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专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
5．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
【题型1 二项分布的概率计算】
【方法点拨】
对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可.
【例1】（2022春·新疆·高二阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·高二单元测试）已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【变式1-2】（2022·高二课时练习）设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 二项分布的期望与方差】
【方法点拨】
根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可.
【例2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（ ）
A． B．8 C．12 D．24
【变式2-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路 计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量，若，则分别是（ ）
A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6
【变式2-3】（2022秋·河南南阳·高三阶段练习）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【题型3 二项分布中的最大值问题】
【方法点拨】
对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可.
【例3】（2022春·山东枣庄·高二期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若，则取得最大值时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．5或6
【变式3-2】（2022春·广东云浮·高二期末）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型4 超几何分布的判断】
【方法点拨】
对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【变式4-3】（2022春·黑龙江绥化·高二期末）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
【题型5 二项分布的实际应用】
【方法点拨】
利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析随机变量是否服从二项分布；
(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
【例5】（2023·全国·高二专题练习）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望，方差．
(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
【变式5-1】（2022·高二课时练习）某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为，设为成活棕榈树的棵数.
(1)求的分布列；
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
【变式5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高二期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
(1)设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．
【变式5-3】（2022春·上海闵行·高二期末）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项日．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．
(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；
(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．
【题型6 超几何分布的实际应用】
【方法点拨】
利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析随机变量是否服从超几何分布；
(3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列；
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
【例6】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.
(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？
(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
(1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
(2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【变式6-2】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．
厨余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶
厨余垃圾 60 20 20
可回收物 10 40 10
其他垃圾 30 40 170
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
【变式6-3】（2022春·江苏苏州·高二期中）为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级（1）班—（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测．经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数统计如下：
班号 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 8 6 9 4 7 5 9 8
(1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，“”表示第k班抽到的这名同学视力不是优秀（，2，，8）．写出方差，，，的大小关系．专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
5．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
【题型1 二项分布的概率计算】
【方法点拨】
对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可.
【例1】（2022春·新疆·高二阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由二项分布的概率公式计算．
【解答过程】．
故选：D．
【变式1-1】（2022·高二单元测试）已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解题思路】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果.
【解答过程】随机变量,，
解得（舍去，注意：），．
故选:C．
【变式1-2】（2022·高二课时练习）设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二项分布求解即可
【解答过程】，
，
，
解得，
故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先建立方程求出，再计算即可.
【解答过程】解：因为随机变量，，
所以，则，
因为，即，解得
随机变量中，
，
故选：A.
【题型2 二项分布的期望与方差】
【方法点拨】
根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可.
【例2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（ ）
A． B．8 C．12 D．24
【解题思路】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.
【解答过程】随机变量X服从二项分布，，
因为，所以.
因为，
所以.
故选：D.
【变式2-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路 计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题思路】根据二项分布求期望.
【解答过程】由题意，，
故
，
故选:C.
【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量，若，则分别是（ ）
A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6
【解题思路】由求得，根据，结合均值和方差的性质，即可求得答案.
【解答过程】由题意知，，
故，
由于，故，
所以,
故选：B.
【变式2-3】（2022秋·河南南阳·高三阶段练习）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案.
【解答过程】解：由二项分布的方差公式有，
解得: 或.
而即，
解得:
所以，
从而.
故选:A.
【题型3 二项分布中的最大值问题】
【方法点拨】
对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可.
【例3】（2022春·山东枣庄·高二期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】若最大，则，解出的范围，代入数值.
【解答过程】因为 ，若最大，则
，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.
故选：C.
【变式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若，则取得最大值时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．5或6
【解题思路】求得的表达式，结合组合数的性质求得正确答案.
【解答过程】因为，所以，
由组合数的性质可知，当时最大，此时取得最大值.
故选：B.
【变式3-2】（2022春·广东云浮·高二期末）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案.
【解答过程】由题意可知，
因为，所以，
整理得，即，
又，且，所以，
故选：B.
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值.
【解答过程】由题意，随机变量，，
若取得最大值时，则:

则，解得，则．
故选：．
【题型4 超几何分布的判断】
【方法点拨】
对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项.
【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.
【解答过程】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【解题思路】根据超几何分布概率模型可得选项.
【解答过程】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故选：A.
