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2024届高考物理一轮复习攻略（必修1）
专题八 静、动态平衡 平衡中的临界与极值问题
新人教版
复习目标：
1.进一步熟练掌握平衡问题的解法.
2.会利用解析法和图解法分析动态平衡问题.
3.会用整体法和隔离法分析多个物体的平衡问题.
4. 掌握平衡中的临界、极值问题的处理方法
夯实考点
考点一 处理静态平衡问题的常用方法
1.合成法
物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向。
2.效果分解法
物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件。
3.正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件。
[典例1]（2024·全国·高三专题练习）如图所示，壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列示意图中正确的是（　　）
A． B． C． D．
经典例题
【答案】A
【详解】壁虎在竖直玻璃面上匀速爬行，属于匀速直线运动，对壁虎进行受力分析
由图可知，F与mg大小相等，方向相反。
故选A。
变式1（2024·广东东莞·校联考模拟预测）某运动员以如图所示的姿势蹲在水平地面上，则该运动员（　　）
A．一定受到摩擦力
B．所受压力就是重力
C．受到的支持力和重力是一对平衡力
D．受到的支持力是由于脚掌形变产生的
变式训练
【答案】C
【详解】A．运动员以题图所示的姿势蹲在水平地面上，处于平衡状态，在水平方向没有相对运动，也没有相对运动的趋势，因此不受摩擦力的作用，A错误；
B．运动员所受的压力是水平地面的形变产生的作用，重力是地球的吸引力产生，因此所受压力不是重力，B错误；
C．运动员受到的支持力和重力大小相等，方向相反，是一对平衡力，C正确；
D．运动员受到的支持力是由于水平地面的形变产生的，D错误。
故选C。
2.基本方法：解析法、图解法和相似三角形法.
1.动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题.
4.处理动态平衡问题的一般步骤：
(1)解析法：
①对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，
②根据物体的平衡条件，列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式(通常要用到三角函数).
③根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况.
夯实考点
考点二 动态平衡问题
3.基本思路：化“动”为“静”,“静”中求“动”。
(2)图解法：
①适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.
②一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中.b.明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图.
③注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小不变的分力重合时，F1有最小值.
夹角θ 减小，悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力都减小。
θ =0o
F4=F3=G
（3）三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
(2)方法：
①对物体在某个位置作受力分析；
②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；
③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；
④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
[典例2]（2022·全国·高三专题练习）如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1，木板对小球的支持力大小为FN2。以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中（　　）
A．FN1始终减小，FN2始终增
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
经典例题
【答案】 B
【详解】解法一　解析法
对小球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态.从图中可以看出， ，从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中，θ逐渐增大，tan θ逐渐增大，sin θ逐渐增大，故FN1、FN2始终减小.选项B正确.
解法二　图解法
小球受重力G、墙面对球的压力FN1、木板对小球的支持
力FN2而处于平衡状态.由平衡条件知FN1、FN2的合力与
G等大反向，θ增大时，画出多个平行四边形，如图乙，
由图可知在θ增大的过程中，FN1始终减小，FN2始终减小.选项B正确.
解题要点：
解决动态平衡问题的基本步骤
(1)解析法:①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
(2)图解法:①根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
变式2（2023·全国高三专题练习）（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是（　　）
A．F1减小 B．F1增大 C．F2增大 D．F2减小
变式训练
【答案】 AD
【详解】解法一　解析法
以球B为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可得F1=Gtanθ，F2= ，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，AD正确。
解法二　图解法
先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图所示的矢量三角形，当A向右移动少许后，θ减小，从图中可直观地看出，F1、F2都减小，AD正确。
夯实考点
考点三 隔离法和整体法的应用
隔离法 整体法
概念 将单个物体作为研究对象与周围物体分隔开的方法 将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法
选用 条件 研究系统内物体之间的相互作用力 研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统的加速度
注意 问题 一般隔离受力较少的物体 受力分析时不再考虑系统内物体间的相互作用力
m
M
Mg
f
f
(M+m)g
F
a
隔离法
整体法
[典例3]（2022·全国·高三专题练习）如图，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角劈B的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．欲使三角劈B静止不动，球A的重力不能超过多少？
经典例题
【答案】
【详解】设球的重力为，三角劈的重力为G，对球A进行受力
分析根据受力平衡有： ，将A、B视作整体，受力如上右
图所示．B要保持静止，则必须满足： ，结合平衡条件
即： ，也就是 ，解得：
答：球A的重力不能超过 ．
解题要点：
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
变式3（2023秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）一铁架台放在水平桌面上，其上用轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直。现将水平力F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止。则在这一过程中（　　）
A．水平拉力F不变
B．细线的拉力变小
C．铁架台对桌面的压力变大
D．铁架台所受地面的摩擦力变大
变式训练
【答案】D
【详解】AB．对小球受力分析，如图所示,根据受力平衡可得
, ,移动过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，
cosθ逐渐减小，则水平拉力F逐渐增大，细线的拉力逐渐增大，故
AB错误；CD．以铁架台、小球整体为研究对象，根据受力平衡可得
， ,可知桌面对铁架台的支持力不变，即铁架台对桌面的压力不变；铁架台所受地面的摩擦力变大，故C错误，D正确。
故选D。
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有:
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)。
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
夯实考点
考点四 平衡中的临界、极值问题
2.极值问题
平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题,一般用图解法或解析法进行分析。
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
[典例4]（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考开学考试）抖空竹在中国有着悠久的历史。假设抖空竹所用轻绳AB总长L，空竹重量为G，可视为质点。绳能承受的最大拉力是2G，将绳一端固定，将另一端缓慢水平向右移动d而使绳不断，不计一切摩擦，则d的最大可能值为（　　）
A． B． C． D．
经典例题
【答案】B
【详解】设轻绳与水平方向的夹角为θ，根据受力分析可得竖直方向上有 ,
绳能承受的最大拉力是2G时，解得 ，由几何关系可得 ，联立解得 ，故选B。
变式4（2023·高三课时练习）如图，一物块在外力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动，已知物块质量为1kg,与桌面间动摩擦因数μ=0.75,重力加速度g取10m/s2,外力F的最小值为（ ）
A．5N B．6N C．7.5N D．8N
变式训练
【答案】B
【详解】设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知： ，解得 ；由数学知识可知， 的最大值为1.25，则外力F的最小值为Fmin=6N，故选B.
