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专题一　函数与导数
第1讲　函数的图象与性质
[考情分析]　
1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.
2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．
考点一　函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1　(1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为(　　)
A．(2,3] B．(－2,3]
C．[－2,3] D．(0,3]
(2)(2023·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)＝的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．(1，)
C．(1，] D．(，＋∞)
规律方法　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
跟踪演练1　(1)(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝则f(8)等于(　　)
A．10 B．9 C．7 D．6
(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列为“M函数”的是(　　)
A．f(x)＝sin xcos x B．f(x)＝ln x＋ex
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x
考点二　函数的图象
核心提炼
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
例2　(1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝ln |x|cos的图象可能为(　　)
(2)(多选)(2023·吉安模拟)已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－4
B．x3x4＝1
C．1D．0规律方法　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
跟踪演练2　(1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
(2)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是(　　)
考点三　函数的性质
核心提炼
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
考向1　单调性与奇偶性
例3　(2023·泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b考向2　奇偶性、周期性与对称性
例4　(多选)(2023·盐城统考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列说法正确的有(　　)
A．函数g(x)的图象关于直线x＝1对称
B．函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称
C．函数f(x)是以4为周期的周期函数
D．函数g(x)是以6为周期的周期函数
二级结论　(1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.
(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.
(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.
跟踪演练3　(1)(2023·林芝模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为(　　)
A.∪(6，＋∞)
B．(－∞，－1)∪
C.
D.
(2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，则下列结论正确的是(　　)
A．g′(x)为奇函数
B．f(2)＝2
C．g′(2)＝2
D．f(2 022)＝2
第1讲　函数的图象与性质
例1　(1)A　(2)C
跟踪演练1　(1)C　(2)AB
例2　(1)A
(2)AB　[函数f(x)＝
的图象如图所示，
设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0则直线y＝t与函数y＝f(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；
对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0所以－log2x3＝log2x4，
即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，
故B正确；
当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4，
由图象可知log2x4∈(0,4)，则1由图象可知－4所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0,4)，故D错误．]
跟踪演练2　(1)A　(2)D
例3　D　[因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，
所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)<0.
因为g(x)＝xf(x)，
所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
故g(x)为偶函数．
当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
因为f(x)<0，f′(x)<0，
所以g′(x)<0.
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，
所以g(3)即b例4　BC　[对于A选项，因为f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．
由f(x)＋g(2－x)＝1，
可得f(－x)＋g(2＋x)＝1，
可得g(2＋x)＝g(2－x)，
所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，
则g(2－x)－f(－2－x)＝3，
又因为f(x)＋g(2－x)＝1，
可得f(x)＋f(－2－x)＝－2，
所以函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，B正确；
对于C选项，因为函数f(x)为偶函数，
且f(x)＋f(－2－x)＝－2，
则f(x)＋f(x＋2)＝－2，
从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，
则f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，C正确；
对于D选项，因为g(x)－f(x－4)＝3，
且f(x)＝f(x－4)，
所以g(x)－f(x)＝3，
又因为f(x)＋g(2－x)＝1，
所以g(x)＋g(2－x)＝4，
又因为g(2－x)＝g(2＋x)，
则g(x)＋g(x＋2)＝4，
所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4，
故g(x＋4)＝g(x)，
因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误．]
跟踪演练3　(1)D
(2)ABD　[∵g(x)为偶函数，
∴g(－x)＝g(x)，
∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)为奇函数，故A正确；
又f(x)＋g′(x)＝2，
f(x)－g′(4－x)＝2，
令x＝2，则
解得f(2)＝2，g′(2)＝0，
故B正确，C错误；
∵f(x)－g′(4－x)＝2，
∴f(x＋4)－g′(－x)＝2，
又g′(x)为奇函数，
则f(x＋4)＋g′(x)＝2，
又f(x)＋g′(x)＝2，
∴f(x＋4)＝f(x)，
故f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 022)＝f(2)＝2，故D正确．]

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