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期末易错精选题检测卷-2023-2024学年数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数这个几何体的主视图是( )
A． B． C． D．
2．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．在一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.25附近，则口袋中黑球的个数可能是（ ）
A．4 B．12 C．15 D．17
4．在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A． B． C． D．
5．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度是（ ）
A． B．或 C．或 D．
7．如果点、在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．不能确定
8．如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点C的坐标是( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．关于x的一元二次方程有一个根为2，则m的值为 ．
10．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为 .
11．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
12．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为，则点P的坐标为 ．
13．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ．
14．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，同一时刻站在附近的小明影子长为米，则他的身高为 米．

15．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为 ．
16．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，且直线l平分矩形的面积和菱形的面积，则直线l的解析式为 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
19．某宾馆客房部有个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加元．
(1)求房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式；
(2)若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用．某一天，该宾馆客房部举行让利促销活动，这天的总利润为元，问这天每个房间的定价是多少元？
20．某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车；C：乘坐校车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
(1)本次调查中，一共抽取了__________名学生进行调查；
(2)E选项对应的扇形圆心角是_____________度；请补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是__________人；
(4)若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式回家的概率．
21．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）．
(2)当点落在边上时，求的值．
(3)当点在边上时，求S与之间的函数关系式．
22．在 中，，点 在 边上（不与点 合），分别过 作 的垂线交于点连接 ．过作交于点 ．

(1)依题补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段间的关系，并证明．
23．如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点B沿向点A运动（点P不与点A，B重合），连接．过点P作，交于点Q．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由．
24．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且．
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，并与x轴交于点C．点D是线段上一点，与的面积比为．
(1) ， ；D的坐标 ；
(2)点P为直线在第一象限部分上一点，连结，将绕点O逆时针旋转，得到，若点在反比例函数上，求出点P坐标；
(3)点Q为y轴上一点，若，求出点Q的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从从正面看第一层三个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查方程有无实数根的判断，熟练掌握二次根式和实数的偶次方的非负性、分式方程的求解与检验、一元二次方程判别式的求法及应用是解题关键 ．根据二次根式和偶次方的非负性可对A、D作出判断，根据分式方程的求解可对D作出判断，计算一元二次方程判别式的值可对B作出判断．
【详解】∵,
∴，
∵，矛盾，
故A没有实数根；
∵,
∴，
∵，
故B没有实数根；
∵，
∴，
解得，
经检验，时原方程的根，
故C有实数根；
∵,
∴，
∵，矛盾，
故D没有实数根；
故选：C．
3．B
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
【详解】解：设黑球个数为x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.25附近，
∴口袋中得到白色球的概率为0.25，
∴，
解得：，
经检验：是方程的解，
故黑球的个数为12个．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐一分析即可判断．
【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似可知：，故A不符合题意；
B、根据两组对边成比例且夹角相等的两三角形相似可知：，故B不符合题意；
C、根据有一组直角边和一组斜边对应成比例的两个直角三角形相似可知：，故C不符合题意；
D、给的四条线段不是对应边，故此不能证明和相似，故D符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等，利用矩形和折叠的性质可得，设，则，，在中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得的值，从而得解．解题关键是利用矩形和折叠的性质得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即，
∴
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设竹竿的长度是，则城门宽，城门高，根据勾股定理即可建立方程求解．
【详解】解：设竹竿的长度是，则城门宽，城门高，
由题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故选：D．
7．A
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质进行判断即可，由于点，都在反比例函数的图象上，若，在第四象限，随的增大而增大，进而得出答案．
【详解】解：由于点，都在反比例函数的图象上，且，
由在第四象限内，随的增大而增大可得，
．
故选：A．
8．D
【分析】根据题意得出是等边三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出点的坐标，根据中心对称的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，设与轴交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵是菱形的对角线的中点，
∴
∵轴，则，
∴
∴，，
∴
∵关于对称，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
9．8
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．把方程的根代入方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2，
∴，
解得，，
故答案为：8．
10．
【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率．根据题意依次列举出可能出现的情况即可算出本题答案．
【详解】解：根据题意将情况一一列举出来，如图所示：
设：两次摸出的球上的汉字组成“强国”的事件为A，
共有12种等可能的结果，其中事件A发生有2种结果，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键
根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为，
∴点P的坐标为，即．
故答案为：．
13．6.4m
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
把代入，
解得：，
故答案为：6.4m．
14．
【分析】设小明身高为米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到比例式，解方程，即可求解．．
【详解】解：设小明身高为米，根据题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用和平行投影．由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．同一时刻物体的高度与影长成正比．
15．8
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，

