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第十一章 三角形
·11.1与三角形有关的线段·
第二课时 三角形的高、中线与角平分线
学案
班级： 课时： 成绩：
学习目标
1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义，并会作出这三种重要的线段；
2.了解三角形的高、中线和角平分线的性质，并能应用它解决一些问题.
知识构建
【自主学习】
过一点画已知直线的垂线.
2.过三角形的一个顶点，画出它到对边的垂线段.
3.从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 .
4.分别作以下三个三角形的的三条高：
思考，并完成表格：
【合作探究】
在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做 .
请画出一个三角形，并利用直尺画出它的三条中线，得出：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的 .
3.三角形三条中线的交点叫做三角形的 .
4.在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
.
5.三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的 .
6.∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ = = .
∵ CF是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACB = 2 = 2 .
7.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
层级练习
【应用迁移 巩固提高】
1.如图，△ABC中，边BC、AC上的高分别是AD、BE.已知BC = 5 cm，AD = 6 cm，AC = 7 cm，求BE的长度.
2.如图，在△ABC中，边AD，AE分别是BC上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
3.如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.
（1）当∠ABC = 60°，∠ACB = 80°时，求∠BOC的度数.
（2）当∠A = 40°时，求∠BOC的度数.
（3）当∠A = x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示).
【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 呼和浩特期末）在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（　　）
2.（2019 荆门校级月考）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
3.（2019 苍南期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1 =∠2 =∠3 =∠4，AE是哪个三角形的角平分线（　　）
A．△ABE B．△ADF
C．△ABC D．△ABC，△ADF
4.如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =
∠ =∠ ，
②BE是△ABC的中线，则 = = ，
③CF是△ABC的高，则∠ =∠ =90°．
如图1所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质（　　）
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一
【当堂检测 及时反馈】
1.（2019春 侯马市期末）如图，在△ABC中，边BC上的高为（　　）
A．BF B．CF C．BD D．AE
2.（2019秋 涡阳县期中）如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是边BC上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
3.（2019春 武侯区校级期中）如图，在△ABC中，∠1 =∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（　　）
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
4.（2019秋 石台县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A．BF = CF B．∠C+∠CAD = 90°
C．∠BAF = ∠CAF D．S△ABC = 2S△ABF
5.（2020 碑林区校级四模）若线段AD、AE分别是△ABC的边BC上的中线和高线，则（　　）
A．AD≥AE B．AD＞AE
C．AD≤AE D．AD＜AE
6.已知，如图△ABC中，AD为边BC上的中线，AB = 6 cm， AC = 8 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 ，面积之差为 ．
7.（2019秋 新昌县期中）在△ABC中，AC = 2BC，边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC = ，AB = ．
8.如图所示，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，已知∠BAE = 30°，∠DAC = 20°，求∠B的度数.
9.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC = 4，求△BEF的面积.
10.如图所示，有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，要将这块地按人口比例分给甲、乙、丙三家.若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．
【拓展延伸 能力提升】
1.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
2.已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM的长为h.若点P在△ABC的边BC上，如图①所示，此时， h3 = 0，可得结论h1+h2+h3 = h.当点P在△ABC内或在△ABC外时，如图②③所示，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；不成立h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请写出你的猜想.
四、参考答案
【自主学习】
1.作图略.
2.作图略.
3.三角形的高.
4.作图略.
【合作探究】
1.三角形的中线.
2.内部.
3.重心.
4.三角形的角平分线.
5.内部.
6.∠ABE； ∠CBE；∠ABC；∠ACF；∠BCF.
7.三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.
【层级练习】
【应用迁移 巩固提高】
1.BE的长度为cm.
2.S△ABD = S△ADC.
3.（1）∠BOC=10°；（2）∠BOC=110°；
（3）∠BOC=90°+x.
【随堂练习 巩固新知】
C 2.B 3.D
4.BAD；DAC；BAC；AE；EC；AC；BFC；AFC.
5.D
【当堂检测 及时反馈】
D 2.C 3.C 4.C 5.A
6.2cm；0cm2. 7.48；28.
8.∠B=50°．
9.S△BEF = 1.
10.取AC中点为D，BD中点为E，连接AD，AE.如图，所以甲家分得△ABE，乙家分得△AED，丙家分得△ADC. （答案不唯一）
【拓展延伸 能力提升】
1.h=5.
2.如图2，当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：
连接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC
∴BC·AM =AB·PD+BC·PF+AC·PE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∴ AM = PD+PF+PE，
∴h1+h2+h3=h，当点P在△ABC外时，结论不成立.

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