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课件90张PPT。义务教育课程标准实验教科书数 学（六年级下册） 教 材 介 绍编 写 特 点◆增加认识负数的教学，体现数学教学改革的新理念，加深学生对数概念知识的理解。
◆改进比例的编排，突出比例的概念，丰富联系实际的内容，培养实践能力。
◆提供丰富的空间与图形的教学内容，注重　动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。 ◆安排对小学阶段数学学习的整理和复习，使学生所学的数学知识系统化，做好中小学数学教学的衔接。
◆有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。
◆情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。 第 一 单 元 负 数 １．在熟悉的生活情境中初步认识负数，能
　　正确读、写正数和负数，知道0既不是正
　　数也不是负数。
２．初步学会用负数表示一些日常生活中的
　　实际问题，体验数学与生活的密切联系。
３．能借助数轴初步学会比较正数、0和负
　　数之间的大小。一、教 学 目 标二、教 学 内 容三、具 体 编 排 教材说明
(1) 使学生知道生活中存在
负数。
(2) 认识负数存在的必要性。
(3) 体会16℃和－16℃是以0℃为基准的两个相反意义的量。 教材说明
(1) 进一步认识负数的应用和存在的必要性。
(2) 体会500和－500是两个相反意义的量。
(3) 负数的描述性定义和
读写法。
(4) 正数的描述性定义和
读写法。
(5) 数的分类。
(6)让学生说负数的应用。 教材说明
(1) 进一步 体会向东4m和向西4m是两个相反意义的量。
(2) 引导学生思考在直线上表示这两种量。
(3) 数轴的描述性定义和特征。
(5) 初步体会数轴的三要素。
(6)初步渗透数形(数点对应)结合的思想，借助数轴的直观图初步体会数轴上正负数的排列规律，形成正负数比较完整的认知结构。 教材说明
(1)借助数轴上数的排列规律比较数的大小。
(2) 引导学生结合数轴讨论怎样比较两个数的大小。 教材说明
(1)给出规定:数轴上的数,从左到右就是从小到大。
(2) 总结两个数大小比较的方法:负数比0小，0比正数小，负数比正数小。
(3) 两个负数比较大小：结合数轴比较, 初步体会负号后边的数越来越大，这个负数反而越来越小。 四、编 排 特 点1．选取学生熟悉的生活素材，加深对负数意义的理解。
2．初步建立数轴的模型，渗透数形结合的思想。五、教 学 建 议１．通过丰富多彩的生活情境，加深学生对负数的认识。
２．把握好教学要求。
第 二 单 元 圆 柱 与 圆 锥 1．认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征
　认识圆柱的底面、侧面和高。认识圆锥
　的底面和 高。
２．探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计
　算方法，以及圆柱、圆锥体积的计算公
　式，会运用公式计算体积，解决有关的简　　
　单实际问题。
3．通过观察、设计和制作圆柱、圆锥体模
　型等活动，了解平面图形与立体图形之间
　的联系，发展学生的空间观念。
一、教 学 目 标二、教 学 内 容三、具 体 编 排 教材说明
（1）使学生体会生活中的圆柱.
（2）从实物抽象成圆柱。 （1）圆柱有关的概念。
（2）圆柱的特征。
（3）通过操作体验圆柱是平面图形绕轴旋转而成。 （1）圆柱的侧面展开图。
（2）展开图与底面的长度关系。（1）圆柱的表面积。
（2）圆柱的侧面积。圆柱的表面积的应用。（1）圆柱的体积。
（2）用转化的方法推导圆柱的体积计算公式。（1）圆柱的容积。
（2）容积的计算。四、编 排 特 点１．加强了所学知识与现实生活的联系。
２．加强了学生对图形特征、计算方法的
　　探索过程。
３．加强了学生在操作中对空间与图形
　　问题的思考。五、教 学 建 议1．加强数学知识与实际生活的联系，提高运用所学知识解决实际问题的意识与能力。
2．让学生经历探索知识的过程，培养自主解决问题的能力。第 三 单 元 比 例一、教 学 目 标1．理解比例的意义和基本性质，会解比例。
2．理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。
3．认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。4．了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
5．认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。
6．渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。二、教 学 内 容三、具 体 编 排 教材说明
（1）使学生体会比例的应用。
（2）四面国旗的大小不同，但因为是按照一定的比例制作的，它们的长与宽的比值是相等的，由此引入比例意义的教学。
（3）为以后学习图形的放大与缩小作一些铺垫。 （4）从比较操场上和教室里的国旗长与宽的比值，概括出比例的意义。
（5）通过从四面国旗的尺寸中找比组成比例，巩固比例的意义。
教学建议
（1）复习比、比值、化简比
（2）引导学生写出四面国旗长与宽的比的比值，根据两个比的比值相等可以组成一个等式，引出比例。
（3）组成比例可灵活，以加深对比例的认识。
（4）注意区分比和比例。 教材说明
（1）认识比例的有关概念。
（2）用不完全归纳法归纳比例的基本性质。
（3）为以后学习图形的放大与缩小作一些铺垫。 教材说明
（1）比例基本性质的应用。
（2）解比例的实际应用，解题步骤。
（3）解比例转化为解方程。 教材说明
（1）水的体积和高度是两种相关联的量，水的体积随着高度的变化而变化。
（2）水的高度增加，体积也增加，水的高度降低，体积也减少。
（3）水的体积和高度的比值一定。由此引出正比例的意义，说明体积和高度成正比例关系，体积和高度叫做成正比例的量。 （4）从比值恒定，概括正比例关系。
（5）渗透坐标思想,函数图像。体会正比例关系图像的特点和作用，加深对正比例关系的认识 。
教学建议
（1）复习六上位置、数轴。
（2）突出图像是由两个变量的不断变化的相对应的值组成的有序数对所表示的点组成的。
（3）给出一个变量的值，根据图像估计相对应的变量的值。 教材说明
（1）比例尺的意义。
（2）比例尺的概念。
（3）数值和线段比例尺。 （4）扩大的情况。
（5）比例尺的特点。
（6）线段比例尺转化成数值比例尺。 注意单位相同，km化成cm加几个０易出问题。 教材说明
（1）比例尺的应用。
（2）根据比例尺和图上距离求实际距离。
教学建议
（1）复习解比例。
（2）注意未知数的单位。 教材说明
（1）解决实际问题。
（2）确定比例尺。
（3）求图上距离。
教学建议
（1）复习比例尺。
（2）重视小组合作交流。
（3）所画平面图要标明比例尺 教材说明
（1）了解生活中的放大或缩小现象。 （2）通过操作理解放大或缩小的本质：大小变了，形状不变。边长变了，角度不变。
（3）对应边成比例，对应角相等。
教学建议
（1）复习比例尺。
（2）重视小组合作交流。
（3）可适当开放。如相似图形的周长及面积是否成比例？ 教材说明
（1）解决实际问题。
（2）从归一到列比例。
教学建议
（1）复习正比例关系。
（2）引导学生思考什么量一定，两个变量之间存在什么关系，从而找到正比例关系。 教材说明
（1）解决实际问题。
（2）从归总到列比例。
教学建议
（1）复习反比例关系。
（2）引导学生思考什么量一定，两个变量之间存在什么关系，从而找到反比例关系。四、编 排 特 点1．体现比例在生产和生活中的广泛应用。
2．渗透函数思想 。 五、教 学 建 议1.重视基本概念的教学。
2．提高学生综合运用知识的能力。综合应用 ：自行车里的数学　　　 让学生综合运用所学的圆、排列组合等方面的知识，通过解决学生生活中常见的“自行车里的数学”问题，了解数学与生活的广泛联系，经历“提出问题—分析问题—建立数学模型—求解—解释与应用”的解决问题的基本过程，获得运用数学解决实际问题的思考方法，并加深对所学知识及其相互关系的理解。教 学 建 议1.准备需要的数据和图片。
2.放手让学生合作探究。 第 四 单 元 统 计一、教 学 目 标1．会综合应用学过的统计知识，能从统计图中准确提取统计信息，能够正确解释统计结果。
2．能根据统计图提供的信息，做出正确的统计判断或预测。二、教 学 内 容本单元通过简单事例帮助学生体会：
统计图直观、形象的特点可以帮助我们进行正确分析判断或预测，但如果对统计图表不进行认真分析，可能会得到不准确的信息，从而得出错误的结论或判断。因此我们应对统计数据进行认真、客观、全面的分析，以保证所得结论的真实性和判断的正确性。三、具 体 编 排四、教 学 建 议1．注重知识的前后联系，培养学生综合分析能力。
2．把握好教学要求。第 五 单 元 　数 学 广 角　1. 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了
解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决
简单的实际问题。
2. 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的
魅力。一、教 学 目 标 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。  “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。 二、教 学 内 容三、具 体 编 排 教材说明
把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
教学建议
引导学生自主探索，得出一般性结论。 教材说明
把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
教学建议
引导学生利用有余数除法原理的角度探索，得出一般性结论。
做一做
注意是商加1，而不是加余数。 教材说明
抽屉原理的应用。
教学建议
关键是找到抽屉。
引导学生利用有余数除法原理得出答案。
进而总结一般性结论：只要摸出的球比颜色多1。 把三种颜色看作抽屉。
把8种涂法看作抽屉。
把4种涂法看作抽屉。
把被3除余数是0、1、2
3种情况看作3个抽屉。
把每3个数的和，8个和看作8个抽屉。
四、教 学 建 议1．让学生初步经历“数学证明”的过程。

2．重视实践活动，在探索中获取知识。
3．要适当把握教学要求。 综合应用 ：节 约 用 水　　　 通过测量等操作活动，一方面让学生经历收集、整理、分析数据的过程；另一方面可促使学生综合运用所学的数学知识、技能和方法科学地认识日常生活中水资源浪费的问题。此外，该综合应用还可让学生积累节约用水的方法，加强学生的环保意识。教 学 建 议1.课前让学生充分调查和测量。
2.为学生准备相关资料和数据。 第 六 单 元 整 理 与 复 习 1．通过整理和复习，比较系统地掌握有
关整数、小数、分数和百分数、负数、
比和比例、方程的基础知识；能比较熟
练地进行整数、小数、分数的四则运
算，能进行整数、小数加、减、乘、除
的估算，会使用学过的简便算法，合
理、灵活地进行计算；会解学过的方
程；养成检查和验算的习惯。一、教 学 目 标2．通过整理和复习，巩固常用计量单位的表象，掌握所学单位间的进率，能够进行简单的改写。
3．通过整理和复习，掌握所学几何形体的特征；能够比较熟练地计算一些几何形体的周长、面积和体积，并能应用；巩固所学的简单的画图、测量等技能；巩固轴对称图形的认识，会画一个图形的对称轴，巩固图形的平移、旋转的认识；能用数对或根据方向和距离确定物体的位置，掌握有关比例尺的知识，并能应用。4．通过整理和复习，掌握所学的统计初步知识，能够看和绘制简单的统计图表，能够根据数据作出简单的判断与预测，会求一些简单事件的可能性，能够解决一些计算平均数的实际问题。
5．通过整理和复习，进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；掌握所学的常见数量关系和解决问题的思考方法，能够比较灵活地运用所学知识解决生活中一些简单的实际问题。二、教 学 内 容三、编 排 特 点1．依据《数学课程标准》对小学数学的学习内容进行梳理归类。
2．精简内容，突出整理和复习的重点，为学生主动参与知识的整理提供空间。
3．注重问题情境的创设，注重所学知识的应用，发展学生的能力。 四、教 学 建 议1．加强整理和复习的系统性。
2．启发、引导学生自己整理知识。
3．在系统整理复习的过程中注意查漏补缺。
4．加强练习的针对性、有效性。
5．注意引导学生积累数学学习的经验，总结解决问题的策略。《义务教育课程标准实验教科书 数学》
六年级下册 培训提纲
◎ 教学内容
负数，圆柱与圆锥，比例，统计，数学广角，整理与复习6个单元和2个综合应用活动。
数与代数：安排了负数和比例两个单元。负数的认识——结合生活实例使学生初步认识负数，了解负数在实际生活中的应用。
空间与图形：安排了圆柱与圆锥的教学。
统计与概率：安排了有关数据可能产生误导的内容。通过简单事例，使学生认识到利用统计图表虽便于作出判断或预测，但如不认真分析也有可能获得不准确的信息导致错误判断或预测，明确对统计数据进行认真、客观、全面的分析的重要性。
数学广角：引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“抽屉原理”的过程，体会如何对一些简单的实际问题“模型化”，从而学习用“抽屉原理”加以解决，感受数学的魅力，发展学生解决问题的能力。
整理与复习：引导学生对全部数学学习内容进行一次系统的、全面的回顾与整理，帮助学生完善头脑中的数学认知结构，为初中的数学学习打下良好的基础；同时进一步提高学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
◎ 各单元教材介绍
一、负数
（一）教学目标
1．在熟悉的生活情境中初步认识负数，能正确的读、写正数和负数，知道0既不是正数也不是负数。
2．初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题，体验数学与生活的密切联系。
3．能借助数轴初步学会比较正数、0和负数之间的大小。
例1
引出负数
例2
负数的读、写；
0既不是正数也不是负数。
例3
认识数轴
例4
比较数的大小
（二）教学内容
（三）编排特点
增加认识负数的教学，体现数学教学改革的新理念，加深学生对数概念知识的理解。
负数是《标准》第二学段规定的教学内容，也是小学阶段数学教学新增加的内容。很久以来，负数的教学一般安排在中学教学的起始阶段进行，现在考虑到负数在生活中的广泛应用，学生在日常生活中已经接触了一些负数，有了初步认识负数的基础，《标准》将其提前到小学阶段教学。认识负数，对于小学生来说是数概念建立过程中的一次拓展。他们以往所认识的数——整数、分数、小数等都是算术范围之内的数，建立负数的概念则使学生认数的范围从算术的数拓展到有理数，从而丰富了小学生对数概念的认识。
1．选取学生熟悉的生活素材，加深对负数意义的理解。
“负数”概念对于小学生来说比较抽象，《标准》要求“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义。” 因此，教材首先注意为学生的学习提供丰富多彩、贴近生活的素材，如学生熟悉的天气预报中对气温的表示方法、日常生活中对收入与支出的记录方法等，让学生在实际生活背景中感受和体会负数产生的必要性、正负数的含义。教材还注意在练习中提供应用负数的活动，让学生在实际应用中加深对负数的理解。例如，用正负数表示海拔高度、记录不同时区的时间、记录自己身高或体重与平均身高或体重的差距，等等。这样的编排不仅加深了学生对负数的理解，还有助于培养学生用数学眼光观察现实，逐步形成数学应用的意识。
2．初步建立数轴的模型，渗透数形结合的思想。
在学生初步认识负数后，例3安排了一个活动情境，在直线上表示从一点向两个相反方向运动后的情形，也就是在直线上表示正数、0和负数的内容，帮助学生进一步感受负数的意义并初步建立数轴的模型。例4进一步让学生把未来一周每天的最低气温在数轴上表示出来，借助数轴来比较数的大小。利用学生对温度高低的亲身体验理解正数、0和负数的大小，初步体会数轴上数的顺序，完成对数的结构的初步构建。
（四）具体编排
1．例1。通过每天都接触的气温引入负数。
如果没有观测的条件，也可以制作温度计教具，根据例1的情境在温度计教具上拨出相应的温度。提问：“零下16℃用16℃表示，那么零下16℃可以怎样表示呢？”介绍用负数表示零下16℃的写法和读法，体会生活中引入负数的必要性。再让学生思考‘ 16℃’和‘-16℃’的意义是否相同，体会16℃和－16℃是以0℃为基准的两个相反意义的量。
2．例2。
○通过实例让学生体会负数在生活中的广泛应用。存折上的明细中分别用正、负数表示存入和支出，让学生结合具体数据说它们的含义，进一步体会正负数表示两种相反意义的量。
○接下来结合前两个例题进行小结，给出正负数的名称。说明为了表示两种相反意义的量，新出现的前面都有一个“-”号的数是负数，而相应的以前所学的是正数，其中正数也可以在前面加上“+”号（一般可以省去“+”号），让学生初步建立正负数的概念。
○最后通过小精灵说“你还在什么地方见过负数”，让学生举出生活中用正负数表示数量的实际例子，加深对正负数表示两种相反意义的量的体会。
注意：
（1）让学生体会正负数在实际中表示相反的含义。
（2）强调正数前面可以加上“+”号，通常可以省略不写，负数前面的“-”号则必须写。
（3）不要给正负数下定义，只要学生知道什么样的数是正数，什么样的数是负数即可。
（4）让学生明确0既不是正数，也不是负数，它是正负数的分界点。
（5）让学生说还在什么地方见过负数时，教师应把具有相反意义的两个量对应记录下来，通过对比帮助学生加深对正负数意义的体会。
3．例3。
教学在直线上表示正数、0和负数，初步渗透数轴的概念和数形结合的思想，借助数轴的直观图初步体会数轴上正负数的排列规律，形成正负数比较完整的认知结构。
