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专题五 幂、指、对函数
1．幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）几个常用的幂函数的图象与性质
定义 幂函数y＝xα(α∈R)
图象 α＞0 α＜0
性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1)
(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数
(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸
2．指数函数
（1）指数函数的定义
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
（2）指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
3．对数函数
（1）对数函数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N，
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
（2）对数的性质与运算性质
对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)．
对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．一般地，＝ logaM.
（3）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
（4）对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
一 、幂的运算及幂函数
1．设，则下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确，
故选：D.
2．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【解析】设，则，解得，所以，所以，故选：D.
3．已知幂函数在上为单调减函数，则实数m的值为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】是幂函数，所以，当时，，在上递减，符合题意，当时，，在上递增，不符合题意，综上所述，的值为，D选项正确，故选：D.
二 、指数及指数函数
4．函数，（且）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，令，则，所以函数必过点，故选：D.
5．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当，即时，该指数函数在是减函数，故选：B.
6．函数的值域是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，即，即所求函数的值域为，故答案为：.
三 、对数及对数函数
7．有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】B
【解析】因为，，所以A错误，B正确；
若，则，故C错误；
，而没有意义，故D错误，
故选：B.
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.则，所以，故选：B.
9．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得x的取值范围为：，所以函数的定义域为，故选：A.
10．化简式子等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】原式，故选：A.
一、选择题
1．设a>0，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 , ,故B，C错误，D正确，由于 ，所以 ，故A 错误，故选：D.
2．幂函数的图象过点，则f(4)等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】依题意，则，故选：B.
3．若，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于AD选项，，AD均错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对，
故选：C.
4．方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，故选：D.
5．已知，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．±2
【答案】D
【解析】，所以，故选：D.
6．已知,,,则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造可知单调递增，，，造可知单调递减，，，构造可知单调递减，，，所以，故选：A.
7．若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点，故选：D.
8．已知函数，则＝（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【解析】由题意得，故选：C.
9．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称，由选项中图象对称关系可知A正确，故选：A.
10．在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由等比数列的性质得，数列的前 5 项之和为，故选：C.
二、填空题
11．若，，则的值为 .
【答案】
【解析】，故答案为：.
12． ．
【答案】-1
【解析】，故答案为：-1.
13．函数，则 .
【答案】1
【解析】依题意，故答案为：.
14．已知指数函数（其中）在闭区间上的最大值比最小值大，则实数 ．
【答案】
【解析】∵，∴指数函数（其中）在闭区间上单调递增，所以，则，
解得（舍去），故答案为：．
15．已知，，则 ．
【答案】72
【解析】由，所以，故答案为：72.
16．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
【答案】
【解析】若，在上单调递减，则，不符合题意；若，在上单调递增，则，当值域为时，可知，解得.
故答案为：.
三、解答题
18．已知正实数满足，求下列各式的值；
（1）
（2）．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以，所以．
19．已知函数（且）的图像过点.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)依题意有，∴.
(2)易知函数在上单调递增，又，∴解得.
∴不等式的解集为．
20．已知，且，求m的值．
【答案】
【解析】解：因为，所以，由换底公式可得：，
因为，所以，则，因为，所以.专题五 幂、指、对函数
1．幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）几个常用的幂函数的图象与性质
定义 幂函数y＝xα(α∈R)
图象 α＞0 α＜0
性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1)
(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数
(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸
2．指数函数
（1）指数函数的定义
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
（2）指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
3．对数函数
（1）对数函数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N，
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
（2）对数的性质与运算性质
对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)．
对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．一般地，＝ logaM.
（3）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
（4）对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
一 、幂的运算及幂函数
1．设，则下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
3．已知幂函数在上为单调减函数，则实数m的值为（ ）．
A． B． C． D．2
二 、指数及指数函数
4．函数，（且）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．函数的值域是 ．
三 、对数及对数函数
7．有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
10．化简式子等于（ ）
A．0 B． C． D．
一、选择题
1．设a>0，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．幂函数的图象过点，则f(4)等于（ ）
A． B．2 C． D．
3．若，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
5．已知，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．±2
6．已知,,,则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
8．已知函数，则＝（ ）
A． B．4 C． D．8
9．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．若，，则的值为 .
12． ．
13．函数，则 .
14．已知指数函数（其中）在闭区间上的最大值比最小值大，则实数 ．
15．已知，，则 ．
16．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
三、解答题
18．已知正实数满足，求下列各式的值；
（1）
（2）．
19．已知函数（且）的图像过点.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.．
20．已知，且，求m的值．

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