1.（2023·山东·统考高考真题）餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300g，相邻两盘间距1.0cm，重力加速度大小取10m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为（ ）
A．10N/m B．100N/m C．200N/m D．300N/m
针对性训练
【答案】B
【详解】由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧形变相邻两盘间距，则有mg = 3 kx,解得k = 100N/m,故选B。
2.（2023·湖南岳阳·一模）如图所示，水平地面上有一铁板，铁板上有一倾角为45°的活动木板，质量分别为mA和mB的物体A、B用轻绳连接后跨过滑轮，A、B均处于静止状态。现将木板的倾角缓缓减小到10°， A与斜面始终保持相对静止，B物体始终悬在空中。已知mA=2mB，不计滑轮摩擦。 下列说法正确的是（　　）
A．绳子对A的拉力将减小
B．铁板对地面的压力将逐渐减小
C．地面对铁板的摩擦力将逐渐增大
D．物体A受到的摩擦力先减小后增大
【答案】D
【详解】A．绳子对A的拉力保持不变，所以A错误；
B．对整体受力分析，根据平衡条件有N=G总，将木板的倾角缓缓减小到10°时，铁板对地面的支持力与倾斜角无关，保持不变，铁板对地面的压力也保持不变，所以B错误；
C．对整体受力分析，根据平衡条件可知，整体只受重力与支持力，所以地面的摩擦力为0，则C错误；
D．根据平衡条件有 ，由于mA=2mB，所以开始时摩擦力沿斜面向上，当将木板的倾角缓缓减小到30°时，摩擦力减到0，将木板的倾角缓缓减小到10°时，摩擦力沿斜面向下，所以物体A受到的摩擦力先减小后增大，则D正确；
故选D。
3.（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图甲所示，倾角为θ的斜面体C置于水平地面上，物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物块A连接，连接B的一段细绳与斜面平行，整个装置处于静止状态。现在B上再轻放一小物块D，整个系统仍处于静止状态，如图乙所示。则放上D之后与没放D时相比（　　）
A．B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C的摩擦力大小和方向都没改变
B．B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C的摩擦力大小一定变大
C．B对C的摩擦力大小一定发生改变，地面对C的摩擦力大小和方向都没改变
D．B对C的摩擦力大小一定发生改变，地面对C的摩擦力大小一定变大
【答案】A
【详解】CD．甲图，绳的拉力 ,因为A、B间质量关系未知，故B、C间摩擦力方向未知；乙图，绳的拉力 ,以B和D为研究对象，因为A和BD总质量间关系未知，故B、C间摩擦力方向未知，则放上D之后与没放D时相比B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，故C、D错误；
AB．甲图，以B、C整体为研究对象，地面摩擦力向左，大小为
乙图，以B、C和D整体为研究对象，地面摩擦力向左，大小为
则地面对C的摩擦力大小和方向都没改变，故A正确，B错误。
故选A。
4.（2023·湖南·高三专题）质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑.如果用与木楔斜面成角α的力F拉着木块沿斜面匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）.
（1）木楔与斜面的动摩擦因数；
（2）当α和θ满足什么关系时，拉力F有最小值，求此最小值；
（3）当α=θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
【答案】（1）tanθ；（2）当α=θ时，有Fmin=mgsin2θ；（3）1/2mgsin4θ
【详解】（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有 ,即
（2）木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动时，沿着斜面方向有
垂直斜面方向有 ,又 ,解得 ,则当α=θ时，有
（3）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到的地面摩擦力等于F的水平分力，即
,当时，有 ,可得 .

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