学生在前面已经学习了在直线上表示正数、0，教材通过描述位置的问题引出如何在直线上表示正数、0和负数。由小精灵说明“上面这样的直线叫数轴”，让学生把数轴上的点和抽象的正负数对应起来，感受数轴上正负数的排列规律。
最后通过让学生在数轴上表示出-1.5的位置，让学生思考在数轴上如何表示负小数或负分数，这样对数轴上表示正数、0和负数有一个相对完整的认识。接下来思考如果从起点到-1.5处，应如何运动，实际上就是让学生思考-1.5中的“-”号与“1.5 ”各表示什么意思，让学生在具体的情境中再次感受正负数的实际意义。
建议：
（1）先回忆在直线上表示数的方法（这里不仅有整数，还应包括分数和小数）。
（2）提问：怎样用数来简明的表示孩子和大树的相对位置关系呢？结合前面学习的用正负数表示生活中两种相反意义的量的经验，让学生把直线上的点和正负数对应起来。
（3）总结：可以像这样在直线上表示出正数、0和负数，这样的直线叫做数轴。让学生脱离具体的情境，把数轴的点和抽象的正负数对应起来，直观体会数轴上正负数的排列规律。
（4）可继续让学生探讨如何在数轴上表示分数和小数。
4．例4。教学借助数轴比较数的大小。
这里数的大小比较包括两类情况：一类是正数和正数、正数和0。另一类是正数和负数、0和负数以及负数和负数。第一类情况的比较学生比较熟悉，第二类情况的比较学生容易借助温度的高低来对照比较。事实上如果由低到高的排列这些温度，对应数轴上的各点正好是从左到右的顺序。因此在学生交流比较方法的基础上，通过小精灵的话，引出利用数轴比较数的大小的规定：在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。这样就把数的大小比较和数轴上的点对应起来，在此基础上总结出：负数比0小，正数比0大，负数比正数小。负数与负数的比较，教材利用学生的具体比较来说明“－8在－6的左边，所以－8<－6”。并且还通过另一位学生的比较“8>6，但是－8<－6”，使学生初步体会两个负数比较大小时，绝对值大的负数反而小（这里还没有出现绝对值的概念，只是让学生借助和负数相对应的正数初步体会）。
建议：
（1）先让学生结合生活经验任意比较两个温度的高低。
（2）主要从正数和0、负数和正数、负数和0的大小比较，以及两个负数的大小关系与对应的正数的大小关系来观察。
（3）得出结论：数轴上表示数的点从左往右的顺序就是数从小到大的顺序。
（五）教学建议
通过丰富多彩的生活情境，加深学生对负数的认识。
负数的出现，是生活中表示两种相反意义的量的需要。教学时，教师应通过丰富多彩的生活实例，来唤起学生的生活经验，让学生在具体的情境中感受出现负数的必要，并通过两种相反意义的量的对比，初步建立负数的概念。在引入负数以后，教师要鼓励学生举出生活中用正负数表示两种相反意义的量的实际例子，训练学生用数学的眼光观察生活，并通过大量的事例加深对负数的认识，感受数学在实际生活中的广泛应用。
把握好教学要求。
对负数的教学是作为中学进一步学习有理数的过渡，小学阶段只要求学生初步认识负数，能在具体的情境中理解负数的意义，初步建立负数的概念。所以，（1）不出现正负数的数学定义，而是描述什么样的数是正数，什么样的数是负数，只要求学生能辨认正负数。（2）关于数轴的认识，这里还没有出现严格的数学定义，而是描述性的定义，只是让学生借助已有的在直线上表示正数和0的经验，迁移类推到负数，能在直线上表示出正数、0和负数所对应的点。（3）关于数的大小比较，特别是两个负数的比较，这里还不是抽象的比较，只要求学生能借助数轴来比较就可以了。
二、 圆柱与圆锥
（一）教学目标
1．认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征。认识圆柱的底面、侧面和高。认识圆锥的底面和高。
2．探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法，以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题。
3．通过观察、设计和制作圆柱、圆锥体模型等活动，了解平面图形与立体图形之间的联系，发展学生的空间观念。
(二)教学内容
1．圆柱
圆柱的认识
例1
圆柱的认识、组成及特征
例2
圆柱侧面、底面及其之间关系
圆柱的表面积
例3
圆柱表面积的概念
探索表面积的计算方法
例4
圆柱表面积计算的实际应用
圆柱的体积
例5
圆柱体积公式的推导
例6
圆柱体积计算解决问题
2．圆锥
圆锥的认识
例1
圆锥的认识、组成及特征
圆锥的体积
例2
圆锥体积公式的推导
例3
圆锥体积计算解决问题
（三）编排特点
注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。
圆柱与圆锥是传统的教学内容，对这部分内容的编排，在内容和要求方面没有大的变化，但是，实验教材的编排体现了新的教学理念，使得教材的面貌发生了较大的变化。
（1）加强了所学知识与现实生活的联系。对圆柱、圆锥的认识，教材均通过列举大量现实生活中具有圆柱、圆椎体特征的实物直观引入，让学生观察思考这些物体形状的共同的特点，并从实物中抽象出它们的几何图形。当学生认识它们的主要特征后，又让学生从生活中寻找更多的具有如此特征的实物，从而加强所学知识与现实生活的联系，加深了学生对圆柱、圆锥的认识，进一步感受几何知识在生活中的广泛应用。
（2）加强了对图形特征、求表面积和体积方法的探索过程。在以往的教学中，这些部分内容的编排更侧重于理解和掌握图形的特征和表面积、体积的计算方法，而对于促进学生空间观念的发展在学习素材和实践操作方面都显不够。实验教材加强了动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生获得较多的有关自主探索和空间观念的训练机会。例如，圆柱的特征，是让学生动手实验、自主探索得到的。在教学圆柱展开图的特征时，教材从让学生自主探索“圆柱的侧面展开后是什么形状？”开始，让学生动手操作，剪一剪并展开观察，再把展开得到的长方形重新包上，探索并发现此长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。这就为进一步探索圆柱表面积的计算方法打下基础，也加深了学生对圆柱特征的认识，锻炼了学生空间想像的能力。
（3）加强了学生在操作中对空间与图形问题的思考。在编排圆柱和圆锥的认识时，增加了用长方形（或三角形）的硬纸贴在木棒上快速转动转出圆柱（或圆锥）的活动。此项活动不仅可以激发学生的学习兴趣，了解平面图形与立体图形之间的联系和转换关系；同时可以使学生在操作、观察、想像、推理过程中，进一步认识圆柱、圆锥的特征，发展空间观念。
（4）加强了学习方法的引导，鼓励学生独立思考，培养学生的学习能力。教材注意鼓励学生运用已有的知识对新学习的内容进行联想和猜测，再通过实验和推理验证，培养学生良好的学习和思考习惯。例如，教材联系长方体体积公式鼓励学生估计圆柱体积的计算方法，联系圆柱体积公式鼓励学生猜测圆锥体积的计算方法。圆锥体积的教学是按照引出问题——联想、猜测——实验探究——导出公式的思路设计的，在猜测的基础上进行实验和推理， 使学生受到研究方法和思维方式的训练，发展和提高自主学习的能力。
（四）具体编排
○ 圆柱
包括三部分内容：圆柱的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积。安排了6个例题。
1．圆柱的认识。
教材分三个层次编排这部分内容。
（1）圆柱的认识（主题图）。
首先，教材呈现了现实生活中具有圆柱体特征的建筑物和生活用品的图片，让学生观察。并提出问题“这些物体的形状有什么共同特点？”引导学生思考。
其次，从实物中抽象出圆柱体的立体图形，给出图形的名称，使学生对圆柱体的认识经历由形象——表象——抽象的过程。
最后，让学生说说生活中还见过哪些圆柱形的物体，丰富学生头脑中圆柱体形象的储备，同时让学生感受生活中对圆柱形的运用是非常广泛的。
（2）圆柱的组成及其特征（例1）。
·引导学生观察圆柱形的实物，认识圆柱的底面、侧面和高。
·然后引导学生通过观察、触摸了解圆柱的特征。
·接着，安排了一个有趣的活动。使学生从旋转的角度认识圆柱，即绕长方形的一条边快速旋转，形成圆柱形状，感受平面图形与立体图形的转换。
（3）圆柱侧面、底面及其之间关系（例2）。
·认识圆柱侧面展开图。教材的编排体现了让学生充分探究的学习过程：没有直接指出圆柱侧面展开图的形状，及展开后长方形的长、宽与圆柱的关系，而是让学生猜想“圆柱的侧面展开是什么形状？”然后引导学生剪开圆柱形罐头盒的商标纸，使学生发现圆柱侧面的展开图是一个长方形。再通过操作验证比较，发现长方形的长是圆柱底面的周长，长方形的宽是圆柱的高。
建议：
（1）教学圆柱的认识和探究圆柱特征时，应加强直观演示和操作。
（2）让学生快速转动长方形纸片活动，只要求学生操作、感知，不必做更深入的讲解。
（3）认识圆柱的侧面展开图时，要放手让学生经历探索知识的过程。
2．圆柱的表面积（例3、例4）。
（1）例3教学圆柱表面积的概念，探索表面积的计算方法。由于学生对圆柱表面积理解并不困难。因此教材就提出问题：圆柱的表面积指的是什么？让学生在交流中逐步理解圆柱表面积的含义。对于表面积的计算，教材加强了操作，让学生圆柱模型展开观察，并在展开后的图形中标明圆柱的底面和侧面，以便于把展开后的每个面与展开前的位置对应起来，得出：圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积。推出：圆柱的侧面积＝底面周长×高。
（2）例4是圆柱表面积计算的实际应用。
建议：
（1）教学圆柱的表面积，应利用已有知识进行迁移。
（2）如何计算圆柱的表面积，要通过直观手段，帮助学生得出。
（3）教学例4，教师可准备一顶厨师帽或用纸糊一顶厨师帽，帮助学生理解题意。
3．圆柱的体积（例5、例6）。
例5教学圆柱体积公式的推导，例6是利用圆柱体积计算解决问题。
（1）例5，渗透了转化的思想。首先从回顾旧知（长方体、正方体的体积计算）入手，引出圆柱体积的计算问题，并提出圆柱能否转化成已学过的立体图形来计算体积。接着通过教具演示图说明把圆柱的底面分成若干个相等的扇形，把圆柱切开，拼成一个近似的长方体。然后引导观察和推理，得出这个长方体的底面积等于圆柱的底面积S，高就是圆柱的高h。由长方体的体积计算公式得出圆柱的体积计算公式为V＝Sh。
（2）例6之前，安排了已知圆柱底面半径r和高h，将圆柱体积计算公式V＝Sh改写为V＝的内容。
（3）例6，创设了一个生活化的问题情境“这个杯子能不能装下这袋牛奶？”解决这个问题，先要计算杯子的容积，使学生明白圆柱形容器容积的计算方法，跟圆柱体积的计算方法相同，可直接利用V＝计算。
建议：
教学时，要注意借助直观教具帮助学生推导计算公式。具体计算时，应注意联系实际问题，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
○ 圆锥
包括圆锥的认识和体积两部分内容。
1．圆锥的认识。
内容主要包括：圆锥的特征及各部分名称，其编排与圆柱的认识类似。
·从展示生活中常见的圆锥形实物图入手，提出问题“上面这些物体的形状有什么共同特点？” 使学生对圆锥进行初步感知。接着从实物图中抽象出圆锥的几何图形，标明这样的图形叫圆锥，完成从具体到抽象的过渡，并让学生说说还见过哪些圆锥形的物体，巩固圆锥的表象。
·例1，引导学生观察圆锥形实物，认识圆锥的底面、侧面和高，掌握它们的主要特征。并介绍测量圆锥高的方法。
·安排快速转动一个三角形的硬纸的活动，让学生从旋转的角度认识圆锥。
建议
（1）圆锥高的认识是教学难点，教学时可联系圆柱的高进行：“圆柱两底面之间的距离叫做圆柱的高。那么圆锥的高指什么？”或给出两种不同的说法“从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高”和“从圆锥的顶点到底面圆周上的一点的距离是圆锥的高”，让学生通过辩论、交流，认识圆锥的高，并区分高和母线（母线的名称不要给学生介绍）。为进一步认识圆锥的高，可以通过实际测量或利用课件介绍测量圆锥高的方法。
（2）做转动三角形纸片活动时，可先让学生猜测：“一个长方形通过旋转，可以形成一个圆柱，那么你们知道绕一个三角形的直角边旋转，会形成什么形状？”
（3）认识圆锥后，可以将圆锥和圆柱从组成和特征角度进行对比，使学生加深对这两种图形的认识。
2．圆锥的体积（例2、例3）。
例2教学圆锥体积公式的推导，例3是圆锥体积公式的应用。
例2，教材按“引出问题——联想、猜测——实验探究——导出公式”四个层次编排。
（1）引出问题。首先提出“你有办法知道这个铅锤的体积吗？”让学生讨论，讨论结果是：可以用排水法，但这种方法太麻烦。从而产生推导圆锥体积公式的动机。
（2）联想、猜测。学生讨论，回想会计算哪些图形的体积，思考圆锥的体积和哪种图形的体积有关？从而将圆锥和圆柱的体积联系起来。
（3）实验探究。首先让学生准备好等底、等高的圆锥和圆柱，通过圆柱圆锥相互倒水或沙子的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。
（4）导出公式。通过试验学生发现：等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的。由此得出圆锥体积的计算公式V＝Sh。
例3，教学圆锥的体积计算，使学生初步学会解决一些与计算圆锥形物体的体积有关的实际问题。
（五）教学建议
1．加强数学知识与实际生活的联系，提高运用所学知识解决实际问题的意识与能力。
这部分内容加强了与生活的联系，也为教师组织教学提供了思路。因此组织教学时应加强与实际生活的联系，重视进行提高学生运用所学知识解决实际问题的意识与能力的训练。如，在教学认识圆柱体和圆椎之前，可以让学生收集、整理生活中应用圆柱、圆锥的实例和信息资料，以便在课堂中交流。认识圆柱、圆锥后，还可以让学生根据需要创设和制作一个圆柱或圆锥形的物品，让大家欣赏或使用。
2．让学生经历探索知识的过程，培养自主解决问题的能力。
本单元加强了对图形特征、计算方法的探索。为此，教学时，应放手让学生经历探索知识的过程，使学生在经历观察、操作、推理、想像过程中掌握知识、发展空间观念。如圆椎体体积的教学，教师应大胆放手让学生探究，注意提供给学生积极思考，充分参与探索活动的时间和空间。
三、比　例
（一）教学目标
1．理解比例的意义和基本性质，会解比例。
2．理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。
3．认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
4．了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
5．认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。
6．渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
（二）教学内容
本单元具体内容安排如下：
（三）编排特点
突出比例的概念，丰富联系实际的内容，培养实践能力。
比例是传统的教学内容之一，也是小学高年级学生需要学习和掌握的重要基础知识。首先，它有着较大的实用价值，有一些实际问题需要用比例来解决。例如绘制地图、图形的扩大或缩小等；其次，它是学生进一步学习的基础知识，中学理科学习过程中常常要用到比例知识。另外，通过对正比例与反比例知识的学习，还可以加深学生对数量关系的认识，初步渗透函数思想，为中学的数学学习打下基础。因此，比例仍然是小学生高年级重点教学内容之一。
与以往的教学大纲比较，《标准》对这部分内容的教学要求有所提高。不仅要求学生认识正比例关系的图像，“能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值” 而且，在比例的应用方面要求学生“能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小。”这部分教材的编排，既注意体现了《标准》的要求和所提倡的数学教学新理念，又突出了比例在学生数学知识结构中的作用和地位。因此，实验教材的编排与原通用教材相比有以下几方面的改进。
（1）概念教学注意联系实际，加强探索性。比例单元的概念教学分量较重，比例、正比例、反比例等基本概念是后续学习的重要基础，本册教材的编排，先用前两小节集中进行概念教学。一方面注意引导学生通过观察、比较、判断、归纳等方法建立明晰的概念，另一方面注意联系实际，由实际问题引入概念学习，增加学习的探索性。 例如，由大小不同国旗的长宽关系问题引入比例意义的学习，从“世界公园”埃菲尔铁塔模型与原物的关系问题引入解比例。又如，“成正比例的量”和“成反比例的量” 两部分的教学，都是通过研究圆柱形杯子的体积、底面积与高这三个数量的依存关系，使学生理解正比例与反比例的意义。同时教材不再对研究的过程作详细的引导和说明，只是提供研究的素材与数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程。
（2）“比例的应用”增加内容，提供丰富的学习素材。比例在实际生活中有着广泛的应用，本册教材一方面根据《标准》的要求增加了图形的放大与缩小的内容，另一方面，将比例尺的教学移到这里，使得“比例的应用”由比例尺、图形的放大与缩小、用比例解决问题三部分组成，丰富了教学内容。其中“比例尺”的教学内容也比原通用教材内容丰富，增加了将实际尺寸放大的比例尺如何表示的实例（第48页），安排了综合运用比例尺知识进行实际作图的例题（第50页例3）。使得这部分内容不仅对于前两小节的概念学习起到巩固和加深理解的作用，而且对于学生体会比例在实际生活中的应用，培养应用意识、解决问题能力以及动手实践能力都是很好的素材和机会。
（3）注意渗透函数思想。函数是近代数学的重要概念之一，在现代科学技术中有广泛的应用，是中学数学学习的一个重要内容。在小学阶段，主要是通过一些知识的学习渗透函数思想。正比例和反比例意义的教学正是渗透函数思想的重要内容。本册教材继续使用原通用教材的编排方法，教学正比例概念之后接着教学反比例概念，便于对两个概念含义进行对比；在实例的基础上，用列表的形式体现变量之间的关系，接着用、的式子表示两个变量之间的关系。同时，增加了认识正比例图像的教学，在本单元安排“你知道吗？”介绍反比例的图像。这些内容都可使学生体会到成正、反比例的量的变化规律，对一种量怎样随着另一种量的变化而变化有鲜明的印象，使学生对对函数思想获得初步的了解。
（四）具体编排
○ 比例的意义和基本性质
