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考点25 圆锥曲线
【考纲要求】
理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，并能运用它们解决有关问题
【考向预测】
椭圆、双曲线、抛物线的定义、简单的几何性质，尤其是椭圆和双曲线的离心率．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．椭圆
项目 内容
定义 平面内与两定点，的距离之和等于常数2a(2a>||)的点的轨迹叫作椭圆
图像
标准方程
几何性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±b，0)，(0，±a)
焦点 (±c，0) (0，±c)
焦距 ||＝__2c_，，a>b>0，a>c>0
几何性质 轴 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；长轴长：||＝_2a_；短轴长：||＝_2b_
离心率 e＝___(02．双曲线
项目 内容
定义 定义：平面内到两定点，的距离之差的绝对值等于同一常数2a(2a<||)的点的轨迹叫作双曲线
图像
标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
顶点 (±a，0) (0，±a)
焦点 (±c，0) (0，±c)
几何性质 渐近线方程
焦距 ||＝_2c_，，c>b>0，c>a>0
轴 对称轴：x轴，y轴； 对称中心：原点； 实轴长：||＝_2a_；虚轴长：||＝_2b_
几何性质 离心率 e＝_(e>1)，e越大，双曲线开口越开阔
3．等轴双曲线
(1)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)等轴双曲线的离心率e＝__.
(3)等轴双曲线的渐近线方程为_y＝±x_.
(4)等轴双曲线的两条渐近线互相垂直．
(5)等轴双曲线的方程可设为λ(λ≠0).
4．抛物线
项目 内容
定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线
图像
标准 方程 ＝2px (p>0) ＝－2px (p>0) ＝2py (p>0) ＝－2py (p>0)
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点
准线
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
【考点分类剖析】
考点一椭圆
【例1】如图所示，已知椭圆的焦点分别为和，经过左焦点的直线与椭圆相交于A，B两点，则△AB的周长为_20__.
【思路点拨】结合图形，不难发现△AB的周长＝|A|＋|A|＋|B|＋|B|，再根据椭圆的定义得＝|A|＋|A|＋|B|＋|B|＝2＋2＝4，∴△AB的周长为20.
【举一反三1】已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的一个端点为A，则△A的周长为__10__.
【提示】＝2＋2c＝2×3＋2×2＝10.
【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为8，且经过点(－，2)，求椭圆的标准方程．
【思路点拨】椭圆的焦点在x轴上，可设方程，根据两个已知条件，代入求得
【解】∵焦点在x轴上，且2＝8，∴＝4，
设椭圆的标准方程为将点(－，2)代入，得＝8，∴椭圆的标准方程为
【变式训练2】已知椭圆的中心在坐标原点，求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个短轴端点为(－3，0)，且经过点；
(2)长轴长为12，焦距为8.
解：(1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且b＝3.设椭圆的标准方程为，
将代入得＝25，∴椭圆的标准方程为
(2)∵2＝12，2c＝8，∴＝6，c＝4，∴＝－＝20，
∴椭圆的标准方程为
【例3】已知椭圆的两个焦点分别为(－3，0)，(3，0)，A为椭圆上一点，且∠A＝90°，△A的面积为6，求：
(1)△A的周长；
(2)椭圆的标准方程．
【思路点拨】由题意得＝＋＝(＋－2·，再结合条件和椭圆的定义可算出周长．
【解】∵∠A＝90°，∴＝＋＝(＋－2·.
又∵＝·＝6，∴·＝12，∴36＝(＋－2×12，∴＋＝
(1)△A的周长为＋＋＝＋6.
(2)∵|AF1|＋|AF2|＝＝2，∴＝，∴＝－＝15－9＝6，
∴椭圆的标准方程为
【变式训练3】已知椭圆的两个焦点为和，A为椭圆上一点，且A⊥A，则△A的面积为多少？
解：∵＋＝2＝10，＝2c＝6，
∴＝＋＝(＋－2·，即36＝100－2·，
∴·＝32，∴＝·＝×32＝16.
考点二双曲线
【例4】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为(0，±5)，离心率为；
(2)顶点坐标为(±4，0)，焦距为12.
【思路点拨】求双曲线的标准方程实质上是求出，b，利用双曲线的几何性质以及三个参数之间的关系．一般分三步：①确定焦点所在坐标轴，若不能判断，则需要分类讨论；②根据条件确定焦点坐标、顶点坐标等，进而确定，b，c三个参数值；③写出标准方程．
【解】(1)∵焦点在y轴上，且c＝5，e∴＝3，∴＝－＝16，∴双曲线的标准方程为
(2)∵焦点在x轴上，且＝4，2c＝12，∴c＝6，∴＝－＝36－16＝20，∴双曲线的标准方程为
【举一反三4】 (1)虚半轴长为6，且其中一个焦点坐标为(－10，0)的双曲线的标准方程为___；
(2)实轴长为4，离心率为的双曲线的标准方程为.
