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考点26 平面解析几何
【考纲要求】
重点考查曲线方程和曲线方程的性质以及曲线之间的关系等基本知识，考查斜率公式、距离公式、夹角公式、中点坐标公式等重要公式的应用，考查坐标法、数形结合法、分类讨论法等重要数学思想方法．
【考向预测】
从近几年的考题分析，以考查单一的知识点为主，但也有多个知识点的综合应用．因此，要求学生能够解决关于直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等综合性问题．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切和相离.
2．计算直线与圆锥曲线的相交弦长
联立＋bx＋c＝0，当≠0，Δ≥0时，由韦达定理得＋＝－，＝，则弦长＝||＝＝.(其中k为直线的斜率，,为一元二次方程＋bx＋c＝0的两根)
3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题：常用中点坐标公式、韦达定理、点差法等．
4．关于对称性问题：可根据点的对称性的求法类推．
【考点分类剖析】
考点一直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：.求：
(1)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有两个不重合的公共点？
(2)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？
【思路点拨】判断直线与二次曲线的位置关系，即判断直线方程与二次曲线方程联立消元后所得一元二次方程的解的个数问题，即通过判别式Δ判断即可．
【解】由直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9＋8mx＋2－4＝0，
∴Δ＝－36(2－4)＝144－8.
(1)当Δ>0时，即时，方程组有两组不同的实数解，即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±时，方程组有两组相同的实数解，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
【举一反三1】(1)判断直线x－y－1＝0与双曲线＝2的交点个数；
(2)已知直线y＝kx－2与抛物线＝6x只有一个公共点，求k的值.
解：(1)由得－4x＋4＝0，
∴Δ＝0，∴只有一个交点．
(2)由消去y得－(4k＋6)x＋4＝0.
∴当k＝0时，直线方程为y＝－2，符合条件；
当k≠0时，Δ＝－4×4＝0，解得k＝.
综上所述，k的值为0或
【例2】已知直线x－y＋1＝0与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
【思路点拨】直线方程与曲线方程联立，消去x或y得到一元二次方程，通过韦达定理，利用弦长公式，减小运算量．
【解】由得7＋8x－8＝0，由韦达定理得＋＝，＝，
∴|AB|
即弦AB的长为
【变式训练2】设抛物线C：＝4x的焦点为F，经过点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程．
解：由题意得F(1，0).
设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)，A(，)，B(，).
由消去y得－(2＋4)x＋＝0，
∴Δ＝16＋16>0，∴＋＝∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋1)＋(＋1)＝
由题意得＝8(k>0)，解得k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【例3】已知某直线与椭圆4＋9＝36相交于A，B两点，弦AB的中点为M(1，1)，求直线AB的方程．
【思路点拨】求中点弦所在直线方程，已知一点再求其斜率即可，根据题意应该考虑弦的端点坐标和弦的中点坐标之间的关系，于是可以利用韦达定理或点差法求解．
【解】设A(，)，B(，)，根据题意≠.
∵弦AB的中点为M(1，1)，
∴，即＋＝2，＋＝2.
由作差得
∴4()(－)＋9(＋)(－)＝0，
∴8(－)＋18(－)＝0，
∴，即＝，
由点斜式得y－1＝(x－1)，即直线AB的方程为4x＋9y－13＝0.
【变式训练3】已知经过点A(2，1)作直线l交双曲线－＝1于P，Q两点，点A平分弦PQ，求直线l的方程．
解：设P(，)，Q(，)，
则≠，且
即＋＝4，＋＝2.
由作差得
∴2()(－)－(＋)(－)＝0，
∴8(－)－2(－)＝0，
∴8(－)＝2(－)，
∴，即＝4，
由点斜式，得y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.
【例4】已知抛物线＝2px(p>0)有内接直角三角形OAB，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程是y＝2x，直角三角形的斜边长为，求p的值．
【思路点拨】先利用直线OA，OB的方程与抛物线方程联立，可以求出A，B两点的坐标，再与斜边AB的长结合距离公式建立关于p的方程，即可求出参数p的值．
【解】设A(，)，B(，)，则＝2.
【举一反三4】已知等边三角形ABC的三个顶点在抛物线＝2x上，其中点A与原点O重合，求△ABC的边长．
解：＝tan30°＝，＝tan150°＝－，且BC⊥x轴，
∴直线OB的方程为y＝x，
由得x＝6，y＝.
∴B(6，)，C(6，－)，
∴△ABC的边长|AB|＝|AC|＝|BC|＝.
考点二平面解析几何综合问题
【例5】已知曲线方程＋sinα＝1，且α∈[0，2π]，试讨论此方程表示的曲线．
【思路点拨】本题主要是根据角α在一个周期内变化的时候，其正弦值的不同决定了方程表示的曲线类型．同时结合每种曲线方程的特征来判断方程具体表示哪种曲线．
【解】①当α＝0，π或2π时，sinα＝0，方程化为＝1，即x＝±1，此方程表示两条与x轴垂直的平行线；
②当α＝时，sinα＝1，方程化为＋＝1，此方程表示的曲线是以原点为圆心，半径为1的圆；
③当α＝时，sinα＝－1，方程化为＝1，此方程表示的曲线是焦点在x轴上的等轴双曲线；
④当α∈时，0⑤当α∈时，－1【举一反三5】若θ∈，则方程cosθ＋sinθ＝1表示的曲线是(　A　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线
【提示】如解图所示，借助图像可以比较sinθ与cosθ在内的大小关系为sinθ>cosθ>0，∴，∴方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆．
【例6】已知双曲线以椭圆的长轴顶点为焦点，
渐近线与椭圆的焦点及短轴顶点确定的直线平行．
(1)求此双曲线的标准方程；
(2)若点P在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，且P⊥P，求点P到x轴的距离．
【思路点拨】(1)根据椭圆的焦点与短轴顶点坐标可求出渐近线的斜率，进而根据双曲线中，b，c之间的关系求出双曲线的方程．(2)点P到x轴的距离可以理解为△P中边上的高，即点P的纵坐标的绝对值，因此可以从求三角形的面积入手或者从求点P的纵坐标入手来解决问题．
【解】(1)∵椭圆焦点(±3，0)与短轴顶点(0，±4)所确定的直线斜率为±，∴双曲线的渐近线斜率为±.