包含三部分内容：比例的意义、比例的基本性质、解比例。
1.比例的意义
例1，认识比例的意义。分这样几个步骤。
（1）提供四个情境图，图中都有国旗，并都标出了长与宽。作用如下：
使学生通过现实情境体会比例的应用。
四面国旗的大小不同，但是按照一定的比例制作的，它们的长与宽的比值是相等的，由此引入比例意义的教学。
依据四面国旗长与宽可以组成多个比例式，为比例意义的教学提供较多的资源。
为以后学习图形的放大与缩小作一些铺垫。
（2）从比较操场上和教室里的国旗长与宽的比值，概括出比例的意义。
（3）通过从四面国旗的尺寸中找比组成比例，巩固比例的意义。
建议：
（1）可先回忆复习比的知识。如：什么是比？什么是比值？怎样求比值？怎样化简比？
（2）结合具体实例，归纳比例的意义。
（3）引出比例意义后，应回到实例中，体现从具体——抽象——具体这样一个认知过程。
（4）最后可对“比”与“比例”进行比较，使学生明确两个概念的联系与区别：比表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。
2.比例的基本性质
分为四个步骤进行。
（1）介绍组成比例的四个数的名称：项—内项、外项。
（2）计算出上例的比例中的两个内项之积和两个外项之积，从而发现两个乘积的关系。
（3）把比例改写为分数形式，把等号两边的分子与分母交叉相乘，发现积的关系。
（4）总结出比例的基本性质。
3.解比例
这部分内容是比例基本性质的应用，方法是依据比例的基本性质，把比例转化为方程，再解方程求解。后面学习比例尺和用比例解决问题都要用到解比例。
教材首先介绍什么叫解比例，解比例的依据是什么。然后用两个例题教学如何应用比例的基本性质解比例。
例2，是由实际问题引入，让学生体会解比例在生活中的应用。教材呈现了解答问题的过程。根据问题设→依据比例的意义列出比例式→根据比例的基本性质把比例转化为方程→解方程。
例3，解用分数形式表示的比例。
注意：突出解比例的关键：怎样根据比例的基本性质，把比例转化为方程。注意提示学生一般要把含有的乘积写在等号的左边。
○ 正比例和反比例的意义
正比例与反比例是比较重要的两种数量关系，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，并能应用它们解决一些含正、反比例关系的实际问题。同时通过这部分内容的教学，可以进一步渗透函数思想，为学生今后的学习打下基础。
本节教材分 “成正比例的量”和“成反比例的量” 两个部分。与过去的教材相比，教材精简了例题，正比例与反比例都只安排了一个例题，通过研究圆柱形杯子的体积、底面积与高这三个数量的依存关系，使学生理解正比例与反比例的意义。同时教材不再对研究的过程作详细的引导和说明，只是提供观察研究的素材与数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程。
在正比例教学部分，根据《标准》要求，教材安排了正比例的图像，直观地呈现两个变量之间的依存关系，使学生加深对正比例的认识。
1. 教学成正比例的量（例1）。
例1教学正比例的意义。教材呈现了用相同的圆柱形杯子装水的实验，用列表的形式给出了装水的高度和相应的体积的实验数据，让学生填出相应的杯子的底面积。然后引导学生观察此表，研究水的体积和高度这两个量的变化关系及规律。使学生从三个层次认识这两个量的变化关系：（1）水的体积和高度是两种相关联的量，水的体积随着高度的变化而变化。水的高度增加，体积也增加，水的高度降低，体积也减少。（2）水的体积和高度的比值一定。引出正比例的意义，说明体积和高度成正比例关系，体积和高度叫做成正比例的量。
接着用字母、表示两种相关联的量，把正比例关系进一步抽象概括成（一定）。
最后让学生找一找生活中成正比例的量，进一步巩固正比例的意义。
建议：
（1）正比例的意义应结合学生熟悉的数量关系进行教学。可以采用教材中的例子，也可以选择学生熟悉的其他数量关系，如单价、数量和总价或时间、速度和路程等数量关系。教材提供的例子，研究的是圆柱形水杯的体积与高度的关系，有6组数据，这些数据不必通过实验得出，但如果能用多媒体或其他形式直观呈现数据的获取过程也可以。
（2）研究水的体积和高度的关系前，可先让学生计算出每数据相应的底面积，然后采用小组讨论的形式进行研究。可出示几个问题：①水的体积和高度有关系吗？②水的体积是怎样随着高度变化的？③水的体积和高度的变化有什么规律？引导学生分析水的体积和高度之间的关系。
2. 教学正比例图像（例2）。
函数的图像是用平面直角坐标系表示的，由于学生没有直角坐标系方面的知识，教材直接呈现出例1中体积与高度的正比例关系图像，再通过图下面的两个问题，让学生体会正比例图像的特点和作用，加深对正比例的认识。
建议：
（1）可以先出示坐标系说明如何描点连线画出正比例关系图像。再通过图下面的两个问题体会正比例图像的特点。
（2）用图像表示正比例关系。可以先出示例1的数据表和坐标系，说明正比例关系可以通过一个图像来表示。然后介绍坐标系横线上和竖线上的数据表示的含义，并结合例1数据表中的一对数据说明表中的每一组数据，都可以用一个点来表示，如，高度2㎝，体积50㎝3这对数据，就可以用（2,50）表示，照此方法师生共同描出其余的点。并把描好的点连起来，形成一条直线，告诉学生这就是体积与高度的正比例关系图像。
（3）认识正比例关系图像。结合问题（1），使学生了解从这个图像可以直观看到高度与体积的变化情况，高度增加，体积也随着增大。通过问题（2），使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，找到对应的另一个量的值。如，知道高度是7㎝，可以从图像上找到高度是7的点，再找这个点对应的竖线上的数175，即高度是7㎝时，对应的体积175㎝3。
3.成反比例的量（例3）。
教学反比例的意义。教材通过研究装水实验中，水的高度和水杯底面积的关系来认识反比例的意义。编排思路与例1相类似。
建议：
（1）有了学习正比例意义的基础，反比例意义的学习应更加体现学生的主体性，除了让学生发现成反比例的量之间关系，也可以让学生仿照正比例意义，尝试归纳反比例的意义。
（2）可以将例1与例3进行比较，加深对正比例和反比例的认识，体会它们之间的联系。
○ 比例的应用
本节内容包括：比例尺、图形的放大与缩小、用比例解决问题。
1.比例尺。
比例尺表示图上距离与实际距离的比，因此它可以作为比的应用。但实际上，图上距离与实际距离是成比例的，根据比例尺求图上距离或实际距离都可以列比例式来解。所以它也可以看作是比例的应用。
分三个层次教学：认识比例尺，根据比例尺求图上距离或实际距离，应用比例尺画图。
（1）认识比例尺。
教材首先说明为什么要确定图上距离与实际距离的比，明确它的意义，并给出比例尺的概念，再结合两幅地图的比例尺介绍数值比例尺和线段比例尺，又通过一个机器零件的放大图纸，让学生认识把实际距离放大的比例尺如何表示。最后说明为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。
建议：
教学时，可以出示一幅用数值比例尺表示的地图，结合地图说明绘制地图首先需要把实际距离按一定的比例缩小，引出比例尺。再将地图上的比例尺放大，让学生说说比例尺中的1表示什么？100000000（1亿）表示什么？接着再出示另一幅用数值比例尺标注的地图，让学生说说它的具体含义。另外出示一幅用线段比例尺标注的地图，让学生认识线段比例尺。
为充分的认识比例尺，还可以再出示一张放大的图纸，说明有时根据需要，要把实际距离按一定的比例扩大一定的倍数再画到图纸上。让学生找出这张图纸的比例尺，说一说它表示的意义，体会比例尺前项比后项大时，表示放大。
结合上面三个比例尺，说明为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。
例1，教学把线段比例尺改写成数值比例尺，为后面比例尺的计算做铺垫。
(2) 例2。
教学根据比例尺和图上距离求实际距离。
教材给出了北京市地铁线路图、比例尺和地铁1号线在图中的长度，求实际的长度。教材给出了完整的解题过程：先设实际距离为厘米，再根据，用解比例的方法求出实际距离。
建议：
本例是根据比例尺的关系式，应用方程求出未知数。本例教学时要注意以下几点：
①在设未知数时，由于图上距离和实际距离所使用的单位不同，因此在设时应使用哪个长度单位是个难点，教学时要注意指导。要求的实际距离是多少千米，但已知的图上距离是多少厘米，可以先设实际距离为厘米，算出实际距离的厘米数后，再变成千米数。
②因为，这里的比例尺可以看作是一个常数，也就是说图上距离和实际距离成正比例关系，所以有关比例尺的问题也可以用正比例来解，解题过程中可以把这个问题点明。
（3）例3。
例3是综合运用比例尺的有关知识解决实际问题。这里的问题是根据学校操场的实际长度，画出操场平面图。解决这个问题要用到前面学习的两个内容①确定平面图的比例尺。②根据比例尺求图上距离。
教材显示小组讨论的画面，提示要用合作学习的形式进行。通过学生讨论，提示了解决这个问题的步骤：先确定比例尺，再根据比例尺确定操场在图上的长和宽。
教材出现两个学生求长和宽的图上距离的方法和结果。左边男孩根据比例尺用解比例的方法，求出长和宽的图上距离；右边女孩根据图上的1cm表示10m，80m里有8个10m，60m里有6个10m，求出长和宽的图上距离分别是8cm和6cm，这种方法不用将实际距离化成厘米数，比左边的方法稍简便一些。
教学建议
①小组合作学习，讨论解决问题的步骤和方法。
②对书上呈现的求在图上的长和宽的两种方法，应让学生理解各自不同的特点。
③画出平面图时，注意提醒学生要注明比例尺。
2.图形的放大与缩小　
图形的放大与缩小是比例的实际应用。通过这部分内容的学习，使学生从数学的角度认识放大与缩小现象，知道图形按一定的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变，从而体会图形相似变化的特点，并能在方格纸上按一定的比将简单图形放大或缩小。
教材首先呈现了生活中的一些放大与缩小现象，使学生初步认识放大与缩小现象。
然后通过例4进一步研究图形放大与缩小的特点。教材先让学生按2∶1的比在方格纸上画出三个简单的平面图形的放大图，使学生通过画图了解到：要把一个图形按一定的比放大，只要把图形的各边按一定的比放大即可。然后再让学生观察放大前后的图形，通过对比认识到：放大前、后，图形的大小变了，形状没变。在此基础上，让学生把放大后的三个图形按1∶3的比缩小，体会到：一个图形按一定的比缩小后，图形变小了，但形状没变。最后教材综合两方面的认识，总结出：图形按一定的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。
注意：教学例4，画直角三角形时，可以引导学生思考：直角三角形的斜边不能直接看出是多少格，是不是只要把两直角边放大到原来的2倍，就可以了？画完后，可以让学生通过数一数或量一量的方法，发现放大后的斜边长度是放大前的2倍。
3.用比例解决问题。
这部分内容主要是解决含正、反比例关系的问题，这类问题学生在前面实际上已经接触过，只是用归一、归总的方法来解答，这里主要学习用比例知识来解答。通过解答使学生进一步熟练地判断成正、反比例的量，加深对正、反比例概念的理解，也为中学数学、物理、化学学科应有比例知识解决一些问题做好准备。同时，由于解答时是根据正、反比例的意义来列等式，以可以巩固和加深对所学的简易方程的认识。
（1）例5。
教学应用正比例的意义解决问题。教材按下面几个步骤编排。
①从张大妈与李奶奶的对话引出求水费的实际问题。为加强知识间的联系，先让学生用学过的方法解答，然后学习用比例的知识解答。
②提示思路：用色字突出解题思路，特别强调首先要判断题目中两种量是成哪种比例，以及列出比例式所必需的相等关系，即“两家的水费与用水吨数的比值相等”。
③给出解答过程：设未知数，列出方程解答。
④拓展：让学生想一想，如果知道水费，怎样求用水量。
建议：
①用比例解答正、反比例的问题的关键是使学生能够正确找出两种相关联的量，判断它们成哪种比例，然后根据正比例或反比例的意义列出方程。所以在教学前可以先给出一些数量关系，让学生判断成什么比例，依据什么判断的？
②教学例5应用比例知识来解答时，可以出示以下问题让学生思考和讨论：
问题中有哪两种量？它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？根据这样的比例关系你能列出等式吗？
③提出“王大爷家上个月的水费是19.2元，他们家上个月用多少吨水？”后，使学生明确：例5的条件和问题改变后，题中水费和用水的吨数的正比例关系没变，只是未知量变了。
（2）例6。
学习用反比例的意义解决问题。编排思路与例5相似。也是先让学生用已学过的方法解答，然后学习用比例的知识解答。解答之后也是让学生想一想，如果改变题目的条件和问题该怎样解答？
建议：
①可以参照例5的教学进行。②结合“做一做”总结应用比例知识解答问题的步骤：一、分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例。二、依据正比例或反比例意义列出方程。三、解方程（求解后检验），写答。
（五）教学建议
1.重视基本概念的教学
比例、正比例、反比例是本单元学习的几个基本概念，十分重要。学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。如解答含正反比例关系的实际问题，首先要对两个量成何比例做出判断，然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答。再如，比例尺的应用及图形的放大与缩小，都要依据比例的意义进行相关的计算。教学中要通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念的理解和掌握。
2．提高学生综合运用知识的能力
本单元的知识综合性比较强，如比例的概念与比，除法、分数等相关知识，解比例及用比例方法解决问题，要用到方程的相关知识。所以学习中既要注意新旧知识的联系，又要注意发展学生综合运用知识的能力。教材的编写也注意体现知识的综合应用，例如比例尺的一些练习，不仅限于计算图上距离和实际距离，而且涉及到测量、图形、方向与位置的知识以及根据实际设计比例尺。
综合应用：自行车里的数学
旨在：让学生综合运用所学的圆、排列组合等方面的知识，通过解决 “自行车里的数学”问题，了解数学与生活的广泛联系，经历解决问题的基本过程，获得运用数学解决实际问题的思考方法，并加深对所学知识及其相互关系的理解。
“自行车里的数学”主要研究两个问题：普通自行的速度与其内在结构的关系；变速自行车的能变出多少种速度。
一、研究普通自行的速度与内在结构的关系——4个环节
1．提出问题。呈现学生熟悉两种不同型号的自行车，提问“蹬一圈，能走多远”，引出对自行车里的数学问题的研究。
2．尝试解决。教材分两步呈现。首先，呈现了学生探讨如何解决问题的场面，提出了两种方案。（1）通过直接测量来解决问题，但误差较大；（2）通过车轮的周长乘上后齿轮转的圈数，计算出蹬一圈车子走多远。接下来，呈现了学生探讨如何解决第二个方案中的关键问题——前齿轮转一圈，后齿轮转几圈——的过程。学生想到如果只凭观察是数不清的，要通过更精确的方法找出答案。学生根据“链条间的孔与前后两个齿轮的每个齿对应，前齿轮转过一个齿，后齿轮也一定转过一个齿”，判断出：前齿轮转的圈数×前齿轮的齿数 = 后齿轮转的圈数×后齿轮的齿数，解决了这个关键问题，从而理清了解决问题的思路。
3．建立数学模型、收集数据并求解。首先，学生根据分析问题得到的解题思路，建立数学模型：蹬一圈自行车走的距离=车轮的周长×（前齿轮的齿数：后齿轮的齿数）。接下来，学生分组收集所需要的数据，再代入数学模型，求出答案。
4．汇报交流。各小组展示并解释各自的研究过程和结果，再对各组的结果进行比较。
二、研究变速自行车的能变出多少种速度
在学生研究清楚了普通自行车行驶速度与其内部结构的关系之后，进一步让学生探讨变速自行车中的数学问题—可以组合出多少种速度。教材先介绍了一种变速自行车的主要结构：有2个前齿轮，6个后齿轮；接着提出问题“能变化出多少种速度”；再呈现学生“收集数据—建立数学模型—代入数据、求解—解决问题”的过程；最后通过一个问题“蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走的最远”，引导学生对各种速度的产生进行深入的解释。
应注意以下几点：
第一，在研究这两个问题之前，教师都可以先让学生说一说自己了解到的关于这两种自行车的知识，再提出问题。这样可以帮助学生更好地理解和分析所要解决的问题。如果学生理解有困难，尤其是变速自行车的变速原理，教师可借助课前准备好的图片进行说明。
第二，这两个问题都可以让学生以小组为单位，讨论、研究解决问题的方案，使学生充分经历“分析问题—建立数学模型—求解”的解决问题的基本过程。教材上呈现了学生在解决问题过程中可能出现的方案，教学时教师要注意本班同学的不同思路，并适当加以引导，帮助学生建立相应的数学模型。
第三，如果学生课前没有收集到解决问题所需要的数据，教师应及时为学生提供。
第四，在各小组成功地解决了每一个问题之后，教师应请每一个小组解释、说明本组研究的思路的结果。并组织全班同学对各组的研究方法和结果进行比较，以使学生获得运用数学解决实际问题的思考方法。
第五，除了教材上提出的这两个问题以外，教师还可以再提出一些问题，引发学生的深入思考。如，让学生按由远到近（蹬同样的圈数，使车走的距离）的顺序，将各种组合排序；如何使这辆变速自行车能变化出12种不同的速度等等。教师也可以让学生自己提出一些自行车里的数学问题并解决它。这样不仅可以使学生了解数学与生活的广泛联系，还可以培养学生从不同的角度发现实际问题中所包含的数学信息的能力。
四、统 计
（一）教学目标
1．会综合应用学过的统计知识，能从统计图中准确提取统计信息，能够正确解释统计结果。
2．能根据统计图提供的信息，做出正确的统计判断或预测。
（二）教学内容
本单元通过简单事例帮助学生体会：统计图直观、形象的特点可以帮助我们进行正确分析判断或预测，但如果对统计图表不进行认真分析，可能会得到不准确的信息，从而得出错误的结论或判断。因此我们应对统计数据进行认真、客观、全面的分析，以保证所得结论的真实性和判断的正确性。教材主要结合扇形统计图和折线统计图帮助学生体会的。
（三）具体编排
1．例1。