【提示】(1) ∵b＝6，c＝10，∴＝8.
(2)∵2＝4，＝2，e，∴c＝3，∴＝－＝5.∵焦点的位置不确定，∴此双曲线的标准方程为
.
【例5】已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点P(，－4)，求双曲线的标准方程．
【思路点拨】已知渐近线求双曲线的标准方程，有两种方法：一是先要判断焦点的位置，再设出标准方程，利用已知条件列出方程组，解方程组求出参数，b即可；二是根据渐近线方程设双曲线方程为＝λ的形式，再将已知的点代入求出λ，第二种方法可以避免讨论焦点的位置．
【解】方法一：作图可判断双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为 (>0，b>0)，则解得
∴双曲线的标准方程为
方法二：设双曲线方程为＝λ，将点P(，－4)代入得λ＝－2，
∴双曲线的标准方程为
【举一反三5】(1)若某双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点P(2，1)，则此双曲线的标准方程为；
(2)与双曲线有相同渐近线，且经过点(2,)的双曲线的标准方程为.
【提示】(1)由题意知此双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将P(2，1)代入得λ＝3，∴此双曲线的标准方程为.
(2)设所求双曲线方程为＝λ，将(2，)代入，得λ＝2，∴双曲线的标准方程为.
【例6】设和为双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠P＝60°，求△P的面积．
【思路点拨】根据三角形的面积公式＝··sin60°，而·可以在中利用余弦定理求出．关键是在计算过程中利用双曲线的定义以及配方的形式凑出·.解题过程中，要充分利用圆锥曲线的定义以及图形的平面解析几何的知识．
【解】如图所示．∵∠＝60°，|－|＝2＝4，||＝2c＝，
∴＝＋－2··cos60°
＝＋－·，
即＝(＋＋·，
∴20＝16＋·，
∴·＝4，
∴＝··sin∠
【变式训练6】已知双曲线的两个焦点分别为和，P是双曲线上一点，且P⊥P，求△P的面积．
解：∵＝9，＝16，∴＝＋＝25，∴＝3，b＝4，c＝5，
∴|－|＝2＝6，||＝2c＝10，
∴＝＋＝(＋·，
∴100＝36＋2·，
∴·＝32，
∴＝·＝×32＝16.
考点三抛物线
【例7】求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2，4)；
(2)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y＋4＝0上.
【思路点拨】求抛物线的标准方程，先确定焦点的位置，再找一个条件即可．本例中两条抛物线的焦点位置均有两种可能，因此需要通过题目中的具体情况来讨论解题，关键是焦点位置的确定．
【解】(1)根据题意，焦点在x轴正半轴或y轴正半轴上，
设抛物线的标准方程为＝2px(p>0)或＝2py(p>0)，
将点(2，4)分别代入得p＝4或p＝，∴抛物线的标准方程为＝8x或＝y.
(2)令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝－4，∴焦点为F(0，2)或F(－4，0)，
∴抛物线的标准方程为＝8y或＝－16x.
【变式训练7】求以原点为顶点，对称轴为坐标轴，且经过点P(－3，－6)的抛物线的标准方程．
解：焦点在x轴负半轴或y轴负半轴上，设方程为＝－2px或＝－2py(p>0)，
将点(－3，－6)分别代入得p＝6或p＝，∴抛物线的标准方程为＝－12x或＝－y.
【例8】已知抛物线＝－4x上一点P到焦点的距离为4，求点P的坐标．
【思路点拨】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，于是可将距离与点的横坐标联系起来，进而求解．
【解】抛物线＝－4x的焦点坐标为(－1，0)，准线方程为x＝1，
设P(，)(<0)，由抛物线的定义知4＝||＋＝||＋1，
∴＝－3，∴＝±，∴P(－3，±).
【变式训练8】 (1)已知抛物线＝2py(p>0)上一点M(a，3)到焦点F的距离为4，则抛物线的标准方程为
＝4y；
(2)如图所示，从抛物线＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__10__.
【提示】(1)由抛物线的定义知＋3＝4，解得p＝2，∴抛物线的标准方程为＝4y.
(2)设P(，)，则>0，∴|PM|＝＋＝＋1＝5，
∴＝4，代入＝4x，得＝±4.∴＝|PM|·||＝×5×4＝10.
