资源简介

第4讲　函数的极值、最值
[考情分析]　利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一　利用导数研究函数的极值
核心提炼
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
例1　(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；
(3)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求a的取值范围．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
易错提醒　(1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
跟踪演练1　(多选)(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝2ex－ax2＋2存在两个极值点x1，x2(x1A．0B．0C．若x2＝2x1，则a＝2ln 2
D．ln x1＋x2>0
考点二　利用导数研究函数的最值
核心提炼
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
例2　(1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
(2)(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝ex－2x，g(x)＝－x，且f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为(　　)
A．1 B．e C．1－ln 2 D．2－ln 2
易错提醒　(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
跟踪演练2　(1)(2023·葫芦岛模拟)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]上的最大值为(　　)
A．－ B．2 C．－ D.＋2
(2)(2023·宝鸡模拟)函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围为________．
考点三　极值、最值的简单应用
例3　(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为________．
易错提醒　方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视．
跟踪演练3　(多选)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝，以下结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．x＝0是f(x)的极值点
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)的最大值为1
第4讲　函数的极值、最值
例1　解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(x＋1)，则f′(x)＝
－ln(x＋1)＋，
据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，
所以函数在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，
即(ln 2)x＋y－ln 2＝0.
(2)由函数的解析式可得f
＝(x＋a)ln，
令u(x)＝(x＋a)ln，
函数u(x)的定义域满足＋1＝>0，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
定义域关于直线x＝－对称，由题意可得b＝－，
由对称性可知u
＝u，
取m＝可得u(1)＝u(－2)，
即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln ＝(2－a)ln 2，
则a＋1＝2－a，解得a＝，
经检验，a＝，b＝－满足题意，
故存在a＝，b＝－满足题意．
(3)由题意知f′(x)
＝－ln(x＋1)＋
＝－.
令h(x)＝ln(x＋1)－，
则h(0)＝0，
h′(x)＝－，
当a≥时，h′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)0，
所以f(x)在(0，＋∞)上不存在极值；
当a≤0时，h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝0，即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，＋∞)上不存在极值；
当0h′(x)在上大于0，
故h(x)在上单调递增，
且h>h(0)＝0，
所以f′<0.
又f′(x)＝－
＝－
>－
＝，
令g(x)＝ax－ln(x＋1)，
则当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
故必存在x0∈(0，＋∞)，使得g(x0)>0，所以f′(x0)>0，
由零点存在定理知符合题意．
综上，a的取值范围为.
跟踪演练1　BD
例2　(1)B　[因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以依题意可知
而f′(x)＝－，
所以即
所以f′(x)＝－＋，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意．
所以f′(2)＝－1＋＝－.]
(2)A　[由f(x1)＝g(x2)，
得－2x1＝－x2，
化简整理得x1－x2＝－x1，
因为g(x)的值域，f(x)，g(x)的定义域均为R，
所以x1的取值范围也是R，
令h(x)＝ex－x(x∈R)，
h′(x)＝ex－1，
令ex－1＝0，解得x＝0.
当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，
即h(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(0)＝1，
故(x1－x2)min＝1.]
跟踪演练2　(1)D　(2)
例3　－3
解析　由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，得f′(x)＝2ax－2＋＝(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，
则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
所以
解得0所以f(x1)＋f(x2)＝ax－2x1＋ln x1＋ax－2x2＋ln x2
＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－2(x1＋x2)＋ln x1x2
＝－－1－ln 2a，
令h(a)＝－－1－ln 2a，
则h′(a)＝>0，
所以h(a)＝－－1－ln 2a在上单调递增，
所以h(a)所以t≥－3.
故实数t的最小值为－3.
跟踪演练3　ABD　[f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，A正确；
∵f′(x)＝－，
∴f′(0)＝0，又f(x)为偶函数，
故x＝0为f(x)的极值点，B正确；
∵f(π)＝＝－，
且f′(π)＝≠0，
∴x＝π不是f(x)的极值点，故f(π)不是f(x)的最小值，C错误；
又－1≤cos x≤1，x2＋1≥1，
则当cos x＝1，x2＋1＝1，即x＝0时，f(x)最大值为1，D正确．]

展开更多......

收起↑