通过信息表达比较模糊的扇形统计图，说明从这样的统计图中无法得到准确客观的结论。这里的扇形统计图呈现的是彩电市场各品牌的占有率情况，其中其他品牌占47%，其余部分是A、B、C、D四个品牌的彩电。教材引发学生分析并认识到：这幅统计图提供的数据不清，无法全面地反映有关彩电市场各品牌占有率的情况，所以无法得出A牌彩电最畅销的结论。
建议：
教学时，可先让学生观察统计图，自主探索或小组交流，从图中发现信息、提出问题。在讨论、交流的基础上，使学生明确：当我们在制作统计图时，一定要客观准确地反映信息；在分析统计图时，一定要进行认真分析，不要被数据模糊的统计图误导。
2. 例2。
例2是相同的统计数据，A、B两人绘制的折线统计图在外形上却迥然不同，折线的走势一平缓一陡峭，其表述的统计结果给人的直观感受是截然相反的。通过这样鲜明的对比，让学生认识到：在利用统计图进行统计分析时，不能仅仅关注统计图的外在表象，还应了解统计图所包含的具体的统计信息，才能避免做出错误的判断。
建议：
可先呈现这两幅统计图，让学生说说看完后的感受，在此基础上，教师可引导学生进一步观察，进而发现两图虽看起来不同，但它们所描述的统计数据却是完全一致的。之所以两图不同，原因在于绘图时采用的单位不同：左图1格代表50元，右图1格代表100元。然后，教师总结：在运用统计图进行比较和判断时，一定要注意统一标准，才不致发生误判。
（四）教学建议
1．注重知识的前后联系，培养学生综合分析能力。
这里所涉及的统计图（扇形图、折线图等）都是以前学过的，教学时注意不要简单地重复旧知，应引导学生在复习旧知的基础上重点进行综合分析，从而使学生学会从统计图中准确提取统计信息，能对统计结果做出正确解释，并能根据统计结果作出准确的判断、预测等。
2．把握好教学要求。
教学时应注意向学生阐明以下两点：（1）统计图在表述统计结果时具有直观、形象的特点，故统计活动中常用统计图来描述统计信息，展示统计结果；（2）对统计图提供的信息要进行认真仔细的分析，不要被一些表面信息迷惑、误导，要保证所得结论的真实性和客观性。实际教学时则可分两步进行：先让学生观察统计图，谈谈直观感受和看法，再引导学生认真分析统计图表达和包含的数据信息，得出正确结论。
五、数学广角
（一）教学目标
1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
（二）教学内容
例1
把个物体任意分放进个空抽屉里（＞，是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
例2
把多于个物体任意分放进个空抽屉里（是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体。
例3
“抽屉原理”的具体应用。
教材通过几个直观例子，借助实际操作，介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同。任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。 “抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三个苹果放进两个抽屉，至少有一个抽屉里有两个苹果。这样的道理对于小学生来说，也是很容易理解的。但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
本单元用直观的方式，介绍了“抽屉原理”的两种形式。例1描述的是最简单的“抽屉原理”——把个物体任意分放进个空抽屉里（＞，是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式：把多于个物体任意分放进个空抽屉里（是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体。如果问题所讨论的对象有无限多个，“抽屉原理”还有另一种表述：把无限多个物体任意分放进个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个物体。这类问题对于小学生而言较难理解，因此教材中没有涉及到。例3是“抽屉原理”的具体应用。
（三）具体编排
1．例1。
教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。在这里，“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个文具盒”就是“3个抽屉”，这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉，总有一个抽屉至少有2个物体。
为了解释这一现象，教材呈现了两种思考方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况（在这里，只考虑存在性问题，即把4枝铅笔不管放进哪个文具盒，都视为同一种情况）。在每一种情况中，都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。通过罗列实验的所有结果，就可以解释前面提出的疑问。实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路，即假设先在每个文具盒中放1枝铅笔，3个文具盒里就放了3枝铅笔。还剩下1枝，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒中就有2枝铅笔了。这种方法比第一种方法更为抽象，更具一般性。例如，如果要回答“为什么把（＋1）枝铅笔放进个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。
为了对这类“抽屉问题”有更深的理解，教材在“做一做”中安排了一个“鸽巢问题”，只是数据比例题的稍大。学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。
建议：
由于例题中的数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间。因此，教学时，可以放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流。除了教材上提供的两种方法以外，还会有其他的方法（如数的分解法），只要是合理的，都应给予鼓励。在此过程中，教师也应给予适当的指导。例如，要使学生明确，这里只需解决存在性问题就可以了。如果有的同学在枚举的时候，给三个文具盒标上序号，把（4，0，0）、（0，4，0）和（0，0，4）理解成三种不同的情况，教师应指出，在研究这一类问题时，作这样的区分是没有必要的。这样的指导有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维。
教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。教学时，在学生自主探索的基础上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，思考一下枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。学生在解决了“4枝铅笔放进3个文具盒”的问题以后，可以让学生继续思考：把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，为什么？如果把6枝铅笔放进5个文具盒，结果是否一样呢？（此问题即“做一做”中的情形）把7枝铅笔放进6个文具盒呢？把10枝铅笔放进9个文具盒呢？把100枝铅笔放进99个文具盒呢？引导学生得出一般性的结论：只要要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。接着，可以继续提问：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多2，多3，多4呢？引导学生发现：只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论都是成立的。通过这样的教学过程，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
2．例2。
本例介绍了另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于个的物体任意分放进个空抽屉（是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体。”实际上，如果设定=1，这类“抽屉问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“抽屉问题”在本质上是一致的，例1只是例2的一个特例。
教材提供了让学生把5本书放进2个抽屉的情境，在操作的过程中，学生发现不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，从而产生探究原因的愿望。学生仍然可以采用枚举的方法，把5分解成两个数，有（5，0），（4，1），（3，2）三种情况。在任何一种结果中，总有一个数不小于3。更具一般性的仍然是假设的方法，即先把5本书“平均分成2份”。利用有余数除法5÷2=2……1可以发现，如果每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。
研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后，教材又进一步提出“如果一共有7本书，9本书，情况会怎样？”的问题，让学生利用前面的方法进行类推，得出“7本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进4本书，9本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进5本书”的结论。
在此基础上，让学生观察这几个“抽屉问题”的特点，寻找规律，使学生对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解。例如，学生可以通过观察，归纳出“要把（是奇数）本书放进2个抽屉，如果÷2=……1，那么总有一个抽屉至少有（＋1）本书”的一般性结论。
教材第69页的“做一做”延续了第68页“做一做”的情境，在例2的基础上有所扩展，把 “抽屉数”变成了3，要求学生在例2思考方法的基础上进行迁移类推。
建议：
教学例2时，仍应鼓励学生用多样化的方法解决问题，自行总结“抽屉原理”。例如，在解决“5本书放2个抽屉”的问题时，由于数据较小，学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是学生最容易想到的方法。但由于枚举的方法毕竟受到数据大小的限制，随着书的本数的增多，教师应该进行适当的引导。例如，可以提问学生“125本书放进2个抽屉呢？”由于数据很大，用枚举法解决就相当繁琐了，就可以促使学生自觉采用更一般的方法，即假设法。假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要学生借助直观，逐步理解并掌握。
当学生利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后，教师应引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，要把某一数量（奇数）的书放进2个抽屉，只要用这个数除以2，总有一个抽屉至少放进数量比商多1的书。例如，要把125本书放进2个抽屉，125÷2=62……1，因此，总有一个抽屉至少放进63本书。如果进一步一般化的话，就是：要把个物体放进个抽屉，如果÷=……（≠0），那么一定有一个抽屉至少可以放（＋1）个物体。这一结论与前文提到的“把多于个物体任意分放进个空抽屉（是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（＋1）个物体”意思是完全一致的。
学生完成“做一做”时，可以仿照例2，利用8÷3=2……2，可知总有一个鸽舍里至少有3只鸽子。
要注意：例2中“某个抽屉至少有的书的本数”是除法算式中的商加“1”，而例2中除法算式的余数也正好是1，很容易让学生错误地理解成是商加“余数”，并迁移到“做一做”，想成至少有“2（商）＋2（余数）”，把结论变成“至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍里”。事实上，只要学生从本质上理解“抽屉原理”的推理过程，就能克服这种错误理解。
3．例3
本例是“抽屉原理”的具体应用，也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。要从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球，问最少需要摸出几个球。要解决这个问题，可以联想到前两个例题中的“抽屉问题”。因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”。假设最少要摸出个球，÷2＝1……，当=1时，就是最小的，此时＝3。即至少要摸出3个球，才能保证有两个球是同色的。
教材通过三个学生的对话，指出了学生可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时有可能会遇到的一些困难。例如，本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给学生造成干扰。
接下来，教材引导学生把这个结论进一步推广，指出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。”例如，球的颜色有三种，至少要摸出四个球，才能保证摸出的球里有两个同色。教材第70页的“做一做”中第2题描述的就是这种情形。
“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子。其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。
建议：
教学例3时，要先引导学生思考本例的问题与前面所讲的抽屉原理是否有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。但学生在思考这些问题的时候，一开始可能会缺乏思考的方向，很难找到切入点。此时，可以让学生先自由猜测，再验证。例如，有的学生会猜测“只摸2个球能否保证这2个球同色”，只要举出一个反例就可以推翻这种猜测，如这两个球正好是一红一蓝时就不能满足条件。再如，由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰，许多学生会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了，即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”。为了验证这个猜测，学生会自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，把两种颜色看成两个抽屉。根据5÷2＝2……1，可以知道，摸出5个球时至少有3个球同色。因此，摸出5个球是没有必要的（实际上，“至少摸出5个球”解决的是问题“要想摸出的球一定有两个不同色，至少要摸出几个球”）。
在学生猜测、验证的基础上，逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”，找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个，再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。例如，在本例中，根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球，分的物体个数至少比抽屉数多1”。现在，“抽屉数”就是“颜色数”，结论就变成了：“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。”因此，要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的，最少要摸出3个球。应用此结论，就可以直接解决“做一做”第2题的问题。
在教学的过程中，在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件非常容易的事。如果学生在理解时存在比较大的困难时，也可以引导他们这样思考：球的颜色一共有两种，如果只取两个球，会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。如果再取一个球，不管是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。
完成第70页的“做一做”第1题时，要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12＝4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。
◎ 教材还在本单元后面安排了一个“阅读资料”，让学有余力的学生通过阅读了解“斐波那契数列”的由来及特点，寻找其规律，感受数学的内在魅力，增加数学学习的兴趣。
（四）教学建议
1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。本单元安排了一些需要学生解释原因的题目（如第68页的“做一做”），可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
2．应有意识地培养学生的“模型”思想。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，能否从纷繁芜杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。
3．要适当把握教学要求。“抽屉原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理”来解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
