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海淀区 2023-2024 学年第一学期期末练习
高一数学
参考答案及评分建议
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B D C B D D
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
（11） (1,+ ) （12）3， ＞
（13） 0 （答案不唯一）， ( 4,4) （14） ( ,+ ) ， 215
（15）①②
两空题，第一空 2 分，第二空２分，
15 题对一个给 2 分，有错的则给０分
三、解答题（共 4 小题，共 40 分）
（16）（共９分）
解：（Ⅰ）设选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”为事件 A .……1 分
12 2
所以 P(A) = = ． ……3 分
18 3
（Ⅱ）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件 B , ……4 分
3 5 5
所以 P(B) = = . ……7 分
4 12 16
（Ⅲ） P1 P2． ……9 分
（17）（共９分）
解：（Ⅰ）因为 x2 x 2 0，
所以 (x 2)(x +1) 0，
所以 1 x 2，
所以 A={x | 1 x 2}． ……1分
5 3 5 3 5 3
又 | x | ，所以 x 或 x ， ……2分
2 2 2 2 2 2
高一数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
所以 x 4或 x 1，
所以 B ={x | x 4或x 1}， ……3 分
B ={x |1 x 4}
R ……4分
所以 A B ={x | x 4或x 2}，A B ={x |1 x 2}． ……6 分
R
（Ⅱ）因为 x2 (2m + 4)x + m2 + 4m 0，
所以 (x (m+ 4))(x m) 0，
所以m x m + 4 ，
所以M ={x | m x m+ 4}． ……7 分
m 1
因为 B M = R ，所以 ……8 分
m + 4 4
所以m 的取值范围是{m | 0 m 1}． ……9分
（18）（共 11 分）
解：选择①
（Ⅰ）因为 f (x)+ f ( x) = 0，
故[ln(1 x)+ k ln(1+ x)]+[ln(1+ x)+ k ln(1 x)]= 0，
所以 ln(1 x2 ) + k ln(1 x2 ) = 0 ,所以 (k +1)ln(1 x2 ) = 0 ，
所以 k = 1. ……3分
1 x 2
（Ⅱ）当 k = 1时， F(x) = = 1+ ， F(x)在 (0,1)上单调递减， ……4分
1+ x 1+ x
证明如下：
任取 x1, x2 (0,1)，且 x1 x2 ， ……5 分
2 2
因为 F(x1) F(x2 ) = ( 1+ ) ( 1+ ) ……6 分
1+ x1 1+ x2
2(x2 x1)= 0 ……7分
(1+ x1)(1+ x2 )
所以 F(x1) F(x )，所以函数F(x)在 (0,1)2 上单调递减. ……8分
（Ⅲ） g(x)在区间 ( 1, 0)上存在一个零点. ……9分
由前两问知， k = 1时，函数 f (x) 是奇函数，且在 ( 1,0) 上单调递减，
1
故函数 g(x) = f (x) + + 2 在 ( 1,0) 上单调递减，
x
高一数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
1 1 5
又 g( ) = ln3 2 + 2 = ln3 0， g( ) = ln 2 0 ，
2 4 3
所以存在唯一的 x0 ( 1,0)，使 g(x0 ) = 0，
所以 g(x)在区间 ( 1, 0)上存在一个零点. ……11分
选择②
（Ⅰ）因为 f (x) = f ( x) ，且 1 x 1，
故 ln(1 x)+ k ln(1+ x) = [ln(1+ x)+ k ln(1 x)]
1 x
所以 (k 1)ln = 0,
1+ x
所以 k =1. ……3分
（Ⅱ）当 k =1时， F(x) = (1 x)(1+ x) =1 x2 .
从而 F(x)在 (0,1)上单调递减， ……4分
证明如下：
任取 x1, x2 (0,1)，且 x1 x2 ， ……5 分
2 2 F(x1) F(x2 ) = (1 x1 ) (1 x )
……6分
2
2 2 = x2 x1 = (x2 x1)(x2 + x1) 0
……7分
所以 F(x1) F(x2 )，所以函数 F(x)在 (0,1)上单调递减. ……8分
（Ⅲ） g(x)在区间 ( 1, 0)上存在一个零点. ……9 分
由前两问知， k =1，函数 f (x) 是偶函数，且在 ( 1,0) 上单调递增，
故函数 g(x) = f (x) + x + 2在 ( 1,0) 上单调递增，
又 g(0) = f (0)+ 2 = 2 0，
1 1 1 1
g( 1 ) = ln(1 ( 1 )2 ) 1 + 2 = 1 0 ，
e2 e2 e2 e2
所以存在唯一的 x0 ( 1,0)，使 g(x0 ) = 0 ，
所以 g(x)在区间 ( 1, 0)上存在一个零点. ……11分
（19）（共 11 分）
解：（Ⅰ） g(x)与 h(x)关于 f (x) 唯一交换, 不是任意交换的 ……2分
令 f (g(x)) = h( f (x))，即 (x +1)2 = x2 1，解得 x = 1．
高一数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
所以存在唯一的 x = 1 R，使得 f (g(x)) = h( f (x))，
即 g(x) 与 h(x) 关于 f (x)唯一交换，
存在 x = 0 R ，使得 f (g(x)) h( f (x))，
即 g(x) 与 h(x) 关于 f (x)不是任意交换的． ……4分
（Ⅱ）依题意， x R ， f (g(x)) = h( f (x))．
因为 x R ， f ( x) = a[( x)2 + 2]= a(x2 + 2) = f (x) ，
