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微重点1　导数中函数的构造问题
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
考点一　导数型构造函数
考向1　利用f(x)与x构造
例1　已知函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，导函数为f′(x)，若f′(x)<恒成立，则(　　)
A．f(2)>f(3) B．2f(1)>f(3)
C．f(5)>2f(2) D．3f(5)>f(1)
规律方法　(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
跟踪演练1　(2023·常州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，若f(2)＝0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．
考向2　利用f(x)与ex构造
例2　(2023·黄山模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，则(　　)
A．e2f(－1)<1 B．f(1)>e2
C．f ef
规律方法　(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
跟踪演练2　函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x<－1或0考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造
例3　(2023·重庆模拟)已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0≤x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x>0成立，则关于x的不等式f(x)>2f cos x的解集为(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
规律方法　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
(1)F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
(2)F(x)＝，
F′(x)＝；
(3)F(x)＝f(x)cos x，
F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
(4)F(x)＝，
F′(x)＝.
跟踪演练3　(2023·成都统考)记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为奇函数，且当x∈时恒有f(x)cos x＋f′(x)sin x>0成立，则(　　)
A．f >f
B．f >－f
C.f >f
D.f >－f
考点二　构造函数比较大小
例4　(1)(2023·榆林统考)已知a＝ln ，b＝ln ，c＝2ln －，则(　　)
A．aC．a(2)(2023·咸阳模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．a>c>b
规律方法　构造函数比较大小的常见类型
(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；
(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小．
跟踪演练4　(1)(2023·山西联考)设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
(2)已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>c>b D．a>b>c微重点1　导数中函数的构造问题
例1　B
跟踪演练1　(－2,0)∪(2，＋∞)
例2　C　[设g(x)＝，
则g′(x)＝
＝，
因为f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立，
所以g′(x)<0在R上恒成立，
故g(x)是减函数，
所以g(－1)>g(0)，
＝e2f(－1)>＝1，故A不正确；
g(1)即f(1)g即f g>g(1)，即>，
即f(1)跟踪演练2　A
例3　C　[构造函数g(x)＝，
－g′(x)＝
＝，
当0≤x<时，g′(x)>0，
所以函数g(x)在上单调递增，
因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也为偶函数，
且函数g(x)在上单调递增，
所以函数g(x)在上单调递减，
因为x∈，所以cos x>0，
关于x的不等式f(x)>2f cos x可变为>，
即g(x)>g，
所以g(|x|)>g，
则
解得跟踪演练3　B
例4　(1)D　[a＝ln ＝2ln －，
b＝ln ＝2ln －，
构造函数f(x)
＝2ln(x＋1)－x(0则f′(x)＝－1＝，
当00，f(x)在(0,1)上单调递增，
所以f 所以c(2)B　[设f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
令f′(x)<0 x<0，
令f′(x)>0 x>0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
则f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，得ex≥x＋1.
所以b＝e－>－＋1＝＝a，即b>a；
又0所以c＝<＝a，
即a>c，所以b>a>c.]
跟踪演练4　(1)D　(2)D
微重点2　函数的公切线问题
例1　y＝ex－1或y＝x
解析　设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)，
则ea＝＝，
整理得(a－1)(ea－1)＝0，
解得a＝1或a＝0，
当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；
当a＝0时，l的方程为y＝x.
跟踪演练1　2x－y－e＝0
例2　B　[根据常用函数的导数可知
y＝ex y′＝ex，
y＝ln x y′＝，
则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为
y－y1＝(x－x1)，
y－y2＝(x－x2)，
化简得y＝x＋(1－x1)，
y＝x＋ln x2－1，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(＝\f(1,x2)，, 1－x1 ＝ln x2－1，))
化简得x1x2＋x2－x1＋1＝0
(x1＋1)(x2－1)＝－2.]
跟踪演练2　D
例3　C　[设公切线与y＝x2的切点为(x1，x)，
与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)，
y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝，
则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x，
则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为
y－ln x2＝(x－x2)，
即y＝x＋ln x2－1，
∴
整理得到x－ln x1＝1＋ln 2，
令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，
则f′(x)＝2x－＝，
f′(x)>0 x>；
f′(x)<0 0∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
f(x)min＝f ＝＋ln 2<1＋ln 2，
即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示，
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由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2.]
跟踪演练3　A
例4　A　[设公切线为l，P(x1，y1)是l与f(x)的切点，由f(x)＝，
得f′(x)＝，设Q(x2，y2)是l与g(x)的切点，
由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex，
所以l的方程为y－y1＝(x－x1)，
因为y1＝，
整理得y＝x＋，
同理y－y2＝(x－x2)，
因为y2＝，
整理得y＝x＋(1－x2)，
依题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(k,x\o\al(2,1))＝，,\f(2k,x1)＝ 1－x2 ，))
消去x1，得4k＝－(x2－1)2，
由题意此方程有三个不相等的实根，
设h(x)＝－ex(x－1)2，
即直线y＝4k与曲线h(x)有三个不同的交点，
因为h′(x)＝ex(1－x2)，
令h′(x)＝0，则x＝±1，
当x<－1或x>1时，h′(x)<0；
当－10，
所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1，
h(x)有极大值为h(1)＝0，
因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0，
当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0；
当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞，
故h(x)的大致图象如图．
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所以当－4e－1<4k<0，即－跟踪演练4　D　[y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
y＝(a>0)在点处的切线斜率为，如果两个曲线存在公切线，那么2m＝.
又由斜率公式得到2m＝，
由此得到m＝2n－2，
则4n－4＝有解，
则y＝4x－4，y＝的图象有公共点．
当直线y＝4x－4与曲线y＝相切时，设切点为(s，t)，则＝4，
且t＝4s－4＝，
可得t＝4，s＝2，
即有切点(2,4)，a＝，
故a的取值范围是a≥.]微重点2　函数的公切线问题
函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
考点一　求两函数的公切线
例1　(2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则直线l的方程为__________．
规律方法　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
跟踪演练1　(2023·南平模拟)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________．
考点二　与公切线有关的求值问题
例2　(2023·德阳模拟)已知曲线y＝ex在点(x1，y1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，y2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
规律方法　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
跟踪演练2　已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于(　　)
A．0 B．－1
C．3 D．－1或3
考点三　判断公切线条数
例3　(2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
规律方法　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．
跟踪演练3　已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
考点四　求参数的取值范围
例4　(2023·保定模拟)若曲线f(x)＝(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
规律方法　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．
跟踪演练4　(2023·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.

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