∵，，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了矩形和菱形的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数求解函数解析式的方法和步骤；连接，令中点为点M，中点为点N，根据中点坐标公式，求出M和N的坐标，根据题意可得直线l经过点M和点N，再用待定系数法即可求出l的解析式．
【详解】解：∵矩形的顶点B的坐标为，
∴，
连接，令中点为点M，中点为点N，
∵，，，
∴，，
即，
∵直线l平分矩形的面积和菱形的面积，
∴直线l经过点M和点N，
设直线l的解析式为，
把代入得：
，
解得：，
∴直线l的解析式为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
，
，；
（2）解：，
，即，
或，
，．
18．(1)点的横坐标为4；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
（1）将点的横坐标代入求解即可；
（2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2，
∴，
∴，
∴点的横坐标为4；
（2）解：设则有，
，，
∴．
19．(1)
(2)每个房间的定价是元
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意，建立函数、方程与实际问题的联系是解题关键．
（1）根据“宾馆客房部有个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲”即可求解；
（2）解方程即可求解．
【详解】（1）解：宾馆客房部有个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲，
房间每天的入住量关于的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：
整理得，，
解得：，，
（元），（元），
∵该宾馆客房部举行让利促销活动
∴取，
所以，每个房间的定价是340元.
20．(1)200
(2)72，详见解析
(3)315
(4)
【分析】此题考查了列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确运用列表法是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由B的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出C选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校九年级共有学生人数乘以选择乘坐学校定制公交车的人数所占的比例即可；
（4）列表统计结果，共有25种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：依题意，（人），
∴本次调查中，一共抽取了200名学生进行调查；
（2）解：依题意，，
E选项对应的扇形圆心角是72度；
则（人）
补全条形图如图：
（3）解：依题意，（人）
∴若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是315人；
（4）解：画表如图：
甲的选择 乙的选择 A B C D E
A
B
C
D
E
表中共有25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通方式回家的结果有5个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通方式回家的概率为：．
21．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、重叠部分的面积等知识．
（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，可得；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，即，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；
【详解】（1）解：∵，，
∴，且，
∴，
∴，
（2）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积，
即，
当时，如图，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
而，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
综上所述，S与t之间的函数关系式为．
22．(1)见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）依题意作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再根据同角的余角相等可得出，即可利用证明，即可得出结论；
（3）取的中点为Q，连接交于点H，过点C作的垂线交延长线于点K，先利用证明，得出，再证明是的中位线，可得出，然后证明四边形为正方形，则有，进而可得出结论．
【详解】（1）解：依题意补全图形如下：

（2）证明：中，，
又，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：线段间的关系为：，证明过程如下：
取的中点为Q，连接交于点H，过点C作的垂线交延长线于点K，如图所示：

交于点 ，
即，
又
，
在和，
，
，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
，
中，，
为等腰直角三角形，
Q为的中点，
垂直平方，
则，
又，
四边形为正方形，
，
，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的中位线，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线以及能熟练掌握三角形的判定方法．
23．(1)见解析
(2)
(3)当点P运动到边的中点时，，理由见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用等角的余角相等得到，再证明三角形相似即可；
（2）根据相似的性质可得，设，则，求出x的值即可求；
（3）根据，求出，即可分别求出，再由，，可得到．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
设，则，
，
解得，
；
（3）解：当点P运动到边的中点时，，理由如下：
P是的中点，
，
，
，即，
，
，
，
又，
．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应线段成比例是解题的关键．
（1）先证明，得到，代入数值求出答案；
（2）如图，他在路灯A下的影子为，证明，得到求出答案．
【详解】（1）设.
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
∴，
即两个路灯之间的距离．
（2）设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，连接，并延长交的延长线于点F，则即为此时他在路灯A下的影子长，
设 ，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
所以当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影子长是．
25．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点的坐标分别代入到反比例函数解析式和一次函数解析式中即可得出、的值，然后根据面积的比值可得，然后利用平行线分线段成比例得出，即可得出的长，即可求出点的坐标；
（2）如图所示作出辅助线，设出点的坐标，可得出和的长，根据垂直和旋转的性质可证出，即可得出和的长，得出点的坐标，再根据点在反比例函数上，即可求出的值，即可得出点的坐标；
（3）根据题意利用与的面积差求出的面积，设出点的坐标，根据，即可求出点的坐标．
【详解】（1）把点代入得：，
把点代入可得：，
如图所示：过点作轴于点轴于点，
则，
∵与的面积比为，
即
∴，
当时，，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点，
由（1）可得点的坐标为，
设点，且，
则可得：，
由旋转性质可得：，
∴，
∵轴，轴，
∴，
在和中，
，
∵点在反比例函数上，
∴，解得：，
∴点的坐标为：或；
（3）根据（2）可知，点的坐标为，
设点的坐标为，
即
或
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数和一次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，解题关键：一是根据题中条件画出图形并作出辅助线，二是全等三角形的证明．
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