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第2讲　基本初等函数、函数与方程
[考情分析]　
1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.
2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.
3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
考点一　基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1　(1)已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
(2)(2023·六盘水质检)设a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝log0.80.7，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b>c>a B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
规律方法　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1　(1)(多选)(2023·惠州模拟)若6a＝2,6b＝3，则(　　)
A．a＋b＝1 B.>1
C．ab< D．b－a<
(2)(2023·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．
考点二　函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1　函数零点个数的判断
例2　(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考向2　求参数的值或范围
例3　若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝________.
规律方法　利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2023·九江模拟)函数f(x)＝4sin x－|x－1|的所有零点之和为________．
考点三　函数模型及其应用
核心提炼
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
例4　(1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
易错提醒　构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
跟踪演练3　(1)(2023·合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.3≈1.84)(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知≈1.414，结果取一位小数)(　　)
A．4.0天 B．4.3天
C．4.7天 D．5.1天
第2讲　基本初等函数、函数与方程
例1　(1)B　(2)D
跟踪演练1　(1)ABC
(2)[1，＋∞)
解析　由10x－6x－3x≥1，
可得x＋x＋x≤1.
令f(x)＝x＋x＋x，
因为y＝x，y＝x，y＝x均在R上是减函数，则f(x)在R上是减函数，且f(1)＝1，
所以f(x)≤f(1)，即x≥1.
故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．
例2　C　[因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为y＝cos
＝cos＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而y＝x－显然过与(1,0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，
考虑2x＝－，2x＝，2x＝，
即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，
当x＝－时，
f ＝－sin＝－1，
y＝×－＝－<－1；
当x＝时，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝<1；
当x＝时，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝>1.
所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.]
例3　e
解析　如图，显然a>0.
当x≤0时，由单调性得方程ex＝－ax有且仅有一解．
因此当x>0时，方程ex＝ax只有一解．
即y＝ax与y＝ex相切，
y′＝ex，令y′＝a得x＝ln a，
故当x＝ln a时，ex＝ax，
得eln a＝aln a，即a＝aln a，
从而a＝e，故当a＝e时，y＝ax与函数y＝ex相切，此时方程ex＝ax有一解，
若方程ex＝a|x|恰有两个不同的解，则a＝e.
跟踪演练2　(1)B　(2)6
例4　(1)D
(2)ACD　[因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大，
且∈[60,90]，∈[50,60]，
所以≥，
所以p1≥p2，故A正确；
由Lp＝20×lg ，得p＝，
因为＝40，
所以p3＝＝100p0，故C正确；
假设p2>10p3，则，
所以>10，
所以－>20，不可能成立，
故B不正确；
因为＝≥1，
所以p1≤100p2，故D正确．]
跟踪演练3　(1)C　(2)C

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