资源简介 第5讲 导数的综合应用[考情分析] 1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．母题突破1 导数与不等式的证明母题 (2023·十堰调研)已知函数f(x)＝(2－x)ex－ax－2.(1)若f(x)在R上是减函数，求a的取值范围；(2)当0≤a<1时，求证：f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点x0，且x0<.思路分析 f′ x ≤0恒成立 f′ x max≤0求解 0 x0<\f(e,a＋1)，ax0＋x0 ax0＋x0< 2－x0 2－x0 ≤e________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[子题1] (2023·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝ex＋exln x(其中e是自然对数的底数)．求证：f(x)≥ex2.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[子题2] 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex.证明：f(x)＋>g(－x)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法 利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．1．(2023·桂林模拟)已知函数f(x)＝x2－cos x，求证：f(x)＋2－>0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x(x>0)．若0________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________母题突破3 零点问题母题 已知函数f(x)＝sin x－，判断f(x)在(0，π)上零点的个数，并说明理由．思路分析 等价转换f(x)＝0 判断g(x)＝ex·sin x－x＋1的零点 讨论g(x)在上的零点个数 讨论g(x)在上的零点个数________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[子题1] (2023·安庆模拟)已知函数f(x)＝eln x＋bx2e1－x.若f(x)的导函数f′(x)恰有两个零点，求b的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[子题2] 设函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R)，函数g(x)＝ax－1.证明：当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法 (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．③结合图象求解．(2)已知零点求参数的取值范围①结合图象与单调性，分析函数的极值点．②依据零点确定极值的范围．③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．1．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a－ax(a∈R)．若函数f(x)在区间[1，e]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(2023·商洛模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex，其中e为自然对数的底数．函数g(x)＝f(x)－ln x，证明：g(x)有且仅有两个零点．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________母题突破2 恒成立问题与能成立问题母题 (2023·新乡模拟)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋2aln x．若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．思路分析一 f x ≥0恒成立 f x min≥0 分类讨论求f x min思路分析二 f x ≥0恒成立 求证x－ln x>0 分离参数构造新函数 求新函数最值________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[子题1] (2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝ex－a－ln x．若存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)<0，求a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[子题2] (2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝ln(1＋x)．若f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．1．已知函数f(x)＝(x－4)ex－x2＋6x，g(x)＝ln x－(a＋1)x，a>－1.若存在x1∈[1,3]，对任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g(x2)>f(x1)成立，求实数a的取值范围．(e3≈20.09)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈.(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第5讲 导数的综合应用母题突破1 导数与不等式的证明INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\答案精析\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 母题 INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\答案精析\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)解 因为f(x)＝(2－x)ex－ax－2，所以f′(x)＝(1－x)ex－a.由f(x)在R上是减函数，得f′(x)≤0，即(1－x)ex－a≤0在R上恒成立．令g(x)＝(1－x)ex－a，则g′(x)＝－xex.当x∈(－∞，0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(0)＝1－a≤0，解得a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明 由(1)可知，f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，且当0≤a<1时，f′(0)＝1－a>0，f′(1)＝－a≤0，故 x1∈(0,1]，使得f′(x1)＝0.当x∈(0，x1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为f(0)＝0，f(2)＝－2a－2<0，所以f(x)在(0,2)上只有一个零点x0，故函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点x0.因为0即证ax0＋x0因为f(x0)＝(2－x0)ex0－ax0－2＝0，所以(2－x0)ex0＝ax0＋2>ax0＋x0，令h(x)＝(2－x)ex－e,0则h′(x)＝(1－x)ex.