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第十一章 三角形
·11.2与三角形有关的角·
第三课时 三角形的外角
学案
班级： 课时： 成绩：
学习目标
1.了解三角形外角的概念.
2.掌握三角形外角的性质的推理过程.
3.能综合利用三角形的内角和定理及外角的性质解决问题.
知识构建
【自主学习】
1.如图，小颖从点A出发，绕着圆形花坛的外围走一圈，那么回到原来位置时，一共转了 度.
2.如果绕着三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时，一共转了 度吗.
3.三角形的 组成的角，叫做三角形的外角.
4.画出△ABC，然后画出它的所有外角，问：
（1）每一个顶点处相对应的外角有 个，它们之间互为 角.
（2）三角形的每一个外角与相邻的内角互为
角.
（3）每一个三角形有 个外角.
5.∠BEC是 的外角，
也是 的内角.
∠BDC是
的内角，也是 的外角.
∠BFC是
的外角，也是 的内角.
【合作探究】
1.如图，在△ABC中，∠A = 70 °，∠B = 60 °.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
2.如图，CD是边BC的延长线，求证：∠ACD =∠A+∠B.
三角形外角的性质：
（1）三角形的外角 与它不相邻的两个内角的和.
（2）三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角.
4.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
即：三角形的外角和是
层级练习
【应用迁移 巩固提高】
1.根据图所示，写出∠α的度数．
2.如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
（1）求∠B的度数；
（2）求∠C的度数.
3.如图，直线AB∥CD，∠A = 70°，∠C = 40°，求∠E的度数.
【随堂练习 巩固新知】
1.判断题：
（1）三角形的外角和是指三角形所有外角的和.
（2）三角形的外角和等于它内角和的 2 倍.
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.
2.(2022秋 达孜区期中)如图，∠1、∠2、∠3 中是△ABC外角的是（　　）
A．∠1、∠2 B．∠2、∠3
C．∠1、∠3 D．∠1、∠2、∠3
3.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ 　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
4.（2022春 平昌县期末）如图，∠A，∠1，∠2 的大小关系为（ 　）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠A＞∠2＞∠1
C．∠2＞∠1＞∠A D．∠2＞∠A＞∠1
5.（2022秋 文山市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A = 44°，∠1 = 57°，则∠2 = 　．
【当堂检测 及时反馈】
1.（2022秋 新宾县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC 的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP = 20°，∠ACP = 50°，则∠A =（　 　）
A．60° B．80° C．70° D．50°
2.（2022秋 路北区期末）如图，在△ABC中，∠A = 60 度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2 的大小为多少度（　 ）
A．140 B．190 C．320 D．240
3.（2022 枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30°角的三角板的一条直角边和含 45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　 　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
4.（2022秋 织金县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（ 　　）
A．∠1+∠2 =∠3+∠4 B．∠1+∠2 =∠4-∠3
C．∠1+∠4 =∠2+∠3 D．∠1+∠4 =∠2-∠3
5.(2022秋 蒙阴县期中)在△ABC中,∠A = 50°，∠B = 30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　 　）
A．60° B．10° C．45° D．10°或 60°
6.（2022秋 金凤区校级期末）如图，∠BCD = 150°，则∠A+∠B+∠D的度数为　 　．
7.有一次小明看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 度.
8.求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E的度数.
9.（2022秋 香洲区校级月考）一个零件的形状如图所示，按规定∠A = 90°，∠B和∠C分别是 32°和 21°的零件为合格零件，现质检工人量得∠BDC = 149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
10.（2022秋 汉滨区校级月考）已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P．求证：∠P = 90°- ∠A．
【拓展延伸 能力提升】
1.如图，D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F．求证：
（1）∠AFB＞∠C；
（2）∠AFB =∠1+∠2+∠C．
2.（2020秋 彭水县校级月考）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．
（1）若∠A = 50°，则∠D = ；
（2）若∠A = 80°，则∠D = ；
（3）若∠A = 130°，则∠D = ；
（4）若∠D = 36°，则∠A = ；
（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．
四、参考答案
【自主学习】
1.360. 2.360. 3.一边与另一边的延长线.
4.画图略，（1）2，对顶，（2）邻补，（3）6.
5.△AEB，△BEC、△EFC，△BDC、△BDF，△ADC，△BDF 、△CEF，△BFC.
【合作探究】
1.解：由∠A +∠B +∠ACB = 180°，得∠ACB = 180°-∠A-∠B = 50°.
由∠ACB +∠ACD = 180°，得∠ACD = 180°-(180°-∠A-∠B)= ∠A +∠B = 130°.
2.
3.（1）等于，（2）大于.
4.解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE =∠2+∠3，∠CBF =∠1+∠3，∠ACD =∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3 = 180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD = 360°.
360°.
【层级练习】
【应用迁移 巩固提高】
1.解：①∠α = 25°+40°= 65°；
②∠α = 110°-35°= 75°；
③∠α = 40°+35°-60°= 15°；
④∠α = 180°-(360°-120°-108°)= 48°．
2.解：（1）∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC =∠B +∠BAD = 80°.
又∵ ∠B =∠BAD，
∴ ∠B = 80°×= 40°.
（2）在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C = 180°，
由（1）得，∠B = 40°，
∴ ∠C = 180°-40°-70 °= 70°.
3.解：如图所示，标出∠1和∠2.
∵ AB∥CD，
∠1 =∠A = 70°.
∴根据三角形外角性质，得
∠E =∠1-∠C = 70°- 40°= 30°.
【随堂练习 巩固新知】
（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×（6）√
C 3.C 4.C 5.101°
【当堂检测 及时反馈】
A 2.D 3.C 4.D 5.D
6.150° 7.360
8.解：∵ ∠1 是△FBE的外角，
∴ ∠1 =∠B+∠E.
同理∠2 =∠A+∠D，
在△CFG中∠C+∠1+∠2 = 180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = 180°.
9.解：如图，延长BD交AC于E，
∵ ∠A = 90°，∠B = 32°，
∴ ∠DEC =∠A+∠B = 90°+32°= 122°，
∵ ∠C = 21°，
∴ ∠BDC =∠C +∠DEC = 21°+122°= 143°．
又∵ 质检工人量得∠BDC = 149°，
∴ 这个零件不合格．
10.证明：∵ BP、CP是△ABC的外角的平分线，
∴ ∠PCB =∠MCB，∠PBC =∠NBC，
∵ ∠MCB =∠A+∠ABC，∠NBC =∠A+∠ACB，
∴ ∠PCB+∠PBC =(∠A+∠ABC+∠A+∠ACB)= (180°+∠A)= 90°+ ∠A，
∴ ∠P = 180°-(∠PCB+∠PBC)= 180°﹣(90°+ ∠A)= 90°-∠A．
【拓展延伸 能力提升】
1.证明：（1）∵ ∠AFB是△AEF的一个外角，
∴ ∠AFB＞∠AEF.
∵ ∠AEF是△BCE的一个外角，
∴ ∠AEF＞∠C，∴ ∠AFB＞∠C.
（2）∵ ∠AFB =∠AEB+∠1，
∠AEB =∠C+∠2，
∴ ∠AFB =∠1+∠C+∠2.
2.（1）25°，（2）40°，（3）65°，（4）72°，
（5）∠D =∠A.
理由如下：∵ BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴ ∠ACE = 2∠2，∠ABC = 2∠1，
∵ ∠ACE =∠ABC+∠A，
∴ 2∠2 = 2∠1+∠A，
而∠2 =∠1+∠D，
∴ 2∠2 = 2∠1+2∠D，
∴ ∠A = 2∠D，
即∠D =∠A.

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