【例9】已知抛物线＝4x的焦点是F，P是抛物线上的动点，点B的坐标为(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
【思路点拨】易知点B在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化在抛物线上求一点P，使点P到准线与到点B的距离之和为最小，结合图像不难找出所求点P的位置．
【解】如图所示，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点，则|Q|＝|F|，∴|PB|＋|PF|≥|B|＋|Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【变式训练9】 若例9中点B的坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：∵点(3，4)在抛物线的外部，∴|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|，即|PB|＋|PF|的最小值为
【例10】已知直线l经过抛物线=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为2，求线段AB的长．
【思路点拨】将|AB|分解为|AF|＋|BF|，再结合抛物线的定义即可求出结论．但也要注意此题的方法仅适用于直线经过抛物线的焦点的情况．
【解】∵|AB|＝|AF|＋|BF|，∴由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＋＋＝＋＋p.
又∵＝2，即＋＝4，且p＝2，∴|AB|＝4＋2＝6.
【变式训练10】已知直线y＝x＋2与抛物线＝8y相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：由题意，直线y＝x＋2恰好经过抛物线的焦点(0，2)，且p＝4.
由消去y得－8x－16＝0，
由韦达定理得＋＝8，
∴|AB|＝|A|＋|A|
＝＋＋＋
＝＋＋p
＝8＋4
＝12.考点25 圆锥曲线
【考纲要求】
理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，并能运用它们解决有关问题
【考向预测】
椭圆、双曲线、抛物线的定义、简单的几何性质，尤其是椭圆和双曲线的离心率．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．椭圆
项目 内容
定义
图像
标准方程
几何性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
焦点
焦距 ||＝________，，a>b>0，a>c>0
几何性质 轴 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；长轴长：||＝______；短轴长：||＝______
离心率 e＝______(02．双曲线
项目 内容
定义
图像
标准方程 __________(a>0，b>0) __________(a>0，b>0)
几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
顶点
焦点
几何性质 渐近线方程 ________ ________
焦距 ||＝________，，c>b>0，c>a>0
轴 对称轴：x轴，y轴； 对称中心：原点； 实轴长：||＝______；虚轴长：||＝______
几何性质 离心率 e＝________(e>1)，e越大，双曲线开口越开阔
3．等轴双曲线
(1)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)等轴双曲线的离心率e＝________.
(3)等轴双曲线的渐近线方程为________.
(4)等轴双曲线的两条渐近线互相垂直．
(5)等轴双曲线的方程可设为λ(λ≠0).
4．抛物线
项目 内容
定义
图像
标准 方程 __________ (p>0) __________ (p>0) __________ (p>0) __________ (p>0)
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴
焦点
准线
顶点
离心率
【考点分类剖析】
考点一椭圆
【例1】如图所示，已知椭圆的焦点分别为和，经过左焦点的直线与椭圆相交于A，B两点，则△AB的周长为________.
【举一反三1】已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的一个端点为A，则△A的周长为________.
【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为8，且经过点(－，2)，求椭圆的标准方程．
【变式训练2】已知椭圆的中心在坐标原点，求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个短轴端点为(－3，0)，且经过点；
(2)长轴长为12，焦距为8.
【例3】已知椭圆的两个焦点分别为(－3，0)，(3，0)，A为椭圆上一点，且∠A＝90°，△A的面积为6，求：
(1)△A的周长；
(2)椭圆的标准方程．
【变式训练3】已知椭圆的两个焦点为和，A为椭圆上一点，且A⊥A，则△A的面积为多少？
考点二双曲线
【例4】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为(0，±5)，离心率为；
(2)顶点坐标为(±4，0)，焦距为12.
【举一反三4】 (1)虚半轴长为6，且其中一个焦点坐标为(－10，0)的双曲线的标准方程为______________；
(2)实轴长为4，离心率为的双曲线的标准方程为______________________.
【例5】已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点P(，－4)，求双曲线的标准方程．
【举一反三5】(1)若某双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点P(2，1)，则此双曲线的标准方程为__________；
(2)与双曲线有相同渐近线，且经过点(2,)的双曲线的标准方程为______________.
【例6】设和为双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠P＝60°，求△P的面积．
【变式训练6】已知双曲线的两个焦点分别为和，P是双曲线上一点，且P⊥P，求△P的面积．
考点三抛物线
【例7】求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2，4)；
(2)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y＋4＝0上.
【变式训练7】求以原点为顶点，对称轴为坐标轴，且经过点P(－3，－6)的抛物线的标准方程．
【例8】已知抛物线＝－4x上一点P到焦点的距离为4，求点P的坐标．
【变式训练8】 (1)已知抛物线＝2py(p>0)上一点M(a，3)到焦点F的距离为4，则抛物线的标准方程为__________；
(2)如图所示，从抛物线＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________.
【例9】已知抛物线＝4x的焦点是F，P是抛物线上的动点，点B的坐标为(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
【变式训练9】 若例9中点B的坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
【例10】已知直线l经过抛物线=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为2，求线段AB的长．
【变式训练10】已知直线y＝x＋2与抛物线＝8y相交于A，B两点，求线段AB的长．

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