又∵双曲线的焦点坐标为(±5，0)，∴，且c＝5，由可解得＝3，b＝4，
∴此双曲线的标准方程为
(2)点P到x轴的距离，即Rt△P中边上的高线.不妨设点P在双曲线右支上，由
得100＝(＋·，即·＝32，
由＝·＝·h得h＝，
∴点P到x轴的距离为.
【变式训练6】已知双曲线与椭圆有公共焦点，，它们的离心率之和为
(1)求此双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠P的值．
解：(1)∵椭圆的焦点坐标为(±4，0)，离心率为，∴双曲线的焦点坐标为(±4，0)，且离心率e＝＝2，即c＝4，＝2，∴－＝12，∴此双曲线的标准方程为
(2)不妨设点P在y轴右侧，则
又∵＝8，
∴在△中，由余弦定理得cos∠
【例7】已知椭圆C：(>b>0)的两个焦点为，，点P在椭圆C上，且P⊥，|P|＝，|P|＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l经过圆＋＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，M，B三点满足关系，求直线l的方程.
【思路点拨】根据椭圆定义和勾股定理可以求出椭圆中的参数，b，c，进而求出方程；由直线经过圆心M，且可知M是弦AB的中点，即中点弦问题，可用点差法或韦达定理解题．
【解】(1)∵|P|＝，|P|＝，∴26，∴＝3.
又∵P⊥，∴2c＝||＝，
∴c＝，∴－＝4，
∴椭圆C的标准方程为
(2)圆的方程化为＋＝5，
∴圆心为M(－2，1). 又∵，∴M为弦AB的中点．
设A(，)，B(，)，则
∴＋＝－4，＋＝2.
由作差得
∴直线l的方程为y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.
【变式训练7】已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，)，直线l：y＝2x－1交椭圆所截得的弦的中点在直线4x＋y－＝0上．求此椭圆的方程．
解：设椭圆方程为(>b>0). 由得弦中点为
由得(5＋26)－4x＝(＋25).
∴＋解得＝，∴＝26＋＝
∴椭圆方程为考点26 平面解析几何
【考纲要求】
重点考查曲线方程和曲线方程的性质以及曲线之间的关系等基本知识，考查斜率公式、距离公式、夹角公式、中点坐标公式等重要公式的应用，考查坐标法、数形结合法、分类讨论法等重要数学思想方法．
【考向预测】
从近几年的考题分析，以考查单一的知识点为主，但也有多个知识点的综合应用．因此，要求学生能够解决关于直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等综合性问题．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．直线与圆锥曲线的位置关系有________、________和________.
2．计算直线与圆锥曲线的相交弦长
联立＋bx＋c＝0，当≠0，Δ≥0时，由韦达定理得＋＝－，＝，则弦长＝||＝＝.(其中k为直线的斜率，,为一元二次方程＋bx＋c＝0的两根)
3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题：常用中点坐标公式、韦达定理、点差法等．
4．关于对称性问题：可根据点的对称性的求法类推．
【考点分类剖析】
考点一直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：.求：
(1)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有两个不重合的公共点？
(2)当实数m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？
【举一反三1】(1)判断直线x－y－1＝0与双曲线＝2的交点个数；
(2)已知直线y＝kx－2与抛物线＝6x只有一个公共点，求k的值.
【例2】已知直线x－y＋1＝0与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
【变式训练2】设抛物线C：＝4x的焦点为F，经过点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程．
【例3】已知某直线与椭圆4＋9＝36相交于A，B两点，弦AB的中点为M(1，1)，求直线AB的方程．
【变式训练3】已知经过点A(2，1)作直线l交双曲线－＝1于P，Q两点，点A平分弦PQ，求直线l的方程．
【例4】已知抛物线＝2px(p>0)有内接直角三角形OAB，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程是y＝2x，直角三角形的斜边长为，求p的值．
【举一反三4】已知等边三角形ABC的三个顶点在抛物线＝2x上，其中点A与原点O重合，求△ABC的边长．
考点二平面解析几何综合问题
【例5】已知曲线方程＋sinα＝1，且α∈[0，2π]，试讨论此方程表示的曲线．
【举一反三5】若θ∈，则方程cosθ＋sinθ＝1表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线
【例6】已知双曲线以椭圆的长轴顶点为焦点，
渐近线与椭圆的焦点及短轴顶点确定的直线平行．
(1)求此双曲线的标准方程；
(2)若点P在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，且P⊥P，求点P到x轴的距离．
【变式训练6】已知双曲线与椭圆有公共焦点，，它们的离心率之和为
(1)求此双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠P的值．
【例7】已知椭圆C：(>b>0)的两个焦点为，，点P在椭圆C上，且P⊥，|P|＝，|P|＝
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l经过圆＋＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，M，B三点满足关系，求直线l的方程.
【变式训练7】已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，)，直线l：y＝2x－1交椭圆所截得的弦的中点在直线4x＋y－＝0上．求此椭圆的方程．

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