【变式4-3】（2022春·黑龙江绥化·高二期末）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
【解题思路】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【解答过程】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以.
故选：C.
【题型5 二项分布的实际应用】
【方法点拨】
利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析随机变量是否服从二项分布；
(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
【例5】（2023·全国·高二专题练习）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望，方差．
(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
【解题思路】（1）根据二项分布的知识列方程组，求得，并求得的分布列.
（2）结合（1）的分布列求得正确答案.
【解答过程】（1）由题意知，随机变量X服从二项分布，
，．
由，解得，．
所以，的可能取值为，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
（2）记事件A表示“需要补种沙柳”，则，
得，
所以需要补种沙柳的概率为．
【变式5-1】（2022·高二课时练习）某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为，设为成活棕榈树的棵数.
(1)求的分布列；
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
【解题思路】（1）根据题意成活棕榈树的棵数服从二项分布，再求出分布列即可；
（2）由题意计算即可.
【解答过程】（1）
易知所有可能的取值为0，1，2，3，4，
且，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
（2）
记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，，
所以需要补种棕榈树的概率为.
【变式5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高二期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
(1)设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．
【解题思路】（1）根据给定的信息，求出，的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）求出购买了服装的顾客中购买B类服装的概率，借助二项分布求出n的各个值对应的概率，再比较判断作答.
【解答过程】（1）依题意，的可能值为200，170，120，
，
的分布列为：
200 170 120
P 0.3 0.5 0.2
的期望，
的可能值为300，255，180，
，
的分布列为：
300 255 180
P 0.2 0.4 0.4
的期望，
设A类服装、B类服装的单件收益分别为元，元，则，，
（元），（元），，
所以B类服装单件收益的期望大.
（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，4，5，显然，
，，，
，，，
因为，，
所以当时，n可取的值为0，1，2．
【变式5-3】（2022春·上海闵行·高二期末）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（A1pine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项日．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．
(1)求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；
(2)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．
【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由已知可得，依次求出对应值的概率，写出分布列，并用期望公式求出期望即可；
（3）由已知可得复活的人数，依据已知条件列出不等式即可求解.
【解答过程】(1)
每位运动员进入胜者组的概率为,每位败者组运动员复活的概率为；
(2)
由已知条件得进入胜者组的人数为,
所以，其中，
所以，，
，，
，，
则的分布列为
数学期望，
(3)
设从败者组选取的人中有人复活，则，
所以，
当最大时，用满足，
即 ，解得，
又因为，所以，即最有可能有1人复活.
【题型6 超几何分布的实际应用】
【方法点拨】
利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析随机变量是否服从超几何分布；
(3)若服从超几何分布，则求出随机变量的概率及分布列；
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
【例6】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.
(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？
(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.
【解题思路】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；
(2)根据超几何分布计算概率.
【解答过程】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，
其中男会员有（人），女会员有16人，
所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有（人）.
（2）可能的取值有，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的期望.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
(1)设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
(2)设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【解题思路】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率.
（2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【解答过程】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则
所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
，
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以，随机变量的数学期望为（人）.
【变式6-2】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．
厨余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶
厨余垃圾 60 20 20
可回收物 10 40 10
其他垃圾 30 40 170
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
【解题思路】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解.
（2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.
【解答过程】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以
所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为．
【变式6-3】（2022春·江苏苏州·高二期中）为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级（1）班—（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测．经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数统计如下：
班号 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 8 6 9 4 7 5 9 8
(1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，“”表示第k班抽到的这名同学视力不是优秀（，2，，8）．写出方差，，，的大小关系．
【解题思路】（1）根据散点图可求得抽取的人中，视力监测成绩达到优秀的人数，由古典概型概率公式可得结果；
（2）首先可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得的值，由此可得大小关系.
【解答过程】(1)
抽取的人中，视力监测成绩达到优秀有人，
从高二年级学生中任意抽测人，该生视力监测成绩达到优秀的概率.
(2)
由散点图可知：高二（2）班的10名学生中，视力监测成绩达到优秀的人数为6人，按分层抽样，所抽5人，有3人视力监测成绩达到优秀，2人视力监测成绩没有达到优秀，记从5人任抽2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，则X中能值为0，1，2.
所有可能的取值为，
则X的分布列为
0 1 2
.
(3)
由散点图知：，，；
，，；
，，；
，，；
.

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