当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1,2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．故h(x)max＝h(1)＝0.即(2－x0)ex0－e≤0，即(2－x0)ex0≤e，所以ax0＋x0[子题1] 证明 由f(x)≥ex2，得ex＋exln x≥ex2，即＋ln x－x≥0，令g(x)＝＋ln x－x，则g′(x)＝＋－1＝＝.令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1，当x>1时，h′(x)>0；当0所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0.所以当01时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是g(x)≥g(1)＝0，原不等式得证．[子题2] 证明 根据题意，g(－x)＝e－x，所以f(x)＋>g(－x)等价于xln x>xe－x－.设函数m(x)＝xln x，则m′(x)＝1＋ln x，所以当x∈时，m′(x)<0；当x∈时，m′(x)>0，故m(x)在上单调递减，在上单调递增，从而m(x)在(0，＋∞)上的最小值为m＝－.设函数h(x)＝xe－x－，x>0，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上，当x>0时，m(x)>h(x)，即f(x)＋>g(－x)．跟踪演练1．证明 f(x)＝x2－cos x，要证f(x)＋2－>0，即证x2－cos x＋2－>0.即证x2－cos x>－2.令g(x)＝x2－cos x，∵g(－x)＝g(x)，∴g(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，g′(x)＝2x＋sin x，令k(x)＝2x＋sin x，k′(x)＝2＋cos x>0，∴g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g′(x)≥g′(0)＝0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，由g(x)为偶函数知，g(x)在(－∞，0]上单调递减，∴g(x)≥g(0)＝－1.设h(x)＝－2，∴h′(x)＝，∴当x>1时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减；当x<1时，h′(x)>0，∴h(x)在(－∞，1)上单调递增．∴h(x)max＝h(1)＝－1，∴x2－cos x>－2.原不等式得证．2．证明 由f(x)＝a(x2－1)－ln x，得f′(x)＝2ax－＝，因为f′＝0且>1.所以当0当x>时，f′(x)>0，则f(x)在上单调递增，所以当0f(1)＝0，又因为>1，所以f <0，又当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以必然存在x0>1，使得f(x0)＝0，即a＝，所以f′(x0)＝·x0－，要证f′(x0)<1－2a，即证·x0－<1－，即证－1－<0，即证2ln x0－<0，设φ(x)＝2ln x－(x>1)，则φ′(x)＝－1－＝－＝－，所以当x>1时，φ′(x)<0，则φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)<φ(1)＝0.即2ln x0－<0，即f′(x0)<1－2a.母题突破2 恒成立问题与能成立问题INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\答案精析\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 母题 INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\答案精析\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET 解 方法一 (求最值法)f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，f′(x)＝x－(2a＋1)＋＝＝.当a≤0时，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－－2a，由－－2a≥0，可得a≤－.当a>0时，注意到f(1)＝－－2a<0，不符合题意，故a≤－，即实数a的取值范围为.方法二 (分离参数法)由f(x)≥0，可得x2－x－2a(x－ln x)≥0.构造函数h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－＝，由h′(x)>0，得x>1；由h′(x)<0，得0所以h(x)min＝h(1)＝1>0，所以x－ln x>0，所以原不等式等价于2a≤.令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝.令φ(x)＝x＋1－ln x，则φ′(x)＝，由φ′(x)>0，得x>2；由φ′(x)<0，得0易知φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(2)＝2－ln 2>0，所以当x>1时，g′(x)>0；当0所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝－，由2a≤－，得a≤－，故实数a的取值范围为.[子题1] 解 存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)<0，即－ln x0<0，即即存在x0∈[e，＋∞)，使ea>.令h(x)＝，因此只要函数h(x)＝在区间[e，＋∞)上的最小值小于ea即可．h′(x)＝，令u(x)＝ln x－，∵u′(x)＝＋>0，∴u(x)在[e，＋∞)上单调递增，又u(e)＝1－>0.∴h′(x)＝>0在[e，＋∞)上恒成立．∴h(x)＝在[e，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝在区间[e，＋∞)上的最小值为h(e)＝ee，由h(e)＝eee.故a的取值范围是(e，＋∞)．[子题2] 解 f′(x)＝－ln(x＋1)＋，因为f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．令－ln(x＋1)＋≥0，则－(x＋1)ln(x＋1)＋(x＋ax2)≥0，令g(x)＝ax2＋x－(x＋1)ln(x＋1)，原问题等价于g(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，则g′(x)＝2ax－ln(x＋1)，当a≤0时，由于2ax≤0，ln(x＋1)>0，故g′(x)<0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，此时g(x)令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln(x＋1)，则h′(x)＝2a－，当a≥，即2a≥1时，由于<1，所以h′(x)>0，h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，即g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)>g′(0)＝0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0，符合题意．当0由h′(x)＝2a－＝0，可得x＝－1，当x∈时，h′(x)<0，h(x)在区间上单调递减，即g′(x)在区间上单调递减，注意到g′(0)＝0，故当x∈时，g′(x)由于g(0)＝0，故当x∈时，g(x)跟踪演练1．