综合应用：节约用水
“节约用水”是结合前面学习过的量的计量、统计等知识设计编排的。该综合应用通过测量等操作活动，一方面让学生经历收集、整理、分析数据的过程；另一方面可促使学生综合运用所学的数学知识、技能和方法科学地认识日常生活中水资源浪费的问题。此外，该综合应用还可让学生积累节约用水的方法，加强学生的环保意识。活动由四个部分组成：
收集信息。
用黑板报给出地球水资源的一些统计信息，让学生认识到我国水资源的匮乏、节约用水的重要意义。在此基础上让学生收集相关的信息：（1）观察生活中浪费水的现象，实际调查一下学校或家里漏水水龙头的数量；（2）选择其中一个漏水的水龙头并测量出一定时间漏水的量；（3）通过多种途径收集节约用水的资料。
分析数据。
小组同学合作对收集到的一定时间水龙头漏水的量进行测量分析，计算出水龙头每分钟漏水的速度。然后，对各组的分析结果进行比较，并针对比较的结果进行小组讨论，“收集到的水龙头漏水速度不一样，怎样表示全班同学调查到的水龙头漏水的一般水平比较恰当”。
解决问题。
在上述数据分析的基础上，解决教材75页中提出的问题，帮助学生对生活中浪费水的现象有一个客观而量化地认识。
4．提出方案
对课前收集的节约用水的资料进行讨论交流，提出节约用水的方案，进行环保教育。
建议：
1． 老师需要提前安排学生选择一个漏水水龙头，并收集其一定时间内漏水的数量。提醒学生选择盛水容器时应该注意，尽量用不仅能方便大家观察所盛的水量，还要便于测量容积的容器。
4．课堂上，先让学生交流观察到的生活中浪费水资源的现象，并展示收集到的漏水水龙头一定时间的漏水量。然后小组合作，运用已经学习的测量等相关知识计算出漏水水龙头每分钟的漏水量，并以小组为单位汇报测量的方法、过程以及结果。在学生汇报后，老师可通过提问：“我们班调查到的水龙头漏水速度是多少呢？”引起学生思考“收集到的水龙头漏水速度不一样，那么怎样表示全班的调查结果更有代表性”这一问题，引导学生运用所学的统计学知识选择恰当的指标，并在此基础上解决75页第1题。
5．统计课前收集到的学校漏水水龙头的数量，解决75页第2题。老师可将该结果与学生所接的漏水量进行比较，帮助学生深刻认识到，虽然一个漏水水龙头一分钟的漏水量不多，但如果不加以注意和控制，一年浪费水的量是很可观的。通过这样的比较可以加深学生对节约用水必要性的认识。
6．解决75页第3题时，老师可以充分调动学生学习的自主性，让他们对自己在课前发现和收集的浪费水的情况进行量化的分析与计算。如果需要，老师也可为学生提供一定的素材和帮助。例如，老师可以给他们提供“全国大约有1.5亿个家庭”等信息，让学生统计出全班同学家里共有多少个水龙头漏水，然后结合前面已得到的结果算一算全国的家庭一年大约要浪费多少吨水。
7．结合75页第4题，老师可引导学生说一说收集到的节水资料，并让大家充分讨论有效的节水方案，加强对学生进行环保教育。
六、整理和复习
（一）教学目标
1．通过整理和复习，比较系统地掌握有关整数、小数、分数和百分数、负数、比和比例、方程的基础知识；能比较熟练地进行整数、小数、分数的四则运算，能进行整数、小数加、减、乘、除的估算，会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算；会解学过的方程；养成检查和验算的习惯。
2．通过整理和复习，巩固常用计量单位的表象，掌握所学单位间的进率，能够进行简单的改写。
3．通过整理和复习，掌握所学几何形体的特征；能够比较熟练地计算一些几何形体的周长、面积和体积，并能应用；巩固所学的简单的画图、测量等技能；巩固轴对称图形的认识，会画一个图形的对称轴，巩固图形的平移、旋转的认识；能用数对或根据方向和距离确定物体的位置，掌握有关比例尺的知识，并能应用。
4．通过整理和复习，掌握所学的统计初步知识，能够看和绘制简单的统计图表，能够根据数据作出简单的判断与预测，会求一些简单事件的可能性，能够解决一些计算平均数的实际问题。
5．通过整理和复习，进一步感受数学知识间的相互联系，体会数学的作用；掌握所学的常见数量关系和解决问题的思考方法，能够比较灵活地运用所学知识解决生活中一些简单的实际问题。
（二）教学内容
数的认识
数的运算
数与代数 式与方程
常见的量
比和比例
数学思考
图形的认识与测量
空间与图形 图形与变换
图形与位置
统计与概率
有趣的平衡
综合应用 设计运动场
邮票中的数学问题
（三）编排特点
安排对小学阶段数学学习的整理和复习，使学生所学的数学知识系统化，做好中小学数学教学的衔接。
本学期是小学阶段学习的最后一个学期，本册教材仍然安排了“整理和复习”单元，把小学阶段所学的主要内容进行系统地梳理和提纲携领地复习，使学生对所学的数学知识得到巩固和加深理解，各种能力得到进一步提高，更好地达到小学数学教学的预定目标，为中学的数学学习做好必要的准备。
整理与复习是小学数学教学的一个重要环节。尽管《标准》为体现义务教育的整体性，将整个义务教育阶段划分为三个学段，使各学段之间数学课程的联系更为密切了。但是由于诸多因素影响，目前我国绝大多数地区的学校教育实际上仍然是小学和初中独立建校，使得小学和初中的教学基本上是分开进行的。而从小学到初中，学生学习的数学知识、学生的学习方法都发生了较大的变化。因此，在小学生完成学业之前，对所有数学学习内容进行一次系统的、全面的回顾与整理是非常必要的。通过整理与复习，使那些最为核心的基本概念和基本原理以及它们之间的联系突出出来，形成良好的认知结构，为新知识的学习打下坚实的基础，解决中小学数学学习的衔接问题。同时“整理与复习”的设置也体现了学生学习的一般规律。学生对数学知识的理解，由浅入深、由此及彼，进而认识相关知识之间的内在联系。在完成了小学数学全部内容的学习之后，进行总体的整理和复习，可以使原来分散学习的知识得以梳理，使数学的知识点串成知识线，再构成知识网，帮助学生完善头脑中的数学认知结构，增进持久的记忆，对于提高学生的数学能力也是十分有益的。因此，“整理和复习”单元不仅是本册教材的重点教学内容之一，也是全套小学数学教材的一个重要组成部分。
与原通用教材相比，本册教材有以下几点改进：
（1）依据《标准》划分的学习领域，对小学数学的学习内容进行梳理归类，依次进行整理和复习。本单元安排了四节的内容，并根据实际教学的需要作了一些适当的处理。例如，在“数与代数”中安排了“常见的量”小节，把小学阶段出现于不同领域中的计量单位汇总在一起，通过列表整理和回忆改写方法等途径进行系统复习。
（2）精简内容，突出整理和复习的重点，为学生主动参与知识的整理提供空间。与原通用教材比较，本册教材在内容编排上作了较大幅度的精减。不求面面俱到，覆盖已学知识的细节，给出所学概念的描述。而是突出重点，抓住主要内容、主要问题进行整理和复习。这一方面使教材摆脱了知识点罗列，概念、法则汇编的局面，另一方面也给学生提供了梳理知识的线索，留给学生参与知识的整理的空间。例如，“数的运算”关于四则运算的意义和方法的复习，教材先通过主题图所创设的问题情境，让学生重温四则运算在解决问题中的应用，然后让学生小组讨论交流四则运算的意义，对整数、小数、分数的计算方法进行比较，找出它们的共同点和不同点，进而达到对所学四则运算意义和方法的融会贯通。
（3）注重问题情境的创设，注重所学知识的应用，发展学生用数学解决问题的能力。本册教材在这里尽可能通过问题情境，包括现实的情境与数学的情境，着力引导学生联系实际或联系数学实例，加深对已学知识的理解，加强对相关知识内在联系的认识。同时注意所学知识的运用，特别是在实际问题情境中的应用，从而学以致用，在“用”的过程中，促进理解和巩固。这对提高复习的有效性，提高学生解决问题的能力都非常有益。
（4）在基本练习的基础上，提供具有综合性、挑战性的练习题，促进学生综合应用能力的不断提高。
（四）具体编排
1． 数与代数
本节内容比较丰富，头绪较多，既有数与运算、代数初步、量与计量等方面的基础知识和基本技能，又有数学问题解决的常用思考方法与策略。教材分成六段。
第一段数的认识 ，着重复习小学阶段所学数的概念。这部分内容从纵向看，包括整数、小数、分数、百分数的有关概念，也包括负数的初步认识。从横向看，可以归结为五个方面的内容，即数的意义、数的读法和写法、数的大小比较、数的性质、数的改写。教材设计的一系列作为整理和复习提示的问题，涵盖了前四方面的内容。至于数的改写，包括多位数改写成用万或亿作单位的数，以及小数、分数、百分数的互化，则安排在练习中予以巩固。
第二段数的运算，着重复习整数、小数、分数的四则运算。包括四则运算的意义、计算方法、运算定律及其应用。
第三段式与方程，着重复习用字母表示数、简单的方程及其应用。
第四段常见的量，着重复习小学阶段所学的量。包括长度、面积、体积、容积、质量、时间等计量单位的进率，以及同一种量不同单位的改写。
第五段比和比例，着重复习比和比例的基本知识及其应用，以及正反比例的概念。
第六段数学思考，教材通过三个实际问题，着重引导学生复习怎样寻找规律，怎样画图或列表帮助思考，解决问题。
这些内容的内在联系在于数与运算是最基础的数学知识，量与计量是数与运算的应用。式与方程、比和比例是数与运算进一步的抽象与发展。数学思考则是更为一般的数学推理的训练。
（1）数的认识。
这段教材包括两个层次的复习。
第一层次，提出问题：“你学过哪些数？说一说它们在生活中的应用”。设置这个问题的目的在于让学生再现学过的数，并举例说明。由此复习各类数的含义及其实际应用，还能练习它们的读法和写法。
为了给学生以启发，教材通过插图，给出了五个实例，分别涉及整数、小数、分数、百分数和负数，旨在举一反三，使学生联想到这些数在日常生活中更多的应用实例。
接着，教材对整数概念作了概括性的描述，并指出了自然数与整数的关系，以及自然数的单位。然后，通过第77页上面的“做一做”帮助学生搞清整数与自然数、正数、负数之间的关系。
第二层次，进一步启发了学生的回想，还学了哪些关于数的知识，然后提出5个更深入的问题，分别涉及十进制计数法，数的大小比较，分数与小数的基本性质，小数点移动引起小数大小变化的规律，数的整除的主要概念。通过这些问题的回答，帮助学生比较系统地回顾、再现已学的有关数的主要知识。第77页下面的“做一做”是针对多位数的计数单位概念设计的填空题。
配合这段教材的练习十三基本覆盖了小学阶段数的认识的主要知识点。
（2）数的运算。
教材给出了一幅欢庆“六一”的情境图，图中少先队员说出了三组信息，共包含7个条件。要求学生根据这些已知的信息，提出用计算解决的问题。通过解答这些实际问题，可以重温四则运算的意义和计算的方法。
接着，教材安排了两个层次的整理和复习。第一层次给出了两个供小组讨论交流的问题，要求学生举例说明运算意义，并对整数、小数、分数的计算方法进行比较，找出它们的共同点和不同点。这里，教材通过两个同学讨论过程中的对话片段，对比较四则计算方法的异同点作了一些提示，以促进学生举一反三，继续展开讨论。
然后，教材让小精灵提醒学生注意四则运算中的一些特殊情况，并通过三组填空题，帮助学生系统整理0与1在四则运算中的特性。
紧接其后的“做一做”设计了六道各种类型的计算题，要求学生计算时先想一想需要注意什么。这六道计算题，看似简单，却涵盖了整数、小数、分数四则计算的主要情况。学生通过思考与计算，可以对四则计算的方法与要点作出比较系统的回顾。
第二层次主要复习混合运算顺序、运算定律和简便运算。教材先让学生通过填表，对所学的五条运算定律进行整理。然后给出例1，复习运用乘法分配律使运算简便，并兼带复习四则混合运算的顺序。例1下面的“做一做”，则继续引导学生复习巩固运算顺序和乘法的简便运算。
配合数的运算这部分内容的复习与巩固的需要，教材安排了练习十四，共7道题。包括有关概念、算理的运用，以及笔算、估算、混合运算和四则运算的实际应用。
（3）式与方程。
式与方程的整理和复习分为两个层次展开。
第一层次，首先指出用字母表示数的作用，然后由小精灵发问，让学生“说一说你会用字母表示什么”。这里教材通过插图中两个同学的对话，举了一个用字母表示数量关系的例子，又提议用字母表示分数乘法的算法，旨在举一反三，启发学生想到更多的实例。在此基础上，要求学生回顾、小结“书写数与字母、字母与字母相乘时，应注意什么”。紧接着的“做一做”采用搭配的方式，要求学生将含有字母的式子与它的用文字表达的含义连起来。这种练习的实质是数学语言的训练，它能帮助学生掌握数学语言的符号形态与文字形态的转换，同时也是写代数式的辅助练习。
第二层次，教材首先再现方程的概念，并启发学生回想解方程的依据，即等式的两条基本性质。然后通过例2复习列方程解决实际问题。紧接着的“做一做”及练习十五中的三道实际问题，都是比较适合列方程解的问题。
（4）常见的量。
复习常见的量，主要内容有两项，一是“整理”，二是“改写”。为此，教材首先提出问题，“我们学过哪些量的计量？它们各有哪些计量单位？”并要求小组同学共同分类整理。插图中的同学，一个提出“列表整理更清楚”；另一个提醒“容积单位有升和毫升。”目的是给小组整理提供一些必要的建议与提示。
接下去，教材说明有时需要把同一种量的不同单位进行改写，并提出问题：还记得怎样改写吗？以引起学生思考，然后通过“做一做”，让学生在练习中回想、再现、巩固已学的改写方法。
（5）比和比例。
这部分内容主要是复习比和比例的意义与性质，比和分数、除法的关系，正反比例的意义与判断，以及比和比例的一些应用。比例尺的知识及其应用，放在第二节“空间与图形”中进行复习。
教材首先以小精灵提问的方式，引导学生复习比和比例的基础知识，比较它们的联系与区别，并且通过例3，借助实际问题，引导学生在解决问题的过程中重温比和比例的意义，以及求比值和解比例的方法。
接着提出三个问题，引导学生复习比和分数、除法的关系，比和比例基本性质的应用，成正比例、反比例量的判断方法。
（6）数学思考。
在本套教材中，从一年级下册开始，每一册都安排有一个单元“找规律”或“数学广角”的内容。其中“找规律”是让学生探索给定图形或数字中简单的排列规律。“数学广角”中渗透了排列、组合、集合、等量代换、逻辑推理、统筹优化、数学编码、抽屉原理等方面的数学思想方法。在此基础上，这里通过三道例题进一步巩固、发展学生找规律的能力，分步枚举组合的能力和列表推理的能力。
例4是一个比较典型的找出规律，以此类推的数学问题。它的一般化表述是：以平面上几个点为端点，可以连多少条线段。这种以几何形态显现的问题，便于学生动手操作，通过画图，由简到繁，发现规律。解决这类问题的常用策略是，由最简单的情况入手，找出规律，以简驭繁。这也是数学问题解决比较常用的策略之一。
例5以选送节目为题材，讨论怎样分两步找出组合数，再求选送方案的总数。这里渗透了作为排列组合基础之一的乘法原理。
例6是一个比较复杂的逻辑推理问题，借助列表，则比较容易逐步缩小范围，找到答案。这里渗透了逻辑推理的常用方法“排除法”。
本节教学建议：
（1）注意概念的理解。
这部分复习内容概念比较集中，复习时可以通过让学生自己举出例证加以说明的方式帮助学生重温概念的含义，并促进理解。这样也能避免机械背诵概念条文的做法。有些容易混淆的概念可以通过对比、辨析，帮助学生搞清它们的异同点。那些有待进一步学习的概念，如负数、正比例与反比例等，就更不能追求讲深讲透，只要让学生在教材给定的水平上，获得初步认识、初步了解就可以了。
（2）重视计算能力的培养与提高。
小学阶段所学的数值计算都集中在本节中，复习时要注意在理解算理，搞清算法之间内在联系与区别的基础上，合理安排练习。比如每天有计划、有侧重地练习一些口算和少量的混合运算，这样的分布练习比集中练习效果更好。
2．空间与图形。
本节内容包括图形的认识与测量、图形与变换、图形与位置三段。
第一段图形的认识与测量，着重复习小学阶段所学习的各图形的特点、关系，以及部分形体的周长、面积、体积计算。这部分内容从纵向看，按平面图形→立体图形的顺序进行整理，包括了由曲线构成的圆形，由曲面构成的球体。从横向看，无论是平面图形，还是立体图形，都可以归结为图形特征的认识，图形周长、面积、体积的测量与计算这样两个方面的内容。教材除了通过四个例题的一系列问题，引导学生梳理以上的知识内容以外，在练习中还有一些知识点的复习巩固，以及图形认识与测量的简单实际应用。
第二段图形与变换，着重复习轴对称、平移、旋转三种基本的几何变换形式。在练习中，还安排了作图操作、利用比例知识计算面积等知识的复习。
第三段图形与位置，着重复习确定物体的相对位置，辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。
这三段内容把小学所学的空间与图形知识进行了较为系统的整理与复习。三段内容既相对独立，又有内在的联系。如，图形与变换主要讨论常见平面图形的变换，图形与位置需要用到角、距离等知识，此外还有数对、比例尺等知识。
（1）图形的认识与测量。
这段教材包括四个例题。
例1，教材首先让学生通过小组讨论活动，互相启发，回忆学过的平面图形。为了帮助学生对这些平面图形的知识进行梳理，教材提出了三个问题，引导学生分别复习直线、射线、线段的认识，同一平面内两条直线的位置关系；角的认识，常见的角；三角形，四边形与圆。这三个问题，从一条直线（射线、线段可看作直线的一部分），到两条直线（位置关系和角），再到三角形，四边形与圆，实际上呈现出平面图形由简单到复杂的演变过程。
例2，复习平面图形的周长和面积。教材通过图示，启发学生回顾周长、面积计算公式的推导过程，搞清它们的来龙去脉，同时让学生自己填写各图形的周长、面积公式。接下来的做一做，让学生运用这些公式计算图形的周长和面积，可收巩固之效。
例3，将小学阶段学过的立体图形，长方体、正方体、圆柱、圆锥和球，集中在一起，复习它们的特征或者说特点及其各部分名称，还要求学生“拿出两个物体摆一摆，看一看，辨认从不同方向看到的形状”。学生掌握这些图形的特征，形成它们的表象，对于学生从形的角度观察周围的事物，对于奠定进一步学习的基础，都有非常重要的作用。
例4，通过填表，整理和复习四种立体图形的表面积、体积的计算公式。
第98页下面的做一做，则进一步提出如何测定不规则物体体积的问题。
练习十九共有19道大题，基本覆盖了小学阶段图形的认识与测量的主要知识点。
（2） 图形与变换
这段教材主要复习轴对称图形和图形的平移、旋转。
教材给出了一幅小朋友利用图形的变换设计图案的情境图。图中三个少先队员分别用轴对称的方法剪图案，用旋转的方法设计图案，用按比例放大（即图形的相似变换）的方法把图案扩大，并通过平移做出板报的花边。通过这幅情境图，不仅可以帮助学生再现与复习所学过的图形变换的常用方法。而且还能渗透审美教育，让学生感受几何图体蕴藏的美，产生创造美的欲望，进而培养学生对数学学科的兴趣与情感。
