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专题六 弧度制及任意角的三角函数、同角三角函数的关系及诱导公式
1.角
(1)非象限角
①终边在x轴上的角的集合可记作：{α|α＝kπ，k∈Z} ；
②终边在y轴上的角的集合可记作： ；
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.
2．弧度制
(1)弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′.
(2)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr．
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)．
(2)三角函数值在各象限的符号：
sinα　　　　　cosα　　　　　tanα
4．同角三角函数的基本关系：①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα．
5．三角函数的诱导公式：
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
一 、角、弧度制、扇形弧长及面积
1．下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A． B．
C．) D．)
【答案】C
【解析】与角终边相同角可以表示为；
对A，由找不到整数让，所以A错误；
对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，；
对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误，
故选：C.
2．若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
【答案】C
【解析】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角，故选：C.
3．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得，故选：C．
二 、任意角的三角函数
4．若C为的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，故，、的符号不定，所以A为正值，B、C、D的符号不定，故选：A．
5．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，点到原点距离，所以，故选：A.
6．已知角α的终边与单位圆交于点，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可知，所以，故选：A.
三 、同角三角函数的关系及诱导公式
7．已知扇形的半径为6，且扇形的弧长为，设其圆心角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由弧长公式变形得到，∴，故选：D.
8．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，点到原点距离，所以，故选：A.
9．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为，所以，故选：B.
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，故选：A.
一、选择题
1．已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】因为，所以为第四象限角，所以，，所以点位于第四象限，故选：D.
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：，故选：A．
3．圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（ ）cm
A．15 B．30 C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以扇形的面积，故选：C.
4．若直线l经过第一、三、四象限，且其倾斜角为，斜率为k，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，其斜率，直线l的倾斜角的取值范围是，所以，，.
所以，，，D选项错误，故选：D.
5．已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得，所以，故答案为：A.
6．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【解析】由终边过点，可得，所以，故选：D.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，根据诱导公式得，即，所以，故选：A.
8．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】因为，故选：B.
9．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，在由.
故选：D.
10．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知条件得，∵，∴，
∴，故答案为：.
二、填空题
11．在到范围内，与终边相同的角为 ．
【答案】
【解析】因为，所以在 到范围内，与终边相同的角为，故答案为：.
12．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第 象限角．
【答案】第三象限角
【解析】当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，则α是第三象限角，故答案为：第三象限角．
13．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．
【答案】6
【解析】扇形的周长为，故答案为：6.
14．已知点为角的终边上一点，则的值为 ．
【答案】
【解析】，故答案为：.
15．若，则 ．
【答案】
【解析】因为，则，所以，，故答案为：.
16．若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】由题可知该圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为l，则，得.此该圆锥的体积，故答案为：.
三、解答题
18．已知.
（1）写出与角终边相同的角的集合；
（2）写出在内与角终边相同的角.
【答案】(1)；(2)，，
【解析】解：（1）与角终边相同的角的集合为.
（2）令，得，又，∴k=-2，-1，0，∴在内与角终边相同的角是，，.
19．已知角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）点到坐标原点的距离，因为，所以，根据三角函数的定义，可得．
（2）根据三角函数的定义，可得，．
20．已知为第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】(1)；(2)﹒
【解析】解：(1)．
(2)∵，∴，又为第三象限角，∴，∴.专题六 弧度制及任意角的三角函数、同角三角函数的关系及诱导公式
1.角
(1)非象限角
①终边在x轴上的角的集合可记作：{α|α＝kπ，k∈Z} ；
②终边在y轴上的角的集合可记作： ；
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.
2．弧度制
(1)弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′.
(2)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr．
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)．
(2)三角函数值在各象限的符号：
sinα　　　　　cosα　　　　　tanα
4．同角三角函数的基本关系：①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα．
5．三角函数的诱导公式：
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
一 、角、弧度制、扇形弧长及面积
1．下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A． B．
C．) D．)
2．若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
3．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．2
二 、任意角的三角函数
4．若C为的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
5．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角α的终边与单位圆交于点，则=（　　）
A． B． C． D．
三 、同角三角函数的关系及诱导公式
7．已知扇形的半径为6，且扇形的弧长为，设其圆心角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
一、选择题
1．已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（ ）cm
A．15 B．30 C． D．
4．若直线l经过第一、三、四象限，且其倾斜角为，斜率为k，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
9．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在到范围内，与终边相同的角为 ．
12．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第 象限角．
13．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．
14．已知点为角的终边上一点，则的值为 ．
15．若，则 ．
16．若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 .
三、解答题
18．已知.
（1）写出与角终边相同的角的集合；
（2）写出在内与角终边相同的角.
19．已知角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．已知为第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求的值.

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