所以 x R ， f (g( x)) = h( f ( x)) = h( f (x)) = f (g(x))．
所以 x 2R ， a[(x bx 1)2 + 2] = a[(x2 + bx 1)2 + 2]，
所以 (x2 bx 1)2 = (x2 + bx 1)2 ，
即 (2x2 2)(2bx) = 0 对 x R 成立，
所以b = 0． ……7分
下面检验b = 0时，存在函数 h(x) 使得 g(x) 与 h(x) 关于 f (x) 任意交换．
即验证存在函数 h(x) ，使得 x R ， f (g(x)) = h( f (x))，
即 a[(x2 1)2 + 2]= h(a(x2 + 2))．
2 t令 t = a(x + 2) ， 2，
a
2 2
则 a[(x2 2
t t 6at +11a
1) + 2] = a[( 2 1)2 + 2] = ．
a a
x2 6ax +11a2
令 h(x) = ，
a
2 t
2 6at +11a2
则 h(a(x + 2)) = h(t) = = a[(x2 1)2 + 2]对 x R 成立，
a
综上，b = 0． ……8 分
（Ⅲ）依题意，存在唯一的 x R ，使得w(g(x0)) = f (w(x0 0))．
因为 x R ， f ( x) = f (x)， g( x) = ( x)2 1= x2 1= g(x) ，
e x 1 1 ex
w( x) = = = w(x) ，
e x +1 1+ ex
所以w(g( x0)) = w(g(x0)) = f (w(x0)) = f ( w(x0)) = f (w( x0))．
高一数学参考答案 第 4 页（共 5 页）
所以 x0 = x ，即0 x0 = 0．
e 1 1
所以w(g(0)) = f (w(0))，即 = 2a ．
e 1+1
e 1
所以 a = ． ……9分
2e + 2
e 1
下面检验 a = 时，w(g(x)) = f (w(x))的解唯一．
2e + 2
ex 1 2
因为w(x) = =1 ， g(x) = x2 1 1， eg(x) 1
1 1
e 0， ，
ex +1 ex +1 eg(x) +1 e 1+1
2 2 1 e
所以w(g(x)) =1 1 = ，
eg(x) +1 e 1+1 1+ e
当且仅当 g(x) = 1，即 x = 0 时取等号．
ex 1 1 e
又 f (w(x)) = a[( )2 + 2] 2a = ，
ex +1 1+ e
当且仅当 ex 1= 0，即 x = 0 时取等号．
所以w(g(x)) f (w(x))，当且仅当 x = 0 时取等号．
所以w(g(x)) = f (w(x))的解唯一．
e 1
综上， a = ． ……11 分
2e + 2
高一数学参考答案 第 5 页（共 5 页）海淀区高一年级练习
(5)下列函数中，既是奇函数，又在(0，+∞)上单调递减的是
(A)f(x)=
(B)f(x)=-xlxl
数学
2024.01
(C)f(x)=F+
1
(D)y=x
学校
班级
姓名
(6)已知a=2,b=log2N3,c=log2,则实数a,b,c的大小关系是
考
1.本试卷共6页，共三道大题，19道小题。满分100分。考试时间90分钟
(A)c>a>b
(B)c>b>a
3
在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名。
(C)a>c>b
(D)a>b>c
须
3.
答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答
4.考试结束，请将本试卷交回。
(7)已知函数f(x)=2+-分，则“a=1”是(x)为奇函数”的
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
的一项。
(8)已知函数f(x)=log2(x+1)+x-2,则不等式f(x)<0的解集为
(1)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-2,-1,0},则C0A=
(A)(-0,1)
(B)(-1,1)
(A){1,2,3
(B){1,2}
(C)(0,1)
(D)(1,+∞)
(C)(0,2)
(D)(1,2)
(9)科赫(Koch)曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下：
(2)某学校有高中学生1500人，初中学生1000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对
如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段
n=0级
学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生
生成1级科赫曲线“入”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤
n=1级
中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了
得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…
(A)150人
(B)200人
人气题
在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r
m=3级
(C)250人
(D)300人
(3)命题“3x∈R,x+2≤0”的否定是
的部分组成。若，P=为，则称D为该图形的分形维数。那么科慧曲线的分形维数是
(A)3x∈R,x+2>0
(B)3x∈R,x+2<0
(A)1og23
(B)1og32
(C)x∈R,x+2>0
(D)x∈R,x+2<0
(C)1
(D)2log:2
(4)在同一个坐标系中，函数f(x)=logx,g(x）=a,h(x)=x的部分图象可能是
x+a,x≤a,
(10)已知函数f(x)=
若存在非零实数x。,使得f(-x)=-f()成立，则实数
x ,x>a.
仁长
a的取值范围是
(A)(-∞，0]
(B)(-0,4
(C)[-4,0]
(D)[-2,4]
高一年级（数学）第1页（共6页）
高一年级（数学）第2页（共6页）

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