第103页下面的“做一做”，主要是让学生识别图形的平移和旋转。
（3）图形与位置
这段教材主要复习确定物体相对位置的两种方式，即根据方向、距离确定物体的位置和用数对表示位置，以及辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。
教材给出了一幅带有比例尺的街区平面图，由两个少先队员的对话，引出根据方向、距离确定物体位置的复习，看懂线路图、描绘行走路线的复习。利用这幅平面图，还能让学生在具体情境中，按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。至于用数对表示位置，在方格纸上用数对确定位置，则安排在练习二十一中出现。该练习的题目不多，但综合性较强，且富有现实意义，对复习巩固和提高应用能力都很有帮助。
通过这部分内容的复习，有利于进一步培养学生的方向感与距离感，使他们能够辨认方向、确定位置，能够看懂和描绘线路图。这对于增强学生的空间观念有着直接的促进作用，对于他们解决日常生活中的某些问题也有帮助。两方面的收获，都能在学生进一步学习和后续发展中，显示一定的效应。
本节教学建议：
（1）重视形体知识内在关系的梳理与认识。
这部分内容囊括了小学阶段所有学过的平面图形与立体图形。这些图形之间有着较密切的关系。复习时可以先由学生回忆这部分中有关的知识，然后再注意引导学生通过分类、比较、辨析，认识图形之间的联系和区别，形成较清晰的知识网络。这不仅能促进学生对空间与图形知识的理解，而且能借助形体的直观性在整理的过程中培养学生的逻辑思维能力，也有利于良好学习习惯的养成和学习能力的提高。
（2）重视空间观念的培养与提升。
在整理和复习形体知识时，应充分利用图形的直观呈现方式，将画图、观察与思考结合起来。在运用形体知识解决问题时，也应注意发挥图示的作用，调动学生的相关表象，数形结合，并注意组织必要的动手操作活动，促进思考、分析，借助直观解决问题。总之，要处理好形象思维与逻辑思维的关系，使之相互促进。通过整理复习和解决问题，在巩固知识技能的同时，进一步强化学生的空间观念，这也有利于学生空间想象能力的发展。
3． 统计与概率
　　这部分内容集中整理了义务教育第一、二学段统计与概率的知识，主要有统计表、折线统计图和扇形统计图，平均数、中位数和众数，可能性等。学生通过这两个学段的学习，要了解统计与概率的基本思想方法，形成初步的统计观念，了解随机现象，进而逐步形成依据数据和事实进行分析和解决问题的意识和态度，形成科学的世界观和方法论。
　?课件86张PPT。 新世纪数学（1~6年级）
教材编写组新世纪小学数学教材分析(六年级下册)总结学习数学的方法和感受一、本册教材的整体介绍第一单元 圆柱和圆锥经历由面旋转成体的过程，认识圆柱和圆锥，了解圆柱和圆锥的基本特征，发展空间观念
探索并掌握圆柱表面积的计算方法，并能解决生活中一些简单的问题
探索并掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能解决一些简单的实际问题
经历“类比猜想——验证说明”的探索圆柱、圆锥体积计算方法的过程，体会类比、转化等思想空间与图形体会生活中存在着大量互相依赖的变量，尝试描述两个变量之间的关系
结合丰富的实例，认识正比例和反比例；能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并解决一些简单的生活问题
体会比例尺产生的必要性和实际意义，了解比例尺的含义
运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，解决生活中的一些实际问题第二单元 正比例和反比例数与代数整理与复习整理与复习
总复习数与代数、空间与图形、统计与概率、解决问题的策略
回顾与交流、巩固与应用二、单元内容介绍与教学建议空间与图形已学的相关内容
第一学段
长方形、正方形、三角形、圆的初步认识
长方形、正方形的周长和面积
五年级上册
平行四边形、三角形与梯形的面积
五年级下册
长方体（正方体）的表面积和体积
六年级上册
圆的认识
圆的周长和面积第一单元 圆柱和圆锥 本单元的主要内容
圆柱和圆锥的认识
圆柱的表面积和体积
圆锥的体积本单元建议教学课时数：12课时 结合具体情境，激活学生的生活经验
通过操作与想象，体会“点、线、面、体”之间的联系
体会圆柱、圆锥等几何体的形成过程 1.结合具体情境和操作活动，引导学生整体把握“点、线、面、体”之间的联系 设计探索活动
多种角度探索特征
再次体会面和体的关系 2.从多种角度探索圆柱和圆锥的特征 结合具体情境，认识圆柱的侧面积和表面积
探索圆柱表面积的计算方法
简单应用 3.探索圆柱表面积的计算方法，发展空间观念
引导学生经历“类比猜想—验证说明”的探索过程
还渗透了“化曲为直”等思想
简单应用4. 经历圆柱和圆锥体积计算方法的探索过程，体会“类比”的思想 选择来自于现实生活的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题
实际情形变化较多，引导学生灵活地选择有关数据进行计算
较复杂的计算允许学生使用计算器5.在解决实际问题中用活所学知识，感受数学与生活的联系 通过“用长方形纸卷圆柱”等活动在操作中探索规律，发展学生的空间观念 6.重视实践活动，发展学生的空间观念 二、单元内容介绍与教学建议数与代数第二单元 正比例和反比例已学过的相关内容
六年级上册
比的意义
比的化简
比的应用本单元的主要内容
正比例及其应用
反比例及其应用
比例尺本单元建议教学课时数：15课时1.提供具体情境，使学生体会生活中存在大量互相依赖的量创设系列情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量
在具体情境中，尝试用表格、图、表达式描述两个变量之间的变化
尝试举出生活中一个量随另一个量变化的例子2.提供丰富情境，引导学生经历从具体情境中抽象出正比例的过程引导学生经历从具体情境中抽象出正比例的过程
在充分体验的基础上，引导学生体会“正比例”的意义
引导学生观察思考成正比例的量有什么特征
引导学生运用字母表示在两个具体情境中成正比例的量之间的关系 3.引导学生用图的形式直观表示两个成正比例的量的关系 明白表中一个数和它的5倍成正比例
引导学生发现当两个变量成正比例关系时，所绘成的图是一条直线
鼓励学生利用图，进行一些估计，解决一些问题 4.提供丰富情境，引导学生经历从具体情境中抽象出反比例的过程引导学生经历从具体情境中抽象出反比例的过程
在充分体验的基础上，引导学生理解“反比例”的意义（和是12的直线并不表示两个加数成正比例）
引导学生观察思考成反比例的量有什么特征
引导学生运用字母表示在两个具体情境中成反比例的量之间的关系
5.尝试用图表示成反比例的量之间的关系，利用图进一步认识反比例 按要求画出余下的四个长方形，并描出长和宽的交点，并把各点用曲线连接起来
直观认识到所画出的图是一条曲线即可
此内容不作全班基本要求 6.注重引导学生利用“正、反比例”的意义解决实际问题，关注知识之间的联系 认识正、反比例的知识与日常生活的密切联系
注重知识之间的联系，呈现了大量学生以前学过的量与量之间的关系，鼓励学生判断它们之间的关系 7.在观察、操作的活动中，体会比例尺产生的必要性在具体的情境中，感受比例尺产生的必要性和它的实际意义
引导学生思考每位同学画的图的长和宽和原图的长和宽有什么关系
借助具体情境，体会只有长和宽都按相同的比来画，画的图才像
会在方格纸上将图形按要求放大或缩小 8.在画图或解决实际问题等的活动中，体验比例尺的应用 比例尺在生活中有着广泛的应用
在操作活动中，进一步体会比例尺的意义
能根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求第三个量
解决一些简单的实际问题思考与讨论为什么教材中没有安排比例的基本性质、解比例等内容？对于这个问题，你有什么看法。
思考与讨论因为正反比例的应用并非一定要学习比例的基本性质和解比例，学生可以根据比的意义等内容解决问题
本部分力求使学生感受“函数”的思想，不想让学生在解比例等计算中淡化了对此的体会 总复习数与代数
空间与图形
统计与概率
解决问题的策略
总复习的框架不代表教学的先后顺序，教师可以在教学时根据情况做适当的调整。如，可以将“解决问题的策略”放在前面学习，以便于学生在整个的总复习时对策略进行整理和应用。总复习的编写特点 形成知识体系
解决问题的策略和方法
针对性的练习
解决问题
感受和体会
活动经验的积累，体会“思想”
提出新的问题“数与代数”总复习 “数与代数”总复习的主要内容
数的认识：包括整数，小数、分数、百分数和比，常见的量
数的运算：包括运算的意义，估算，计算与应用，运算律
代数初步：包括字母表示数，方程，正比例和反比例，探索规律本单元建议教学课时数：20课时 （一）“数的认识”的复习“数的认识”的复习，先进行知识的整体回顾与整理，再分为三个部分：（1）整数；
（2）小数、分数、百分数和比；（3）常见的量。
回顾小学阶段学过的各种数，沟通各种数之间的联系
运用图等方式构建知识网络，鼓励学生用不同的方式整理
利用数轴为学习数提供直观模型
结合实际情境，体会数的发展过程 “数的认识”的总体回顾与整理
正整数的意义：质数、合数、编码等
表示正整数的各种方式：对十进制的理解
比较正整数大小的方法
对0的认识
倍数和因数的知识
大数的含义和描述“大数”的方法，进一步发展数感 1.整数再次体会引入分数和小数的必要性，沟通分数和小数之间的联系
从多种角度体会分数的意义，感受分数、除法、比之间的关系
沟通小数、分数、百分数、比、除法等之间的关系
复习十进制计数法 2.小数、分数、百分数和比 主要复习质量单位、时间单位和有关人民币的单位，了解单位之间的关系
结合具体情境，进一步体验这些量及其单位的实际意义 3.常见的量 （二）“数的运算”的复习“数的运算”的知识的回顾与整理主要分为四部分：
（1）运算的意义；
（2）估算；
（3）计算与应用；
（4）运算律结合解决实际问题，复习四则运算的意义
通过举例寻找各种运算的原型，系统构建运算的现实意义
进一步理解加减法之间、乘除法之间互逆关系
讨论每种运算各部分之间的关系 1.运算的意义 估算的价值
在应用估算解决问题中，体会估算的作用，发展学生的估算意识
引导学生解释估算的过程，并总结估算的方法
2.估算 估算的策略
1.首尾法（只加首位——至少；尾都进一——最多）
2.凑整。
3.中间数法。（32+37+30+39可以估成35x4）
4. 一个估大，一个估小。
5.从前往后：243+479（200+400=600，43+79比100大，结果比700多一点）估算策略
——鼓励学生解释估算的思路和理由
——总结估算的策略
——灵活使用不同策略，合理都应肯定
238+158个学生，399个座位够吗？估算“直觉”
——估算与精确结果的比较（反思）
——经验的积累估算的标准
1. 根据实际问题选择合理的估算策略。
43x4（带200块钱够不够？43估成50）
2. 纯式子的估算。
——确定一个范围？
——既容易估，又尽量与实际结果接近？
——估计出数量级?
85x2583结果大约是200000
TIMSS（国际数学与科学研究趋势）测试给我们的启示 约翰想在磁带上录5首歌，每首歌所用的时间如下表所示：
TIMSS测试给我们的启示 评价标准保罗用$5去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示： TIMSS测试给我们的启示 在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？
A.当保罗试图确认$5是否够用时
B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时
C.当保罗被告知应付多少钱时
D.当销售员数保罗所付的费用时TIMSS测试给我们的启示 结合具体计算，交流各种运算的计算方法和四则混合运算的顺序
整理和回顾计算中经常出现的错误
运用计算解决实际问题，并回顾总结解决实际问题的过程，教学时，可以结合第4题，再补充一些不同素材的应用问题。如租车问题，购物问题等
进一步体会分析数量关系的方法
3.计算与应用
反思什么：
——积累“原型”和典型问题
——反思解决问题的过程和策略
——反思经验和体会
——提出新的问题
整理和复习所学过的运算律及验证过程
再次认识到整数运算律在小数、分数运算中仍然成立
从运算的角度引导学生对“数”进行再认识，感受数系的扩充过程4.运算律（三）“代数初步 ”的复习“代数初步 ”知识的回顾与整理主要分为四部分：
（1）用字母表示数；
（2）方程；
（3）正比例、反比例；
（4）探索规律。 再次经历探索规律的过程，并用字母表示探索出的规律
多方面寻找规律的“原型”，体会数学规律的一般性
用字母表示已经学过的规律，体会用字母表示规律的简洁性 1.用字母表示数 复习解方程的方法
结合实际问题，体会数量之间的相等关系，再次体会列方程解应用题的方法 2.方程 正比例和反比例是刻画变量之间关系的两个重要模型
通过举例，复习正比例与反比例的意义
体会刻画变量之间关系的多种形式
由正比例、反比例进一步拓展到两个变量之间的关系 3.正比例、反比例 4.探索规律 鼓励学生探索数之间、图形之间、实际生活中蕴涵的规律等
尝试用语言、表格、图、关系式等方式刻画所发现的规律 “空间与图形”总复习 “空间与图形”总复习的主要内容
图形的认识：包括线与角、平面图形、立体图形
图形与测量：包括长度、面积、体积
图形与变换
图形与位置本单元建议教学课时数： 17 课时 （一）“图形的认识”的复习“图形的认识”的复习，先进行知识的整体回顾与整理，再分为三个部分：
（1）线与角；
（2）平面图形；
（3）立体图形。
引导学生系统整理学过的图形，沟通图形之间的联系，形成知识网络
结合具体的物体或图形 ，引导学生从不同的角度研究立体图形，沟通立体图形与平面图形之间的联系
引导学生交流整理知识的方法“图形的认识”的整体回顾与整理1.线与角
复习整理直线、线段和射线
引导学生复习垂直与平行
引导学生复习比较角的大小和角的度量的有关知识
复习锐角、直角、钝角、平角及周角 2.平面图形引导学生从不同的角度回顾与整理所学平面图形的特征
引导学生对图形的一些特征进行验证或说明
举例说明平面图形特征在生活中的应用 3.立体图形引导学生从点、面、棱等角度复习整理立体图形的特征
用一定的方式说明图形的某些特征
复习观察物体的有关知识，发展空间观念
本书用小正方体搭立体图形的问题，是指相邻两个小正方体之间有一个面重合，不考虑一条棱相连的情况（二）“图形与测量”的复习 “图形与测量”复习的主要内容是长度、面积和体积的认识，度量单位的认识及进率，平面图形的周长与面积、立体图形的表面积与体积等 结合情境或实物，复习长度、面积和体积（容积）的意义 ，体会这些概念的实际意义
复习度量单位的认识及进率 ，感受这些单位的实际意义，进一步体会“为什么要用统一的单位”
度量的意义：要有单位，要有统一单位，用单位去“量”（二）“图形与测量”的复习复习整理平面图形的周长和面积计算公式，沟通这些公式之间的联系，体会推导平面图形面积计算公式 的方法
复习立体图形的表面积知识
复习立体图形的体积计算公式，并沟通这些体积计算公式之间的联系
灵活运用有关计算方法解决简单的实际问题 （二）“图形与测量”的复习（三）“图形与变换”的复习“图形与变换”的内容，主要包括：
图形的轴对称
图形的平移
图形的旋转整理三种变换的要素
交流确定这些要素的方法
对学过的平面图形的对称性进行整理

（三）“图形与变换”的复习把握好具体教学内容的“度”借助方格纸
旋转的角度是90°
平移是在水平方向
和竖直方向（四）“图形与位置”的复习主要内容： 回顾确定位置的方法
用多种方法表示位置
重视与生活等知识间的联系（四）“图形与位置”的复习统计与概率总复习建议总课时数：5课时
统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题
能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用
能对数据的来源、处理的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑
（一）“统计”的复习1.收集数据现成的数据；需要自己调查的数据
常用的收集数据的方法包括：调查、实验、查阅资料等
学生应对收集数据的多种方法都有比较丰富的体验，并能根据问题的需要选择合适的方法获取数据
统计教学的建议2.整理和描述数据统计图、 统计量
多种方式记录数据
选择合适的方法（没有对错，只有好坏）3.分析数据
统计图的名字、刻度
单个数据
数据的比较：多多少，多少倍，部分占整体的百分比
数据的整体（对称吗？极值？极端数据？平均数？偏差？）
变化情况
解决实际问题和预测
注重使学生经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步形成统计观念 引导学生经历统计全过程，发展学生的统计观念
通过收集生活中运用统计的例子，分析数据带给我们的信息，帮助学生树立统计意识
借助实例，整理收集数据的方法
了解不同的统计图的特点
引导学生对平均数等表示平均水平的统计量的回顾和整理
（二）“概率”部分的复习在具体的情境中，整理和回顾有关可能性的知识创设情境，让学生说说情境中每种情况下所有可能的结果
结合自己的生活经验提出一些可能性的问题
帮助整理关于可能性的有关知识
帮助学生消除错误的认识，逐步建立正确的概率直觉 主要内容
梳理以前学习过程中用到的解决问题的策略，如：列表、画图、猜想与尝试、从特例开始寻找规律等；体会解决问题策略的多样性。
“解决问题的策略”的复习
为学生提供使用这些策略的情境
鼓励学生对教材中使用的策略的例子进行总结，进一步理解各种策略的作用“解决问题的策略”的复习教学片断：“解决问题的策略”的复习 （一）在解决问题时，你使用过哪些策略？
师：在生活中、在学习的过程中，我们经常要解决一些问题。面对问题，有人束手无策，有人策略丰富。你使用过哪些策略？
生1：我经常使用画图来思考问题。
生2：我有时候会用列表的策略。
学生似乎想不出其他的策略了。
师：解决问题的策略有很多，或许你使用了却还没有意识到它对你解决问题非常有用，或者你还不知道它叫什么名字。让我们来看看常见的解决问题的策略。
屏幕显示。
（二）画图是我们经常使用的策略
1.画图可以帮助我们找到问题中的所有情况
师：画图是我们很多同学喜欢用的策略，它有很多好处。比如，有的问题有很多种情况，它可以帮助我们找到问题