解 由f(x)＝(x－4)ex－x2＋6x，得f′(x)＝ex＋(x－4)ex－2x＋6＝(x－3)ex－2x＋6＝(x－3)(ex－2)，当x∈[1,3]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)min＝f(3)＝9－e3，于是若存在x1∈[1,3]，对任意的x2∈[e2，e3]，使得不等式g(x2)>f(x1)成立，则ln x－(a＋1)x>9－e3(a>－1)在[e2，e3]上恒成立，即a＋1<在[e2，e3]上恒成立，令h(x)＝，x∈[e2，e3]，则a＋1h′(x)＝＝，因为x∈[e2，e3]，所以ln x∈[2,3]，10－e3－ln x∈[7－e3，8－e3]，因为e3≈20.09，所以8－e3≈8－20.09＝－12.09<0，所以h′(x)<0，所以h(x)单调递减，故h(x)min＝h(e3)＝＝1－，于是a＋1<1－，得a<－，又a>－1，所以实数a的取值范围是.2．解 f′(x)＝a－＝a－＝a－，令cos2x＝t，则t∈(0,1)，则f′(x)＝g(t)＝a－＝，t∈(0,1)．(1)当a＝8时，f′(x)＝g(t)＝＝，当t∈，即x∈时，f′(x)<0.当t∈，即x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)设h(x)＝f(x)－sin 2x，h′(x)＝f′(x)－2cos 2x＝g(t)－2(2cos2x－1)＝－2(2t－1)＝a＋2－4t＋－，设φ(t)＝a＋2－4t＋－，则φ′(t)＝－4－＋＝＝－，当t∈(0,1)时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增，所以φ(t)<φ(1)＝a－3.若a∈(－∞，3]，则h′(x)＝φ(t)即h(x)在上单调递减，所以h(x)若a∈(3，＋∞)，当t→0＋时，－＝－32＋→－∞，所以φ(t)→－∞.φ(1)＝a－3>0.所以 t0∈(0,1)，使得φ(t0)＝0，即 x0∈，使得h′(x0)＝0，t0＝cos2x0.当t∈(t0,1)时，φ(t)>0，即当x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以当x∈(0，x0)时，h(x)>h(0)＝0，不符合题意．综上，a的取值范围为(－∞，3]．母题突破3 零点问题INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\答案精析\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 母题 INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET 解 由f(x)＝sin x－＝0，可得ex·sin x－x＋1＝0，令g(x)＝ex·sin x－x＋1，x∈(0，π)，所以g′(x)＝(sin x＋cos x)ex－1，①当x∈时，sin x＋cos x＝sin≥1，ex>1，所以g′(x)>0，所以g(x)在上单调递增，又因为g(0)＝1>0，所以g(x)在上没有零点；②当x∈时，令h(x)＝ex－1，所以h′(x)＝2cos x·ex<0，即h(x)在上单调递减，又因为h＝－1>0，h＝－eπ－1<0，所以存在x0∈，使得h(x0)＝0，所以g(x)在上单调递增，在(x0，π)上单调递减，因为g(x0)>g＝－＋1>0，g(π)＝－π＋1<0，所以g(x)在上没有零点，在(x0，π)上有且只有一个零点，综上所述，f(x)在(0，π)上有且只有一个零点．[子题1] 解 由f′(x)＝＋bx(2－x)e1－x＝0得，＝bx(x－2)．显然x≠2，x>0.因此＝b.令g(x)＝，x>0且x≠2，则g′(x)＝，解方程x2－5x＋4＝0得，x1＝4，x2＝1，因此函数g(x)在(0,1)和(4，＋∞)上单调递增，在(1,2)和(2,4)上单调递减，且极大值为g(1)＝－e，极小值为g(4)＝.g(x)的大致图象如图所示．INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\1-36.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\1-36.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2023\\1二轮\\大二轮 数学 提高版\\学生WORD\\答案精析\\1-36.TIF" \* MERGEFORMATINET由图象可知，当b>或b<－e时，直线y＝b与曲线y＝g(x)的图象分别有两个交点，即函数f′(x)恰有两个零点．故b的取值范围是(－∞，－e)∪.[子题2] 证明 因为H(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1，所以H′(x)＝(x>－1)，令H′(x)＝0，x1＝0，x2＝－1.当x→－1＋时，H(x)→－∞；当x→＋∞时，H(x)→＋∞.①当a＝2时，H′(x)≥0，函数H(x)在定义域(－1，＋∞)上为增函数，有一个零点；②当a≤0时，－1≤－1，令H′(x)>0，得x>0，令H′(x)<0，得－1所以函数H(x)在区间(－1,0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，则函数H(x)在x＝0处有最小值H(0)＝1>0，此时函数H(x)无零点；③当0令H′(x)>0，得－10，令H′(x)<0，得－1所以函数H(x)在区间，(0，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减．因为函数H(0)＝1>0，所以H>0，且H(x)>0在区间上恒成立．H(x)在区间上有一个零点．所以当0综上，当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点．跟踪演练1．解 f(x)＝xln x－ax＋a，易知f(1)＝0，所求问题等价于函数f(x)＝xln x－ax＋a在区间(1，e]上没有零点，因为f′(x)＝ln x＋1－a，所以当0f(x)在(0，ea－1)上单调递减，当x>ea－1时，f′(x)>0，f(x)在(ea－1，＋∞)上单调递增．①当ea－1≤1，即a≤1时，函数f(x)在区间(1，e]上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，此时函数f(x)在区间(1，e]上没有零点，满足题意．②当1要使f(x)在(1，e]上没有零点，只需f(e)<0，即e－ae＋a<0，解得a>，所以③当e≤ea－1，即a≥2时，函数f(x)在区间(1，e]上单调递减，f(x)在区间(1，e]上满足f(x)综上所述，实数a的取值范围是.2．证明 因为g(x)＝f(x)－ln x＝(x－2)ex－ln x，则g′(x)＝(x－1)ex－，x>0，设h(x)＝g′(x)＝(x－1)ex－，则h′(x)＝xex＋>0，故g′(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g′(1)＝－1<0，g′(2)＝e2－>0，所以存在唯一x0∈(1,2)，使得g′(x0)＝0.故当x∈(0，x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0.即g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．因为g(x0)0，又因为ln 2≈0.69，则ln 2>，所以g＝－ln ＝4－＝4－2＋－4>4－2eln 2＋－4＝4－4＋>0，由零点存在定理可知，函数g(x)在(0，x0)，(x0,3)上各存在一个零点，综上所述，g(x)有且仅有两个零点． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题一 第5讲 母题突破1 导数与不等式的证明.docx 专题一 第5讲 母题突破2 恒成立问题与能成立问题.docx 专题一 第5讲 母题突破3 零点问题.docx 答案.doc
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