.
【变式3-2】（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（ ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【解题思路】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数.
【解答过程】的展开式通项公式为，
其中，，，
故二项式中的四次方项为，
即展开式中的系数为.
故选：B.
【变式3-3】（2022秋·广西柳州·高三阶段练习）若 展开式中的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】展开式中项的产生一部分来源于2与中项相乘， 另一部分来源于与中项相乘，可求.
【解答过程】，展开式中的系数为
所以 ，解得
故选：A.
【题型4 求展开式中系数最大的项的方法】
【方法点拨】
由于展开式中各项的系数是离散型变量，因此，
(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值，只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地
列出不等式组即可.
(2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值
应在系数都为负的各项系数间构造不等式组.
【例4】（2022春·江苏常州·高二期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（ ）
A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项
【解题思路】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【解答过程】二项式的通项公式为：，
设第项的系数绝对值最大，
所以有，
因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，
故选：B.
【变式4-1】（2022·全国·高二假期作业）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案.
【解答过程】，，，，，
第6项的系数最大，，则.
故选：.
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值.
【解答过程】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则，
∴展开式的通项为，
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得，
∴系数的最小值为
故选：C.
【变式4-3】（2022春·山东菏泽·高二阶段练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为
【解题思路】由二项式系数之和为64，可得，得，所以二项式为，然后写出二项式展开式的通式公式，然后逐个分析判断．
【解答过程】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，所以二项式为，
则二项式展开式的通式公式，
对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以A错；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以B错；
对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以C错误；
对于D，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以时，二项展开式中系数最大，
则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确，
故选：D．
【题型5 利用二项式定理证明整除问题或求余数】
【方法点拨】
(1)利用二项式定理证明整除问题，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法：要证明一个式子能被另一个
式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，
再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一两项就可以了，要注意余数的范围.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）除以7的余数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】把转化成，再结合二项展开式即可求解.
【解答过程】
，
则，
又是7的倍数，
故余数为3.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【解题思路】由且可以被13整除，即其展开式中不含的项为余项，该余项与a的和能被13整除，即可得参数值.
【解答过程】由，
展开式通项为，
又可以被13整除，
所以展开式中的项均可被13整除，余项为，
要使能被13整除，且，则.
故选：B.
【变式5-2】（2022春·江苏镇江·高二期中）设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【解题思路】转化为，利用二项式定理求解.
【解答过程】因为，且，
所以
，
因为能被13整除，
所以能被13整除，
所以，
故选：B.
【变式5-3】（2022·高二课时练习）设n为正奇数，则被7整除的余数为（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【解题思路】按照二项式定理将原式改写成7的倍数的形式，剩余的部分即为余数.
【解答过程】
．
∵为整数，
故被7整除的余数为5；
故选：D．
【题型6 杨辉三角问题】
【方法点拨】
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对数据要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)规律：通过观察找出每一行的数据之间、行与行的数据之间的规律；
(3)表达：将发现的规律用数学式子表达出来；
(4)结论：用数学表达式写出结论.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【解题思路】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果.
【解答过程】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数.
因为只有第12项的二项式系数最大，
所以n为偶数，故，解得，
故选：B.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（ ）
A．256 B．512 C．1024 D．1023
【解题思路】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.
【解答过程】由图知，第10行的所有数字之和为，
由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为．
故选：B.
【变式6-2】（2022·江苏·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
【解题思路】由组合数及二项式系数的性质可判断A、B、C，由二项式定理运算可判断D.
【解答过程】对于A，由组合数的互补性质可得，故A正确；
对于B，由组合数的性质可得， 故B正确；
对于C，由二项式系数和的性质可得，故C正确；
对于D，，
故D错误.
故选：D.
【变式6-3】（2022·全国·高二专题练习）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)
A．26 B．27
C．7 D．8
【解题思路】由于是将奇数换成，故都是奇数，分别验证时的情况，直接得出正确选项.
【解答过程】第行和第行全是，已经出现了次，依题意，第行原来的数是，而为偶数，不合题意；第行原来的数是，即全为奇数，一共有个，全部转化为，这是第三次出现全为的情况.故选D.专题6.5 二项式定理（重难点题型精讲）
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.
③每一项中a和b的幂指数之和为n.
2．二项式系数的性质
(1)杨辉三角——二项式系数表
当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：
从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结
果，由此我们可以发现以下性质：
①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的
二项式系数相等.
②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，，
第n行的(n+1)个数之和为.
(2)二项式系数的性质
【题型1 求展开式的特定项或特定项的系数】
【方法点拨】
二项展开式的通项的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含(或)的
项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一般根据通项，找出未知数的指数，令其为整数，再根据
整数的整除性求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算.
【例1】（2023·北京·高三专题练习）二项式的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
【变式1-1】（2023·广西桂林·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
【变式1-2】（2022春·湖南邵阳·高二期末）的展开式中的常数项为-160，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）展开式中第5项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 用赋值法求系数和问题】
【方法点拨】
赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.根据题目要求，灵活赋值是解题的关键.
【例2】（2022秋·广西梧州·高三期中），则（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【变式2-1】若，则的值为（ ）
A．0 B．32 C．64 D．128
【变式2-2】（2022春·陕西延安·高二阶段练习）若，则的值是（ 　 ）
A． B．127 C．128 D．129
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 多项式积的展开式中的特定项问题】
【方法点拨】
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注
意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
【例3】（2023·湖南长沙·统考一模）的展开式中，常数项为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2022·四川绵阳·校考二模）的展开式中含项的系数为（ ）
A．10 B．12 C．4 D．5
【变式3-2】（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（ ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【变式3-3】（2022秋·广西柳州·高三阶段练习）若 展开式中的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求展开式中系数最大的项的方法】
【方法点拨】
由于展开式中各项的系数是离散型变量，因此，
(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值，只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地
列出不等式组即可.
(2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值
应在系数都为负的各项系数间构造不等式组.
【例4】（2022春·江苏常州·高二期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（ ）
A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项
【变式4-1】（2022·全国·高二假期作业）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022春·山东菏泽·高二阶段练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为
【题型5 利用二项式定理证明整除问题或求余数】
【方法点拨】
(1)利用二项式定理证明整除问题，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法：要证明一个式子能被另一个
式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.
(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，
再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一两项就可以了，要注意余数的范围.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）除以7的余数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【变式5-2】（2022春·江苏镇江·高二期中）设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【变式5-3】（2022·高二课时练习）设n为正奇数，则被7整除的余数为（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【题型6 杨辉三角问题】
【方法点拨】
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对数据要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)规律：通过观察找出每一行的数据之间、行与行的数据之间的规律；
(3)表达：将发现的规律用数学式子表达出来；
(4)结论：用数学表达式写出结论.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（ ）
A．256 B．512 C．1024 D．1023
【变式6-2】（2022·江苏·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
【变式6-3】（2022·全国·高二专题练习）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)
A．26 B．27
C．7 D．8

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