中的所有情况。师：食堂规定，可以任意搭配一荤一素，一共有几种配菜方法？你能用画图的策略把所有的搭配方法都表示出来吗？
（星期五菜谱）
生1展示画图的方法。生2：解决这个问题还可以用列表的方法，和画图一样，可以把所有的搭配方法都通过列表列出来。
师：是吗？展示一下你的列表策略。
生2展示。
师：看来解决一个问题，策略可以是多种多样的。
2.画图，有多种形式
师：刚才，我们用连线的方式画图。其实，除了连线图，还可以根据具体情况画其他形式的图，你在解决问题时，画过其他形式的图吗？
生1：我在解决圆柱、圆锥等问题时，会用立体图。
生2：我在解决长方形、圆等问题时，会画平面图。
生3：我在解决相遇问题、分数问题时，喜欢用线段图。
师：看来情况不同，我们可以画各种各样的图来解决不同的问题。为了说明一些数量的情况，我们还经常用统计图呢。
师：我们一边看书，一边回忆一下我们曾经在解决这些问题时
用过的画图策略。
看书第89页。 （张加健 广东省深圳市南山区育才一小）加拿大的教材中列出的一些策略 新世纪小学数学第12册教材编写说明
新世纪（版）小学数学教材第12册，如何体现《标准》以及整套教材的基本理念和要求？在教材构思与编写上有哪些特点或创新？实施教学时应注意什么？本文将就这些问题，结合本册教材的学习内容作一些具体分析和说明。
一、本册教材的学习内容与目标
（一）第一单元“圆柱和圆锥”
学生将在这个单元的学习中，经历由面旋转成体的过程，认识圆柱和圆锥，了解圆柱和圆锥的基本特征，知道圆柱和圆锥各部分的名称；通过动手操作、观察等，体会“点、线、面、体”之间的关系，发展空间观念；结合具体情境和操作活动，探索并掌握圆柱表面积的计算方法，并能解决生活中一些简单的问题；结合具体情境和操作活动，了解圆柱和圆锥体积（包括容积）的含义，探索并掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能解决一些简单的实际问题；经历“类比猜想——验证说明”的探索圆柱、圆锥体积计算方法的过程，体会类比、转化等思想，发展推理能力。
（二）第二单元“正比例和反比例”
学生将在这个单元的学习中，结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量；在具体情境中，尝试用语言描述两个变量之间的关系；结合丰富的实例，探索两个变量之间的关系，认识正比例和反比例；能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例； 能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，会利用正、反比例的有关知识解决一些简单的生活问题；通过观察、操作与交流，体会比例尺产生的必要性和实际意义，了解比例尺的含义；运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题。

（三）1—6年级总复习
为了将学生所学的全部小学知识加以系统化，并方便教师和学生准确把握各部分内容知识的不同要求，总复习的编排将小学数学所学内容按课程标准划分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”3个领域，同时，教材还设计了回顾解决问题策略的内容。每一部分内容的呈现又分为“回顾与交流”“巩固与应用”两个方面。每一部分的“回顾与交流”主要是对重点知识及学习方法的梳理，教材都力求用不同的形式呈现；“巩固与应用”主要是通过练习和应用，一方面巩固所学的知识，澄清学习中的困难；另一方面提升学生分析问题、解决问题的能力。
在这部分内容的学习中，学生将巩固加深对所学知识的理解，沟通各部分知识的内在联系，将所学的知识系统化；应用所学的知识解决简单的问题，总结解决问题的策略，并尝试提出新问题；回顾学习过程及解决问题的过程，逐步养成整理回顾和反思的习惯；体会知识与知识、知识与生活之间的联系，增强应用数学的意识，体会数学的魅力；与同伴交流学习过程中的收获与自己的不足，形成实事求是和敢于质疑的态度，发展自信心和克服困难的意志。

二、本册教材编写的意图和特色
本册教材力求体现整套教材的基本特点，重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系；以学生的数学活动为主线呈现学习内容；创设生动有趣的情境，引导学生在解决现实问题的过程中，经历抽象数学模型并进行解释与应用的过程，从中获得对数学知识的理解和体验；注重学生的数感、空间观念等的发展；注重培养学生回顾与反思的能力，鼓励学生运用所学的知识和方法解决问题。下面具体阐述本册教材编写的意图和特色。
（一）圆柱和圆锥
1．结合具体情境和操作活动，引导学生经历“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”的过程，整体把握“点、线、面、体”之间的联系。
教材在认识圆柱和圆锥时突出了“由平面图形经过旋转形成几何体”，这不仅是对几何体形成过程的学习，同时面和体的关系也是发展学生空间观念的重要途径，这也是教材将此节题目定为“面的旋转”的原因。教材呈现了几个生活中的具体情境，通过引导学生观察激活学生的生活经验，经历“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”的过程，整体把握“点、线、面、体”之间的联系。在结合具体情境感受的基础上，教材又设计了一个操作活动，通过快速旋转小旗，结合空间想像，引导学生体会立体图形的形成过程，发展学生的空间观念。教材还提供了若干由面旋转成体的练习。
2．重视操作与思考、想象相结合，发展学生的空间观念
操作与思考、想象相结合是学生认识图形、探索图形特征、发展空间观念的重要手段。在本单元中，教材重视学生操作活动的安排，在每个主题活动中都安排了操作活动，促进学生理解数学知识、发展空间观念如本单元的最后专门安排了一个“用长方形纸卷圆柱形状”的实践活动，先让学生用两张完全一样的长方形纸，一张横着卷成一个圆柱形状，一张竖着卷成一个圆柱形状，研究两个圆柱体积的大小。然后，再组织学生将完全一样的长方形纸裁开，把变化形状后的纸再卷成圆柱形状，研究圆柱体积的变化，引导学生发现规律，深化对圆柱表面积体积的认识，并体会变量之间的关系。
3．引导学生经历圆柱和圆锥体积计算方法的探索过程，体会“类比”等数学思想方法
“类比”是一种重要的数学思想方法，是合情推理时常用的方法。教材重视“类比”、“转化”等数学思想方法的渗透。在“圆柱的体积”教学时，教材引导学生经历“类比猜想——验证说明”的探索过程，由于圆柱和长方体、正方体都是直柱体，而且长方体与正方体的体积都等于“底面积×高”，由此可以产生猜想：圆柱的体积计算方法也可能是“底面积×高”。在形成猜想后，教材再引导学生“验证说明”自己的猜想。在“圆锥的体积”教学时，教材继续渗透“类比”的思想，再次引导学生经历“类比猜想——验证说明”的探索过程。另外，教材还注意“转化”、“化曲为直”等思想方法的渗透，如在验证说明“圆柱的体积＝底面积×高”时，引导学生把圆柱切割拼成近似的长方体进行研究，体现了“化曲为直”的思想方法。
4．在解决实际问题中巩固所学知识，感受数学与生活的联系
圆柱和圆锥的知识在生活中有广泛的应用，教材在编排练习时，选择了大量来自于现实生活的实际问题，引导学生灵活运用所学知识解决问题。如学习“圆柱的表面积”时，让学生计算薯片盒的包装纸的大小、通风管需要的铁皮的面积、压路机压路的面积等，由于实际情形比较多，需要学生根据实际情况灵活地选择有关数据进行计算。在学习“圆柱和圆锥的体积”后，教材鼓励学生计算水桶的容积、圆木的体积、圆锥形小麦堆的体积、铅锤的质量等。这些实际问题的解决，将使学生巩固对所学知识的理解，体会数学知识在生活中的广泛应用，丰富对现实空间的认识，逐步形成学习数学的良好情感与态度。
（二）正比例和反比例
1.提供具体情境，使学生体会生活中存在大量互相依赖的量。
函数是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。而国际数学课程发展的趋势表明，对变量之间关系的探索、描述应从小学阶段非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的。其实，学生以前学习的探索数、形的变化规律，字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验，而本单元正比例、反比例本身就是两个重要的函数。但教材并不满足于此，而是在正式学习正比例、反比例之前，设计了三个具体情境，通过学生感兴趣的日常生活中的问题，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，并尝试对这些关系进行大致地描述。
多种研究表明，为了发展学生对函数思想的理解，应使他们对函数的多种表示——数值表示（表格）、图象表示、解析表示（关系式）有丰富的经历。因此，教材在呈现具体情境中变量之间的关系时，分别运用了表格表示、图象表示、关系式表示的方法。在后面正比例、反比例的学习中，也十分重视三种方式的结合。
2．提供丰富情境，引导学生经历从具体情境中抽象出正、反比例的过程。
正比例关系、反比例关系是数学中比较重要的数量关系，同时，学生理解正比例、反比例的意义往往比较困难。为此，教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，让学生体会生活中存在大量相关联的量，它们之间的关系有着共同之处，从而引发学生的讨论和思考。并通过对具体问题的讨论，使学生认识成正比例的量、成反比例的量以及正比例、反比例在生活中的广泛存在。这些系列情境也为学生理解“正比例”、“反比例”的意义提供了丰富的直观背景和具体案例。教材从不同的角度（实际生活，图形）提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境，这些情境中既包括“时间与路程”“平分果汁”等生活情境，也包括正方形边长与周长、边长与面积等数学情境，情境中有正例、也有反例，以引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例、反比例的过程。
3.注重引导学生利用“正、反比例”的意义解决实际问题，关注知识之间的联系。
正、反比例在生活中有着广泛的应用，教材不仅仅是在引入时为学生提供了丰富的现实情境，还鼓励学生寻找生活中成“正、反比例”的量。如，设计“找一找生活中成正比例的例子，并与同伴交流”的题目，使学生认识到正、反比例的知识与日常生活的密切联系。同时，教材还特别注重知识之间的联系，呈现了大量学生以前学过的量与量之间的关系，鼓励学生判断它们之间的关系。如，平行四边形的面积与高、圆的周长与直径。
4.在画图或解决实际问题等的活动中，体验比例尺的应用。
对于比例尺的知识，学生并不陌生，生活经验比较丰富。如，地图上的比例尺等。尽管如此，比例尺的应用对于学生来说还是比较抽象的，教材结合具体的活动和实例，贴近学生的经验，让学生感受到比例尺应用的广泛。如，在探究活动中，通过在方格纸上画小猫图，讨论哪只小猫长得更像乐乐，让学生初步体会比例尺的应用。再如，在实践活动中，通过画自己卧室的平面图，设计巨人的教师，进一步体会比例尺在生活中的应用。同时，通过“你知道吗”栏目中的知识，了解比例尺的另一种应用，拓宽学生的视野。
（三）1—6年级总复习
1．重视沟通知识的内在联系
小学阶段的内容在平时学习中往往是单独进行，实际上这些内容之间有着内在联系。教材在安排复习时，首先注重沟通知识的内在联系，把平时相对独立学习的知识以分类、归纳、转化等办法串起来，使相关内容条理化、系统化、结构化，形成整体框架，以加深学生对所学内容的进一步理解。教材中设计了很多系统化整理的内容，如学过的数的联系、数之间的相互转化、四则运算的意义及关系、估算策略的总结、计算法则和运算规律的总结、学过的各种图形的联系、立体图形与平面图形的联系、图形特征之间的联系、平面图形面积公式之间的联系、立体图形体积公式之间的联系等等。
2．注重学习方法的渗透
教材既关注数学内容的整理及其内容之间联系，也关注整理和反思方法的渗透。教材通过设计问题和活动引导学生的复习方法，培养他们良好的学习习惯。教材结合有关问题引导学生进行知识归类，梳理知识之间的联系，并引导学生用表格或网络图等形式来呈现，对整理难度高的内容，教材中呈现了知识框图，给学生以示范和引领。教材还在多个地方对学生梳理知识的角度进行提示，如对运算规律的整理与验证方法的整理，沟通立体图形与平面图形的联系、对平面图形的特征的刻划与及研究方法的整理等。
3．注意整理与应用相结合
教材注重整理与应用相结合，每部分内容的复习都分为“回顾与交流”、“巩固与应用”两部分。“回顾与交流”以提示性问题的形式呈现，把数与代数的主要内容加以呈现，以便于教师引导学生进行梳理，把以前分散学习的知识进行系统整理，沟通知识之间的联系。在“巩固与应用”部分，练习的设计既注意基本知识和基本技能，又注意知识的综合应用与适当提升，引导学生综合运用学过的数学知识和方法解释生活中的现象、解决简单实际问题，增强解决问题的策略意识和反思意识。，例如在统计的总复习中，安排了“结合生活中的例子说说收集数据的方法”“小芳零花钱支出情况统计图”等内容，让学生对统计方面的内容进行分析和整理。对于概率方面的内容也是如此，教材创设了“摸球”、“转盘”“晴天与雨天”等一些学生熟悉的生活情境。通过实验、讨论和交流，对概率的知识进行回顾和整理。教材还注重让学生在解决问题的活动中应用已经梳理的内容，提升学生解决问题的能力。
4．注重对解决问题策略的整理
解决问题活动的价值不只是获得具体问题的解，更重要的是学生在解决问题过程中获得的发展。其中重要的一点在于使学生学习一些解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。学生所采用的策略，在老师的眼中也许有优劣之分，但在孩子的思考过程中并没有好坏之别，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。只要解题过程及答案具有合理性，就值得肯定。这为树立学生的自信心和培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。
本套教材重视了解决问题策略的教学，鼓励学生在解决问题中采用多样化的解决策略。在总复习中，又鼓励学生总结以前学习过的解决问题的策略，为学生进一步理解解决问题策略提供实践与指导，以使他们能根据不同的问题合理地使用这些策略。教材选取了以往学习过程中用到的几个有代表性的解题策略,并给出了应用这些策略的例子，由此结合具体的情境引导学生对解决问题的策略进行回顾和应用。
教师要充分重视总复习这部分内容，精心设计教学，使学生在复习过程中，经历回顾、梳理、反思、应用等过程，加深对所学内容的理解，为今后的发展打下良好的基础。根据总复习的特点，提出以下教学建议：
（1）根据学生的实际情况制定复习计划。在开展总复习时，教师首先要了解本班学生的实际情况，制定有针对性的复习计划。其次应根据学生的反馈及时调整复习内容，以加强复习的针对性。根据具体的内容，要根据不同学生的需要提出不同的要求，设计不同层次的题目。
（2）帮助学生构建知识结构，沟通数学知识之间的联系。数学知识、方法之间有着密切联系，复习时要注意方法的综合性与灵活性。在实际教学时，教师要为学生提供自主梳理知识的时间和空间，不能越俎代庖。学生良好的认识结构是在个人思考中初步建立，在小组合作中形成，在集体交流和教师的指导下不断优化的。
（3）注重提高学生提出问题、解决问题的能力。在复习时，不仅应复习相应的知识和技能，还要把相应的知识与解决问题结合起来。教师要引导学生提出问题，既可以帮助学生回忆、整理相关知识，同时可以帮助学生提高综合运用数学知识的能力。
（4）注重基本技能的练习。基本技能要达到准确、熟练，要通过必要的练习，特别要适当进行一些变式的练习。但应注意的是，要依据学生的心理规律进行有效的练习，不应通过题海战术强化。另外，学生掌握基本技能的标准应按照课程标准的要求，不要随意拔高要求。
（5）注重对学习困难的学生给予有效帮助。由于学生知识基础、生活经验等的不同，在每个班级中都会存在一些数学学习有困难的学生。对这些学生的帮助，要有针对性，首要的是帮助他们树立起学习数学的信心，使每一个学生在复习的过程中都有新收获和新提高，在自身的基础上都有新发展。
（6）注重帮助学生积累活动经验，体会数学思想。总复习除了需要对所学内容的回顾、整理、巩固、应用外，还有一个重要目标，就是帮助学生再次经历重要概念和方法的形成过程，经历综合应用所学内容解决问题的过程，使他们不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。
三、本册教材的教学建议
（一）鼓励学生在现实情境中体验和理解数学
在本学段的教学中，要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，学生感兴趣的、富有数学意义的情境，鼓励学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能．
例如，在正比例意义的教学时，教师应利用教材中系列情境或者自己创设学生熟悉的情境，鼓励学生通过观察、比较、归纳、概括，对情境中变量与变量之间的关系加以体会，经历从具体情境中抽象出正比例的过程。然后，教师可以鼓励学生再举出生活中成正比例关系的量的实例，让学生根据自己的理解说说每个情境两个量之间的关系，并用自然语言、表格、图、关系式等对这些关系进行刻画。教师也可以组织学生收集生活中正比例的例子。无论采取何种形式，教师都应注重鼓励学生在具体情境中体验和理解比的意义。
（二）鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流
数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动，独立思考、合作交流是学生学习数学的重要方式。教学中，教师要鼓励学生在具体活动中进行思考，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中．在思考与交流的过程中，教师应提供适当的帮助和指导，善于选择学生中有价值的问题或意见，引导学生开展讨论，以寻找问题的答案。教师可以有意识地培养学生与人交流的愿望和习惯，使学生逐步学会运用适当的方式描述自己的想法，学会注意倾听他人的意见。
例如，在圆锥的体积的教学中，教师可以鼓励学生经历“猜想——验证”的科学探究过程，引导学生在已有知识和经验的基础上，进行大胆的猜想，并充分展示学生的思维。然后，引导学生自主设计验证方案，验证“圆锥体积是等底等高的圆柱体积的”的猜想。同时，在验证过程中使学生产生认知冲突，理解必须要“等底等高”。这样的教学，为学生的主动探索与发现提供了空间，有利于学生进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学探究活动，使学生自己逐步形成对数学知识的理解和有效的学习策略。
（三）重视培养学生的应用意识及初步的提出问题和解决问题的能力。
第二学段学生的知识、能力、情感和态度与第一学段的学生相比都有了进一步的发展，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。教学中还应注重培养学生提出问题的意识和能力，借助“问题银行”等栏目，鼓励学生提出问题，即使有的问题当时不能解决，可以放在“问题银行”以后解决。教学中，教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，并尝试从日常生活中发现数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。
（四）重视培养学生回顾与反思的能力
在1—6册总复习的教学中，教师应注重培养学生回顾与反思的能力。教师应帮助学生构建知识，为学生提供自主梳理知识的时间和空间，使学生体会数学知识、方法之间的密切联系；教师要注重学生提出问题、解决问题的能力。在复习时，不仅应复习相应的知识和技能，还要把相应的知识与解决问题结合起来。这样，既可以帮助学生回忆、整理相关知识，同时可以帮助学生提高综合运用数学知识的能力。特别注意的是，教师要引导学生提出新的研究问题，培养学生的问题意识。同时能提出有价值的问题，往往代表了学生对所学内容有了比较深入理解；教师应注重帮助学生积累活动经验，体会数学思想。总复习除了需要对所学内容的回顾、整理、巩固、应用外，还有一个重要目标，就是帮助学生再次经历重要概念和方法的形成过程，经历综合应用所学内容解决问题的过程，使他们不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。
（五）创造性地使用教材。
教材只是提供了学生数学活动的基本线索。教学中，教师要根据本班同学的特点和实际情况，创造性使用教材，设计教学过程。教师还应适时记录下自己的教学设计和教学反思，以不断改进自己的教学观念与教学方法。在本册中，教材结合各单元内容适当安排了一些教学案例片段及点评，并提出了一些重要的研究课题，供教师参考。教师可以利用这些案例和课题开展研究活动，积累有关的素材，并与同事进行讨论，使自己的教学水平和研究水平不断得到提高。
课件64张PPT。小学数学总复习及中小衔接的思考人民教育出版社课程教材研究所王永春一、问题的提出1.义务教育的整体性、系统性。
2.同一个课程标准。
3.教学内容、方法、学习方式的继承性。
4.第二学段和第三学段要相互关注。
二、初中数学教学的特点1.创设了内容丰富、联系实际、比较复杂的现实情境。加强对数量关系的分析，培养把实际问题抽象为数学问题的能力。培养数学的应用意识、解决实际问题的能力和实践能力。 2.注重知识间的内在联系，加强数学思
维能力和数学思想方法的教学。
从算术到代数
从常量到变量
从直观形象的实验几何到抽象逻辑推理
的论证几何 3.倡导自主探究的学习方式。
独立思考、自主学习占主导地位 三、初中一年级过早出现两极分化的原因
1.小学数学的基础知识和技能不扎实。
概念不清：如互为倒数:ab=1,理解为：ab=±1
　　　　　认为π就是3．14
0的问题较多,经常出现遗漏现象
0是自然数、整数，但不是正整数
小数点移动与科学记数法
计算问题：有理数运算问题较多，说明小学的　　　　　　　　四则混合运算不扎实。不要追求难度,但要正确
　　 　　　运算定律及技巧的应用 解决问题：列方程解决问题能力差
① 能否列出方程
② 能否正确解方程
2.初中知识与小学相比，抽象性、严密性、逻　
　　辑性等增强，很多初一学生不适应。
(1)负数的引入,参与运算。
　　判断：－a一定是负数。
　　　　　两个数的和一定大于每一个加数。
任何数的倒数都比这个数小。
　　计算：错误认为－５－３＝－２ （２）绝对值、平方的知识。
　　计算:∣a-1∣＝２，a-1=2或a-1=-2
　　　　∣a-1∣+ ∣b-3∣=0 , a=1,b=3
　　　　(a+2)2+ (b-5)2=0 , a=-2,b=5
推理:a+b>0,a<0, ∣a∣?∣b∣
（３）根据复杂情境列出方程。
　　 下面是人教版初中七年级教材的例题:流水问题盈亏问题 (4)推理、证明意识和能力差。
　　
(5)思考问题不全面,容易忽略特殊情况。
　判断：任何有理数的平方或绝对值都是正数。 　　　　
过三点中的任意两点画直线，能画几条？............ 3.学生对教师的教学方法不适应。
有些学生不适应抽象地多讲多练，喜欢动手实践、发言、合作交流。不能有效地听讲。
4.学生不适应中学阶段的学习。
部分学生独立学习和生活能力差。离开老师和家长的指导，就无所适从。
有些学生不适应自主学习，包括预习和复习。四、中考题型的特点和发展趋势
1. 内容丰富，基础题难度下降。
运算仍然是重点内容，运算与解决问题、判断推理证明有交叉。
计算：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝
空间与图形：8．由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如右　
　　图所示，则该几何体中正方体木块的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个统计与概率：
13．小张根据某媒体上报道的一张条形统计图（如右），在随笔中写道：“……今年在我市的中学生艺术节上，参加合唱比赛的人数比去年激增……”．小张说得对不对？为什么？（请你用一句话对小张的说法作一个评价）： ．14．从1至9这9个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是 ．3．下列事件是不确定事件的是（ ）
A．宁波今年国庆节当天的最高气温是16℃
B．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
C．抛掷一石头，石头终将落地
D．有一名运动员奔跑的速度是20米/秒　２.加强联系实际，重视解决问题能力的培养。案例1:2006年广州市中考题。
目前广州市小学和初中在校生共有约１２８万人，其中小学生在校人数比初中生在校人数的２倍多１４万人。
（１）求目前广州市在校小学生人数和初中生人数。
（２）假设今年小学生每人需交杂费５００元，初中生每人需交杂费１００元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则广州市要为此拨款多少？分析：此题与小学五上Ｐ７０例３相比，稍复杂。２５．2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
(1)设全程为x千米，因为速度不变，所以路程和时间成正比例。
　　　　x ／ 10/3 = x-120 ／ 2（1）水价不变，水费与用水量成正比例。
（2）速度不变，路程与时间成正比例。　3.具有一定的探索性。找规律: 16．如图，一个 的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8
个小正方形，那么一个 的矩形用不同的方式分割后，小
正方形的个数可以是 ．19．（本小题满分6分）
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
(n-3)n÷2 五、小学数学总复习建议
1.数与代数。
　 正数 正整数
(1)数的分类 0 整数 0
负数 负整数
(2)小数点的移动引起小数大小的变化。
(3)互为倒数在整数范围:　ab＝１
(4)因数、倍数在整数范围研究，质数、合数在正整数
范围研究。
(5)整数、小数、分数四则运算：法则、正确率。
(6)运算定律。
(7)通分、约分。(8)等式的性质，方程：列方程、解方程
(9)正比例关系和反比例关系：会判断。
(10)解决问题。
①解决特殊问题的策略:
　 画图、画表、列举、推理、猜测
②解决一般问题的策略：
　 分析数量关系、列式。
(11)解决问题的内容。
初中方程涉及内容：行程、流水、工程、盈亏、
鸡兔、过桥问题。17．（本小题满分6分）
课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头只（只）？
　如果假设鸡有 只，兔有　　只，请你写出关于
　　　　的二元一次方程组；并写出你求解这个方程组的　
　方法．(12)常见的数量关系。
速度×时间＝路程　　
单价×数量＝总价　　
工效×时间＝工作总量
单产×面积=总产
耗油量/千米×千米数=总耗油量
消耗量/天×天数=总消耗量
合格率=合格产品数÷产品总数× 100%
面积和体积公式
由数量关系式演变的及其他的正比例关系和反比例关系2. 空间与图形。
(1) 概念、公式熟练掌握。
(2) 注意概念的科学性。
变　合同变换（保距变换）：
　　　　轴对称、平移、旋转
　　　只改变图形的位置，不改变形状和大小。
换　相似变换（保角变换）：
　　　只改变图形的大小和位置，不改变形状。　
轴对称变换：
　一平面到自身的变换，若存在一条定直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为对称变换，定直线l称为对称轴．对称变换有如下性质：
①把图形变为与之全等的图形；
②关于l对称的两点连线被l垂直平分．两者在本质上是一致的，为了讨论的方便，区分为两种。平移变换：
　一平面到自身的变换，将平面上任一点P变换到P′，使得：
(1)射线PP′有给定的方向；
(2)线段PP′有给定的长度．
　则称这种变换为平移变换．在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线．平移的方向，不一定是水平的。小学阶段：直观认识平移现象。
物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变旋转变换：
　一平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：
(1)OX′=OX；
(2)∠XOX′=θ(定角)．
　则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心．旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化．设计图案相似变换：
　一平面到自身的变换，它把任一线段AB变成A′B′，且使
　　
　在相似变换下，直线上的点变换为对应直线上的点，保持角度大小不变，线段长度保持比例关系．形状不变，大小改变（图形的放大、缩小）　　演绎推理（三段论法）
推　　由一般到特殊的推理
　　　大前提，小前提，结论。
　　　如正方形、平行四边形等面积公式的推导
理　　　　　　归纳推理
　　合情推理　　　
　　　　　　　类比推理归纳推理：由特殊性前提引出一般性结论的推理
　完全归纳法：考虑一切特殊情况而作出的推理。
　　　　　　　如三角形内角和是180度的探索。
　不完全归纳法：根据几个特别情况作出的推理。
　　在小学数学中，一般用的是不完全归纳法。
　　如实验操作得出的结论，长方形、圆的面积公式，
　　长方体、圆柱、圆锥的体积公式等。　
数学归纳法：用有限解决无限的问题。类比推理：由特殊到特殊的推测方法
　数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。
　在空间与图形内容的学习中，从直线到平面，从平面到空间，经常运用类比的方法。
　如从长度单位到面积单位再到体积单位。从求面积是求包含多少个面积单位，类比联想到求体积是求包含多少个体积单位。投影、视图、直观图与观察物体：
　投影：光线照射物体在平面上得到的影子。
　　平行投影：由平行光线形成的投影。
　　　　　　　如太阳光照射物体的影子。
　　其中，投影线垂直于投影面产生的投影叫正　投影。
　　中心投影：同一点发出的光线形成的影子。
　　　　　　　如灯泡发出的光照射物体的影子
　视图：物体在平行光线下的正投影。
　三视图：从正面、左侧面、上面观察物体得到
　　的视图，分别称为主视图、左视图、俯视图直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间
　　　　几何体的图形。
观察物体：能辨认从不同方位看到的物体的形状和相
　　　　　对位置。
　　　　　看到的形状实际上是投影或图像。对于小　　　　　学生来说，有一定难度，可以比喻为照相
　　　　　得到的图像。一定要注意观察的位置，
　　　　　所观察物体的大小合适，保证是正投影，
　　　　　否则就变成了直观图。直观图三视图三视图三视图(3)处理好生活中的概念与数学概念的关系。(4)处理好实验几何与抽象成几何模型的关系。
　　要注意贯彻加强探索、操作活动的新理念，但同时要注意从形象思维向抽象思维的过度，概念要抽象概括，公式、性质要总结，在理解的基础上掌握。　(5) 空间与图形知识点的考查。
　 全国新课标小学数学只进行到六年级上册，还没有进行毕业考试。应考查的主要方面为：
①计算：周长、面积、体积、角度、比例尺等。
案例1：一个圆的周长是62.8厘米，以它的一条直径为底边，在圆内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。
案例2：棱长为1分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是正方体体积的（ ），若削成一个最大的圆锥体，那么圆锥体的体积是圆柱体积的（ ）。
案例3：把一段底面积是12.56平方分米的圆柱钢锭，完全放入底面积是56.52平方分米的长方体玻璃缸内的水中，当钢锭从玻璃缸内取出时，缸内的水面下降了1分米，这段圆柱体钢锭的长是多少分米？ ②根据概念、公式、性质、规律、定律等进行判断推理。
案例1：判断：一个长方体只有4个面完全一样，那么另外两个面一定是正方形。（　　）
案例2：选择填空：把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（　　）总相等。
　A　面积　　B　高　　C　上下两底的和
案例3：如下图，平行四边形ABCD的面积是72平方厘米，E是BC的中点，F是BD的中点，求三角形DEF的面积。ABCDE③空间观念：
　　除了传统的画角、平行线、垂线、长方形、圆等
　　新增加的：
　　画轴对称、平移、旋转、相似图形
　　利用变换设计图案
　　根据直观图判断三视图　　　　
　　根据三视图摆立体图形
　　认识立体图形的展开图
　　根据方向和距离判断物体的位置
　　描述简单的路线图
　　用数对表示物体的位置（6）初中阶段新课标中考试题空间与图形部分推理证 明和计算仍占主要地位。但新题型不断出现。
案例1：立体图形与平面展开图(湖南益阳2006)
（浙江嘉兴2006） 案例2：图形的变换（湖南衡阳2006）
（天津2006） 案例3：三视图（佛山2005）
小明从正面观察下图所示的两个物体,看到的是( )。 （浙江嘉兴2006）
3. 统计与概率。
(1)注意概念的科学性。
①事件的分类。
　　　　　　　　必然事件
　　　确定事件
事件　　　　　　不可能事件
　　　随机事件
②频率与概率的区别，概率的类型。
　　　　　　　　　　　　　　古典概型
随机事件　频数　频率　概率
　　　　　　　　　　　　　　几何概型　古典概率模型：
基本事件的个数有限
每个基本事件出现的可能性相等几何概率模型：
每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例 ③概率的正确理解。
　　概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中发生与否是随机的，大量的试验就会体现出规律性。
　　随机中有精确，精确中有随机。
　案例一：连续两次抛掷一枚硬币，一定是一　　
　　　　　次正面朝上、一次反面朝上吗？
　案例二：某种彩票的中奖概率是1/100，那
　　　　　么买100张彩票一定能中奖吗？
　案例三：天气预报说降水概率是80%，一定
　　　　　下雨（雪）吗？ (2)处理好生活经验与概率的关系。
　　可能当中概率有大小：可能性很大、较大、较小、很小，但都是可能。
　　可能性很大≠一定
　　可能性很小≠不可能
　案例一：袋子里有99个白球、1个红球，任
　　　　　意摸一个，一定是白球吗？不可能
　　　　　是红球吗？
　案例二：课程表安排明天第四节课上音乐，
　　　　　那么明天第四节课一定上音乐吗？
　 (3)适当把握教学要求。
①统计图表的规范。
统计表：标题（名称）、项目（标目）、数据等统计图：
标题（名称）
图目（标目）
图尺（坐标分度）
图形 ②除扇形统计图外，都要求绘制。
③初步体会数据可能产生误导。选择不合适的统计量会误导人们。
体会平均数和中位数的意义及在生活中的应用，学好统计知识能提高收集信息做出合理决策的能力。
引导学生展开小组讨论，在全班交流。 ④试验结果与概率可能产生矛盾。
　第一学段，摸球试验，两种球的比例要合适。
　第二学段，学生分组进行抛掷硬币试验，汇总小组试验结果，再呈现历史上试验的大量数据，引出有两种结果，每种结果的可能性相等，都是1/2。 ⑤把握好第一、二学段目标。
　　等可能性在第二学段教学。
⑥淡化概率计算，重在思想观念的渗透。
⑦统计的内容，除了知识与技能、过程与方法外，
　　还要联系实际，在现实中收集信息、读懂信息。　　　进出口总额统计图　　　分段式统计图
　　电话拥有量统计图 (4)知识点的考查。
①统计图表的认识。
②数据的分析、判断和预测
③平均数、中位数和众数的计算
④可能性大小的计算
排列组合知识是基础
11．甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（ ）
A．1/6 B．1/4 C．1/3 D．1/2
谢　谢！
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